О вероятности потерь в многолинейных фрактальных системах массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.2:004.421.5:004.7

Т. Р. ЗАХАРЕНКОВА

Омский государственный технический университет, г. Омск

О ВЕРОЯТНОСТИ ПОТЕРЬ В МНОГОЛИНЕЙНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ_

Разрабатывается и исследуется метод определения вероятностей потерь в многолинейных фрактальных системах массового обслуживания с помощью аппроксимации этих вероятностей стационарными вероятностями состояний и хвостами распределений вероятностей состояний соответствующих беско-нечнолинейных систем. Эффективность рассматриваемого подхода к определению вероятностей потерь обосновывается теоретически и с помощью имитационного моделирования. Предложенные в статье аппроксимации позволяют ускорить и упростить поиск оптимального распределения числа каналов по узлам сетей массового обслуживания.

Ключевые слова: вероятность потерь в конечнолинейных СМО, фрактальный трафик, теория массового обслуживания, телекоммуникационные сети. Исследование выполнено в рамках НИР № 17060В «Разработка и исследование аналитико-имитационных методов расчета и оптимизации систем и сетей массового обслуживания со степенными хвостами распределений» ОмГТУ.

1. Введение. В настоящее время наблюдается процесс конвергенции компьютерных и телекоммуникационных сетей, что приводит к созданию единой мультисервисной сети [1—3], которая предоставляет возможность передачи разнородного трафика. Современные мультисервисные сети строятся на основе принципа коммутации пакетов (когда необходимые для передачи сообщения разбиваются на так называемые «пакеты», которые далее передаются по сети). Отличительной особенностью коммутаторов в сетях с коммутацией пакетов является наличие в них буферов для хранения пакетов [1]. Использование буферов позволяет регулировать скорость продвижения данных по линиям связи, а также предотвратить потери пакетов. Однако существуют ситуации, когда при высокой загрузке буфер переполняется и происходят потери пакетов.

Вероятность потерь заявок является одной из характеристик, влияющих на качество обслуживания ^оБ) современных сетей [4]. Поэтому обеспечение требуемой низкой вероятности потерь или даже сведение её к нулю является важной и актуальной задачей при проектировании сетей.

Теория массового обслуживания позволяет математически представлять и описывать мультисер-висные сети и их компоненты как сети (СеМО) и системы (СМО) массового обслуживания соответственно. Далее будут рассматриваться только системы массового обслуживания. Существует большое количество работ [5 — 7], в которых показано, что описывающие трафик случайные процессы задаются распределениями со степенными хвостами, поэтому большой интерес представляют фрактальные СМО. Фрактальными будем называть СМО вида Gl/Gl/n/m, функции распределения интервалов

поступления и/или времени обслуживания заявок, в которых имеют степенные хвосты. Функция распределения вероятностей (ф.р.) F(t) имеет степенной хвост У (г) ы 1 - у (гК, есуи У (гсг при t -— <х>. В распределениях, описывающих фрактальные СМО, будемиспользовать а е (1;2]; при этом первый начальный момент таких распределений является конечным, а второй — бесконечным.

В данной статье разрабатывается и исследуется метод определения вероятности потерь заявок р1 в многолинейных фрактальных системах массового обслуживания вида С1/С1/п/0, т.е. в системах с числом каналов п и без буфера для хранения заявок (размер буфера m = 0). Если приходящая заявка застает все каналы занятыми,то онатеряется. Новый метод позволяет получать значения вероятностей потерь р1 в многолинейной фрактальной СМО для любых п путем аппроксимации этих вероятностей соответствующими вероятностями состояний рп или хвостом P(k >п) бесконечнолинейной СМО С1/С1/<х> с аналогичными характеристиками, когда вероятности потерь малы (10-4 — 10-5 и менее).

Представленные далее результаты получены с помощью аналитико-имитационных методов.

В случае систем массового обслуживания вида М/С1/<х> и М/С1/п/0 существуют точные формулы для расчета стационарных вероятностей состояний. Для СМО более общего вида точный анализ затруднителен, поэтому имитационное моделирование является незаменимым инструментом исследования таких СМО [8].

Сама идея определения вероятностей потерь в многолинейных СМО с помощью бесконечноли-нейных не является оригинальной [8—11], однако рассматриваемые в литературе задачи аппроксимации вероятностей потерь предполагают наличие

конечной дисперсии распределений интервалов времени поступления и обслуживания заявок, что не соответствует рассматриваемому в данной работе случаю.

