CC BY
29
УДК 519.2:°°4.421.5:004.7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Омский государственный технический университет
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫСОКОРЕЗЕРВИРОВАННЫХ НЕМАРКОВСКИХ СЕТЕЙ С ОЧЕРЕДЯМИ
Решается задача оптимизации немарковских сетей массового обслуживания с бесконечнымчислом каналов во всех узлах.
Ключевые слова:нчмарковскиехесчс очеречями, метчды четч^лсхчцос, хми-тационное моделирование.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 12-07-00149-а.
Введение. Специфика рассматриваемых к данной статье сетей массового обслуживания (СеМО) заключается в том, что в их узлах (системчх мае -сового обслуживания) отсутствуют очереди, но поступающие на обслуживание заявки нетеряюсся. Это обеспечивается бесконечным (формалыю) числом каналов в каждом узле. В остальном такие сети представляют собой обычные немарковакме СаМО с однородными заявками и далее в статье называются высокорезервированными СеМО .ВРСаМО), или просто сетями.
Моделируемые в виде ВР СеМО реальные сети емеесамчке аиздаосав дхаобслуживеяия чаких ое-явок, которые не терпят задержек в очередях: они мехут мибо наооииться в счхтоонии оасчуживания, либо теряются. Но и допускать потери таких зая-воммалазл ввиду чрезвымайнойважносхи каж^ж из нах. Поанимд пзлы иеальной чечи содечжмг валк-шое число каналов, позволяющее пренебречь веро-явногтою иа нехвааои нди е[емеадеинхго я(5чи^ян;хх^-вания любой поступившей в узел заявки.Наини-мар, в адде -уР СеМОможно модедировать оети свяыи, уели ыеоирых — вычисеияниьные юибасцт^чзн!, многоядерные суперкомпьютеры и т.д., — содер-жсч большее дисло обрабасоштющич оехгюйвис [1]. Очевидно, что список возможных прилкжчниНВР СеМО.пртведенньш в [1], мужетбьггсзйичытеин-но расширен.
Если ВР СеМО является открытой сетью, то предполагаете). что в еонь с интеа1-сисно(-иею о нк обслуживание поступает рекуррентный цооок заявок, интервалы между поступлениями которых описывхютаи функцией зaепцчдeлeнид (Яэ.ц-.ч А-К-Заявка из входного потока сети с вероятностью .0 поыонвет и ;Хй учел, г = 1, п ; I- лю°ом чт /С. каналов г-го узла время обслуживания заондм — независимая случайная величина (с.в.) — описывает-ая ф-о ВЦ). Песло хКс^гоиоокаанра в --кч х-лс воявка, случайно и независимо, в соответствии с заданны-мм пвениеа^-ми аeоеячиoпчемo д.., еыОортии одчы из узловч' мийпикдo^врания низвьк мвешруга или (с вероятностью р) уходит из сети. Вероятности р.. (г,и=ч,л) задаются неразложимой стохастической матрицей Р = ||р.|| (маршрутной матрицей). ЕслижеВРСеМОзамкнута,то входящийпоток заявок не задается, т.к. на вход СеМО заявки посту-
пиют депмсредственыес ее выхода, че зодается чои ло Я циркулирующих в сети заявок, а для отсут-стиияочередей доетаточно ча веек узлах иметн пи Я каналов.
13 стьнве ]1] апкогвнх, чти финилсное распре-ееиение cьнвoзмцй (Ы^ вырытой ВР СеМО
(где к. > 0 — число занятых в узле г каналов) с ростом интенсивности В вазнмщeгo потокаскокохся к л-мерному распределению Гаусса. Предложен чисыанныймаехд расчата цчртиюхров еаого о^^гме-птотичеокого ивациедааeойз.Mы еыьзцоили продержу данного методапосредством ИМ приф,р. А(1[ и У.(х), г = 1,п , характеризуемых коэффициентами вариации.непревышающомиединицу. Про среднемчислезанятых каналов, лежащемв каждом узле в пределах от 30 до80, параметрыдопредель-ноге ртспреоеленпя нероятностев готодрирй от-крытойВРСеМОотклонились отпараметров асимптотического гауссовараспрюделения лишь еедопи игрец енсг.
