Метод ускоренного расчета буферов для фрактальных систем с очередями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

ИНФОРМАЦИОННЫЕ

ТЕХНОЛОГИИ

УДК 519.2:004.421.5:004.7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Омский государственный технический университет

МЕТОД УСКОРЕННОГО РАСЧЕТА БУФЕРОВ ДЛЯ ФРАКТАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ОЧЕРЕДЯМИ

Обсуждаются проблемы моделирования узлов компьютерных сетей, обусловленные фрактальной природой их трафика. Предлагается ускоренный метод расчета буферов фрактальных СМО.

Ключевые слова: системы с очередями, фрактальный трафик, аналитико-имитаци-онное моделирование.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 12-07-00149-а.

Введение. Основной особенностью трафика современных телекоммуникационных сетей с коммутацией пакетов является его масштабная инвариантность (фрактальность), оказывающая существенное влияние на качество связи [1 3]. Исследования трафика концентрируются вокруг статистических характеристик очередей, поскольку буферизация сообщений рассматривается как основная обеспечивающая ресурсами стратегия. Эта область исследований характеризуется в [3] следующим образом: «В 1993 г. сенсацией в области моделирования характеристик сетей стал доклад, представленный специалистами из компании ВеПСоге и Бостонского университета ... Этот доклад под названием «О фрактальной природе трафика в ЕШетеЬ>, по мнению некоторых специалистов, явился наиболее значительной работой по вычислительным сетям за последние десять лет. ... Результаты нового взгляда

на природу сетевого трафика. означают, например, что целая область проектирования компьютерных устройств — построение буферов и управление ими — нуждается в радикальном пересмотре.. Однако среди специалистов пока нет единого мнения о том, какие математические инструменты применимы и эффективны для его исследования и прогнозирования. Их разработка должна стать следующим важным шагом в этой области».

Фрактальные, т.е. степенные, или асимптотиче-ски-степенные [4] распределения — это распределения с тяжелыми хвостами (РТХ). В книге [5] в числе перспективных моделей теории массового обслуживания также упоминаются «модели с «тяжелыми хвостами» распределений, характеризующих входящий поток и процесс обслуживания».

В статьях [6, 7] впервые вскрыты и исследованы специфические проблемы имитационного модели-

рования (ИМ) фрактальных СМО, связанные с невозможностью корректной реализации в ИМ распределения Парето (и других РТХ), когда параметры распределения приближаются к определенным критическим значениям. Эти проблемы обусловлены конечной разрядностью чисел инструментальных ЭВМ, применяемых для ИМ, и с практически бесконечным временем сходимости статистических оценок таких показателей, как средняя длина очереди, к искомым точным значениям. В работе [8] предложена концепция построения ускоренного метода для расчета буферов фрактальных СМО. Эта концепция с учетом результатов работ [6, 7] реализуется в данной статье: здесь предлагается ускоренный аналитико-имитационный метод расчета буферов фрактальных СМО, приводятся результаты его экспериментального исследования и формулируются проблемы, на сегодняшний день остающиеся открытыми.

1. Узел СПД как СМО с отказами. В общем случае узел сети передачи данных (СПД) будем рассматривать как СМО класса GI|GI|n|m. Основную задачу исследования систем этого класса или более узких входящих в него классов (основную задачу проектирования буферов) поставим как задачу нахождения зависимости

Р=ф(т) (1)

вероятности Р отказа (потери заявки) от размера буфера т (т = 0, 1, 2, ...). Это позволит для любой наперед заданной допустимой 1 вероятности потерь Р определять соответствующий наименьший допустимый размер буфера т* по формуле, вытекающей из формулы (1):

т* = ф-1(Р*), (2)

где ф-1 — функция, обратная функции ф. Полагая, что функция ф — монотонно убывающая 2, мы

можем утверждать, что обратная функция ф-1 существует 3. Тогда ф-1 тоже монотонно убывающая функция. Таким образом, решив основную задачу, мы для любого наперед заданного уровня качества (то есть для любой максимально допустимой вероятности потерь Р*) сможем по формуле (2) определять наименьшие аппаратные затраты (то есть размер буфера т*), его обеспечивающие 4.

