Выбор параметров многослойной пластины методом случайного поиска Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.6

ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ МЕТОДОМ

СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА

Чемодуров В.Т., Сейтжелилов М. С.

Национальная академия природоохранного и курортного строительства

В статье приводится методика оптимизации параметров многослойной пластины одним из методов нелинейного программирования (случайный поиск), который успешно может быть использован для анализа математически описанных систем любой сложности. Данный метод основан на значениях только целевой функции при различных комбинациях варьируемых параметров, поэтому движение к оптимуму осуществляется только в направлении её «улучшения», хотя сами шаги по факторному пространству осуществляются случайно. В статье также дается краткое описание процедуры метода случайного поиска.

Нелинейное программирование, случайный поиск, оптимальное решение, область допустимых решений, локальный оптимум.

Введение

Сущность нелинейных методов программирования заключается в том, что функция цели и функции ограничений, в общем случае, зависят от вектора варьируемых параметров

о S

нелинейно. В программировании сложных задач оптимальный вектор наити можно только

приближенно (с заданной точностью), используя численные методы поиска. В работах [1] и [3] рассматривается достаточно большой перечень методов нелинейного программирования и их сходимость.

Стратегия численных методов нелинейного программирования заключается в том, чтобы из выбранного начального решения x0 е Dx (Dx - область допустимых решений),

за некоторое количество шагов найти оптимальное значение критерия f0 (x) с заданной точностью 8 > 0. Характер стратегии поиска меняется по мере его развития. В начале, когда о функции вообще ничего неизвестно, мы допускаем вести исследование в некоторой небольшой, случайным образом выбранной области с тем, чтобы расположить пробные воздействия там, где значения критерия ниже. В середине процесса поиска, когда накапливается информация о характере отклика, поиск ведется быстрее. В конце поиска (вблизи оптимума) необходимо интенсивно проводить исследования с целью достижения заданной точности решения задачи 8.

Стратегия численных методов основывается на рекуррентной зависимости:

xs+1 =*(x )|xs +ps уs ^ ]. (1)

Здесь: xs - приближение вектора варьируемых параметров после s-ой итерации; ps -величина шага в s-ой итерации (шаговый множитель); ys - ненормированный множитель (применяется не всегда); ^s - вектор направления; n(x) - операция проектирования вектора x на его множество Х, которая учитывает ограничение на пределы варьирования входных параметров.

Если множество Х есть n - мерный параллелепипед, то есть

x = (xi,...,xn\ xjmin < xj < xjmax, j = ^ то 4xЖ(xлn(xа

min при Xj < min ,

max при Xj > Xj max, (2)

Xj при X}. min < Xj < X}. max.

(x) =

Формула поиска оптимального решения (1) удовлетворяет большей части существующего многообразия методов нелинейного программирования, которое можно разделить на два класса:

- детерминированные (на каждом шаге поиска происходит улучшение целевой функции);

- стохастические (случайный поиск)

По способу добывания информации о целевой функции и определения вектора направления ^ методы поиска делятся на:

- методы нулевого порядка (используют информацию только о значении целевой функции);

- методы первого порядка или градиентные (используют информацию о значении целевой функции и скорости ее изменения по каждому фактору);

- методы второго порядка (используют информацию о значении целевой функции, скорости и ускорении ее изменения по каждому фактору).

Чем выше порядок метода поиска, тем ближе определяемое направление * к источнику оптимума задачи, однако, при этом, значительно увеличиваются затраты на добавление необходимой информации для каждой итерации.

Цель и постановка задачи исследования

Рассмотрим предмет исследования представленный на рисунке 1

Рис. 1. Схема трехслойной пластины-панели

Пластина-панель, представленная на этом рисунке и нагруженная нагрузкой q должна иметь надлежащую прочность и жесткость. Математическая модель расчета прочностных показателей представлена в работе [4]. Разумеется, указанная многослойная пластина-панель должна быть изготовлена в разумных габаритах. В качестве метода исследования выберем метод случайного поиска параметров, изложенный в работе [3].

В связи с этим, поставим задачу оптимизации параметров пластины следующим образом:

Минимизировать целевую функцию:

^ (х)

при условиях:

^ (х)= w -^(х)=ав - [ас] < 0.

