Уравнивание нивелирной сети на основе обобщенного решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528. 15: 528. 087

УРАВНИВАНИЕ НИВЕЛИРНОЙ СЕТИ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31

В статье предлагается параметрическая версия уравнивания и оценки точности нивелирных сетей на основе обобщенного решения.

Ключевые слова: уравнивание, нивелирная сеть, обобщеннообратная матрица, рекурсивный алгоритм.

LEVELING NETWORK ADJUSTMENT BASED ON GENERALIZED SOLUTION

Amridon G. Barliani

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Assoc. Prof., Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (983)319-99-31

Parametric version for leveling networks accuracy evaluation and adjustment based on generalized solution is considered.

Key words: adjustment, leveling network, generalized inverse matrix, recursive algorithm.

Хорошо известно, что для определения искомых параметров в геодезических сетях (высот реперов, координат геодезических пунктов) выполняются" измерений, число которых намного больше необходимых.То есть в геодезических сетях всегда присутствуют избыточные измерения. Присутствие избыточных измерений, а также тот факт, что измерения сопровождаются неизбежными случайными ошибками наблюдений, приводят к неоднозначному определению искомых параметров в геодезических сетях. В связи с этим возникает задача уравнивания геодезических сетей.

Параметрический способ уравнивания геодезических сетей предполагает, что между вектором истинных значений измеряемых величин Y и вектором точных значений определяемых параметров X существует следующая функциональная связь:

Y = V( X).

(1)

Запишем систему параметрических уравнений в линейном виде:

AA + L = 0,

(2)

где Д = X - х0 - вектор-столбец точных значений поправок к приближенным значениям параметров; Ь = У - (х0), а матрица частных производных

А =

дх 0

к ;

Вследствие того, что результаты измерений сопровождаются ошибками наблюдений, поэтому при замене вектора истинных значений измеряемых величин У, вектором измеренных значений у, в правой части выражения (2) получается неизвестный вектор ошибок, то есть:

АД +1 = 8.

(3)

где I = ((х0) - у - вектор свободных членов, 8 - вектор-столбец случайных ошибок измерении с ковариационной матрицей К = а1 Р-1.

Необходимо заметить, что если в геодезических сетях измерения выполнены равноточно, то ковариационная матрица имеет вид:

1о -1

К =а1Р

8 8

(4)

где1 - единичная матрица размера пхп

В системе уравнений (3) компоненты вектора £ неизвестны, поэтому число неизвестных п - к больше числа уравнений п. В связи с этим линейная система уравнений (3) несовместна. Для решения несовместной системы применяют метод наименьших квадратов и переходят к совместной системе нормальных уравнений, которая имеет вид:

АТА Д + АТ1 = 0.

Решают эту систему и получают оценку вектора поправок к приближенным параметрам Д, которая при подстановке в уравнение (3) дает вектор остатков с минимальной нормой:

А Д +1 = V.

(5)

Предлагается иной подход, основанный на методе обобщенного решения. Рассмотрим предлагаемую методику для уравнивания нивелирных сетей с равноточно измеренными величинами. Обобщенное решение системы уравнений (3) дает оценку вектора^ которая может быть записана так [1,2]:

Л— -А~1

где Ат ~ рефлексивно£-обратная матрица с минимальной нормойдля-^ , удовлетворяющая свойствам:

А~АА- =А~ (Л~Ау

(6)

Можно считать ^ обобщенным решением, а матрицу А" обобщеннообрат-ной матрицей к ^ .

Пусть произвольная прямоугольная матрица представлена в блочном виде:

А = Са1Г

(8)

где а] ~ вектор-столбец высоты 72 .

На основании доказанной теоремы [2] можно записать рекурсивный алгоритм последовательного обращения матриц, который имеет вид:

где

с 1 — а.] — ■ сЕ ^,

(9) (10)

■411)

Процедура начинается с первого столбца.^ 1 = а\. Так как состоит из одного столбца, А1 находится по следующей формуле:

лг = а: =

а

т

а

(12)

Затем по формулам (9) с учетом формул (10), (11) последовательно вычисляются А^ пока не будет получена ^к = ^.