При рассмотрении узла СПД во взаимосвязи с другими узлами большое значение может иметь то, что входной поток узла суммируется из нескольких потоков (поступающих с выходов других узлов и внешних источников), а его выходной поток разветвляется на части (поступающие на входы других узлов и внешних приемников). Когда учитывается такая взаимосвязь узла с другими узлами и внешними объектами, интенсивность X входного потока СМО, моделирующей узел (рис. 1), складывается из интенсивностей X. нескольких потоков:

I

X = Х1+ ... . (3)

Соответственно, интенсивность X' выходного потока СМО раскладывается на интенсивности X'. его ветвей, определяемые в виде:

X'=рГ, (.= 1...5, Ер = 1), (4)

где р . — вероятность того, что заявка на выходе СМО выберет ;-е направление. Выбор направления заяв-

кой, уходящей из СМО, будем считать независимым случайным событием.

Интенсивность потока заявок, покидающих СМО вследствие получения отказа, равна РХ. С учетом этого для стационарного режима СМО имеем соотношение

Х = РХ + Х', (5)

которое означает, что в единицу времени из СМО уходит в среднем столько же заявок, сколько в нее поступает, или, другими словами, что среднее число заявок в СМО постоянно (не зависит от времени).

Теперь дополним и поясним обозначения параметров, определяющих СМО, и обозначения характеристик СМО, наиболее важных с точки зрения решаемой основной задачи (1).

Входной рекуррентный поток заявок в стационарном режиме будем задавать функцией распределения (ф.р.) А(^ длительности т интервала поступления заявок. Время х обслуживания любой заявки каналом будем описывать ф.р. ВЩ (все каналы СМО будут считаться идентичными).

Интенсивность Х входного потока заявок в СМО выражается через математическое ожидание (м.о.) тслучайной величины т формулой Х = 1/т. Интенсивность ^ обслуживания заявок каналом определяется как ц = 1/х.

Коэффициент р загрузки л-канальной СМО определяется формулой:

р = Хх/п. (6)

В случае бесконечного буфера (т = ю) стационарный режим функционирования СМО существует лишь при р<1.

2. Модели с конечным и бесконечным буфером.

Очевидно, модели с конечным буфером (КБ) т<<х ближе к реальным узлам СПД, чем модели с бесконечным буфером (ББ) т = <». Тем не менее модели с ББ также нередко используются для решения основной задачи (1). Например, достаточно популярным является способ приближения функции Р=ф(т) вероятностью того, что длина I очереди в СМО с ББ превысит т:

Р«Р{1>т}. (7)

Естественно, при этом предполагается, что система с КБ отличается от системы с ББ лишь конечностью буфера и идентична ей по всем остальным параметрам. Применение приближенной формулы (7) приводит при решении задачи (1) к значительным погрешностям, но позволяет применять точные формулы, известные для систем с ББ типа 1М|С1|1 или GI|M|л, т.е. для систем, у которых ф.р. А(^ или ф.р. В(^ является экспоненциальной.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

Рис. 2. Построение для функции -Р(т) экспоненциальной (слева) и степенной (справа) аппроксимаций (шкалы P логарифмические; шкала m справа также логарифмическая; маркеры — данные ИМ, непрерывные линии — графики аппроксимаций)

Однако во фрактальных СМО с бесконечной дисперсией ф.р. A(t) и/или B(t) применение приближенной формулы (7) приводит к неприемлемым погрешностям. Фрактальная природа трафика современных СПД выводит исследования фрактальных СМО в разряд наиболее актуальных как с прикладной точки зрения, так и с теоретической, и ставит перед специалистами по теории массового обслуживания чрезвычайно сложные задачи. Но если классические случаи систем типа GI|GI|л|m почти не поддавались чисто аналитическим методам исследования (стимулируя этим быстрое развитие ИМ), то фрактальные СМО тем более не поддаются уже не только аналитическим, но и имитационным подходам [5 — 7]. Решение задач анализа и оптимального проектирования фрактальных СМО возможно лишь на пути синтеза аналитических и имитационных подходов.

3. Краткое описание метода. Расчет буфера фрактальной СМО, гарантирующего достаточно малую вероятность P потери заявки, требует при непосредственном ИМ неприемлемо высоких затрат времени, обусловленных необходимостью оценивать малую вероятность P при большой дисперсии длины очереди и длительных переходных процессах в системе.

