CC BY
56
коэффициента 1 + 2Г увеличения дисперсии оценки. Для вычисления этого коэффициента достаточно вычислить коэффициент корреляции г( 1) между двумя соседними элементами W, и wl+, выборки.
3. В системе М/М/1 при коэффициенте загрузки
0,9 имеем г(1)« 0,991, что приводит к увеличению дисперсии оценки w приблизительно в 150+200 раз и, соответственно, к такому же замедлению сходимости оценки.
4. Применение найденного коэффициента увеличения дисперсии подтвердило его адекватность как первого приближения, полезного для контроля точности зависимых испытаний и для анализа результатов проверки генераторов. Его применение позволило косвенным образом провести диагностику корректности программной реализации системы моделирования GPSS World версии 4.3.2 и обнаружить проблемы, связанные с использованием машинной арифметики.
Библиографический список
1. Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике : для мат. спец. ун-тов. — Минск, 1987. — 304 с.
2. Nance R.E. and Overstreet С. (1972). A bibliography on random number generation : Computing Rev., 13, P. 495-508.
3. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании : пер с англ. / под ред. Ю.П.Адле-
ра и В.Н. Варыгина. — М. : Статистика, 1978. — Вып.1 — 221 с.; вып. 2 — 335 с.
4. Lewis P.A.W. Large-Scale Computer-Aided Statistical Mathematics. Naval Postgraduate Shool, Monterey, Calif. / / Proc. Computer Science and Statistics: 6th Annual Symp. Interface, Western Periodical Co., Hollywood, Calif. 1972.
5. Marsaglia G. The structure of linear congruental sequences. — In: Applications of Number Theory to Numerical Analysis, S.K.Zaremba (ed), Academic, New York, 1972.
6. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. — М., 1978. - 64 с.
7. Оценка системы моделирования GPSS World. Режим доступа: http://gpss.ru/paper/ryzhikov/index_w.html.
8. Рыжиков Ю.И., Соколов Б.В., Юсупов P.M. Проблемы теории и практики имитационного моделирования // Имитационное моделирование. Теория и практика : материалы 3-й Всероссийской конференции.— СПб: ФГУП ЦНИИТС, 2007. - Том 1, Том 2. Режим доступа: http://gpss.rU/immod07/doklad/6.html.
9. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. — 2-е изд., доп. — М. : Наука, 1982. — 296 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент, кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
644050, г. Омск, пр. Мира, 11
Дата поступления статьи в редакцию: 26.05.2009 г.
© Задорожный В.Н.
yw681 3 06 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Е. С. ЕРШОВ
Омский государственный технический университет
ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД И ПРОГРАММА ОПТИМИЗАЦИИ СЕТЕЙ С ОЧЕРЕДЯМИ
Предлагается новый эффективный аналитико-имитационный метод оптимизации немарковских сетей массового обслуживания. Осуществляется программная реализация метода в среде АпуЦодх-б. Экспериментально оцениваются скорость сходимости и точность метода. Даются практические рекомендации по его применению.
Ключевые слова: сеть массового обслуживания, аналитико-имитационное моделирование.
1. Введение
Сеть массового обслуживания (СеМО) или, иначе, сеть с очередями (queueingNetwork), в которой циркулируют статистически однородные заявки, называется однородной сетью (1 ]. Узлами сети являются системы массового обслуживания (СМО) [2]. Заявки поступают в СМО, обслуживаются и передаются в соответствии с переходными вероятностями на входы других СМО или на выход сети (рис. 1—3). В терминах СеМО решаются многие задачи проектирования информационно-вычислительных систем (ИВС) [1-4]. При этом заявки интерпретируются как передаваемые
сообщения или как пользовательские запросы, обрабатываемые ресурсами ИВС. Теоретические методы анализа марковских сетей разработаны достаточно полно [ 1 — 3]. Успешно развиваются и методы синтезамар-ковских сетей, необходимые для оптимизации ИВС. Так, в [ 1) задача оптимизации производительности однородной замкнутой марковской сети сводится к системе л нелинейных алгебраических уравнений, эффективно решаемых численными методами.
В то же время для адекватной постановки задач оптимизации ряда ИВС и других систем приходится учитывать, что распределения интервалов поступле-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N*2 (SO). 2009 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
шп
ш
ния своего маршрута или, с вероятностью р(0, выходит из сети. Вероятности р1( (/,;' = 0, л) задаются неразложимой стохастической матрицей Р = ||р()||.