2. Постановка задачи. Рассмотрим фрактальную многолинейную систему A(t)/B(t)/n/0, где A(t) — ф.р. времени поступления заявок с математическим ожиданием (м.о.) а; B(t) — ф.р. времени обслуживания заявок с м.о. Ь.

Определим интенсивность входящего потока заявок Х=1/а, интенсивность времени обслуживания заявок ¡и=1/Ь и коэффициент загрузки р = %Ь. В данной работе СМО рассматриваются в стационарном режиме функционирования, когда вероятности их состояний рп Щ=рп со временем не меняются.

В качестве ф.р. со степенным хвостом будем использовать распределение Парето Ра(К,а) с параметром масштаба (являющимся одновременно минимальным значением случайной величины) К > 0 и параметром формы а>0. Значение параметра а будем рассматривать только в полуинтервале (1, 2] в силу его актуальности. Требуется показать, что вероятности потерь заявок в фрактальной многолинейной системе вида С1/С1/п/0 можно заменять стационарными вероятностями состояний рп или хвостом Р(к > п) соответствующей бесконечноли-нейной фрактальной СМО С1/С1/ю, когда вероятности потерь достаточно малы.

Необходимость такой замены возникает при решении задач оптимизации числа каналов в сетях массового обслуживания. Одна из подобных задач рассмотрена в [12]. Основной недостаток такой оптимизации заключается в том, что для каждого отдельного узла рассматриваемой СеМО, вероятность потерь р1 приходится моделировать по отдельности для любого фиксированного п. Уже при небольшом количестве узлов СеМО проектировщику сетей приходится тратить большое количество времени на имитационное моделирование. Для ускорения процесса поиска оптимального числа каналов в каждом узле СеМО конечнолинейную фрактальную СМО можно заменять на аналогичную бесконечноли-нейную, стационарные вероятности состояний рп и хвост Р(к > п) которой можно получить для всех п за один прогон имитационной модели.

3. Теория. Аналитическое решение можно получить для фрактальных систем вида М/С1/п/0 и М/С1/ю, для которых существуют формулы расчета стационарных вероятностей состояний. В многолинейной СМО М/С1/п/0

Р1 =-

. (В/ц)"

,(В / ц)

в бесконечнолинейной системе М/01/ю

-А / ц

(А / ц)"

-эС_

(1)

(2)

Очевиднр, что для систем с экспоненциальным распределением времени мв/циу присодаии заявок при п -— ю предел отношения вероятности потери заявки р1 в многолинейной (-^МО к стационарной вероятнортт состоянит рп бэсконечнолинейной СМО будет ревен единице:

Нес— = Нее

- = 1,

-эр: и!

(3)

так как при увеличения чтела каналов п -— ю сумма в числителе ядсоется разложением экспоненты в ряд Те йдо ра.

Фрактальнчге СМО " входящим пучссоновским потоком. Рассмотр ем СМО М/Ра/л/0 и М/Ра/ ю с интенсивностью входящего потоке р = 8(-С3, средним временем обслржывчния заявок Ь = 3,5. На рис. 1 показаны вероятности поте]еь яаявок р1 и с-сцио-нарные вероятноети соытооний т рассчитанные по формулам (1) и (2). Винно, что при увеличетии числа каналов укясчнные выше вероятности уменьшаются по знайению и приближаютсе друг к другу. Значенияеероятностей ртн рп дли йекоторых п =йи-ведены в табл. 1.

По данным вебЛ! 1 можно утидеть, ито уже про п = 53 значения вероотносеей потерь и стационарных вероятностей еоояняний севпедают с точностью до 4 значащих еифе■

Данный резоеьтат также подтверждеесся и имитационным модееиоовениещ (ИМ). На рис. 2 для вероятностей р1 и ре еыли посероены линии тренда, которые обозиоечны ~я о- "т рп, кав у и у* с-ствет-ственно.

Высокие значени ескоэффициента детерминации В2 говорят о достаточно хорош ем приближении значений линии та)етда к исхооным данным.