2

В этих условиях при уравнивании нивелирных сетей присоединение

столбцов а-> аг> "' > ак-1 блочной матрицы (8) по формуле (9) ^ будет определяться по выражению:

с

Ь =-±

}

"с

)

(13)

Для присоединения последнего столбца0 к матрицы (8) используем фор-

мулу:

Вектор уравненных значений неизвестных параметров ~ можно выразить через вектор-столбец приближенных параметров х0 и вектор-столбец поправок Д следующим образом:

Вектор-столбец уравненных измерений у определяется по формуле:

у = у + V

Для вычисления среднеквадратических ошибок уравненных параметров воспользуемся известной формулой [2]:

гдеII з II евклидовая норма для У ~ ой строки обощеннообратной матрицы Л"

среднеквадратическая ошибка единицы веса.

А среднеквадратические ошибки уравненных измерений получим по вы-ражению[2]:

где аг ~ /-ая строка матрицы коэффициентов параметрических уравнений по-А а]

правок А ;"/ ый столбец обощеннообратной матрицы ; II

евклидова норма.

Рассмотрим уравнивание нивелирной сети,предсталенной на рис. 1. Исходные репера имеют отметки: х^ = 100,238 м. и х5 = 121,322 м. На основании

1

результатов измерений находятся приближенные значения необходимых параметров (отметок реперов), они равны соответственно:

з

Рис. 1. Несвободная нивелирная сеть

Матрицу коэффициентов параметрических уравнений поправок можно определить уже известным образом и запишем ее транспонированном виде:

А

т

а-1 о о-1 -1 о о^ 0 11 -1 о о-1 о 0 0 0 1 1 о о-1 ч0 0 0 0 0 1 1 1,

По предложенному алгоритму находится обобщеннообратная матрица^' которая равна:

А 0,02264 - 0,20000 0,02264 - 0,00377 - 0,20377 - 0,22264 - 0,02264 0,01887^ 0,02264 0,20000 0.22264 - 0,20377 - 0,00377 - 0,02264 - 0,22264 0,01887 0,02830 0,00000 0,02830 0,24528 0,24528 - 0,02830 - 0,02830 0,27358 0,16038 0,00000 - 0,16038 - 0,05660 - 0,05660 0,16038 0,16038 0,21698

Результаты уравнивания и оценки точности по предложенному методу и методу наименьших квадратов представлены в табл. 1, 2.

№ па- Вычис- Метод обобщенного решения Метод наименьших квадратов

рамет- ленные м ■, м ■ ■ '.V , мм м -, м ■ ■ ' .V , мм

мет- парамет-

ров ры

1 110.542 0.0015 110.5435 5.116 0.0032 110.5452 9.207

2 130.674 -0.0049 130.6691 5.116 -0.0032 130.6708 9.207

3 140.750 -0.0138 140.7362 5.340 -0.0118 140.7382 11.118

4 157.083 0.0118 157.0948 4.741 0.0148 157.0978 11.118

Таблица 2

№ Изме- Метод обобщенного решения Метод наименьших квадратов

превы ренные , м -, м ТПЪ , мм ' , м -, м ''" У , мм

вы- превы-

шении шения

1 10,304 0,0015 10,3055 5,657 0,0032 10.3072 9.207

2 20,119 0,0066 20,1256 7,583 0,0066 20.1256 7.517

3 9,352 -0,0049 9,3471 5,657 -0,0032 9.3488 9.207

4 10,064 0,0030 10,0670 8,034 0,0034 10.0674 8.192

5 30,208 -0,0154 30,1926 8,034 -0,0150 30.1930 8.192

6 46,541 0,0103 46,5513 7,420 0,0116 46.5526 8.192

7 26,427 -0,0013 26,4257 7,420 -0,0000 26.4270 8.192

8 16,371 -0,0123 16,3587 8,397 -0,0115 16.3595 8.405

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о том, что точность, какуравненных параметров, так и уравненных превышении значительно повышаются с применением предложенного метода по сравнению с методом наименьших квадратов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск: СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.

2. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

3. Падве В. А. Потенциал универсального синтезированного алгоритма МНК-оптимизации геодезических данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2012. - № 4. - С. 34-42.

4. Новый этап развития геодезии - переход к изучению деформаций блоков земной коры в районах освоения угольных месторождений / А. П. Карпик, А. И. Каленицкий, А. Н. Соловицкий // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23). - С. 3-9.

5. Карпик А. П. Разработка методики качественной и количественной оценки кадастровой информации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 137-142.

6. Карпик А. П., Каленицкий А. И., Соловицкий А. Н. Технология изучения измерений во времени деформаций блоков земной коры при освоении месторождений Кузбасса // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23). - С. 3-9.

© А. Г. Барлиани, 2015