Ввиду актуальности ВРСеМОи дальнейших их исследлеепий т дамной статье оредаоглется решение задачипараметрической оптимизации распределения ресурсов ВР СеМО поееузлам.
1.Постановка задачи.
1) В статье[2] предложен и исследован эффек-тпгный методоотимизоции ркопреомления аеоур-совпоузламобычныхнемарковских СеМО, в узлах крдмиыхмонур но-оикрть очередо. Этот метое, — методнаправляющихгипербол(НГ) — использует имитационное моделирование (ИМ) и специфиче-оодко лгаорабеоьдрюаппродсимацию таеисдмонеи среднего времени Е пребывания заявки в СеМО (в-еднегпетемени еонете) от 1^^т^ажи^^еокей р,, ..., | обслуживаниязаявок каналамиузлов 1, ..., л.По-ставленнуюв[2]задачу переформулируем приме-дитвйьно уВР СейЮ аледрющим оРраетм.
2) Рассмотрим сначала открытую ВР СеМО, в кото р^> поетупает раолфрентюьш глоток зпрвопе им-тенсивностью Л. Стационарное среднее время ответа Е (среднее время прохождения заявки через веок) представим евиог:
п п п I 1 Л п а
Е = Хаи = Ха(+ ь.) = ^ +—1 = Х—, (1)
ы м ы I ) ы IV
где а. — среднее число посещении г-го узла заявкой за время ее прохождения через сеть, и — среднее время пребывания заявки в г-м узле, ■Wj = 0 — среднее время ожидания заявки в очереди г-гоузле,
Ь — среднее время обслуживания заявки в г-м узле, ц = Ь~' — интенсивность обслуживания у(любого) канала г-го узла.
Коэффициенты а. однозначно опре,р«э,вяются из системы нровэоний (зтппаос^^:
= ] ¡ = 0,п,
1.
(2)
Е(Д) = V——ф т1п,
ы С Д
(3)
М(Д) = 00с,.=в' = М*, Д. >0 , м*>0, ( = 1,п).
(4)
дЕ 5ц,
+ Хс,р1цв1 -1 = 0,
дЕ
(5)
- ^ + хс.р.цв1- , = о,
М-1
или, иначе,
+ ь -1 =0.
]Г сД.цв1 - М' = 0,
1цС1+1 = с+,,
Чэ°да со. определяются интвнсивностнН = Ла, вхотзыт потоков нслoя (г =Я 0).
3) Есои ВР СГТегСсВСО ;з^I^сос:н;с^<^Г ас вxoднeK ооеок сс.^-явок отэциетзуео^, н 15 стoицяpв:ноиpyeт наданное ^вя^т^^^но!^ омсло звдвнк оС Явeeяшeниeн циезт об, служ—сеннс знявки эчкeaeтся ен ссв]-)е:вс1г\ по няко-тороц етрмняехьнот ^носэ в вежгда иа ехнл сяЕн (от ожо 1 — пзт]:)^хв]о<ая цуаа). Ц-]р)^1тнее тоемя дсвтст Н зтмкяцтои сетн oпнeияряттсн, евв и дте откры-св й с паи : с— о ^.темн (1 ] -с ] э). При яво ее ^о-^'^и]^-ныИ рзео р иeмтдоу в — ° с5авпо;т^1,оетс:о не еенеи-нeненoй .нусв аа мки—ов н сети. В —едой еети 01 = Л/Е.