Г3(х)=ан - [ар] < 0 Г4(х)= N -Ркр <0

т ^ шт

^ < 0 уу шах —

(3)

(4)

х е X =

' г . в шт + г в шах

г . н шт + г н шах

8в шт + 8 в шах

8н тт + 8 н шах

й . тт + й шах

(5)

Здесь: т - общая масса пластины-панели, включающая массу бетона, массу внутреннего наполнителя и массу арматуры; /1 (V) - ограничение по жесткости пластины;

/ ^ -ограничение по прочности бетона на сжатие; /(я') -ограничение по прочности бетона на растяжение; -ограничение по устойчивости элементов армирования; \у -

прогиб пластины; - напряжения в верхнем и нижнем слоях бетона соответственно;

N - внутренние усилия в стальной арматуре; Ркр - критическое усилие.

Ограничения на область варьируемых параметров (5) выбираются из разумных размеров

объекта, хотя это и не является строгим ограничением.

Методика исследований

После постановки задачи оптимизации вернемся к выбору метода ее оптимизации. Наиболее приемлемым для решения поставленной задачи является метод нулевого порядка, так как первые и вторые производные разработанной модели можно получить, только используя разносторонние методы, что требует число решений в каждой точке (комбинации варьируемых параметров) (п+1) решений для метода первого порядка и (п • П + 1) решений для метода второго порядка. Поэтому метод нулевого порядка, требующий всего одного решения в каждой точке, является наиболее привлекательным. Однако о направлении движения ничего не известно. Поэтому выберем случайное направление при каждом шаге итерации. Неудачные шаги (которые не улучшают целевую функцию) просто будем отбрасывать, и сохранять только удачные шаги. Такой метод итерации называется наискорейшим спуском.

Случайный поиск предполагает намеренное введение элемента случайности в алгоритм поиска. Эта случайность служит целям сбора информации о поведении объекта исследования. В ряде случаев введение такого случайного поведения в поиск дает возможность построить весьма простые и эффективные алгоритмы случайного поиска, которые в определенных случаях превосходят регулярные (в частности градиентные) алгоритмы поиска. Основные положительные свойства этих алгоритмов:

- простота программирования и реализации на ЭВМ;

- большое быстродействие;

- высокая надежность и помехоустойчивость, слабая восприимчивость к различного

рода «ловушкам».

Особенно эффективно применение случайного поиска при оптимизации объектов с большим числом параметров и ограничений, то есть в задачах оптимального проектирования.

Один из простейших методов случайного поиска - метод случайной выборки. Его цель

£ +1

заключается в том, что направление перехода из точки х8 в новую х выбирается из условия

= 1> при /0 (х' +РГ )< /0 (х' ), (6)

| 0 при /0(х' + р'£')>Г(х')

Метод случайной выборки можно представить как случайное обследование в окрестности последней удачной точки и переход к последующей при первом удачном выборе шага. Геометрически траектория поиска представляет собой некоторую случайную траекторию (рис.2). Очевидно что, если последняя удачная точка оказалась оптимальной, то

никакое число случайных выборок х8 + р8 £,8 не даст положительного результата.

Важным вопросом в алгоритмах случайного поиска является выбор шага на каждой итерации. Наибольшее распространение получили алгоритмы, в которых выбор шага осуществляется с учетом результативности случайных шагов.

р8 = ехр(-10"3 (^ + 8ир^ + п2)) (7)

где N - число неудачных шагов из последней опорной точки поиска; supN -наибольшее число неудачных шагов, совершенных из какой-либо опорной точки поиска за весь предшествующий процесс оптимизации; п - число варьируемых параметров.

Рис. 2. Стратегия случайного поиска

При таком задании случайного шага значение модуля последнего зависит от качественной характеристики приращения целевой функции. При положительном значении перехода в новую точку происходит увеличение N, благодаря чему в последующем повышается вероятность удачного шага. По мере приближения к точке оптимума вероятность удачного шага имеет тенденцию к уменьшению. С целью повышения вероятности удачного шага по мере приближения к оптимуму в масштаб шага вводят зависимость от значения наибольшего числа неудачных шагов из опорных точек supN, которая позволяет уменьшить среднюю длину шага и повысить точность определения оптимального значения параметров.

Косвенным признаком окончания процесса оптимизации может служить достаточно длинная последовательность неудачных шагов, например:

Nmax = 40 + 5>/п. (8)

Обобщим выше сказанное следующим алгоритмом. Шаг 1. Выбрать x0 еDx, Nmax = 40 + 5а/и Шаг 2. Положить s = 0, sup N = 0, N = 0.

Шаг 3. Вычислить f 0 (xs j

Шаг 4. Если N > Nmax, то остановиться.

