Моделирование и оптимизация процесса функционирования предприятий при неполной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Садовский, В.М. Задачи динамики сыпучих сред / В.М. Садовский // Мат. моделирование. - 2001. - Т. 13.

- № 5. - С. 62-74.

3. Бондаренко, Н.Ю. Параллельные алгоритмы решения задач динамики сыпучих сред / Н.Ю. Бондаренко, В.М. Садовский // Распределенные и кластерные вычисления: мат-лы II-й школы-семинара. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 166-176.

4. Инструментальные средства машинного анализа. Свидетельство официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610126 / Ю.В. Шорников [и др.]. - М.: Роспатент, 2005.

5. Бенькович, Е.А. Практическое моделирование динамических систем / Е.А. Бенькович, Ю.Б. Колесов, Ю.Б. Сениченков. - СПб.: БХВ, 2002. - 464 с.

6. http//www.eecs. Berkeley. edu/tah/HYTECH. - Henziger, T.A. A user Guide to HYTECH.

7. Elmgvist, H. Objеct-Oriented Modeling and Automatic Formula Manipulation in Dymola / Н. Elmgvist// SIMS'93.

- Scandinavian Simulation Society, 1993.

8. Шорников, Ю.В. Компьютерное моделирование билиарной системы специализированными средствами / Ю.В. Шорников // Науч. вестн. НГТУ. - 2004. - №3(18). - С. 31-42.

9. Новиков, Е.А. Явные методы для жестких систем / Е.А. Новиков. - Новосибирск: Наука, 1997.- 195 с.

10. Fhelberg, E. Klassische Runge-Kutta-Formeln funfter und siebenter Ordnung mit Schrittweitenkontrolle /

Е. Fhelberg // Computing. - 1969. - № 4. - P. 93-106.

11. Merson, R.H. An operational methods for integration processes / R.H. Merson // Proc. Symp. On Data Proc. Weapons Research Establishment. - Salisbury. - Australia. - 1957.

УДК 621.3: 519.876.5 (06) М.И. Соколов

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Предлагаются математические модели и методы оптимизации функционирования предприятий с позиции линейных динамических систем, включая условия неполной информации. Синтез моделей осуществляется последовательной конкретизацией за счет учета различных компонент и аспектов деятельности предприятия, что позволяет получить ее многопродуктовую модель, учитывающую длительность производственного цикла, временные запаздывания, взаимоотношения предприятия с финансовыми структурами, различные стратегии маркетинга. Решение задачи оптимизации процесса функционирования предприятия осуществляется с помощью модифицированного алгоритма стохастического квазиградиента.

Введение. Центральной проблемой современной теории моделирования и управления являются задачи исследования сложных систем в условиях различного уровня априорной информации о присущих им закономерностях. Подобная ситуация характерна также и для задач моделирования и оптимизации предприятий, что требует разработки адекватных математических и информационных средств.

Функционирование предприятия осуществляется в условиях неопределенности относительно внешних условий, что требует создания соответствующих математических моделей и алгоритмов управления. В подобных условиях применение традиционных аналитических и статистических методов приводит к упрощению закономерностей функционирования предприятия, а получаемые при этом результаты в основном имеют ограниченное практическое значение.

Перспективное направление выхода из создавшегося положения состоит в разработке математических средств исследования систем, сочетающих преимущества статистических и аналитических моделей, обеспечивающих наиболее полное использование априорной информации (экспериментальные данные и физические закономерности функционирования изучаемых объектов). В предлагаемой статье систематизи-

руются и развиваются методы моделирования и оптимизации функционирования предприятия при различных уровнях априорной информации.

Математическая модель предприятия. Математическая модель функционирования предприятия рассматривается с позиции линейных динамических систем, включая условия неполной информации. Синтез модели осуществляется ее последовательной конкретизацией за счет учета различных компонент и аспектов деятельности предприятия, что позволяет получить модель многопродуктового предприятия, учитывающую длительность производственного цикла, временные запаздывания, взаимоотношения предприятия с финансовыми структурами, различные стратегии маркетинга.

