Методы системного анализав проектировании технических систем Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.8

МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗАВ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Чемодуров В.Т., д.т.н., проф., Кузьмина Ю.С.

Национальная академия природоохранного и курортного строительства

В статье дается краткий обзор методов системного анализа, применяемых в процессе проектирования механических объектов в различных отраслях техники. Рассматривается подход к методологии физического и математического моделирования. Наибольшее внимание уделено методам программирования математических моделей. Не смотря на существующее многообразие методов поиска экстремума целевой функции основное внимание уделено небольшому числу алгоритмов с целью понимания основ решения задач в детерминированной и стохастической постановках.

Нелинейное и стохастическое программирование, оптимизация, целевая функция, функции ограничений, моделирование, градиент, случайный поиск.

Введение

В настоящее время создание совершенных объектов техники и строительства невозможно без применения современных методов исследования, особенно на этапе проектирования. Одним из таких методов, родившимся в первой половине двадцатого века для решения актуальных задач планирования боевых действий и постепенно внедренным в другие отрасли наук, стал системный анализ. Данный метод предполагает два этапа действий:

- создание модели функционирования исследуемой системы или единичного объекта статического или динамического (моделирование);

- исследование разработанной модели тем или иным методом с целью получения наилучших результатов (программирование).

Рассмотрим суть данного метода исследования и покажем очень кратко некоторые его возможности.

Анализ публикаций

В настоящее время все проектные работы производятся в строгом соответствии с нормативными и рекомендательными документами по основным элементам строительных сооружений. Причем все проектные работы выполняются для «наихудших» условий функционирования конструкции, то есть на сочетание предельно максимальных нагрузок, что, в принципе, является излишней «перестраховкой».

Рекомендации предназначены для всех организаций, независимо от формы их собственности и принадлежности, осуществляющих проектно-изыскательские и строительные работы. Такой подход удобен как для строительных организаций, так и для контролирующих органов.

В то же время во многих отраслях производства широко используются методы проектирования объектов, базирующиеся на методах системного анализа, позволяющих получить существенные выгоды, как в эффективности функционирования, так и в себестоимости продукции.

В связи с этим, несомненно, актуальным, является анализ строительных конструкций с использованием методов системного анализа. Такой подход позволит оптимизировать параметры элементов строительных конструкций и их конфигурацию.

Цель и постановка задачи Целью исследования является дать краткий обзор методов системного анализа, позволяющих проводить исследовательские и проектные изыскания с целью выявления резервов в экономии ресурсов и добиваться обоснованных выводов в принятии решений.

Методика исследования

Из всего существующего многообразия моделей в дальнейшем остановимся на:

- физических моделях, которые сходны с оригиналом по физической природе и геометрической форме;

- математических моделях, которые конструируются из элементов иной физической природы, по сравнению с оригиналом, но описываются той же системой математических зависимостей, что и оригинал.

Физическое и математическое моделирование широко применяется в научных исследованиях. Это объясняется тем, что натурные эксперименты над реальными объектами зачастую невозможно организовать по различным соображениям (экономическим, временным, безопасности личного состава и так далее).

Для моделей, обладающих с натурой одной и той же физической природой, условия их соответствия с оригиналом разработаны в теории подобия. К числу таких условий относится необходимость сохранения геометрического, кинематического, динамического теплового и других элементов подобия, учитываемых в каждом конкретном случае.

Математическая модель реальной системы является тем абстрактным формально описанным объектом, изучение которого возможно математическими методами, в том числе и с помощью математического моделирования.

Под математической моделью реальной системы будем понимать совокупность отношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и тому подобное), определяющих характеристики состояний системы (а через них и выходные сигналы) в зависимости от параметров системы, входных сигналов, начальных условий и времени.

Схематично математическую модель системы можно представить в виде блока с входными и выходными сигналами (рис. 1). Выходные сигналы (у) часто называются откликом системы на входные сигналы (х). При моделировании систем мы сталкиваемся с задачами трех типов.

1). Если мы знаем уравнения, описывающие поведения системы, входные параметры, то путем решений прямой задачи можно найти отклик системы на заданный входной сигнал. Эту ситуацию моделировать наиболее просто. Уравнения можно вывести в ходе проектирования системы или же написать на основе предыдущего исследования подобных систем.

2). Известны описание математической модели и выходной сигнал, необходимо найти входной сигнал, вызывающий заданный отклик. Либо необходимо подобрать в заданных пределах входной сигнал, вызывающий максимальное или минимальное значение отклика. Эти задачи относятся к классу задач управления.

