Псевдорешение и метод наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.2:519.654:519.2 А.Г. Барлиани СГГА, Новосибирск

ПСЕВДОРЕШЕНИЕ И МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

A.G. Berliani SSGA, Novosibirsk

PSEUDOSOLUTION AND THE METHOD OF LEAST SQUARES

The paper offers the method of solving consistent, inconsistent and improperly stipulated systems of equations on the basis of generalized inverse matrices. The method is very important for any geodetic networks adjustment. It is proved that of all the generalized inverse matrices it is the pseudoreverse matrix that gives minimal admissible discrepancy of the equations system.

Хорошо известно, что при уравнивании геодезических сетей параметрическим способом возникает система уравнений:

A& + L = V. (1)

Вследствие того, что число неизвестных (n+k) больше числа уравнений n, данная система имеет множество решений. Поэтому для решения этой системы применяют метод наименьших квадратов.

Классический метод наименьших квадратов состоит в том, что в качестве оценки А вектора А выбирают вектор, доставляющий минимальную евклидовую норму вектора V, то есть:

Ф = VTV = ||F||2 = min . (2)

Условие метода наименьших квадратов (2) приводит к системе нормальных уравнений:

Ataa = AtL. (3)

Система нормальных уравнений (3) гарантирует нам единственный минимум, если матрица АТА положительна определена. В противном случае система нормальных уравнений допускает по крайней мере одно решение (и, следовательно, бесконечно много), причем каждое решение дает одно и то же минимальное значение евклидовой нормы (2).

Итак, возможны два случая:

- АТА обратима и хорошо обусловлена;

- АТА плохо обусловлена и необратима (вырождена);

Во втором случае мы должны ввести понятия обобщенного обращения матрицы.

Определение 1. Пусть А - (п, к) - матрица ранга г. Матрица А~ размера

(к, п) называют обобщенной обратной к матрице А, если АА~А = А .

Обобщенная обратная матрица существует для каждой матрицы. Причем бесчисленное множество. Из этого множества выделятся псевдообратная матрица, она единственная и удовлетворяет матричным условиям:

АОА=А, (4) САС=С, (5) (АО)т = АО, (6)

(ОА)т=ОА. (7)

В выражениях (4)-(7) О - псевдообратня матрица к исходной матрице А и обозначается через А+.

Несложно доказать, что для некоторых специальных классов матриц А псевдообратная может быть вычислена согласно следующим правилам:

- Если А - квадратная и невырожденная, то А+ = А~1;

- Если А 0, то и А+= 0 ; Эти две нулевые матрицы взаимно транспонированы;

- Если столбцы матрицы А линейно независимы, то

А+ =(АТА)~1АТ; (8)

- Если строки матрицы А линейно независимы, то = (9)

Выражение (8) справедливо для параметрического способа уравнения, когда матрица АТ А является не вырожденной, а выражение (9) соответствует коррелатному способу уравнивания при ААТ - не вырожденной.

Без доказательства приведем рекурсивный метод построения псевдообратной матрицы для параметрического способа уравнивания [1].

Пусть А1 получается из матрицы А дописыванием справа столбца ос \

Я, = (Яа)

(*\\*\г-*\та\ Л

а21а22 -а2та2

а ла г,...а а

V п 1 па пт п /

Допустим сначала, что АА+а ф а 5 и рассмотрим столбец

сЕ-АА + )а

Р =

(а-АА^а)т(а-АА^)

(10)

где Е - единичная матрица.

Предложение 1. Если АА+а Фа ^ то матрица А^ получается из матрицы А+ - А+аРт] дописываем снизу строки рт , то есть имеет вид:

(А+-А+арТЛ

Р

т

(11)

Рассмотрим теперь случай, когда АА+а = а . Положим, что:

7 =

А+ТА+а 1+аТА+ТА+а

, (12)

тогда справедливо предложение.