Стационарное среднее время Е прохождения заявки через сеть (время ответа) можно представить в виде:
(1)
Л = 1,
Ро..=0-2' Ро.2 = 0'3' Ро.З=0'5' Р2.4 = 0-7' Р2.5 = 0'3-р46 — 0.3, р47 — 0.4, р4 9 — 0.3, р58 — 0.9, р5<) '0.1
Рис. 1. Первый тестовый пример (СеМО 1).
Штриховая линия соответствует замкнутой сети
ния и обслуживания заявок могут существенно отличаться от экспоненциальных [1, 3], и, следовательно, иметь дело с немарковскими СеМО, методы оптимизации которых развиты недостаточно [1-5]. В общем случае для расчета и оптимизации немарковских сетей приходится использовать имитационное моделирование (ИМ), требующее больших затрат компьютерного времени на прогон модели в каждой отдельно исследуемой точке факторного пространства. Большие затраты компьютерного времени на ИМ обусловливают необходимость применения градиентных методов для оптимизации немарковских СеМО. Но расчет градиентов в ИМ существенно затрудняется стохастической погрешностью вычисляемых оценок отклика [5]. В [6] дается анализ проблемы вычисления градиентов в ИМ и разрабатывается метод позволяющий эффективно вычислять градиенты при оптимизации СеМО. Решаемая в [6] задача ставится как задача оптимального распределения ресурса по узлам открытой СеМО. Целевая функция (время ответа) определяется как среднее время прохождения заявки через сеть. Ограничение на ресурс является линейным.
В настоящей статье развиваются идеи работы [6] и разрабатывается новый аналитико-имитационный градиентный метод, позволяющий эффективно оптимизировать однородные немарковские сети (не только открытые, но и замкнутые), используя при этом нелинейное ограничение на распределяемый ресурс. Выполненная авторами программная реализация метода позволила экспериментально исследовать точность метода и скорость его сходимости на большом числе сложных тестовых задач, определить факторы, влияющие на точность, и сформулировать практические рекомендации по применению разработанного метода и его программной реализации.
2. Постановка задачи оптимизации
однородной немарковской сети
Рассмотрим сначала открытую сеть, в которую поступает рекуррентный поток заявок с интенсивностью Л.
Интервалы поступления заявок — независимые случайные величины (сл.в.) с функцией распределения вероятностей (ф.р.в.) А(1). Заявка из входного потока сети с вероятностью р0, попадает в 1-й узел,; = 1, л.
В любом из К, каналов /-го узла время обслуживания заявки (независимая сл.в.) имеет ф.р.в. В,(1). После обслуживания в /-м узле заявка случайно и независи-
мо, в соответствии с заданными переходными вероятностями р(], выбирает один из узлов у для продолже-
где а, — среднее число (частота) посещений 1-го узла одной заявкой, и, — среднее время пребывания заявки в 1-м узле, ил — среднее время ожидания заявки в очереди /-го узла, Ь, — среднее время обслуживания заявок в 1-м узле, ц, = Ь~' — интенсивность обслуживания заявки каналом /-го узла.
Частоты а,однозначно определяются из системы уравнений баланса:
п __
/ = 0,л, а0= 1.
/■<>
Через а( последовательно определяются интенсивности X, = Л • а, входных потоков узлов, их коэффициенты загрузки р, = X,/(|д,К(), и проверяются условия существования стационарного режима сети: р,£ 1 (или ц(£ (Х/К,), / = 1,л . Значения для (1) определяются посредством ИМ.
Если сеть замкнута, то входной поток заявок отсутствует (параметр А не задается) и в сети циркулирует постоянное число заявок Я. Завершением цикла обслуживания заявки сетью считается ее переход по некоторой «терминальной» дуге (рис. 1, штриховая линия). В тот же момент заявка поступает на «вход» сети. Время ответа Е замкнутой сети (среднее время цикла обслуживания) также определяется формулой (1) и может вычисляться посредством ИМ.
Теперь рассмотрим следующую обобщенную версию поставленной в [ 1 ] задачи оптимизации однородной замкнутой экспоненциальной (марковской) сети.