4] ^тои]а)ос;))е, (с- e<^5ср)а] М как оеирыеон, так и немки—юй спви являeтся фyнкрини веэкт^с^в^6-
Д! ( |_11 в. . . , ) янртиояенoсeрй: М(Д) = ]),= с,сК', ^^вусз,
и 0 0 — eро=мвcтныe oтвффияи=ите=1 f]] > 0 — коэффоциенсы нелинейности. Тре буетси найти яертoт н = нор, , досаоветю—ии минимум фтезотции Е = _Що): °Р
ХсиРХп~1 = а-п, ±с,в,цМ =М
I=1
Омсюдо исходим искомое решение:
Ц, =
Цп =
а+ )Р,+1
(6)
.ХспРп,
где 1 определяетсяиз уравнения
= М.
(7)
и пртнадатжащий слндующей обуacтндтпacтимыIx сешеенд ^^ееОП00—^т о
и еапаче (3), Си] имтсося н яти ноис нение
любой интенсивности | , приводит зизмехению с]l(]eс]C]],I]:-] втое—ешт о^изжитоняя т?] ц Ц[4 ик соответствующему масштабному измеяениюф.р. ВД)). Видф.р.В.(^неизменяется,изменяетсятолькова-рьируемый параметр играющий роль масштабного параметра.
2. Аналитическое решение задачи оптимизации. Решение задачи (3),(4)не требует пртмене-ния ИМ и может быть осуществлене антлянече-скими или точными численными методами: она является задасей нм услевныё сксартмум и решается методом яножяесмей Лтолeнжa. Моитеетстес3 ющи е удзавнения рая Е = Егш (Ц) и длямножителя Лагранжа 1, соответствующего огр аничению (4), имают 151101,:
+ Хс. Р|Ц1||-1 =0,
¿с,Мив' -М• = 0.
Из (5), выполняя дифференцт]^(^]^г^1^]^е, пол^а-
Уравнение (7) легкорешается относительно 1,в общемслучае — численнымиметодами.Существо-вание и единственность решения вытекают из мо-нотонностиубывания левойчастиуравнения (7) от бесконечности до нуля при возрастании 1 от нуля добесконечности.
Отличиязадачиоптимизации ВРСеМО от зада-чи,решаемой в статье [2], обусловлены тем, что в узлах ВРСеМОнет очередей. Заметим также, что какразработанный в [2] метод НГ, так и получен-ноевыше аналитическое решение задачи оптимизации ВР СеМО легко обобщаются наслучай СеМО со многими входящими в сеть рекуррентными по-токамиразноговида.Эти методылегкообобщают-сятакженасмешанные СеМО,содержащиенаряду с обычными узлами высокорезервированные узлы. Такие обобщенные постановки ирешенияоптими-зационной задачи не приводятся здесь лишь ввиду некоторой громоздкости получаемых формул, затрудняющей соблюдение ограничений на объем статьи.
3.Пример оптимизации. Задача (3), (4) при разных ее размерностях п и при различных сочетаниях числовых коэффициентов быстро и точно реша-етсяс помощью программ численнойоптимизации (например, с помощью сервиса «Поиск решения...» в программеЕхсе1).
Пусть в сети, изображенной на рис. 1, интенсивности |1, ..., |9 обслуживания в узлах 1, ..., 9 составляют, соответственно, 0,2, 0,15, 0,5, 1,366667, 5,9, 0,41, 0,546667, 1,77, 1. Тогда с учетом значений переходных вероятностей, приведенных на рис. 1, уравнения баланса (2) для данной сети имеют решение (а1,. , а9) = (0,2, 0,3, 0,5, 1,366667, 5,9, 0,41, 0,546667, 5,31, 1). Применяя формулу (1), находим среднее время ответасети Е = 12.