Рассмотрим описание простейшего однопродуктового элемента с учетом запаздываний и процедуры их объединения. Синтез модели осуществляется путем последовательного добавления в рассматриваемую модель различных компонент и аспектов деятельности предприятия и построения оператора планирования, который после каждой модификации остается линейным. К полученному в результате объединения однопродуктовых элементов многопродуктовому элементу добавляется описание складов входных продуктов. Под входными продуктами понимаются выпускаемые изделия. Описываются капитальные вложения с учетом различных временных запаздываний и процессы сбыта готовой продукции и закупки сырьевых продуктов. В описании учитывается, что предприятие может производить закупки и реализовывать продукцию различными способами. Каждый /-й способ реализации продукции так же, как и каждый /-й способ закупки продукции отличается от других временным интервалом между моментом оплаты и моментом поступления продукции и ценой за единицу продукции. Трудовые ресурсы Ь+ (,) рассматриваются на множестве профессий. При формализации процесса начисления заработной платы и отчислений на социальные нужды на предприятии предполагается, что выплата заработной платы за каждый период Ть происходит не моментально, а в течение некоторого интервала времени АТЬ. Моделирование процесса взаимодействия предприятия, считается, что банк начисляет проценты на средний остаток на текущем счете с некоторой периодичностью ,

Т по формуле [й"(г) • S(,)й,, где 5(0 - остаток на счету предприятия в момент I. Вторым рассматри-

,-т-

ваемым финансовым институтом является кредитное учреждение, которое начисляет с некоторой перио-

,

дичностью Тс проценты за пользование кредитом по формуле [йс (г) • С(г)й,, где С(1) - задолженность

предприятия перед кредитным учреждением в момент I. При этом ограничивается максимальная сумма кредита Сmax. Вводится дополнительное условие полной оплаты всей суммы кредита и процентов по нему к моменту окончания планирования. Введены следующие обозначения: [,0, ^ ] - интервал планирования; у (г)

- вектор производимых энергопредприятием продуктов; V (,) - вектор мощностей; х+ (,) и х ~ (,) - векторы продуктов на складе входной и выходной продукции; С" (,) - сумма, поступающая по кредитной линии энергопредприятию в момент I; Р*’+ (,) - вектор цен при закупке входных продуктов /-м способом в момент I; Р*~ (,) - вектор цен при реализации входных продуктов /-м способом в момент I; Р1 (г) - вектор удельной стоимости трудовых затрат; (г) - количество выходных продуктов, реализуемых /-м способом в момент I; (г) - соответствующее запаздывание; (,) - количество входных продуктов, закупаемых /-м

способом в момент I, т™,+ (г) - соответствующее запаздывание; /3(г,Ть, АТЬ) = 1, если

г е (,0 + к • Ть, ,0 + к • Ть + АТЬ), к - целое и к > 0, Д,, Ть, АТЬ) = 0, иначе г

Т _

ность, персонал, обслуживание входного и выходного складов; РУ, р,+, р,- - матрицы удельных трудовых затрат на мощность, на персонал, на обслуживание входного и выходного складов; V0(,) и Ь0(,) -вектор постоянных затрат;

Ж Т) =

• Т([х]- оаёау ^апои х); Ау, А1, А\ Ах~ - матрицы удельных сырьевых затрат на мощ-

П . П

(А^(<)), = £< (0• V,(г + С''(г)), (ВЙ(<)),. =£Ь,(>)їО + г'л'(г)),

,=1 г=1

П . П

()), =2С(')•{о + Т(г)), (т'(<)), = £С('Й(г + ^‘(')); (*{(')), = {(' + <),

і=1 і=1

їТ^ - т'

і і

аТ(г) и /т(г) - удельные прямые сырьевые затраты продукта /" трудовые затраты г-й специальности на выпуск продукта /; Ь . (г)Ь и 1%(г) - удельные фондообразующие затраты продукта Ї и трудовые затраты г-

й специальности на единичный пророст /-й мощности.