Стоимость (ресурс) М однородной сети как функция вектора /} = (/7,,...,//„) интенсивностей обслуживания в узлах / = 1, л задается в виде М(/}) = ,
где С, — стоимостные коэффициенты, р, > 0 - коэффициенты нелинейности. Требуется найти вектор Р = А>,,| I доставляющий минимум функции Е = Е(р):
£(£) = Ха'| п,(£) + —
А*/ /
>тт,
Й
(2)
и принадлежащий следующей области допустимых решений (ОДР):
М(р) = £с,//,д = М', ц, * ц,(/ = 1,л),
(3)
где для открытой сети ц, ПШ1 = Х/К, (условие стационарности), а для замкнутой все ц1т|п = 0. Следовательно, для ресурса М* в (3) должно выполняться условие М* £ Мт|п, где для открытой сети М11]1п =
= Х,".адт1п = ЕмСМ/К/1 ■ для замкнутой Мт1п = 0. В задаче (2, 3) имеется в виду, что изменение любой интенсивности ц, приводит к изменению среднего Ь, = ц,"‘ и к соответствующему масштабному изменению ф.р.в. В,(1). Вид ф.р.в. В,(1) не изменяется, поскольку ассоциируется со случайной трудоемкостью заявок, тогда как параметр ц, есть переменная, определяемая производительностью каналов /-го узла.
Задача (2), (3) охватывает замкнутые и открытые сети. В случае замкнутых сетей она эквивалентна задаче, поставленной в [1]. Предлагаемый ниже ме-
тод ее решения, в отличие от методов, рассмотренных в [ 1 ], позволяет оптимизировать немарковские и не замкнутые сети, и является приближенным.
3. Опорные элементы метода оптимизации
однородной немарковской сети
Предлагаемый в настоящей статье метод решения задачи (2), (3) использует уточненную версию предложенной в [6] аппроксимации времени ответа. Аппроксимация Ещ’(р) времени ответа Е(р) на каждой итерации к £ 2 поиска оптимального решения р = Д , формируется по результатам ИМ сети в точках р = рк~' и р = рк, и применяется для определения следующей точки р = рк*'. Определим опорные элементы метода решения задачи (2), (3).
3.1. Центр рс ОДР (3) при ресурсе М‘ > Мт1|) определим условием равной загрузки узлов: р, = Х/^К,) = аД/^К,) = рс,(/ = 1,л), гдеинтенсивность на терминальной дуге (для открытой сети Х0 = Л). Отсюда р, = (а|Х0)/(К|рс), р/р, = (а,/К,)(К/а,) и р, = (а,/ К,)(К/а,)р,. Подставляя последнее выражение р, в (3), имеем:
\Р1
£l *l К, а,
‘At
= М
р, = (а/К,)(К/а,)р,, 1=2, л.
(4)
Отсюда численными методами легко находится единственный положительный корень р,, определяющий все остальные координаты р| центра рс ОДР. Если сеть открытая, то в центре Д сразу определяются р( = рс< 1, і = 1,л.
Если все Р,= ір, то, решая (4), координаты центра ОДР можно выразить явно:
Н=М'•[а,/К1П'Ёсга1/К1) h і
1 = 1,Л.
Открытая сеть имеет в центре рс максимум пропускной способности V(р), определяемой для нее как У(р) = шах {Л : р(= а,Л/(р(К,) <. 1, / = 1, л}.
3.2. Диаметр О ОДР определим как длину максимального из диапазонов варьирования переменных Рг О = шах{ 1,}, где 1, = р|пих - р,ш,„и, согласно (3),
= № ~ЦНСА „)/с,ГА./ = й; •
3.3. Малый шаг размером, например, О-Ю"4, будем применять при построении и сканировании траекторий на поверхности ограничений, определяемой уравнением (3). Шаг выбирается с учетом требований к точности оптимизации.