Фрактальные СМО еЩщего вида. Имитационные эксперименты для различных фрактальных СМО

49

53

55

57

59

61

РъРп

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001

^ —. 1 ТГ 1 п**-0.б37х

0,997 7

у-1 К2 Е+Юе 0.647* = 0,9981 _

п, число каналов

Рис. 1. Вероятности потерь Р! (пунктирная) и стационарные вероятности состояний р (сплошная) для систем М/Ра/п/0 и М/Ра/ю

Рис. 2. Полученные путем ИМ вероятности потерь Р! (пунктирная) и стационарные вероятности состояний Рп (сплошная) для систем М/Ра/п/0 и М/Ра/ю

-1

е

я

о

Значения р и р

Г1 гп

Таблица 1

п 47 48 49 50 51 52 53

р- 0,000151 8,50964Е-05 4,71165Е-05 2,55664Е-05 1,36011Е У 5 7,0965Е-06 3,63283Е-06

Рп 0,000151 8,50879Е-05 4,7114Е-05 2,55657Е-05 1,36009Е У 5 а ,09645Е-06 3,63282Е-06

Pn.Pl

1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

,,* - ОР+ЛОв-0.625)

= 0,9975

„-0,631л

Я2 = 0,999

п, число каналов

Рис. 3. Вероятности потерь р1 (пунктирная) и стационарные вероятности состояний р (сплошная) для систем

На рис. 3 изображены промоделир ованные системы Ра1/Ра2/п/р ы Ра^Ра /го, у кото р ых значе ния параметров масштаба и формы равны K1 = (3,043, а1=1,5 для Ра1 и К2=1, а2= 1,4 для Ра2, интенсивность входящего пытжка 1 = 7,75, а среднее время обслуживания заявок Ь = 3,5.

Стационарные вероятности с о стояний для фрактальных СМО определялись как отношение времени пребывания tn системы в состоянии п, к общему времени моделирования Ц что можно записать следующим образом:

1 т

, ы Нт— > I(к ы о)

' тов т^ыг

(4)

Рис. 4. Вероятности потерь р1 (пунктирная) и хвост Р(к > п) (сплошная) для систем М/Ра/п/0 и М/Ра/да, полученные из (1) и (2)

где /(•) — ступенчатая Уутыция Хэвисайда, ]соторая принимает значение 1, если условие (ы выполняется, и значение 0 — в противном случае; k — это случайная величина, вырцжующая число занятых каналов.

Аппроксимация вертятности потерь -ц; хвостом Р(к>п). В литературе встречаются случаи [9, 11], когда в качества ацпцоос им аци и вер о ятнос ти поыерь заявок р1 о мноыолинейных СМО используют хуост И(.к> п), коткрый выражает ]-е]чоя^чность того, что в системе будет занято нес мвнсше ием р ыанаеов. Пры пуассоновском входящеч потчке такая аппроксимация дает чосошую чхсдимость хвоста к вероотностч пстерк прт их молых зцачы-ниях. На рте. 4 дло выше чистем

МСРа/ы/0 и М/Ра/св, изображены вечоятность по-товь заявок рт рсссчитанная по (1), и хвост P(k>п) стациот^]тных вероятсшятей состояний рп, ы.лучен-ных по (2):

Даеные Iыводы можео подтвердить аналитически. Рассмотримтумму р5/^т! ячо11 (к я 1).я... ы ^чк /к..

к ыт

Про веярот фиксирочанном р > 0 и достаточно большом п слагаемые данноа туммы убывают столь быстро, что она может Яытн предетавлына в киде

^/ры (чСт.) • (1 я е), где с ожень маленькая величи-

кыт

на. При п — да значение; в -в>0 и то где можно сказать, что вся сумма равна своему пврвому члену:

Нт

ы 1.

(5)

Рис. 5. Вероятности потерь р1 (пунктирная) и хвост Р(к > п) (сплошная) для систем М/Ра/п/0 и М/Ра/да, полученных путем ИМ

вида С1/С1/п/0, у которых входящий поток не является пуассоновским, показали, что вероятности потерь р- заявок и стационарные вероятности состояний р также сходятся при увеличении п, когда вероятности потерь малы.

к.

Теперь, на основании вышеизложенно]^ вчгаит-лим пцедвл отношения вероятнксто Р(к >л) о вероятности потерь р-:

не еегоо ы1,!