В качестве критерия качества выбрано максимальное увеличение денежных средств на счету энергопредприятия к концу периода планирования.

При этом можно показать, что задача планирования на предприятии сводится к задаче оптимизации линейной динамической системы [1,2]

с • х ^ min,

А • х = Ь, А • х = Ь, О • х > , х є X,

где х(г) = {{(гX рГ (гX ...,Рт(гXР 1(гX ...,Р^ (гX у(гX (гX х- (гX х + (гXс(гX 5(г)}

г = г0 +1,г0 + 2,..., ^; А - матрица, соответствующая строкам оператора планирования, описывающим баланс материальных и трудовых ресурсов в каждый момент времени г є [г0 +1, г1]; А - матрица ограничений-равенств рассматриваемой задачи, соответствующая строкам, описывающим баланс материальных и трудовых ресурсов в каждый момент времени г £ [г0 +1, гх ] и денежных ресурсов во все рассматриваемые моменты времени; й - матрица ограничений-неравенств, соответствующая строкам, описываемым соотношения между мощностью и выпуском при г Є [г0 + 1, ?!].

Матрицы А и й имеют специальную структуру, вследствие чего полученную задачу линейного программирования можно свести к виду

с • х ^ тіп,

А • х = Ь, х є X, *2 є X, х2 є Х2, х3 є Хъ, х4 є Х4, где х = {{(г ),Г(г)} х = {р- (г )Т, р (г), (г )Т, С (г), 5 (г)} х = {хГ (г)} х4 = {х+ (г )Т },

і = 1,т,і = 1,р,г = го +1,го + 2,...,^ .

Для произвольного А введены функция Лагранжа Ь(х,Л): Ь(х,Л) = с • х-А (А • х гь) и дуальная функция:

ю(А) = шт_|L(х,Х)}=А-Ь + ш1п_|(с -X- Л)• Ь + ш1п (<5, -X- А.)• ^.

х,^Х,,г=1,4 1 ; ; х,ЕХ,,г=1,4 1 ; ; ^^ J

Из последнего выражения следует, что вычисление дуальной функции разлагается в решение четырех независимых вспомогательных задач (^, £2, £3, £4) вида

• хк ^ ш1п. е Хк,

где ~к = 4 - Х - Ак.

Теоремы лагранжевой двойственности позволяют установить, что значение дуальной функции о(Х) не превосходит оптимума основной задачи, а ее максимум совпадает со значением оптимума основной задачи. Задача поиска максимума дуальной функции (дуальная задача) решается с помощью алгоритма суб-

градиента. Субградиент дуальной функции равен у = Ь -Е Лкхк (например, М. Мину). На каждой итера-

к=1

ции этого алгоритма полученное значение дуальной функции является нижней оценкой оптимума с • х0 исходной задачи. Для получения верхней оценки (с • х(к}) предложена следующая процедура: проверить условие Л • ~(к} = Ь , если оно выполнено, то процедура преобразования не требуется; иначе, найти индекс такой, что для любого / выполняется соотношение - ~ (Х(к))|<~.(Х(к)) .

Далее находим множество индексов /', такое, что V/еГ,Ге I = {1,...,N} и V/е{1,...,ЫЛ}, (ЫЛ - количество столбцов матрицы А) выполняется условие ~ , (1(к))/а^ „= с,(1к))/а„ = г (/). Тогда получим вектор х(к) = ж(х(к)) следующим образом: компоненты вектора х(к), для которых / е I', принять равными соответствующим компонентам вектора ~(к), а в качестве остальных компонент берем любые компоненты х , удовлетворяющие условиям Е Л • х = Ь - ЕЛ ' X . Доказывается, что

/е/' / е/ /1'

Выбор шага в методе субгадиента осуществляется с помощью комбинации метода релаксации и метода расходящегося ряда [2].