3.4. Аппроксимация Еар(р) целевой функции Е(р), используемая для приближенного вычисления градиента, представляет собой сепарабельную функцию варьируемых переменных р,:
£°р(/і) = ї>,
ЩМ + — Н)
где W, (//,) =
Rj * it #
— , если WI * w‘ ,
h-s,
(5)
wk, если wk=wk'\
и на каждом шаге к оптимизации заново настраивается (посредством коэффициентов и Б,) по найденным с помощью ИМ сети (в точках р = рк~' и р = рк) оценкам^*"1 и йгк среднего времени ожидания в узлах / = 1,л. При й,к * IV*'1 выражение Я/(ц,—Б,) в (5) аппроксимирует соответствующую функцию И',(//) в (2) так, что его значение в точках р = рк~' и р = рк совпа-даетсоценками и'*'1» у/\рк^) и у/\ » и^*). Таким образом, имеем Я,/(//*■'-Б,) = %*■’ и /?, /(//* — 5,) = ,
откуда
І ішіпшіїтн OMLY1 —-------------- ■гага
► МИ* © I Х1 j Qf ей (fd[ 50% : Qt JS Of C& rootRandlOO * I t>_
Run: 0 © Paused | Time: 0.00 Simulation: Stop time not set j t>
Memory:
Рис. 2. Представление тестовой CeMO 5 для оптимизации программой RedOpt
207
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК Ш 2 <80). 200» ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК М>2 (ВО). 2009
1 И 11 ^ ^ 91
и и И
2 и 17 ^ 92
и
20
О Т)
Рис. 3. Структура связей в СеМО 5
к-\ к-\ Л___________
Я, = «V*'1 •(//,*-' -5,), (/ = 1,л, IV* * и'*'1).
(6)
При и'* = нг*"1 расчет Я, и Б, в (5) не нужен, но для определения [/.] полагаем 5,= ос (см. п. 3.6). Такая настройка функции Еар(р) обеспечивает ее совпадение с Е(р) в точках рк~' и /}* с точностью, с которой значения уу,(/у*'1) и м^р11) представлены оценками (V*4 и й'* (1 = 1, л) соответственно. В других точках /} точность аппроксимации Я‘Ф(Д) тем хуже, чем они дальше от /}*"' и /}*, и чем «менее сепарабельна» Е(р) ,т.е. чем сильнее изменение интенсивностей р, в одних узлах влияет на среднее время в других узлах (1 * Л.
3.5. Градиент У£“''(й) в точке р = рк — аппроксимация градиента УЯ(//)1 , — вычисляется с помощью выражения, полученного дифференцированием (5):
у7роР(г.к\_ I аУУ„
1 с«,)2 *' >„ (нп)
д\У,
др,
-<*А
(А*-5,):
О,
г, V* 96 НГ**1,
(7)
ил,
в точках Д, р2 оценки среднего времени ответа сети Я1, Я2 и, соответственно, оценки среднего времени ожидания (й'[...й^), (й',2,...,й'2) вузлах 1,...,п. Полага-
ем к = 2.
Основной цикл. Известны точки рк~' и рк с оцен-
ками
(и',*'1
К'
„И'*"'), Я*
.,и,*~1), Я*"' и (»/* IV*), Я* откликов
и (IV*.......^*), Я*
3.6. Валидная часть (/.] исходящей из /2* траектории!, поиска точки рк*' лежит между //* ипервойна I точкой /}, у которой какая-либо координата р, достигает границы ОДР р( = р1т|пили полюса ц, = Б, аппроксимации (5).
4. Общая структура метода
Поиск решения задачи (2), (3) включает следующие этапы.
Этап 1: ускоренный градиентный поиск точки Д(„ методом направляющих гипербол (НГ), использующим ИМ сети и аппроксимацию (5) целевой функции (название метода отражает роль и форму компонент этой аппроксимации);
Этап 2 (не Обязательный): уточнение найденного решения методом покоординатного спуска [7], не использующим градиентов и аппроксимаций.
Скорость и точность решения задачи (2), (3) определяются эффективностью метода, используемого на первом этапе. Приведем его пошаговое описание.
5. Этап 1 - метод направляющих гипербол
Начальная фаза оптимизации. Задаем число итераций N > 2 (выбирается с учетом допустимых затрат машинного времени) и две точки Д = Д, р2 * р', принадлежащие ОДР (3). С помощью ИМ вычисляем
1. Используя оценки (й',*'1.й'*'1) и (Ж*.уу-*), на-
ходим по формулам (6) коэффициенты Я, и Б, (/= 1, л) аппроксимации Еар(р).
Вычисляем градиент УЕар(рк) (7) функции Я01’. Направление -УЕар(рк) наискорейшего убывания функции Еа1'(р) проецируем на поверхность ограничений (3). Если все коэффициенты нелинейности Р(= 1, то поверхность (3) является гиперплоскостью, и проекция I направления -'ФЕар(рк) есть направление вектора -УЯ“;’(Д*) = -УЯ‘"'(/}*) + п ■ (л • ЧЕщ‘(рк |) = ё, где л = с/|с| — нормаль к гиперплоскости,
с = (с.с„) - вектор стоимостных коэффициентов,
| х| — длина вектора х. Валидная часть [/.] траектории I ограничена точками рк и р = рк + Л ё, где па-раметр /1 = шш{Д,/1?}, Л, =тт{Л,( :Л,( > 0;г = 1,л }, к, = тт{V Лг/ > 0; / = 1,л >, \ = -(//,*,
К =-(^*-5()/е(. 1 = 1, л.