3). Более сложная задача возникает, когда заданы совокупности входных и соответствующих выходных сигналов, а необходимо найти математическое описание самой системы. Это задача идентификации или структурного синтеза системы. Если природа исследуемого процесса совершенно неизвестна или известна весьма слабо, мы имеем дело с задачей идентификации черного ящика.

Формализованное описание функционирования системы начинается с постановки задачи, где дается формулировка цели, для которой создается система, и определяются факторы xi, / = 1, п (входные сигналы), влияющие на состояния системы. Если

определены цели и задачи исследования, можно ставить вопрос об оценке качества функционирования системы, которое производится с помощью показателя эффективности (критерия оптимальности). Под показателем эффективности понимают такую числовую характеристику системы, которая оценивает степень приспособленности системы к выполнению поставленных перед ней задач.

Система

Рис. 1

Схема математической модели

Выявление функциональной зависимости ^(х) происходит на этапе построения математической модели. Далее формируются ограничивающие условия на функционирование системы (система ограничений). Во-первых, определяют ограничение на вектор управляемых параметров. Эти пределы устанавливаются исследователем исходя из логики и физического смысла возможных значений от минимального до максимального х;т;п<х;<х;шах, г = 1, п . В векторной форме используют запись хеХ.

Вторая группа ограничений накладывается на состояния системы. Это могут быть ограничения по прочности материалов конструкции, габаритам, стоимости и так далее. Так как, в общем случае, состояния системы зависят от управляемых переменных, их называют функциональными. Эти ограничения обычно приводят к виду (х)< 0, г = 1, т. Здесь т - число функциональных ограничений. Завершающим этапом формализации математической модели является выбор метода нахождения оптимального варианта системы (метода оптимизации). Задача оптимизации ставится так: Найти максимум (минимум) значения целевой функции

Г (х) (1)

при условиях

/' (х)< о, г = 1т, (2)

хеХ. (3)

Ограничения (2), (3) определяют область допустимых значений варьируемых параметров или область решения Бх задачи оптимизации (1) - (3).

Пример. Определить реальные размеры (Я, г) кронштейна трубчатого сечения длиной 1, нагруженного на конце поперечной силой Р и крутящим моментом Мк (рис. 2) для следующих условий:

а) наибольшее напряжение в сечении кронштейна не должно превышать допустимого а <ой;

б) прогиб балки и угол ее закручивания ограничены заданными допустимыми значениями (8 <8й,ф<фй).

Известны выражения для текущих значений напряжения в сечении балки, ее прогиба

и угла закручивания:

Рис.2 Схема кронштейна

а =

мр_ 8 =

ж, ж

(р =

МА

Здесь: 3 = ж(я4 - г4 )/4, = ж(я4 - г4 )/2 - моменты инерции при изгибе и

кручении; Е, О - модули упругости материала при изгибе и кручении; Ж = ж(я3 - г3 )/4 -момент сопротивления; Мр - расчетный момент определим из условий прочности по теории наибольших нормальных напряжений: I д = (ми +-1М1 + М2 )/2; ми = Р1 -изгибающий момент.

Критерием эффективности здесь служит масса балки, которая пропорциональна площади ее поперечного сечения $ = ж(я2 - г2).. Параметрами оптимизации являются радиальные размеры Я и г. Приведем задачу к виду (1) - (3): минимизировать функцию

/° {х ) = $ (х) (4)

при условиях

/1 (х ) = 4Мр / /2 (х )= 4Ми12/

(я3 - г3 )]-а, < 0, Еж((4 - г 4 )] < 0,

/3 (х )= 2Мк1 4 - г 4 )] < 0,

х =

Ки х=!Я»-

Ят

тах

Я

(5)

(6)

Постановка задачи оптимизации выполнена. @

Перейдем ко второй части системного анализа, то есть к методам исследования разработанных математических моделей функционирования систем, причем нелинейных моделей. Анализ линейных моделей, как частный вид нелинейных опустим.

г

г

Методы нелинейного программирования

Стратегия численных методов нелинейного программирования заключается в том, чтобы из выбранного начального решения х0 е Бх, за некоторое количество шагов найти

оптимальное значение критерия 1^(х) с заданной точностью в>0. Характер стратегий поиска меняется по мере его развития. Вначале, когда о функции вообще нечего не известно, мы должны вести исследование в некоторой небольшой, случайным образом выбранной области с тем, чтобы расположить пробные воздействия там, где значения критерия ниже. В середине процесса поиска, когда накапливается информация о характере отклика, поиск ведется быстрее. В конце поиска (вблизи оптимума) необходимо интенсивно проводить исследования с целью достижения заданной точности решения задачи в.