=1
э
р„ +1
в
в,+1
а
! = 1
' = 1
Л = 1,
Ро,1 = 0,2, Р02 = 0,3, р0,з = 0,5, Р2,4 = 0,7, Р25 = 0,3, Р4,6 = 0,3, Р4,7 = 0,4, Р4,9 = 0,3, Р5,8 = 0,9, Р5,, = 0,1
Рис. 1. Пример ВР СеМО. Штриховая дуга соответствует замкнутой версии сети
открытойверсии сети X. = Ла. иприЛ = 1 (см. рис. 1) длявсех i имеем 1 = а., откуда по формуле Литтла находим среднее число заявок в каждом i-м узле, т.е. среднее число M. занятых в i-м узле каналов: M. = 1b = 1/|т, т.е. (M1, ..., M9) = = (1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1). Сумма всех M. равна среднему (в случае замкнутой сети — заданному постоянному) числу R = 12 заявок в сети.
Задача (3), (4) оптимизации распределения ресурса M* = m + ... + m9 по узлам сети имеет (при всех c и ß., равных единице), согласно (6), (7), решение (m1, ...', m9) = (0,530607, 0,649657, 0,838791, 1,386797, 2,8881393, 0,759563, 0,877069, 2,7334, 1,186056). При этом среднее время ответа становится равным E . = 8,41675, т.е. снижается по сравнению с ис-
шш L
ходным E = 12 на 29,86%.
Оба решения, E и E . , проверены путем ИМ. Для исходного варианта сети получена имитационная оценка E « 11,991 (точное значение E = 12), для оптимизированного — оцеиоа Emin г» 8,Р17 (точное значение E . = 8,41675).
min '
4. Применение ВР СеМО для тестированиямето-
да НГ. Применять метод НГ в том виде, как он описан в статье [2], для оптимизации ВР СеМО можно без ИМ, поскольку среднее время обслуживания в каждом узле i в методе НГ будет учитываться точно (как величина, обратная варьируемой п временной m.). Соответственно, основное преимущество метода НГ — эффективное решение проблемы вычисления градиентов в ИМ — при оптимизации ВР СеМО не проявляется. Зато в полной мере проявляется детерминированная составляющая погрешности метода НГ, обусловленная несепарабельностью поверхности отклика, заменяемой локальными (своими на каждой итерации) сепарабельными аппроксимациями. Так, оптимизация рассмотренной выше ВР СеМО методом НГ без использования ИМ дает решение (m1, ..., m9) = (0,5213, 0,6374, 0,8209, 1,344, 3,1, 0,7442, 0,8579, 2,663, 1,154), которое отлтается от точного решения. В результате отклик сЛО и 12 снижается не до Eopt = 8,41675 (не на 29,86%), а до E = 8,43218 (на 29,73%). Но в практических задачах оптимизации такую погрешность можно няисма-тривать как достаточно малую. Интересно также то, что если в методе НГ вместо точного расиета отклика использовать ИМ, то детерминированная составляющая погрешности снижается за счет «рассеяния» траектории поиска в факторном нрясаран-стве наложением стохастических возмущений. Но в любом случае, независимо от того, применяется ИМ или нет, детерминированная составляющая погрешности устраняется на втором этапе двухэтап-ного метода оптимизации, использующего метод НГ и ИМ, путем покоординатного спуска и п онижения
дисперсии отклика методом общих случайных чисел [2].
Двухэтапный метод оптимизации, использующий метод НГ, расширен и реализован в доработанной версии системы имитационного моделирования 81МВ1СЯАРН [3]. Реализованный метод позволяет оптимизировать распределение ресурса сети и в тех случаях, когда она является высоко-резервированной или смешанной сетью, содержащей наряду с обычными узлами узлы с бесконечным числом каналов.
5. Изменение показателей, связанных со средним временем ответа.
1) В постановке (3), (4) задачи распределения ресурсов ВР СеМО не обсуждается вопрос о том, как «на практике» конечный ресурс, определяющий производительность узлов, может перераспределяться между бесконечными множествами каналов. Естественный «практический» подход к этому вопросу состоит в постулировании того, что в реальных СеМО, моделируемых как ВР СеМО, фактическое число каналов в узлах хоть и велико, но конечно. Поэтому затруднений с практической интерпретацией задачи (3), (4) не возникает. Разное число каналов в разных yзьнй умит^^^ауиво цоэффициоо-тами с в (4), пропорциональными числу каналов в соответс-очк-щих узеав г' ^ковов0 схти.