Если не все Р( = 1, то проекцию I направления ан-тиградиента строим пошагово как исходящую из точки рк ломанную, узлы р которой суть проекции на поверхность (3) равноотстоящих с малым шагом точек направления -УЯ"Р (рк). Для каждого очередного узла р проверяются условия его валидности и (//,-$,)•(//* -5,) > 0,1=1, л. Равенство знаков разностей (/^-5,) и (//* -5,) означает, что координата р, узла р и координата цк начальной точки рк траектории Ь находятся по одну сторону от полюса Б, аппроксимации. Построение [Л] завершается получением и отбрасыванием первого невалидного узла, либо выяснением, что очередная точка в направлении антиградиента УЯ°Р (рк) уже не имеет проекции на поверхность ограничений.
2. В качестве следующей точки рк*' выбираем решение (получаемое методом сканирования) задачи одномерной оптимизации Еар(р) -* пип, ре[Ц.
3. Полагаем к - к + 1. С помощью ИМ вычисляем оценки (й'|\...,й'*) и Я*. Если к < N. то переходим к шагу 1, иначе — к шагу 4.
4. Точку Д е{Д......ры) с оценкой Я(Д) =
= тт {Я1 Я*} принимаем в качестве приближенного решения задачи. Конец алгоритма.
6. Этап 2 (заключительный) -
ускоренный метод покоординатного спуска
Погрешность первого этапа (метода НГ) включает две составляющие: стохастическую и детерминированную. Стохастическая составляющая контролируется расчетом доверительных интервалов оценок (йг,\...,й'*) и Я*, и ее можно снижать за счетудлине-ния прогонов модели. Детерминированная составляющая обусловлена применением сепарабельной аппроксимации Еар(р) для не сепарабельной в общем случае функции Е(р), влекущим расхождение векторов '7Е'“1’(рк) и УЕ(рк), неустранимое путем увеличения длины прогонов.
Поэтому решение Д, найденное методом НГ, в общем случае целесообразно уточнять (или проверять) методом покоординатного спуска. Для этого в ОДР определим в окрестности точки Д решетку с узлами, отстоящими от р в направлениях осей Д.....Д, на целое число интервалов Др,,..., Др„. Поскольку в узлах р решетки должно выполняться равенство (3), то интервалы Др,..Дрп могут быть по-
стоянными (а решетка — регулярной) лишь при всех Р, = 1. Если это не так, определим сначала регулярную решетку в (n— 1 (-мерном подпространстве, задающую все, кроме одной произвольно выбранной координаты узлов, которую затем для каждого узла доопределим так, чтобы выполнялось (3).
Решение /}' уточняется путем ИМ сети в узлах /3 решетки, смежных /} , и его заменой на то решение /5, где E(jj) < E(fi'). Если такого fi не обнаруживается, процесс завершается. Для надежного сравнения откликов E(jj) и E(ji') рекомендуется применять метод «общих случайных чисел» [10].
7. Программная реализация
двухэтапного метода
Двухэтапный метод оптимизации сетей с очередями положен в основу разработанного нами оптимизатора RedOpt — программы для версии 6 системы моделирования AnyLogic [8]. Для выполнения 2-го этапа метода наряду с методом покоординатного спуска реализован метод стохастического градиента и метод малых приращений. Кроме того, RedOpt позволяет оптимизировать распределение каналов по узлам сети [9]. Реализованная в RedOpt схема распараллеливания репликаций [10] позволяет повысить статистическую надежность оценок и исследовать не только стационарные, но и переходные процессы в сетях. При этом статистически независимые параллельные репликации реализуются одновременно разными компьютерами, объединенными в сеть.
В распоряжение пользователя RedOpt предоставлен также мощный метод понижения дисперсии — метод «общих случайных чисел», позволяющий на порядки сокращать затраты машинного времени, необходимые для надежного сравнения близких вариантов решения оптимизационных задач.