-Р(кы о)

(ТО И ¡ы5 от

То-

5. ¡ы0

Ра1/Ра2/п/0 и Ра1/Ра2/да

ч

ч

39 44 49 54 59 64

к

Л1

а;

1

од 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,0000001 1Е-08

"■ч ^—>

ч\

О4 N

ч\ \\

N \\

п., число каналов

Рис. 6. Слева — всроятсости потерь т, (пунктирная линия) и хвост Р(к > п) (сплошная) для систем Р-ц/Ра^п/0 и Ра/Ра^ю. Справа — Р! (маркированная сплошная) ихвостР(к > п) (сплошная) для систем Ра/вашша/п/0 и Ра/вашта/ю

Ни

Со (1 ее). в"с _Н_

сИ

я!

Тс- = 1,и(1 е(=)• в с • вс = 1. (6)

Тао(ам образом, яри еооьших значениях п хвост Р(к>п) сходиеся к )ероятности р1 = Р(к = п) с относительной погрешностью ноль.

На чис- 5 гфедсяселены еeиyльтaттI ИМ для М/РаЛп/0 и М/Ра/ю, подтверждающие данные выводы.

Как показали ишисацит(ныя э ксперименты, для фраштальных систем общего вида, когда распределение интервалов времени между поступлениями заявок не экспоненциальное, при увеличении п хвост Р(к>п) также схо=ится к вероятности р.. На риле ы со ива прт ,2^-н тавлены результаты ИМ для р нос ы(ч ренныд сыше си стем Ра1/Ра2/п/0 и Ра1/Ра2/ю, а справа — дм систем Ра/Сатта/п/0 и Ра/Сатта/ю с параметрами К = 0,04, м= 1,5 для Парсе о распределения, Л= ы и ас = Зге Д=я г ч мма-расп"еделения, и хвост д(kыен) с интенсивностью вдедящего потока X = 7,75 и средним сртменем обслуживания Ь = 3,6. В работе рассматриеается гамма-распределение с плотностью вероятностей

о (а) =

Р"е И(ещ)

е р ,где Г(а ) — гамма-фуекциу.

Ы(ч > я) ~ яуе '

(7)

2,5

2

1,5

СО*

--

К 1

0,5

0

10 15 20 25

и, число каналов

В [12] получено соотношение, выражающее асимптотическую зависимость хвоста Р(к>п) от числа каналов п для фщактаеьных СМ О при п — ю, имеющую следующщИ ей):

где с0, С — некоторые константы, свои для каждой СМО. В ходе анализа результатов имитационных экспериментов было обнаружено, что при больших п стационарные вероятности состояний рп имеют аналогичную асимптотику.

Погрешность аппроксимации. При приближенной замене вероятностей потерь р вероятностями состояний р или хвостом Р(к>п) появляется погрешность, о которой можно судить по отношению рп/р1 и Р(к>п)/р.. Обозначим отношение рп/р1 как 51(п) и Р(к> п)/р1 как 52(п). Изучение поведения отношений 51(п), 52(п) с ростом числа каналов п позволяет выработать определенные рекомендации

Рис. 7. Отношения 51(п) (пунктирная линия) и 52(п) (сплошная) для СМО вида М/в1/п/0 и М/вТ/ю с р=5

по выбору аппроксимирующего выражения для вероятности потерь р.. На рис. 7 представлены графики 51(п), 52(п) для СМО вида М/С1/п/0 с коэффициентом загрузки р = 5, полученные аналитически с помощью (1) и (2).

Поведение отношений 51(п), 52(п) для других фрактальных СМО, как показывают имитационные эксперименты, имеют схожий характер. Однако для выработки конкретных рекомендаций по использованию Р(к>п) или рп вместо р ,, необходимы дополнительные исследования.

Заключение. В статье показано, что для определения вероятностей потерь в многолинейных фрактальных СМО, когда эти вероятности малы (от 10-4 и менее), можно использовать стационарные вероятности состояний рп или хвосты Р(к>п) аналогичных бесконечнолинейных СМО. При этом, для нахождения условий выбора одной из предлагаемых аппроксимаций, требуется дополнительное исследование.

Разработанный метод определения вероятностей потерь р заявок в многолинейных фрактальных СМО позволяет значительно ускорять и упрощать процесс оптимизации распределения числа каналов по узлам фрактальных СеМО. Аппроксимация вероятностями состояний и хвостом Р(к>п) позволяет избегать многократных прогонов имитационных моделей фрактальных СМО для отдельных п, и получать необходимые значения вероятностей потерь за один прогон имитационной модели, что существенно сокращает время моделирования

а

2

СеМО, особенно когда число узлов в сети является большим.