2) Оптимизация распределения ресурса по узлам, доечвнйаюIитдмииимyм cpeдиeгo аыамони ответа, пвиводитт сеучае сыеыч-хоу кати ы снц-мению общего числа каналов. О снижении общего числа каналое можно гсверить о ■.дом хо пхуи ц—ыхло-: в смысле снижениксреднего числа Я занытых каналов к н -еы-ые cхижтиия фтитнчecодro конхды ного чнтвы канвлов к>^^он^нцй чети, модекияувмой как ВР СеМО. Снижение среднего числа Я занятых каналов-приводащим к сииохнию з^т-с^т, ооязан-ных с эксплуатацией охиридованея, пии минвмиза-ции Е я1^ля^т^х^очев^дн^^мх силу сомчи ■ = АЕ (1°е Л = сопьТ, пыткоодку дета открыта и ссационаеоа(; Поэтому рассмотрим лишь влияние минимизации Е на общее числосанамев и узлах ееаыкноо чити.
Коиечаов числи нх^наыох в узлаа ввоиьной иехц должно&лть достаточно ботыпим, кьобы за-веч ма теряассь. Ниало N. кеньлов в лчеНом укаа г ) г = 1, п) может быть определено как наименьшее целое, yдовлатвoаяющат зоoрнишeнию
р(£. > < в, 0 < у < 1, i = 1, n.
(8)
гда 8 00 0 досавточвс манв>, чтобы вертятнхкоыз РСк. > о^.1]] санятоути в узтп - ВР ЧеМО Оолее хам уМ. каналов можно было пренебречь (например, 8 мвжеа (жтьокдоно равзын 10а? или 1(0~2а). Уваанхт-оатвая )ао>и надзеькащем че1боре е( о кажс°м упзле -реальной сети N. кшалов, число N которых опре-деапно асловиан )8). мы ве практчке ннтогда ые лМ-нарнжим )акчжем, зз времк нзСаюденлв, (евное времени существования Земли) недостатка кана-лоо. В сомнителенв1х слувоаяе в (8) нежно использовать множитель у < 1. Например, при у = 0,5 обеспечивается заданная малая вероятность 8 того, что лисло ааячок зузлу С реальной сеан пресысиз ео-ловинуфактическогочисла N. каналоввэтомузле. С учетом сказанного общее фактическое число N каввлов у рвлокнчй свыч игожеоопределитьследу-ющим образом:
М = £щ, (9)
(=1
гдевсе N удовлетворяютусловию(8).
Вероятности состояний при экспоненциальном времени обслуживания в узлах (и экспоненциальных потоках) Р1 Р2 РЗ Р4 Р5 РБ Р7 РВ РЭ
2
3
4
5
6 7 В
9
10 11 12
13
14
15
16
17
18 13 20
I 0,3678791 0,367879* 0.1В394 0,861313 0,81532В 0,003066
0.008511 7.3Е-05
9.12Е-06 1,01Е-06 1.01Е-07 9.22Е-09 7.68Е-10 5,91 Е-11 4.22Е-12 2.81Е-13 1.76Е-14
1.ВЗЕ-15 5.75Е-17 З.В2Е-1В 1,51Е-19
8,135335 8,270671 0,270671 0,180447 0,890224 0,036089 0,01203 0,003437 8,880859 0,000191 З.В2Е-05 6.94Е-86 1.16Е-86 1.7ВЕ-В7 2.54Е-88 3.39Е-89 4.24Е-10
0,367679 0,367879 0,18394 0,061313 0,015328 0,003066 0,000511 7.3E-D5 9.12Е-06 1,01 Е-06 1,01 Е-07 9.22Е-89 7.6ВЕ-18