Стратегия численных методов основывается на рекуррентной зависимости:

х"1 =^(х )[х' ]. (7)

Здесь: хв - приближения вектора варьируемых параметров после Б-й итерации; -величина шага в Б-й итерации (шаговый множитель); / - нормированный множитель; ^ -вектор направления. л:(х) - операция проектирования х на множество X, то есть учитывает ограничения (1.6). Если множество X есть п-мерный параллелепипед, то есть х{х = ((,..., хп): а} < х} < Ь], ] = 1, п}, то ^(х)={л"1 (х\...,яп (х)} , а

ж

(х ) =

а}. где х}. < а}.

Ь] где х}. > Ь] (8)

х,- где а, < х,- < Ь,

1

х . ____ .

1 1 ~ 1 ~ 1

Формула поиска (16) удовлетворяет существующему многообразию методов нелинейного программирования, которые можно разделить на два класса:

- детерминированные (на каждом шаге поиска происходит улучшение целевой функции);

- стохастические (случайный поиск).

По способу добывания информации о целевой функции и определения ^ методы поиска делятся на:

- методы нулевого порядка (используют информацию только о значении целевой функции);

- методы первого порядка (градиентные);

- методы второго порядка (используют информацию о значениях вторых частных производных по варьируемым параметрам).

Чем выше порядок метода поиска, тем ближе определяемое направление ^ к истинному оптимуму задачи, однако, при этом, значительно увеличиваются затраты на добывание необходимой информации в каждой итерации.

Детерминированные методы поиска

К ним относятся градиентный метод и его модификации. При чисто градиентном методе имеем следующее направление движения

е=±ч/° (х), (9)

где: V/" (х) - градиент функции ^(х) в точке х, то есть

( \Г

V/"(х) = [/,...,|Ч . (10)

дхп )

Знак в формуле (9) зависит от поиска максимума или минимума задачи. Данный метод есть результат аппроксимации нелинейной функции разложением ее в ряд по формуле Тейлора и удержанием только линейных членов. Если учесть квадратичные члены, то получим направление практически совпадающее с истинным направлением в точку оптимума, то ест

£ = -[у2/" (х)]-1 V/" (х). (11)

Здесь V2/" (х) - матрица пхп вторых производных функции ^(х) (матрица Гессе).

В реальных инженерных задачах формулы (10) и (11) могут быть решены только с помощью метода конечных разностей. При этом для определения направления (10) необходимо решить задачу в одной точке п+1 раз, а для реализации формулы (11) необходимо выполнить пхп+1 количество решений задачи в одной точке. Это существенно увеличивает ресурсные затраты.

Стохастические методы поиска

Под случайным поиском понимается намеренное введение элемента случайности в алгоритм поиска. Эта случайность служит целям сбора информации о поведении объекта исследования. В ряде случаев введение такого случайного поведения в поиск дает возможность построить весьма простые и эффективные алгоритмы случайного поиска, которые в определенных случаях превосходят регулярные (в частности градиентные) алгоритмы поиска.

Особенно эффективно применение случайного поиска при оптимизации объектов с большим числом параметров и ограничений, то есть в задачах оптимального проектирования.

Рассмотрим простейший метод случайного поиска, который носит название метода удачной выборки. Его идея заключается в том, что направление перехода от точки хв в новую хв+1 выбирается из условия

« =рш /" х)</" х) ( )

10 ш /"( +РГ)>/"() •

Здесь: ря = (р^,...,Рп) - случайный вектор, 1-ая компонента которого есть случайная величина с равномерным распределением на отрезке [-1,1], либо с

\ ---^

\ ---\

—1

1 1 Х1

нормальным распределением, параметры которого

м )=o, о{р1 )=1.

Метод удачной выборки можно представить как случайное обследование в окрестности последней

удачной точки и переход к последующей при первом удачном выборе шага. Геометрически (рис. 3) траектория поиска

представляет собой некоторую случайную траекторию.

Очевидно, что, если последняя удачная точка оказалась не дает положительного

Рис. 3

Траектория случайного поиска оптимальной, то никакое число случайных выборок Xх + результата.

Случайным образом можно находить направление поиска, которое всегда улучшает значение целевой функции. Этот способ носит название метода стохастических квазиградиентов. Рассмотрим формулу приближенного градиента, которую запишем в виде суммы составляющих

V/-(х- )=!/- Х +^)-^ Х)(13)

,=1 5

Как известно, при использовании (13) на каждой итерации требуется вычислить значения функции ^(х8) в (п+1)-й точках. Если время решения задачи велико, то при большом п процесс оптимизации довольно длителен. Антиградиент не является единственным подходящим направлением: любое направление, проекция которого на антиградиент положительная, ведет к убыванию функции цели. Поэтому, если в точке хБ взять произвольное направление, то либо это направление, либо противоположное ему обязательно будет подходящим (рис. 4).