В результате исследования обнаружено, что в фрактальных бесконечнолинейных СМО для стационарных вероятностей состояний p имеет место соотношение (6), которое установлено для хвоста P(k >n) в [12] эмпирически.

Библиографический список

1. Олифер В. Г. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы. 4-е изд. СПб.: Питер, 2012. 944 с.

2. Кузьмин В. В. Модели и процедуры управления трафиком в мультисервисной сети оператора связи: дис. ... канд. техн. наук. Н. Новгород, 2015. 189 с.

3. Степанов С. Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей. М.: Эко-Трендз, 2010. 392. ISBN 978-5-88405-092-1.

4. ITU-T Recommendation Y.1540 Internet protocol aspects — Quality of service and network performance; Internet protocol data communication service — IP packet transfer and availability performance parameters. URL: https://www.itu.int/rec/T-REC-Y.1540/recommendation.asp?lang = en&parent = T-REC-Y.1540-201607-I (дата обращения: 15.02.2017).

5. Crovella M. E., Taqqu M. S., Bestavros A. Heavy-tailed probability distributions in the World Wide Web // A practical guide to heavy tails. 1998. (1). P. 3-26.

6. Leland W. E. [et al.] On the self-similar nature of Ethernet traffic (extended version) // IEEE. ACM Transactions on networking. 1994. № 1 (2). P. 1-15.

7. Paxson V., Floyd S. Wide area traffic: the failure of Poisson modeling // IEEE. ACM Transactions on networking. 1995. № 3 (3). P. 226-244.

8. Li A., Whitt W. Approximate Blocking Probabilities in Loss Models With Independence and Distribution Assumptions Relaxed // Performance Evaluation. 2014. Vol. 80. P. 82-101.

9. Massey W.A., Whitt W. An analysis of the modified offered-load approximation for the nonstationary Erlang model // The annals of applied probability. 1994. № 4 (4). P. 1145-1160.

10. Srikant R., Whitt W. Simulation run lengths to estimate blocking probabilities // ACM Transactions on modeling and computer simulation. 1996. № 1 (6). P. 7-52.

11. Моисеев А. Н., Назаров А. А. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2015. 240 с.

12. Задорожный В. Н., Захаренкова Т. Р. Минимизация риска потери сообщений в сетях с фрактальным трафиком // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2016. № 5 (149). С. 125-130.

ЗАХАРЕНКОВА Татьяна Романовна, аспирантка кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: ZakharenkovaTatiana@gmail.

Статья поступила в редакцию 10.04.2017 г. © Т. Р. Захаренкова

com

УДК 621.396.96:004.021

Н. Л. КНЯЗЕВ

Омский государственный технический университет, г. Омск

ОБРАБОТКА НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА

НЕЧЕТКОЙ КЛАСТЕРИЗАЦИИ

Рассмотрена задача распределения летательных аппаратов (ЛА) по группам (кластерам) на основе обработки навигационных параметров. Предложен алгоритм кластеризации ЛА с использованием математического аппарата нечеткой логики. Разработанный алгоритм предоставляет возможность формировать количество кластеров в процессе своей работы. Показана эффективность предлагаемого алгоритма для точного кластерного анализа обнаруженных летательных аппаратов.

Ключевые слова: кластерный анализ, метрика, нечеткая логика, радиолокация.

1. Введение. Перед современными техническими средствами радиолокации, которые занимаются обнаружением и определением динамических объектов в пространстве, ставится задача обработки и определения наиболее существенных навигационных параметров летательных аппаратов (ЛА) (рассматриваемых в качестве целей) для распределения ЛА по группам (кластерам). Выделение целей из воздушного пространства происходит на основе анализа пространства и определения параметров движения объектов (навигационных параметров)

с использованием радиолокационных станций (РЛС) [1]. Сложность решения такой задачи связана с неразличимостью объектов в заданном частотном диапазоне, а также с близостью моментов прихода импульсов от различных ЛА. Для решения проблемы предлагается использовать нечеткую кластеризацию на основе метода с-теам [2], пригодного для решения подобных задач. Причиной актуальности данной проблемы является обширное развитие сетей мобильной связи поколения 4С, которые затрудняют обработку данных ЛА, т.к. работают