0,367879 0,367879 0,18394 0,061313 0,015328 0,003066 0,000511 7.3Е-05 9.12Е-06 1,01 Е-06 1,01 Е-07 9.22Е-09 7.68Е-10
0,367879 0,367879 0,18394 0,061313 0,015328 0,003066 0,000511 7.3Е-05 9.12Е-06 1,01 Е-06 1,01 Е-07 9.22Е-09 7.68Е-10
0,367879 8,367879 8,18394 8,061313 0,015328 0,003066 0,000511 7.3Е-05 9.12Е-06 1,01 Е-06 1,01 Е-07 9.22Е-89 7.68Е-10
0,367879 0,367879 0,18394 0,061313 0,015328 0,003066 0,000511 7,3 Е-05 9.12Е-06 1,01 Е-06 1,01 Е-07 9.22Е-09 7.68Е-10
4.99Е-11 5.54Е-12 5.B3E-13 5.ВЗЕ-14
5,91 Е-11 4.22Е-12 2,81 Е-13 1.76Е-14 1.03Е-15 5.75Е-17 3.02Е-1В 1,51 Е-19
5,91 Е-11 4.22Е-12 2,81 Е-13 1.76Е-14 1.83Е-15 5.75Е-17 3.82Е-1В 1,51 Е-19
5,91 Е-11 4.22Е-12 2,81 Е-13 1,76 Е-14 1,83 Е-15 5.75Е-17 3.82Е-18 1,51 Е-19
5,91 Е-11 4.22Е-12 2,81 Е-13 1,76 Е-14 1,03 Е-15 5.75Е-17 3.02Е-18 1,51 Е-19
5,91 Е-11 4.22Е-12 2,81 Е-13 1.76Е-14 1.03Е-15 5.75Е-17 3.02Е-1В 1,51 Е-19
8,849787 8,149361 8,224842 8,224842 8.16В831 8,100819 8,858409 0,021604 8,808102 0,002701 0,00081 8,800221 5.52Е-05 1.27Е-05' 2.73Е-06 5.46Е-07 1.02Е-07 1,81Е-00 3,01 Е-09 4.76Е-10
7.14Е-11
0.367В79 8,367879 8,18394 8,861313 8,015328 8,883866 8,880511 7.3Е-05 9.12Е-86 1,01 Е-06 1,01 Е-07 9.22Е-89 7.68Е-10 5,91 Е-11 4.22Е-12 2,81 Е-13 1,76 Е-14 1,03 Е-15 5.75Е-17 3.02Е-18 1,51 Е-19
Рис.2.Распределение вероятностей сосгоянийисходнойоткрьггойсети
Вероятности состояний при экспоненциальном времени обслуживания в узлах (и экспоненциальных потоках) Р1 Р2 РЗ Р4 Р5 Р6 Р7 Р8 Р9
8 1 2
3
4
5
6 7 6 9 18 11 12
13
14
15
16 17
I 8,6859661 0,258559* 8,048729 8,006122 0,000577 4.35Е-05 2.73Е-06 1.47Е-07 6.93Е-09 2.ЭЕ-10
0,63016 0,290996 0,067188 0,010342 0,001194 0,00011 8,49 Е-06 5,6 Е-07 3.23Е-08 1,66 Е-09
1.09Е-11 3.75Е-13 1.18Е-14 3.41Е-16 9.19Е-18 2.31Е-19 5.44Е-21 1.21Е-22
7.66Е-111 3,21 Е-12 1 ,24 Е-13 4.39Е-15 1,45 Е-16 4.46Е-18 1,29 Е-19 3.5Е-21
0,550959 0,328424 0,097886 0,01945 0,002898 0,000346 3.43Е-05 2,92 Е-06 2.18Е-87 1.44Е-88 8.6Е-18
4.66Е-11 2.32Е-12 1.86Е-13 4.52Е-15 1.8Е-16 6.69Е-18 2.35Е-19
8,373258 8,36784 8,18125 8,05954 0,014669 0,002891 8,000475 6.69Е-05 В.24Е-06 9.02Е-07 В.89Е-08 7.96Е-09 Б.54Е-10
4.96Е-11 3.49Е-12 2.29Е-13 1.41Е-14 В.18Е-16
0,129042 0,264228 0,27052 0,184641 8,894518 8,838708 0,01321 0,003864 0,000989 0,000225 4,61 Е-05 В,5В Е-06 1 ,46 Е-06 2,31 Е-07 3.37Е-08 4,6 Е-09 5.В9Е-10
0,582874 0,314626 0,084915 0,015279 0,002062 0,000223 2 Е-05 1,54 Е-06 1,04 Е-07 6,25 Е-09 3.37Е-10