Пусть имеем случайный вектор и положим: = £/° (х- + )-/°(х-) рЛ

к=1

5

(14)

независимых

Здесь: /3-к, к = 1, N - серия

наблюдений вектора в ¡-ой итерации, причем N¡¡>1, £¡¡>0. Если N§=1, то для вычислений ^ нужно решить ^(х) в двух точках.

Методы стохастического программирования

Теория нелинейного программирования строится в предположении, что функции / (х),, = 0,т однозначны, имеется возможность вычислить точные значения этих функций, а также установить принадлежность решения х множеству X.

Задачи стохастического программирования возникают в том случае, когда с каждым решением х связаны числовые параметры / (х,0),, = 0, т, зависящие от решения х и состояния природы 0 = (б^,...,0^) (случайных параметров). По аналогии с нелинейным программированием можно сформулировать следующую задачу: минимизировать

/° (х,0)

(15)

при условиях:

Г (х,в)< 0, i = 1т, (16)

x е X. (17)

В задаче (15) - (17) при фиксированном х для одних в соотношения (16) могут выполняться, для других могут не выполняться.

Поэтому такой задаче следует придать определенный вероятный смысл.

Непрямые методы стохастического программирования Часто вместо (15) - (17) минимизируют функцию

(х )=м [г (х,в)] (18)

при ограничениях:

Ог (х) = м[Г (х,в)]< 0, i = 1т, (19)

х е X., (20)

где М - символ математического ожидания.

Могут быть и другие постановки, например: минимизировать вероятность отклонения

0° (х) = р[г° (х,в)> а] (21)

при условиях:

0 (х) = Р[Г (х, в) < о]-рг > 0, i = 1^, (22)

х е X. (23)

Прямые методы стохастического программирования

Стохастическая аппроксимация - асимптотические процедуры поиска, позволяющие находить оптимум при наличии помех.

Стохастическая аппроксимация во многом подобна обычным процедурам последовательных приближений (конечных разностей), которые применяются при отсутствии помех. Проявление случайных помех, конечно, приводит к удалению от цели, но при правильном выборе длины шага это временное ухудшение не сказывается на окончательном результате.

4 £ [ (,в)- г° (,в). (24)

х'+1 = +

8'

Здесь в8>0 некоторая постоянная; - член последовательности чисел,

определяющих длину шага; е,, , = 1, п - ортонормированный базис. В (24) эксперименты в

каждой итерации благодаря их асимметричному расположению и с учетом помех группируются вокруг ложного значения, что замедляет скорость сходимости к истинному оптимуму. Поэтому чаще используют симметричную процедуру

х'+1 = х' + 4£( + 8е,,в)-Г°( -е'е,,в) . (25)

28 ,=1

В процедуре (25) на каждой итерации необходимо произвести 2п - наблюдений.

Стохастический квазиградиент В стохастических задачах случайный характер вектора направления ^ связан как с искусственными причинами, так и со случайной природой самой задачи. По аналогии

„, = х-+р.£Г°(*' У'в-Г°(*'.о)?. (26)

х = х

8'

к=1 ь

Условия сходимости метода аналогичны процедурам стохастической аппроксимации. Рассмотренные процедуры (25) - (26) разработаны для безусловных экстремальных задач. Учет ограничений осуществляется по аналогии с решением задач нелинейного программирования.

В заключении необходимо отметить, что прямые методы стохастического программирования предполагают очень большой объем вычислительной работы как на каждой итерации, так и в целом.

Выводы

В заключение всего изложенного выше приведем обобщенную схему методов исследования математических моделей изучаемых объектов(рис.5). Несмотря на ее скромное содержание, на схеме приведены в основном главные отличительные признаки методов программирования. Необходимо иметь в виду, что каждый из приведенных методов имеет массу разновидностей в исполнении, связанных с особенностями конкретных задач.

Рис.5 Обобщенная схема методов исследования математических моделей

Список литературы

1. Волгин Н.С. и др. Исследование операций. Л., ВМА, 1981.

2. Ермольев Ю.М. - Методы стохастического программирования М., «Наука», 1976.

3. Ермольев Ю.М. и др. Математические методы исследования операций. К., «Вища школа», 1979.

4. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М., «Наука», 1981.

5. Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М., «Наука», 1980.

6. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М., «Наука», 1967.

7. Чемодуров В.Т. Поиск оптимума в задачах с ограничениями по вероятности. Л., ВМА, 1981.

8. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М., «Мир», 1978.

9. Штофф В.А. - Современные проблемы методологии научного познания М., «Знание», 1975.