:s r>s s

Шаг 5. Вычислить = р5, р5 = ехр(- 10 3 (К + 5ирК + П2))

Шаг 6. Вычислить х5+1 = я(х )(х5 + р5 )

Шаг 7. Если Г 1 (х5+1 )> 0, 1 = 1,т, то положить К=К + 1 и перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 8.

Шаг 8. Если Г0 (х5+1 )> Г0 (х5),

.s+1

то положить К=К + 1 и перейти к шагу 4, иначе

положить = л(х )(х5 + р5 £,5) 5 = 5 + 1, 5ир N = К, N = 0 и перейти к шагу 4.

В данном алгоритме при нарушении одного из функциональных ограничений шаг считается неудачным (шаг 7). Начальная точка должна принадлежать области

допустимых решений Бх.

Результаты и их анализ Приведем численный пример. Выберем пластину квадратной формы Ь=Ь=400см; плотности: бетона рб=0,002кг/см3, внутреннего слоя рп=0,00022кг/см3, арматуры рс=0,0079кг/см3; модуль упругости материала арматуры Ес=2000000кг/см2; допускаемые

напряжения: материала арматуры [ос]=2000кг/см2, бетона на растяжение [обр]=25кг/см2, на сжатие [обс]=430кг/см2.

Определим пределы изменения варьируемых параметров. Толщина слоев бетона 1втт=1;нтт=1см, 1втах=1;нтах=4см, 5втт=5нтт=2см, 5втах=5нтах=5см, ётт=0,1см, ётах=0,5см.

Так как в процессе оптимизации как слои бетона, так и слои внутреннего наполнителя не будут одинаковыми, то, в отличие от работ [4] и [5] изменим алгоритм расчета приведенной жесткости пластины. С этой целью изменим систему координат (рисунок 3). После простых преобразований получим такое же выражение для определения приведенного модуля упругости условно сплошной изотропной пластины.

(9)

Епр = К1Е1 + К2Е2:

где

к,

11Л1 + J 4Л4 А У

к

^Л2 + J3Л3 J Е Л Е

(10)

У

Рис. 5 Геометрия панели-пластины

Л - момент инерции 1-го слоя, А1 - его площадь сечения.

В функциональные ограничения входят следующие параметры. Погиб пластины в ее

центре w =

0,6Ь ш5

напряжения в бетонных слоях а в =

6М

6М

ан =

изгибающий

момент определяется для защемленных сечений

М =

2,4Ь

Все формулы взяты из

работы [4]

Результаты решения задачи следующие.

гв = 1,0см, = 1,2см, 5в = 1,0см, 5Н = 4,46см, ё = 0,24см.

При этом общая масса исследуемой пластины составляет 836кг. Резерв в уменьшении массы пластины, рассчитанный методом случайного поиска (по сравнению с расчетом ее градиентным методом [5]), составляет 36% при сохранении всех выше описанных ограничений по прогибу и прочности панели-пластины.

Выводы

Рассмотренный метод оптимизации параметров многослойной пластины является универсальным и может быть применен для решения проектных задач любой сложности. Недостаток метода связан с тем, что он приводит к одному из локальных оптимумов целевой функции. Этот недостаток устранить можно лишь решением заданной задачи многократно, начиная процесс оптимизации из различных начальных точек допустимой области решений. Однако, при наличии ряда функциональных ограничений, оптимальное решение, как правило, единственное.

Список использованных источников

1. Ермольев Ю.М. - Математические методы исследования операций. /Ермольев Ю.М. К., «Вища школа», 1979г., 312 с.

2. Тимошенко С.П. - Теория упругости. /Тимошенко С.П. «Наука», М., 1975г., 620 с.

3. Чемодуров В.Т. - Моделирование систем. /Чемодуров В.Т. ВМА, Л., 1981г., 180 с.

4. Чемодуров В.Т., Канцеров П.М. - Расчет многослойной пластины с приведенной жесткостью. /[Чемодуров В. Т., Канцеров П.М.] // Строительство и техногенная безопасность, Напкс, г.Симферополь, 2012г., 8 с.

5. Чемодуров В.Т., Шинкарук В.И. - Выбор параметров многослойной пластины методом планирования эксперимента. /[Чемодуров В.Т., Шинкарук В.И.] // Строительство и техногенная безопасность, НАПКС, г. Симферополь, 2012г., 7 с.

6. Штамм К., Витте Х. - Многослойные конструкции. /Штамм К., Витте Х. «Стройиздат», М.,1983г., 176 с.