0,536178 0,334194 0,10415 0,021638 0,003372 0,00042 4.37Е-05 3.89Е-06 3.03Е-07 2.1Е-0В 1,31 Е-09
7.09Е-11
1.66Е-11 7.45Е-13 3.09Е-14 1.19Е-15 4.29Е-17 1.45Е-18 4.59Е-2В
7,41 Е-11 3.85Е-12 1.84Е-13 8.21Е-15 3.41Е-16 1.33Е-17 4.87Е-19
8,143326 0,27843 0,270444 0,175124 0,085051 8,833045 0,010699 0,002969 0,000721 0,000156 3,02 Е-05 5,34 Е-06 В,64 Е-07 1,29 Е-07 1.79Е-08 2,32 Е-09 2.В2Е-10
0,430361 0,362851 0,152965 0,04299 0,009062 0,001528 0,000215 2,59 Е-05 2,73 Е-06 2,55 Е-07 2.15Е-08 1,65 Е-09 1.1БЕ-10
3.22Е-11
7.52Е-12 4.53Е-13 2.55Е-14 1.34Е-15 6.65Е-17
Рои. З.Респредеиение веряятностет сосгоянийоптимизированной снти
Наглядно проиллюстрировать влияние минимизации E на N можно на примере ВР СеМО, представленной на рис. 1, и оптимизированной выше в разделе 3 статьи. Поскольку найденное оптимальное распределение ресурса полностью определяется средними значениями распределений A(t) и {B.(t)} (при заданной маршрутной матрице P = ||р^||), то сейчас мы можем доопределить эти распределения как экспоненциальные, не изменяя их средних. Найденное оптимальное решение при этом не изменится, а сеть становится экспоненциальной сетью, и мы в данном примере сможем рассчитать влияние минимизации E на N, не прибегая к ИМ.
На рис. 2 показаны точные значения вероятностей состояний узлов для не оптимизированной экспоненциальной ВР СеМО. Вероятности рассчитаны с относительными вычислительными погрешностями Ms Excel, составляющими величину порядка 10-15. Горизонтальными линиями в таблице отделены хвосты распределений, вероятности которых (хвостов) максимальны при условии, что они не превосходят s = 10-10. Тем самым для каждого узла i определено наименьшее допустимое число N. каналов:
(N1, ..., N9) = (12, 16, 12, 12, 12, 12, 12, 19, 12), (10)
общее число каналов N = 119.
Для оптимизированного варианта ВР СеМО соответствующие результаты показаны на рис. 3. Ими определяются следующие значения Ni:
N ..., = (9, 9, 10, 12, 16, 10, 10, 16, 12), (11)
и требуемое общее число каналов снизилось до N = 104 (что на 15 каналов меньше, чем в неоп-тимизированной версии). Число каналов уменьшилось во всех узлах, кроме 4-го, 5-го и 9-го.
3) В случае замкнутой сети число Я заявок в ней постоянное, поэтому связь Я = ЛЕ предопределяет увеличение Л при минимизации Е. Показатель Л в замкнутой сети представляет собой ее производительность (это число заявок, обслуживаемых сетью в единицу времени).