Предлагаемый ниже аналитико-имитационный подход основан на следующем асимптотическом соотношении, найденном в [9]. При малых P число отказов ^, которые произойдут за время данного периода непрерывной занятости. (ПНЗ) системы, с бесконечным буфером, если его заменить буфером объема т, можно определять, не моделируя систему с КБ, по формуле

N~max{Q — m, 0},

0 1 ^max I J I

(8)

где Отах — максимальная длина очереди, достигаемая на этом ПНЗ при бесконечном буфере. Формула является приближенной, но ее относительная погрешность сходится к нулю с уменьшением вероятности P (т.е. с ростом размера буфера m. при р<1). Уже при вероятности отказа порядка 0,01 погрешность формулы (8) лежит в пределах 1—3 %. Формула позволяет по одному достаточно длинному прогону модели с ББ рассчитать общее число отказов сразу для многих значений т и получить соответствующие оценки P=P(m) (рис. 2). Использование этой возможности сокращает затраты машинного времени на два-три порядка.

Например, за пару секунд моделирования системы Ра|Ра|1, у которой теРа(1, 1,1). хеРа(1, 1,5), фор-

мируется набор данных (значения Отах в нескольких тысячах ПНЗ), позволяющий построить хорошую аппроксимацию зависимости P(m) для широкого диапазона значений т. Символом Ра здесь обозначено распределение Парето, а в виде Ра(К, а) — распределение Парето с параметрами K и а (см. [6, 7]).

На рис. 2 по данным, полученным таким способом, для зависимости P(m) построены экспоненциальная (слева) аппроксимация P=0,06297e-0,02222m и степенная аппроксимация P=0,5515m-0,8401. В целом выясняется [8], что для фрактальных СМО степенные и асимптотически-степенные аппроксимации зависимости P(m) весьма точны. Так, для рассмотренной СМО Ра|Ра|1 полученный по найденной для нее экспоненциальной аппроксимации прогноз значения функции P(m) на точку m = 700 дает оценку Р(700) =1,1 •10 8, а прогноз по степенной аппроксимации — существенно иную оценку Р(700) = 0,0022. Проверка прямым ИМ (при прогоне 10 млн. заявок) при m = 700 тоже дает оценку Р(700) = 0,0022, подтверждающую высокую точность степенного прогноза. Возможно, для фрактальных СМО асимптотика P(m) при m^<x> действительно степенная (в то же время известно, что в СМО ММ^^ и в других «классических» системах зависимость P(m) асимптотически экспоненциальная). Из степенного уравнения P=0,5515m-0,8401, полученного для рассмотренной СМО Ра|Ра|1, находим:

яг(Р) =

0,5515 10,8401 Г 0,5515

1,1903

(9)

Отсюда, подставляя P=10-8, определяем требуемый для обеспечения вероятности отказа P=10-8 объем m буфера: m= 1,64 09.

Предложенный метод расчета буферов для узлов сетей с фрактальным трафиком позволяет определять нужные размеры буферов с достаточно высокой точностью, сокращая время ИМ на несколько порядков. Этот метод можно применять и к многоканальным фрактальным СМО. С его помощью можно также исследовать эффекты суммирования / прореживания фрактальных потоков [6] в контексте задач буферизации (см. рис. 1). Разумеется, при этом необходимо учитывать и проблемы корректной реализации фрактальных распределений, анализ которых представлен в [7]. В [6] показано, что суммирование и случайное прореживание фрактальных потоков с бесконечными дисперсиями приводит к получению не экспоненциальных (или близких к ним) потоков, как в классической теории массового обслужива-

Рис. 3. Аппроксимация зависимости -Р(т) в системе M|M|3|m (шкала вероятностей P логарифмическая)

ния. Получаемые потоки остаются фрактальными потоками и имеют бесконечную дисперсию. Однако это не означает, что суммирование и прореживание фрактальных потоков не улучшает их характеристик, влияющих на качество буферизации. Предложенный ускоренный метод расчета буферов позволяет проверить и эту возможность.

4. Программа Metod_AIM.gps. Ускоренный метод расчета буферов фрактальных СМО реализован в виде достаточно компактной программы на языке GPSS (программы Metod_AIM.gps) и в электронных таблицах. Программа Metod_AIM.gps предназначена для прогона модели с ББ и получения:

а) массива значений Qmax во всех ПНЗ, реализованных в этом прогоне, и

б) массива числа заявок, обслуженных в каждом из этих ПНЗ.

Далее эти два массива преобразуются с помощью формулы (8) в массив, содержащий для каждого из множества значений m два числа — общее число отказов СМО при этом m и соответствующую вероятность отказа (как число отказов, деленное на число поступивших заявок). Полученный массив импортируется в таблицу на листе Excel, которая обрабатывается средствами Excel для построения качественной аппроксимации зависимости P(m).

