Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.2:519.654:519.2 А.Г. Барлиани СГГА, Новосибирск

МЕТОД ГРЕВИЛЛЯ ПРИ УРАВНИВАНИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

A.G. Barliany

Siberian State Academy of Geodesy (SSGA) 10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

GREVILLE'S METHOD APPLICATION FOR GEODETIC NETWORKS ADJUSTMENT

The paper deals with the method of solution as concerns consistent, inconsistent and improperly stipulated sets of equations which is very important for geodetic networks adjustment. The algorithm is offered for successive arraying of correction- equation pseudoinversive matrix without normal equations matrix arraying and inversion. It simplifies geodetic networks adjustment by parametric and correlative methods.

The offered method is especially useful when in the course of time extension of the network is demanded and the calculations made previously for matrix At are to be repeated for matrix At+i derived from matrix At by adding a column. If new measurements (lines) are added, the same method can be applied to the transposed- correction equations matrix.

В практических задачах часто бывает нужно найти решение, удовлетворяющее большому числу возможно противоречивых требований. Если такая задача сводится к системе линейных уравнений, то система оказывается, вообще говоря, несовместной. В таких условиях для системы уравнений

Ax = b, (1)

существует единственное оптимальное решение

х = А+Ъ. (2)

Решение (2) называют псевдонормальным решением, а матрицу А+ псевдообратной матрицей, удовлетворяющей свойствам:

АА+А = А;

=А+А;

(&+а1 = А+А.

В теории линейной алгебры доказывается следующее предложение, позволяющее найти псевдообратную матрицу в двух важных частных случаях.

Предложение 1. Если столбцы матрицы А линейно независимы, то

А+ = ^ТА^АТ. (3)

Если строки матрицы А линейно независимы, то

А+=АТ(1АТУ. (4)

Выражение (3) справедливо для параметрического способа уравнения,

т

когда матрица АТ А является не вырожденной, а выражение (4) соответствует

Т

коррелатному способу уравнивания при ААТ - не вырожденной.

Рассмотрим метод Гревилля последовательного нахождения псевдообратной матрицы для параметрического метода уравнивания.

Пусть А^ получается из матрицы А дописыванием справа столбца а:

А, =

Га\\а\2---а\та\ Л а2\а2Т--а2та2

а ла а

V п\ п2 пт п

+

Допустим сначала, что АА аФа, и рассмотрим столбец р = _-$-АА+р-(5)

Ь-АА+а1 С(-АА+^ где Е - единичная матрица.

Предложение 2. Если АА+аФа, то матрица А* получается из матрицы А+ ~А+ссдописыванием снизу строки ¡Зт, т. е. имеет вид:

А\

ГА+-А+артЛ

Р

т

(6)

Рассмотрим теперь случай, когда АА+а = а. Положим, что:

у.

А+ТА+сс 1 + ссТА+ТА+а

(7)

тогда справедливо предложение.

1+

Предложение 3. Если АА+а = а, то матрица А^ получается из матрицы

(А+-А+аут) дописыванием снизу строки у' , т.е. равна:

/А+-А+ссут'

,т

А

кг

т

(8)

Таким образом предложения 2 и 3 можно использовать для построения псевдообратной для данной матрицы А. Для этого рассматривают т матриц Аъ--->Ат> где матрица А( (( /,2,...,т) состоит из / первых столбцов матрицы

А. Так как А/ состоит из одного столбца, А* находится по формуле:

+ + 1 Ау = и,^ = —— = ——

.11 .11 С/1 С /1

Затем по формуле (6) или (8) последовательно вычисляются А+, А^

пока не будет получена А„г = л+ ■

Особенно этот способ удобен, если с течением времени данные пополняются, и расчеты, ранее проведенные с матрицей , нужно повторить

с матрицей А ^, полученной из А( добавлением столбца. Если добавляются

строки, то тот же метод применяется к транспонированной матрице.

Следует отметить, что здесь имеются затруднения, связанные с необходимостью одновременно с псевдообращением определять ранг матрицы. Они появляются в тот момент, когда мы должны выяснить, выполнено ли равенство АА+а = а, и в зависимости этого выбрать нужную формулу Однако при уравнивании геодезических сетей ранг матрицы известен и равен т, поэтому алгоритм получения псевдообратной матрицы упрощается. В этом случае применяются формулы (5) и (6).

В заключении рассмотрим оценку точности результатов уравнивания, с этой целью вычисляют для параметров средней ошибки по формуле:

> (Ю)

II +н2 ^ +

где МЛ - евклидовая норма /-ой строки псевдообратной матрицы А ; ¡л средняя ошибка единицы веса:

(11)

И

1

УТУ

п-т

Если уравниваются неравноточные измерения с весовой диагональной матрицей Р, то от матрицы А переходят к матрице:

1

В = Р2А. (12)

Используя формулы (5) и (6) получают псевдообратную матрицу В+. При этом вектор неизвестных параметров будет вычисляться по формуле:

х = В+РЬ. (13)

Для оценки точности будет использоваться формула:

В

+

2

(14)

Таким образом, задача решена.

© А.Г. Барлиани, 2008