Библиотека RedOpt включает четыре компонента. Оптимизатор управляет имитационным экспериментом и оптимизацией. Генератор заявок генерирует заявки, входящие в сеть. Терминатор заявок уничтожает заявки на выходе сети или возвращает их на ее вход, а также обрабатывает статистические данные по времени прохождения заявками сети. Система массового обслуживания (СМО) имитирует обслуживание заявок и обрабатывает статистику по времени ожидания заявок в очереди СМО.
Все перечисленные компоненты обладают функциональными возможностями блоков, входящих в библиотеку Enterprise Library системы AnyLogic 6, и оснащены богатым набором дополнительных параметров и функций.
С помощью этих компонентов пользователю предоставляется возможность в графическом редакторе моделей AnyLogic 6 создавать модели сетей любой размерности и конфигурации (рис. 2). Диалоговые
окна обеспечивают удобный для пользователя интерфейс с системой, позволяющий выбирать режимы моделирования, запускать модель и наблюдать за ходом оптимизации с помощью автоматически создаваемых таблиц, графиков и окон анимации.
8. Оценка точности метода
направляющих гипербол
Принципиальные преимущества метода НГ по сравнению с базовым методом малых приращений (МП) изложены и продемонстрированы в [б] на примере оптимизации немарковской тестовой СеМО 1 (открытой), изображенной на рис. 1. Параметры СеМО 1 и решаемой для нее задачи приведены в [6]. Прогоны модели (длиной 10й заявок) в каждой точке /й" при использовании ПЭВМ с тактовой частотой процессора 2 ГГц и объемом памяти 1 ГБ выполняются около 2 минут. В то время как метод МП более чем за 1000 прогонов модели нашел решение /}мС, доставляющее среднее время ответа £(/}мп) = 9.24, метод НГ лишь за 50 прогонов привел к точке р, где Ё(р') = 7.49.
После выхода публикации [6] к СеМО 1 применялся также оптимизатор ОрЮиеБ! системы AnyLcgic 6, который тоже заметно проиграл нашему методу НГ: при более чем десятикратной «форе» по времени (750... 1000 прогонов), он находит заметно худшее решение, доставляющее время ответа сети Ё « 7,91.
Для более полной оценки метода НГ введем три показателя: эффект оптимизации О = (Ес— Е')/Ег погрешность 5 =|Цор1 -/}' \/\рщЛ | и упущенный эффект е = (Е'~ Е!н>1)/Е', где Ес = Е(цс), Е' = Е(ц'), Е^, = Е(цор().
Высокий эффект оптимизации О, достигаемый методом НГ, стабильно подтверждается в широком диапазоне структур и параметров тестовых сетей.
Набор линейных тестов (когда все Р, = 1) включает СеМО 1 (в открытой и в замкнутой версиях), и еще 4 сети повышенной сложности. Одна из них (СеМО 5, см. рис. 2) содержит 100 узлов и имеет структуру переходов, представленную на рис. 3. Переходные вероятности, число каналов в узлах итипы ф.р.в. времени обслуживания определялись для нее случайным образом. В табл. 1 приведены результаты оптимизации тестовых сетей методом НГ. Каждая сеть оптимизировалась при ресурсе М*, превышающем Мт1п на 50% и на 100%. Время Тм одной итерации (практически совпадающее со временем прогона модели) указано в минутах (для ПЭВМ с тактовой частотой 2 ГГц и памятью 1 ГБ). Как видно из табл. 1, при числе узлов и каналов, достигающем сотен (СеМО 5), когда рост затрат времени на имитацию ограничивает возможность увеличения числа итераций Л/, метод НГ позволяет достигать значительного эффекта оптимизации при N. меньшем размерности п факторного пространства.
Таблица 1
Результаты испытаний метода НГ на открытых сетях СеМО 2-СеМО 5
СеМО 2 п=9(К=12) СеМО 3 л=30(Л>134) СеМО 4 л=20(К=52) СеМО 5 n=100(K=260)
Число узлов п (общее число каналов К)
Число итераций N х время итерации Тм (мин) 20»2 60 10 40 х 5 50x94 75x94
Распределяемый ресурс М 24 32 96 128 39 52 437 582
Отклик Ес в центре ОДР 13,98 8,043 49,92 27,88 78,08 38,19 278,1 163,3
А | А —* Отклик Е =£'(// ) 10,83 6,225 41,53 22,97 55,12 29,94 249,6 143,8
Эффект оптимизации 0100% 22,5% 22,6% 17% 18% 29% 22% 10% 12%
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК Н»2 (80). 200»
ЙЙВ
_
Погрешность метода НГ оценивалась сверху с помощью второго этапа метода. Для открытых сетей при линейном ограничении (3) почти всегда 5 <0.01. Для замкнутых сетей и линейного ограничения она может возрастать до 0.03. Для замкнутых сетей и нелинейного ограничения 5 может достигать 0.06.„0.08. Но при этом потеря эффекта всегда невелика: е < 0.01. Длина прогонов и число N итераций в испытаниях были близки к приведенным в табл. 1.