Оптимизация деятельности предприятия. Рассматривается задача оптимизации статистических линейных динамических систем с дискретным контролем. Для получения статистических оценок оптимума целевой функции и решения использован метод имитационного моделирования. Решение задачи оптимизации статистических линейных динамических систем с дискретным контролем большой размерности, возникающих в задачах двухэтапного планирования деятельности энергопредприятия, осуществлено с помощью модифицированного алгоритма стохастического квазиградиента.

Предполагается, что планирование работы предприятия в рамках предложенной модели происходит при полной информации, в то время, как задача прогнозирования оценок статистических характеристик оптимума функции цели решается в условиях, когда известен только вид распределения параметров системы. Предложенная методика также применима, если имеется конечная выборка из параметров задачи. Для решения использован метод имитационного моделирования. На основе анализа полученной в результате вычислительного эксперимента выборки решений оцениваются математическое ожидание, дисперсия оптимума функции цели, определяется ее доверительный интервал. Далее, с позиций метода стохастического квазиградиента, решается задача двухэтапного стохастического программирования для рассматриваемой системы.

Для данной задачи вектор стохастического квазиградиента представляется в виде [2,3]

I = с (в2т)-1 • Л(г 2ут +1, г1 ,в2ут)- д; - д* • ор (г 2*т +1, г1 ,в2ут) -- и;*• ор (<, ) - //о- ор (ггут+1, гх ,вг>т) - р;*• ор (г, ,вг-т)+& р0 +

+ й0 + Е [“Р (' )0 - йр «)0 + К (г )0 - Й (г )0],

Ш+1

где г1ут - момент, когда определяется коррекция X1ут плана х1ут и далее производство функционирует в соответствии с исправленным планом (х1ут + х2ут); 01ут’* - недостающая информация о параметрах задачи, поступающая в конце первого этапа и генерируемая на 5-м шаге алгоритма стохастического квазиградиента; Л(г2ут +1, ^ ,#2ут) - матрица, составленная из строк матрицы Л(в2ут) основной задачи, описывающих баланс материальных и трудовых ресурсов в моменты г е[г2ут +1, гх];

ор (г2ут +1, ^ ,^2ут,х) - матрица, составленная из строк матрицы Л'(в2ут) основной задачи, описывающих соотношения между мощностью и выпуском в моменты г е[г2ут +1,гх]; Охр(гх,в2ут,:!) - матрица, составленная из строк матрицы Л (02угп) основной задачи, описывающих баланс материальных ресурсов

в моменты t > ^ ; Dp (t2ym +1, tx,02ym’s) - составленная из строк матрицы A (в2ут) основной задачи, описывающих баланс денежных средств в моменты t e[t2ym +1, tlJ; Dp(tx,#2ym,s) - матрица, составленная из строк матрицы A (в2ут) основной задачи, описывающих баланс материальных ресурсов в моменты

/Л ^

. » . И * Ж ► Ж * Ж ► Ж _ v

t > ^ ; Я , д , д , д2, д2 - соответствующие строкам этих матриц оптимальные двойственные переменные; ДЖ, ДРЖ, ДрЖ, др (t )Ж, Др2 (t)*, дрх (t)*, ДР2 (t)* - оптимальные двойственные переменные, соответствующие другим ограничениям исходной задачи.

На каждом шаге алгоритма стохастического квазиградиента для имеющегося значения Xlym,s решается задача второго этапа с помощью метода субградиента. В процессе решения одновременно определяется вектор Я. Остальные оптимальные двойственные переменные находят из условий Куна-Такера и решения двойственной задачи второго этапа.

Предложена процедура проектирования полученного на каждом шаге вектора Xlym,s на множество допустимых решений. В качестве теста на остановку используется предложенная Ю.М. Ермольевым проце-

1 s

дура: вычисления прекращаются, после того как значение — V f (Xlym,k,#2ym-k) - оценка функции цели

s k=0

рассматриваемой задачи, станет меньше заранее заданной величины.

Оптимизация распределения нагрузки в энергосистеме. Результаты теоретических исследований реализованы программно и используются при оптимизации распределения нагрузки в энергосистеме.