С помощью описываемой программной реализации метода решается основная задача (1) расчета буферов фрактальных СМО. В стандартной версии программа Metod_AIM.gps рассчитана на обработку 500 тыс. ПНЗ. Программу и руководство по ее применению можно получить (с целью использования в научной работе или в учебном процессе) в НИЛ ИМ-САИТ — научно-исследовательской лаборатории имитационного моделирования, системного анализа и информационных технологий при кафедре АСО-ИУ ОмГТУ. Или скопировать (бесплатно) с сайта НИЛ ИМСАИТ по адресу: http://imsait.eom/2/

Программа Metod_AIM.gps позволяет эффективно рассчитывать размеры буферов и в классических не экспоненциальных СМО с КБ, для которых не существует точных аналитических методов решения этой задачи.

5. Проверка точности ускоренного метода путем моделирования классической СМО с конечным буфером. Для дополнительной оценки точности ускоренного метода выполним с помощью программы Metod_AIM.gps расчет буфера в экспоненциальной СМО с КБ и сравним полученные результаты с точным решением.

Рассмотрим, например, СМО M|M|3|m, в которой сл. в. т и x распределены экспоненциально со средними 10 и 15 соответственно, и в которой, следовательно, коэффициент загрузки р равен 0,5.

Прогон программы Metod_AIM.gps с моделью этой СМО и сбор информации о 500 тыс. ПНЗ занимает на персональном компьютере средней мощности около 2 минут. При этом через СМО проходит 2,37 миллиона заявок. Последующая обработка полученных данных, импортированных в Excel, с максимизацией показателя достоверности аппроксимации R2 дает в качестве наилучшей экспоненциальную аппроксимацию P(m) = 0,11139e—Cl,68525m (рис. 3). Эта аппроксимация является приближенным решением задачи (1). О том, как его использовать для решения задачи (2), мы уже говорили.

Прогноз по этой аппроксимации значения P, которое будет иметь место при m = 50, дает оценку P(50)«1,47-10—16. Рассчитанное по точным формулам 5 значение P(50) = 1,05-10—16.

Заключение. Разработан, программно реализован и экспериментально исследован ускоренный аналитико-имитационный метод расчета буферов для очередей сообщений в узлах систем передачи данных с фрактальным трафиком. Метод можно использовать для расчета буферов в случаях, когда СМО задаются распределениями с тяжелыми хвостами, в том числе и с бесконечными дисперсиями. Эта задача актуальна в области проектирования современных телекоммуникационных сетей с коммутацией пакетов, где правильность ее решения оказывает существенное влияние на качество связи и на стоимость предоставляемых услуг.

Испытания метода на примере расчета буферов фрактальных СМО, а также на примере расчета буферов классических СМО (в том числе экспоненциальных СМО, имеющих известные точные решения) показывают его достаточно высокую для инженерных расчетов точность (при этом погрешность контролируется и может снижаться путем увеличения длины прогона модели). Достигаемое ускорение расчетов составляет от одного до нескольких порядков 6.

Примечания

1 На практике допустимая вероятность потери пакета сообщений должна быть весьма невелика. Например, она может составлять величину 10—7—10—9.

2 Мы полагаем очевидным, что доля P заявок, теряемых из-за отсутствия места в буфере, не может возрастать при увеличении размера m буфера. Правда, параметры СМО могут быть заданы так, что P не будет зависеть от m (например, P будет равна нулю при всех m), т.е. так, что функция ф становится монотонно невозрастающей. Мы исключаем из нашего анализа такие особые случаи монотонного не убывания функции j как нетипичные.

3 Функция ф^) определена в формуле (1) на дискретном множестве значений аргумента {m} = {0, 1, ...}. Поэтому и обратная функция j—1, строго говоря, определена на дискретном множестве — множестве {P} = { j(0), ф(1), ф(2), ...}. Но поскольку получаемые далее для j(m) выражения будут определены при всех вещественных m>0, то мы можем рассматривать функцию j(m) и как непрерывную (там, где это не приводит к неясностям или противоречиям).

В целях простоты мы не будем возражать и против получения по формуле (2) дробных (или даже отрицательных) m при условии правильной их интерпретации как нижней границы для размера буфера. Например, если при P'=10—8 мы получаем решение m' = 57,3, то это решение следует читать так: «для того чтобы вероятность потерь не превышала 10—8, размер буфера m должен быть не ниже 57,3».