Результаты испытаний показывают, что в практических задачах достаточную точность оптимизации можно получить, применяя только метод НГ.
Заключение
Задача оптимизации немарковских сетей с очередями приводит к необходимости применения имитационного моделирования, которое характеризуется высокой сложностью вычисления градиентов, обусловленной стохастическим характером получаемых с его помощью оценок. Проблема градиентов эффективно решается предлагаемым двухэтапным методом оптимизации, ядром которого является метод направляющих гипербол. Он характеризуется достаточной точностью и вычислительной эффективностью, и может быть рекомендован для практического применения при проектировании или модернизации сетей, содержащих десятки и сотни узлов. Метод направляющих гипербол, состоящий в сепарабельной аппроксимации целевых функций, представляет самостоятельный теоретический интерес.
Программная реализация метода в оптимизаторе ЯесЮр! позволяет использовать его на практике в производстве, в сфере обслуживания и в научно-тех-нической сфере. В частности, его можно использовать для оптимизации систем связи, вычислительных систем и сетей, или городской транспортной сети.
Библиографический список
1. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. — М. : Техносфера, 2003. - 512 с.
2. КлейнрокЛ. Вычислительные системы с очередями : [пер. с англ.] / под ред. Б. С. Цыбакова. — М. : Мир, 1979. - 600 с.
3. Феррари Д. Оценка производительности вычислительных систем ; перевод А.И. Горлина, Ю.Б. Котова, Л.В. Ухова / под ред. В.В. Мартынюка. — М.: Мир, 1981. — 576 с.
4. Вишневский В.М., Пороцкий С.М. Моделирование ведомственных систем электронной почты // Автоматика и телемеханика. — 1996. — N8 12. — С. 48-57.
5. Рыжиков Ю.И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. — СПб. : КОРОНА принт ; М. : Альтекс-А, 2004. — 384 с.
6. Задорожный В. Н., Ершов Е. С., Канева О. Н. Двухуровневые градиентные методы для оптимизации сетей с очередями // Омский научный вестник. — 2006. — № 7 (43). - С. 119-126.
7. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы : [пер. с англ.|.— М. : Мир, 1982. - 583 с.
8. Карпов Ю. Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с АпуЬод1с 5. — СПб. : БХВ-Петербург, 2005. — 400 с.
9. Задорожный В. Н., Донец А. А. Алгоритм структурной оптимизации сетей с очередями // Имитационное моделирование. Теория и практика : материалы 3-й Всеросс. конф. - СПб : ФГУП ЦНИИТС, 2007. - Том 1. -С. 123-128.
10. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании : [пер с англ.] / Под ред. Ю.П. Адлера и В.Н. Варыгииа. — М. : Статистика, 1978. — Вып.1. — 221 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». ЕРШОВ Евгений Сергеевич, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
644050, г. Омск, пр. Мира, 11
Дата поступления статьи в редакцию: 29.04.2009 г.
© Задорожный В.Н., Ершов Е.С.
Книжная полка
УДК 658
Денисова, Л. А. Оптимизация в автоматизированных системах управления [Текст] : учеб. пособие / Л. А. Денисова ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2008. - 50 с. : рис. — Библиогр.: с. 46.
Рассмотрены вопросы оптимизации в автоматизированных системах управления, приведены сведения о применяемых критериях оптимальности. Изложены методы классического вариационного исчисления для решения задач оптимального управления. Основное внимание уделено использованию системы инженерных и научных расчетов Matlab, реализующей символические и численные методы. Рассмотрены подходы к решению как простейшей задачи вариационного исчисления, так и задач на условный экстремум. Дается методика составления программ. Приведены примеры программирования, задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы.
По вопросам приобретения - (3812) 65-23-69 E-mail: libdirector@ omgtu.ru