Программное обеспечение предназначено для оценки статистических характеристик целевой функции и решения задачи оптимизации статистических линейных динамических систем при неполной информации о параметрах задачи. Считается, что известен вид распределения параметров задачи и параметры этого распределения.

Пользователь в диалоговом режиме определяет переменные и функции: точность вычисления; количество имитаций; длительность интервала планирования; вид функции распределения; математическое ожидание и дисперсию параметров задачи; параметры событий, вероятность которых надо оценить; параметры вывода результатов расчета.

Программное обеспечение разработано в среде визуального программирования Visual Basic для операционной системы Windows.

Предлагается математическая модель функционирования энергосистемы при заданном графике потребления электроэнергии. Электроэнергия производится тремя типами предприятий: гидроэлектростанцией (ГЭС), теплоэлектростанциями (ТЭС) и блокстанциями (БС). Производимая каждым типом этих предприятий электроэнергия имеет двухсторонние ограничения. Кроме этого, электроэнергия может закупаться у внешних поставщиков. Помимо указанных ограничений, введено ограничение на среднюю на всем интервале планирования мощность ГЭС, а также условие баланса между производимой, покупаемой, потребляемой и теряемой электроэнергией на всем интервале планирования:

(1 - щ (/)) • РД (t) + (1 - щ (/)) • Рд (t) + (1 - щ (/)) • РА (t)+Рт (t) = N(0+q(t)),

где р (t), р (t), р (t), P.... (t) - средние мощности ГЭС, ТЭС, БС и покупаемой электроэнергии соответственно с момента t -1 до момента t; щ (t), щ (t), щ (t) - средние доли электроэнергии, производимые ГЭС, ТЭС и БС соответственно, и расходуемые на собственные нужды с момента t -1 до момента t ; N (t) и q(t) - средняя мощность потребляемой электроэнергии и ее расход на транспорт по сетям соответственно. Целью задачи является минимизация стоимости электроэнергии, производимой энергосистемой и закупаемой у внешних поставщиков, определяемая выражением на всем интервале планирования:

t1

V \Са (t) • Ра (t) + cd (t) • Рд (t) + cA (t) • РА (t) + cm (t) • Рт (t)J ^ min ,

t=tfy+1

где cj(t), (t), cA (t), cm (t) - стоимости единицы электроэнергии, произведенной ГЭС, ТЭС, БС и

закупаемой у внешних поставщиков с момента t -1 до момента t. Так же, как и для предложенной в ранее модели предприятия, для решения данной задачи при полной информации используется метод поиска оп-

тимума дуальной функции с помощью алгоритма субградиента и декомпозиции. Для вычисления оптимума целевой функции с точностью 0,01% необходимо в среднем 272 итерации [2].

Заключение. Предложена методика решения задач моделирования и оптимизации статистических линейных динамических систем с дискретным контролем. Для получения статистических оценок оптимума целевой функции и решения используется метод имитационного моделирования. Решение задачи оптимизации статистических линейных динамических систем с дискретным контролем большой размерности, возникающих в задачах двухэтапного планирования деятельности энергопредприятия, осуществляется с помощью модифицированного алгоритма стохастического квазиградиента.

На этой основе предложена методика планирования распределения нагрузки в энергосистеме. Рассматривается модель функционирования энергосистемы и приводятся алгоритм решения детерминированной задач и при помощи декомпозиции и детальное описание алгоритма стохастического квазиградиента для решения задачи двухэтапного планирования при неполной информации о параметрах планирования.

Литература

1. Соколов, М.И. Математические модели оценивания и оптимизации состояния электротехнических изделий и систем / М.И. Соколов. - Красноярск: Изд-во ИПЦ КГТУ, 2002. - 200 с.

2. Баскаков, Р.В. Статистические модели линейных динамических систем с дискретным контролем: авто-реф. дис. ... канд. техн. наук / Р.В. Баскаков; КГТУ. - Красноярск, 2000. - 20 с.

3. Соколов, М.И. Оптимизация в электроэнергетических системах / М.И. Соколов. - Красноярск: Изд-во ИПЦ КГТУ, 2003. - 128 с.