4 При условии, что P'e [j(<»), j(0)]. Здесь ф(°о)= lim ф(ш),

ш —> оо

0<j(0)<1 и j(<xi)<j(0) (см. предыдущее примечание).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

*

5 В системе М|М|1|ш при загрузке р = ХЬ>0 стационарная вероятность P потери заявки составляет лШ+1 1~Р

р=рп

1-

„т+2 '

(Р>0).

В системе М|М|п|ш при загрузке р = ХЬ/п>0 стационарная вероятность потери заявки определяется соотношениями [5]:

-1

n _n+mп _

Р = р —-я0,

п!

7С0 =

^‘(лрИ+(npf 1-Pm+1

Ра ]'■ п! 1-р

(Р^О)

Эти соотношения представляют собой точные решения основной задачи (1) проектирования буферов для экспоненциальных СМО с КБ.

6 Нерешенными остаются еще три проблемы — проблема длительности переходных процессов в моделируемых СМО, проблема медленной сходимости оценок из-за их высокой дисперсии и проблема корректной реализации РТХ в ИМ [6 — 8].

Библиографический список

1. Шелухин, О. И. Фрактальные процессы в телекоммуникациях / О. И. Шелухин, А. М. Тенякшев, А. В. Осин / Под ред. О. И. Шелухина. — М. : Радиотехника, 2003. — 480 с.

2. Столингс, В. Современные компьютерные сети / В. Столлингс. — СПб. : Питер, 2003. — 784 с.

3. William Stallings. Интернет и телекоммуникации. — URL: http://my.online.ru/it/press/cwm/19_97/world.htm (дата обращения: 13.03.2010).

4. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. — М. : Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.

5. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. — М. : Техносфера, 2003. — 512 с.

6. Задорожный, В. Н. Предпосылки создания фрактальной теории массового обслуживания / В. Н. Задорожный // Омский научный вестник. — 2010. — № 2 (90). — С. 182— 187.

7. Задорожный, В. Н. Проблемы генерации случайных величин с фрактальными распределениями / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов. — Омский научный вестник. — 2012. — № 3(113) - С. 20 24.

8. Задорожный, В. Н. Моделирование и расчет буферов фрактальных СМО / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов // Имитационное моделирование. Теория и практика (ИММ0Д-2011) : материалы 5-й Всерос. конф. В 2 т. Т. 1. — СПб. : ЦТ СС, 2011. — С. 156-161.

9. Кутузов, О. И. Имитационное моделирование сетей массового обслуживания : учеб. пособие / О. И. Кутузов, В. Н. Задорожный, С. И. Олзоева. — Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2001. — 228 с.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: zwn@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 23.11.2012 г.

© В. Н. Задорожный

УДК 51 004.«1.2:004.7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Е. С. ЕРШОВ

Омский государственный технический университет

ОПТИМИЗАЦИЯ

НЕМАРКОВСКИХ СЕТЕЙ С ОЧЕРЕДЯМИ ПУТЕМ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ И ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ___________________________________________

Предлагается новый эффективный аналитико-имитационный метод оптимизации немарковских сетей массового обслуживания путем перераспределения ресурсов и переходных вероятностей. Экспериментально оцениваются скорость сходимости и точность метода. Даются практические рекомендации по его применению. Ключевые слова: сеть массового обслуживания, оптимизация, аналитико-имитаци-онное моделирование.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 12-07-00149-а.

Введение. Производительность организацион- но-вычислительные системы (ИВС) [1—5]. В этом

но-технических систем, предназначенных для об- случае заявки рассматриваются как перемещаемые

работки или обслуживания дискретных потоков в ТС автомобили или передаваемые в ИВС сообще-

каких-либо однотипных единиц (заявок), часто оце- ния, т.е. как пользовательские запросы, обрабатыва-

нивается по времени прохождения заявок через эти емые ресурсами системы. Время прохождения за-

системы. Унифицированным формализованным явки через СеМО будем называть временем ответа.

представлением подобных систем является сеть Среднее время ответа Е зависит от:

массового обслуживания (СеМО) со статистически — распределения имеющихся ресурсов между

однородными заявками — однородная СеМО [1]. узлами сети;

В виде СеМО традиционно представляются, на- — распределения значений переходных вероят-

пример, транспортные сети (ТС) и информацион- ностей на выходах узлов сети.