4) Таким образом, оптимальное распределение ресурса по узлам ВР СеМО, минимизирующее среднее время ответа сети, одновременно улучшает другие ее показатели. В случае открытой ВР СеМО минимизируется среднее число занятых каналов (и уменьшается фактическое число каналов в соответствующей реальной сети), в случае замкнутой ВР СеМО максимизируется ее производительность.
В общем случае для определения N по формулам (9), (8) приходится использовать ИМ. При этом наиболее «узким местом» ИМ становится необходимость оценки малых вероятностей. Проблему оценки малых вероятностей можно решить за счет использования аналитико-имитационного подхода. Так, например, для определения фактического числа каналов в узлах открытых сетей с высокой нагрузкой контроль выполнения ограничений (8) можно осуществлять с помощью гауссовых ап-
проксимации для распределении вероятностей состояний узлов. Если же все или некоторые узлы СеМО нагружены недостаточно для применения гауссовых аппроксимаций, то для учета ограничения (8) при малых 8 можно исследовать хвосты распределений вероятностей состояний и их аппроксимацию по результатам ИМ.
Заключение. Задача оптимизации ВР СеМО решена точными аналитическими методами. Приведены примеры решения. Показано, что минимизация времени Е приводит к одновременной минимизации среднего числа каналов (в открытой сети) или к максимизации производительности сети (когда сеть замкнутая). В реальной ВР СеМО (с большим, но конечным числом каналов в узлах) снижается необходимое общее число каналов в сети.
Библиографический список
1. Назаров, А. А. Исследование открытой немарковской сети массового обслуживания С! — (С! | <ю)к с высокоинтен-
сивным рекуррентным входящим потоком / А. А. Назаров,
A. Н. Моисеев // Проблемы передачи информации. — 2013. — Т. 49, вып. 2. — С. 97-110.
2. Задорожный, В. Н. Оптимизация однородных немарковских сетей массового обслуживания / В. Н. Задорожный // Проблемы управления. — 2009. — № 6. — С. 68-75.
3. Система агентного моделирования 81МЫСКЛРН /
B. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин // Свидетельство о регистрации электронного ресурса №16539 / Объединённый фонд электронных ресурсов «Наука и образование», 2011. — № 50201050316.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: zwn@yandex.ru
Статья поступила в редакцию 01.07.2014 г. © В. Н. Задорожный
УДК 538971 А. И. БЛЕСМАН
Д. В. ПОСТНИКОВ Д. А. ПОЛОНЯНКИН Е. А. РОГАЧЕВ Э. А. ТКАЧЕНКО
Омский государственный технический университет
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ НА СРОК СЛУЖБЫ ИЗДЕЛИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ С ЗАЩИТНЫМИ ПОКРЫТИЯМИ_
Для выбора оптимального защитного металлического покрытия, наносимого магнетронным методом на поверхности изделия цилиндрической симметрии, подвергающихся воздействию интенсивных тепловых нагрузок при импульсном режиме работы, проведены расчеты температурного поля и внутренних напряжений, вызванных давлением и неравномерным распределением температуры. Определены оптимальные покрытия, удовлетворяющие критерию минимума температуры и внутренних напряжений, что является критерием срока службы. По результатам расчетов предложены рекомендации по использованию указанных покрытий с точки зрения времени воздействия газовых сред при высоких температурах.
Ключевые слова: жаропрочные покрытия, тепловой импульс, структура поверхностного слоя, неравновесное распределение температуры, термонапряженное состояние.
Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ, грант 13-08-98063.
В процессе эксплуатации деталей, узлов и агре- снижение их работоспособности с дальнейшим раз-
гатов технологического оборудования, а также изде- рушением. Изготовление деталей из дефицитных и
лий машиностроения, изготовленных из конструк- дорогостоящих материалов нерационально, а зача-
ционных сталей и сплавов, в условиях высокотем- стую невозможно, что обусловливает актуальность
пературных импульсных воздействий происходит фундаментальных и прикладных исследований, на-
