CC BY
62
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
*
5 В системе М|М|1|ш при загрузке р = ХЬ>0 стационарная вероятность Р потери заявки составляет лШ+1 1~Р
р=рп
1-
„т+2 '
(Р>0).
В системе М|М|л|ш при загрузке р = ХЬ/л>0 стационарная вероятность потери заявки определяется соотношениями [5]:
-1
n _n+mп _
Р = р —-я0,
п!
7С0 =
^(np)j | (np)n l-pm+1 Ра ]'■ п! 1-р
(Р^О)
Эти соотношения представляют собой точные решения основной задачи (1) проектирования буферов для экспоненциальных СМО с КБ.
6 Нерешенными остаются еще три проблемы — проблема длительности переходных процессов в моделируемых СМО, проблема медленной сходимости оценок из-за их высокой дисперсии и проблема корректной реализации РТХ в ИМ [6 — 8].
Библиографический список
1. Шелухин, О. И. Фрактальные процессы в телекоммуникациях / О. И. Шелухин, А. М. Тенякшев, А. В. Осин / Под ред. О. И. Шелухина. — М. : Радиотехника, 2003. — 480 с.
2. Столингс, В. Современные компьютерные сети / В. Столлингс. — СПб. : Питер, 2003. — 784 с.
3. William Stallings. Интернет и телекоммуникации. — URL: http://my.online.ru/it/press/cwm/19_97/world.htm (дата обращения: 13.03.2010).
4. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. — М. : Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.
5. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. — М. : Техносфера, 2003. — 512 с.
6. Задорожный, В. Н. Предпосылки создания фрактальной теории массового обслуживания / В. Н. Задорожный // Омский научный вестник. — 2010. — № 2 (90). — С. 182— 187.
7. Задорожный, В. Н. Проблемы генерации случайных величин с фрактальными распределениями / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов. — Омский научный вестник. — 2012. — № 3(113) - С. 20 24.
8. Задорожный, В. Н. Моделирование и расчет буферов фрактальных СМО / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов // Имитационное моделирование. Теория и практика (ИММ0Д-2011) : материалы 5-й Всерос. конф. В 2 т. Т. 1. — СПб. : ЦТ СС, 2011. — С. 156-161.
9. Кутузов, О. И. Имитационное моделирование сетей массового обслуживания : учеб. пособие / О. И. Кутузов, В. Н. Задорожный, С. И. Олзоева. — Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2001. — 228 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 23.11.2012 г.
© В. Н. Задорожный
УДК 51 004.«1.2:004.7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Е. С. ЕРШОВ
Омский государственный технический университет
ОПТИМИЗАЦИЯ
НЕМАРКОВСКИХ СЕТЕЙ С ОЧЕРЕДЯМИ ПУТЕМ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ И ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ___________________________________________
Предлагается новый эффективный аналитико-имитационный метод оптимизации немарковских сетей массового обслуживания путем перераспределения ресурсов и переходных вероятностей. Экспериментально оцениваются скорость сходимости и точность метода. Даются практические рекомендации по его применению. Ключевые слова: сеть массового обслуживания, оптимизация, аналитико-имитаци-онное моделирование.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 12-07-00149-а.
Введение. Производительность организацион- но-вычислительные системы (ИВС) [1—5]. В этом
но-технических систем, предназначенных для об- случае заявки рассматриваются как перемещаемые
работки или обслуживания дискретных потоков в ТС автомобили или передаваемые в ИВС сообще-
каких-либо однотипных единиц (заявок), часто оце- ния, т.е. как пользовательские запросы, обрабатыва-
нивается по времени прохождения заявок через эти емые ресурсами системы. Время прохождения за-
системы. Унифицированным формализованным явки через СеМО будем называть временем ответа.
представлением подобных систем является сеть Среднее время ответа Е зависит от:
массового обслуживания (СеМО) со статистически — распределения имеющихся ресурсов между
однородными заявками — однородная СеМО [1]. узлами сети;
В виде СеМО традиционно представляются, на- — распределения значений переходных вероят-
пример, транспортные сети (ТС) и информацион- ностей на выходах узлов сети.
В последние годы успешно развиваются методы оптимизации марковских [1, 2] СеМО — сетей с экспоненциальными распределениями времени обслуживания заявок и (если сеть не замкнута) с пу-ассоновскими входными потоками. В [6] решается задача оптимизации замкнутых марковских сетей с несколькими классами сообщений.
В [7] для немарковских сетей рассматриваются методы приближенного расчета, основанные на аппроксимации произвольных распределений распределениями, допускающими рациональное преобразование Лапласа. Однако этот путь сопряжен со значительными вычислительными трудностями даже для одновариантного расчета сетей с небольшим числом узлов (особенно если приходится аппроксимировать распределения случайных величин, ограниченных узкими диапазонами возможных значений [8]). В [9] предпринята попытка решения задач оптимизации немарковских СеМО путем аппроксимации их узлов аналитическими выражениями, учитывающими первые два момента времени обслуживания и интервалов поступления заявок в узлы, с учетом межузловых взаимодействий. Однако до действительного решения оптимизационных задач эта работа не доводится.
