CC BY
65
Геодезия и геоинформатика
УДК 528.3
НОРМАЛЬНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЯХ И ИХ МНК-ОЦЕНКИ
Владимир Абрамович Падве
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры прикладной информатики, тел. (383)343-18-53, e-mail: [email protected]
Петр Павлович Мурзинцев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, декан геодезического факультета, тел. (383)343-27-09
Рассматривается вопрос о компенсации нормальных случайных погрешностей измерений оценками, получаемыми в процессе уравнивания по методу наименьших квадратов (МНК). Представлены результаты уравнивания измерений, искаженных нормальными случайными псевдопогрешностями, для некоторых типов геодезических построений. Результаты моделирования показывают, что МНК-оценки, как правило, компенсируют допущенные ошибки.
Ключевые слова: нормальные псевдопогрешности измерений, МНК-оценки.
NORMAL ACCIDENTAL MEASUREMENT ERRORS IN GEODETIC NETWORKS AND LEAST-SQUARE METHOD ASSESSMENT
Vladimir A. Padve
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., prof., Department of Applied Information Science, tel. (383)343-18-53, e-mail: [email protected]
Petr P. Murzintsev
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Assist. prof., dean of the Faculty of Geodesy, tel. (383)343-27-09
The problem under consideration deals with normal accidental measurement errors compensation by least-squares method estimation . The authors present measurement compensation results for some types of geodetic constructions as concerns measurements distorted by normal accidental pseudo-errors. Modeling proves that the least-square method assessment may compensate for the errors.
Key words: normal pseudo-errors of measurements, least-square method assessment.
При уравнивании результатов измерений в геодезических построениях по методу наименьших квадратов (МНК) получаемые при этом МНК-поправки в измерения Vn1 подвергаются воздействию всех свободных членов Ln1 линеаризованных уравнений погрешностей и, как следствие, распределяются произвольно-неопределенно.
10
Геодезия и геоинформатика
Такое мнение мотивировано аналитическими связями этих векторов:
~ 1 1 T 1
Vn1 = AnkXk1 - Ln1 = AnkNkk Gk1 - Ln1 = (AnkNkk Akn Knn - Inn)Ln1 = -RnnLn1, (1)
где
Rnn = (Inn - AnkNkk 1AknTKnn 1)
(2)
- матрица «избыточностей» [1] (идемпотентная и особенная), след которой равен количеству избыточных измерений: tr(R) = г = n - k.
В уравнениях (1) и (2) дополнительно задействованы следующие матрицы и векторы параметрического способа:
Ank - матрица коэффициентов линеаризованных параметрических уравнений;
Xk1 - вектор МНК-поправок к приближенным значениям параметров;
Nkk-1 - обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений;
Gk1 - вектор свободных членов нормальных уравнений;
Knn-1- обратная ковариационная матрица результатов измерений;
n - количество всех измерений;
k - количество необходимых измерений.
Любая строка вектора Vn1 действительно зависит от всех свободных членов, образующих вектор Ln1 , и элементов соответствующей строки матрицы избыточностей (2):
Vi= rnl1 + гйЬ + ••• + riili + ••• + rinln. (3)
Каждый квадратичный коэффициент rii выражения (3) всегда положителен и превышает абсолютные значения остальных элементов своей строки. Этот факт приводит к тому, что доминирующим слагаемым поправки Vi как раз и будет произведение квадратичного коэффициента rii на соответствующий свободный член li. Известные формулы (1)-(3), записанные в наших обозначениях, согласуются с результатами и выводами, содержащимися в трудах [3-15].
Нами был поставлен ряд экспериментов на модели линейно-угловой сети мостовой триангуляции, модели нивелирной сети и модели линейной регрессии. Эксперименты проводились в среде Excel и базировались на созданном с использованием центральной предельной теоремы генераторе стандартных нормальных чисел, с помощью которого моделировались псевдопогрешности измерений.
Линейно-угловая сеть мостовой триангуляции представляла собой два смежных четырехугольника, в которых «измерялись» 16 углов и 10 сторон. Общая сторона фигуры содержала ось моста. Координаты концов этой стороны задавались экспериментаторами и полагались безошибочными величинами. Значения смоделированных псевдопогрешностей угловых (mр = 3”) и линейных (ms/s = 1/70 000) измерений, а также их МНК-оценок (с противоположными знаками) выводились на общую диаграмму. Диаграммы для углов и линий строились отдельно. Дополнительно, в обоих случаях вычислялся коэффициент корреляции векторов An1 и - Vn1 и оценивалась его значимость. На рис. 1 приведены результаты одного из выполненных экспериментов.
11
Геодезия и геоинформатика
Углы I ~
Графики псевдоошибок и МНК-поправок
Углы
Ho={p=0} гугл 0,910 ta= 8,19 ti= 2,12
корреляция значима
Линии
Графики псевдоошибок и МНК-поправок
л
Q.