Предложение 2. Если АА+а = а, то матрица А^ получается из матрицы

4- + Т Т

(А -А ау1 ) дописыванием снизу строки у , то есть равна:

А-

ГА+-А+ауТл

У

т

. (13)

Таким образом, предложения 1 и 2 можно использовать для построения псевдообратной для данной матрицы А. Для этого рассматривают m матриц Аъ--->Ат> где матРиДа Л @=1,2,...,т) состоит из t первых столбцов матрицы А. Так как А/ состоит из одного столбца, А^ находится по формуле:

А+ = + - 1 - ^ \ + +

. (14)

+

Затем по формуле (11) или (13) последовательно вычисляются А2 , А3 ,

пока не будет получена А* = А+ ■

После вычисления псевдообратной матрицы вектор неизвестных параметров определим по выражению:

А = А+Ь. (15)

Для оценки точности уравненных параметров рекомендуется формула:

А

+

(16)

где Аг+ - евклидовая норма /-ой строки псевдообратной матрицы А+; // - средняя ошибка единицы веса:

М =

УТУ

V п-

т

(17)

Если уравниваются неравноточные измерения с весовой диагональной матрицей Р, то от матрицы А переходят к матрице:

В = Р°>5А. (18)

Использовав формулы (10) и (11), получаем псевдообратную матрицу

В+.

При этом вектор неизвестных параметров будут вычисляться по формуле:

х = В+Р^5Ь. (19)

Для оценки точности будет использоваться формула:

б:

+

(20)

Таким образом, задача решена.

В качестве иллюстрации предложенного метода рассмотрим свободную нивелирную сеть.

Для нее матрица коэффициентов параметрических уравнений имеет вид: (-\ 1

А =

-1 0 1 0-1 1

2

Получим псевдообратную для этой матрицы. Для этого на первом этапе обратимся к формуле (14), получим а* . После двухкратного

обращения к формулам (10), (11), мы получим окончательную псевдообратную матрицу вида:

А+=-

М -1 1 0 -1 011

(21)

Нетрудно проверить, что матрица (21) удовлетворяет всем свойствам псевдообратной матрицы.

В качестве примера возьмем несвободную нивелирную сеть с тремя определяемыми реперами.

Для этой сети матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок, весовая матрица измеренных превышений и вектор свободных членов имеют соответственно следующий вид: 0 1 0

-11 ; Р= 0 0 1 0 10 0

А =

1 1 0 1 0

í 0,25 0

0 00 0 ( 0 1

0,36 00 0 4,9

0 0,49 0 0 0

0 0 0,64 0 4,3

0 00 0,81 у , 0 ,

Для того чтобы получить псевдонормальное решение по формуле (18), необходимо найти матрицу В, которая равна:

' 0,5 0 0 ^ -0,6 0,6 0

В = Р °,5 л =

0 -0,7 0,7 0,8 0 0,8 0 0,9 0

По формулам (14) и (11) построим псевдообратную матрицу, которая будет равна:

^0,8241 -0,5534 0,3656 -0,3199 0,6533 ^

Б+ =

0,3629 0,1708 -0,1128 0,0987 0,9095 0,6241 -0,2393 0,7776 0,5696 0,7644

Вектор-столбец к неизвестным параметрам, вычисленный по формуле (18), будет равняться:

Л^ = (-2,73 0,84 1,26).

Необходимо заметить, что результаты, полученные на основании псевдорешения, точно совпадают с решением метода наименьших квадратов.

Следует отметить, что предложенный способ удобен, если с течением времени данные пополняются, и расчеты, ранее проведенные с матрицей А( , нужно повторить с матрицей А ^, полученной из А( добавлением

столбца. Если добавляются строки, то тот же метод применяется к транспонированной матрице.

Следует отметить, что здесь имеются затруднения, связанные с необходимостью одновременно с псевдообращением определять ранг матрицы. Они появляются в тот момент, когда мы должны выяснить, выполнено ли равенство АА+а = а 5 и в зависимости этого выбрать нужную формулу. Однако при уравнивании геодезических сетей ранг матрицы известен и равен m, поэтому алгоритм получения псевдообратной матрицы упрощается. В этом случае применяются формулы (10) и (11).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани, А.Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей// Cб. науч. ст. по материалам научно-техн. конф. ГЕО-СИБИРЬ-2008. - Новосибирск: СГГА, 2008.

© А.Г. Барлиани, 2009