CC BY
16
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА
Том 249 1973
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ФУНКЦИИ РИМАНА ПРИ ПОМОЩИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
В. Е. КОРНИЛОВ
(Представлена кафедрой высшей математики)
В статье изучается вопрос о представлении степенного ряда, в который разлагается кратный интеграл, цепной дробью с положительными членами звеньев. Остаточный член по модулю меньше модуля разности двух подходящих дробей в интервале — 1 < г < 0.
1. Дзета-функция Римана ([1], стр. 47)
1 XI (— 1У1-1
о>
является частным случаем функции ([1], стр. 42, 43)
со
Ф(г, 5, V) = + п)-5г\ — 1 <г< 1, г>>0. (2)
/1=0
Поскольку
оо
Г (5) 2Л = (V + пу | е~ы (ге-*у 5 > 0, (3)
о
то из формулы ([1], стр. 15 (5))
00
Г (5) = (V + пу | ет <*+">г 5 > 0 (4)
о
получается интегральная формула ([1], стр. 43(3))
оо
Г (5) ф (г, 5, V) = | ' (е* - 2)-1 5 > 0. (5)
о
На основании равенства (4) имеем
со
[!п (V + л)]-* г (в) - | е- *1®+") р-1 <иу ъ> 1, (6)
о
так как е~Пп&+п) = (V то
оо
J (®+Л)' 1п+
О
Учитывая равенство (7), вычислим интеграл от обеих частей равенства (2)
со
г"
Л
^Аъ + пУ ¿01п (г» + я)
п = О
, 0> 1;
со оо
2 я
О и
(В)
У > 1.
Интеграл можно обобщить
оо оо
" г'-1 ^ ^ -а с = >
СО
г"
_ Г (5) 6г 2
о о
/1 = 0
111* (х> + /г)
(9)
1, >>0.
2. В силу элементарных интегралов 00
¿V 1
1гГ (-г; + я) 1п [1п (V + п) ¿Ь 1
(V -4- п) 1п (V + п)]
, V > е;
, V > е
и интеграла (9) нетрудно представить в виде степенного ряда следующий кратный интеграл
оо оо оо
Л = (•«*-■</«, Г Г
со
Г(«!)
О О
2л
— 2
(Ю)
- 11Г' [ (V + п) 1 ~ .о 1 /2=0
Г
V, ^ >0, У > е. \
Определитель Грама
Сл • . . Ск
с К . . .
> О
на основании того, что сп являются степенными моментами
Сп =
•'-> ии
4 йщ Г , , , —--- //"!-» р- И")и
I «а4»-1 ¿/гг> \ —-- I и11'-1 е
¿а
для системы 1, е~и, .. ., е-"",...
В силу Л* > 0 по отношению к ряду (10) соответствующая цепная дробь ([2], стр. 229) имеет положительные члены звеньев
4*.
51
([3], стр. 23—30). Для интеграла (10), представленного суммой под ходящей дроби и остаточного члена И2к , имеем
2 к
Яг«! <
Р2к+\ _ Р2к
Я2к + [ (¿2 к
, — 1 <2 <0 ([4|, стр. 63).
ЛИТЕРАТУРА
1. Беитмен и А. Э рдей и. Высшие трансцендентные функции. М., Физматгкл,
1965.
2. В. Л. Данилов, А. Н. Иванова и др. Математический анализ. Д1., Физмат-гыз, 1965.
3. Т. И. С т и л т ь е с. Исследования о непрерывных дробях. М, ОНТИ, 1936.
4. Б. П. Демндович и И. А. Марон. Основы вычислительной математики. М., Физматгиз, 1963.