Ф
S
(б
о
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-0,50
-1,00
-1,50
Линии
Ho={p=0} Глин 0,726 ta= 2,99 ti= 2,23
корреляция значима
Рис. 1. Линейно-угловая сеть. Синий график - псевдоошибки, светло-сиреневый - МНК-поправки (с минусом!)
12
Геодезия и геоинформатика
Нивелирная сеть опиралась на три репера и имела четыре узловые точки (рис. 2). Планировалось выполнение нивелирования со среднеквадратической погрешностью m1km = 10 мм/км хода. Моделирование псевдопогрешностей выполнялось с помощью генератора стандартных нормальных чисел. Его данные модулировались величиной m1km и значением квадратного корня из длины соответствующего хода. Диаграмма результатов одного из экспериментов приведена на рис. 3. Коэффициент корреляции векторов Дп1 и - Vn1 также оценивался. Его незначимость проверялась по тесту Стьюдента.
С
27,003
Рис. 2. Схема нивелирной сети
Модель линейной регрессии реализовывала подбор уравнения прямой линии по данным «наблюдений», массив у п1 которой дополнительно искажался стандартными нормальными псевдопогрешностями. Диаграмма соотношений вводимых псевдопогрешностей и их МНК-оценок вновь подтверждает значимую стохастическую связь этих векторов (рис. 4).
13
Геодезия и геоинформатика
Ho = {р = 0} r = 0,779 ta = 3,73 tj = 2,20
корреляция значима
Рис. 3. Диаграмма псевдопогрешностей (ряд 1) и МНК-поправок (ряд 2) для нивелирной сети
Ряд1
Ряд2
Ho = {р = 0} r Avv = 0,996 t э = 49,23 tj = 2,09
корреляция значима
Рис. 4. Диаграмма псевдопогрешностей (ряд 1) и МНК-остатков (ряд 2)
для модели линейной регрессии
14
Геодезия и геоинформатика
Таким образом, можно констатировать, что МНК-поправки компенсируют именно те случайные погрешности, которые имели место в процессе измерений. Учитывая тот факт, что согласно [2] сумма отношений дисперсий МНК-поправок к дисперсиям исходных измерений равна числу избыточных измерений, т. е. [av2 /ад2 ] = г = n - k, то можно принять такое осредненное значение модуля отношений МНК-поправок V к погрешностям Д:
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. - М.: Физматгиз, 1962.
2. Падве В. А. Две теоремы об отношении дисперсий уравненных измерений, дисперсий МНК-поправок и дисперсий исходных измерений // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). -С. 65-68.
3. Падве В. А. Масштабный показатель точности геопространственных данных // ГЕО-Сибирь-2007. III Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 25-27 апреля 2007 г.). - Новосибирск: СГГА, 2007. Т. 6. - С. 115-118.
4. Падве В. А. Математическая обработка коррелированных парных данных // ГЕО-Сибирь-2005. науч. конгр. : сб. материалов в 7 т. (Новосибирск, 25-29 апреля 2005 г.). - Новосибирск: СГГА, 2005. Т. 7. - С. 98-103.
5. Маркузе Ю. И., Голубев В. В. Теория математической обработки геодезических измерений: учеб. пособие (доп.). - М., 2010. - 247 с.
6. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии: монография. В 2 т. Т. 1. - М.: Картгеоцентр, 2005. - 334 с.
7. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии: монография. В 2 т. Т. 2. - М.: Картгеоцентр, 2006. - 360 с.
8. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе псевдонормального решения: монография. -Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.
9. Карпик А. П. Методологические и технологические основы геоинформационного обеспечения территорий: монография. - Новосибирск: СГГА, 2004. - 260 с.
10. Гуляев Ю. П., Хорошилов В. С. Математическое моделирование. Анализ и прогнозирование деформаций сооружений по геодезическим данным на основе кинематической модели: учеб. пособие. - Новосибирск: СГГА, 2012. - 93 с.
11. Мазуров Б. Т., Дорогова И. Е., Дербенев К. В. Горизонтальные движения земной коры вращательного характера, наблюдаемые на геодинамических полигонах // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 232-236.
12. Мазуров Б. Т., Некрасова О. И. Аппроксимация гравитационного влияния рельефа // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. IX Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. - С. 211-213.
13. Панкрушин В. К. Математическое моделирование и идентификация геодинамических систем. - Новосибирск: СГГА, 2002. - 424 с.
15
Геодезия и геоинформатика
14. Идентификация движений и напряженно-деформированного состояния самоорганизующихся геодинамических систем: монография / В. А. Середович, В. К. Панкрушин, Ю. И. Кузнецов, Б. Т. Мазуров, В. Ф. Ловягин. - Новосибирск: СГГА, 2004. - 356 с.
15. Вовк И. Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 94-103.
Получено 04.07.2013
© В. А. Падве, П. П. Мурзинцев, 2013
16