Таким образом, в общем случае для оптимизации немарковских сетей приходится использовать имитационное моделирование (ИМ). При этом если задача оптимизации содержит более двух-трех независимых переменных, то ее решение становится практически невозможным без привлечения градиентных методов. Но расчет градиентов в ИМ существенно затрудняется стохастической погрешностью вычисляемых оценок Е среднего времени ответа Е [7, 10]. Известные методы [7, 11 — 13] решения этой проблемы либо пригодны только при ИМ изолированных СМО [7, 12, 13] и не распространяются на СеМО, либо их теоретически возможное применение к СеМО на практике приводит к значительным трудностям. Например, применению методов, опирающихся на имитацию большого числа периодов регенерации [11 — 13], препятствует то обстоятельство, что в СеМО, как правило, эти периоды бывают практически бесконечными. Успешные применения подобных методов ограничиваются классами СеМО, учитывающими специфику конкретных сетевых объектов при конкретных диапазонах варьирования их параметров [3].
Для задачи оптимального распределения ресурса по узлам однородной немарковской СеМО и оптимального распределения переходных вероятностей в статье предлагается метод, позволяющий эффективно решать проблему градиентов путем использования простой сепарабельной аппроксимации целевой функции.
Решаемая задача формулируется следующим образом.
1. Задача оптимизации немарковских сетей с очередями путем перераспределения ресурсов и переходных вероятностей. Рассмотрим открытую сеть, в которую поступает рекуррентный поток заявок с интенсивностью Л. Интервалы поступления заявок — независимые случайные величины (сл.в.) с функцией распределения (ф.р.) А(^. Заявка из входного потока сети с вероятностью р попадает в г-й
узел, г = 1,п . В любом из К каналов г-го узла время обслуживания заявки (независимая сл.в.) имеет ф.р. В.(^. После обслуживания в г-м узле заявка случайно и независимо, в соответствии с заданными пере-
ходными вероятностями р.., выбирает один из узлов у для продолжения своего маршрута или, с вероятностью р 0, уходит из сети. Вероятности р.. (г,у = 0,п) задаются неразложимой стохастической матрицей
рф1- Е
Стационарное среднее время Е прохождения заявки через сеть (среднее время ответа) можно представить в виде:
Е = £а,-ц = £а,К + Ь,) = £а,
¡=1
/=1
і=і
_1
Щ)
(1)
где а. — среднее число посещений г-го узла заявкой за время ее прохождения через сеть, и. — среднее время пребывания заявки в г-м узле, ш. — среднее время ожидания заявки в очереди г-го узла, Ь. — среднее время обслуживания заявки в г-м узле, ц. = Ь .-1 — интенсивность обслуживания заявки каналом -го узла.
Коэффициенты а. однозначно определяются из системы уравнений баланса:
п ___
а1 = Иа]Р]1' I = 0,л, а0 5= 1.
1=о
Через а. последовательно определяются интенсивности X = Л-а. входных потоков узлов, их коэффициенты загрузки р. = Х./(ц.-К.), г=1,п. Значения ш. для (1) определяются посредством ИМ.
Теперь рассмотрим следующую обобщенную версию сформулированной в [14] задачи оптимизации однородной немарковской сети.
Стоимость (ресурс) М однородной сети как функция вектора ц = (ц1,...||хп) интенсивностей обслуживания в узлах г = 1,п задается в виде мМ = ЕГ=1сг^' где с. — стоимостные коэффициенты, в . >0 — коэффициенты нелинейности.
Варьируемые переходные вероятности (не равные нулю или единице), расположенные в фиксированном порядке, определяют некоторый вектор Ру размерности т. Обычно т ограничена линейной функцией от п, т.к. степень связности узлов СеМО в практических приложениях ограничена константой.
Требуется найти векторы ц = цор{ и Ру = РТОр1, доставляющие минимум функции Е = Е(\и,Ру):
£(йРу)=£аі(Ру) 1=1
Ш,(\Х,Ру)+ —
. Нї.
->тіп (2)
Ц.Ру
и принадлежащие следующей области допустимых решений (ОДР):
М(ц) = ¿Сгц|‘ =М , Ці - Цітіп ;
1=1
tpiгí, (і = М; і=о
0<Руі<і, (і=йп); (3)
где для открытой сети ¡х.т1п>Х/К. (граница области стационарности), а для замкнутой Ціт1п = 0. Для ресурса М в (3) должно выполняться условие М">Мт1п, где для
открытой сети ЛГ^ = = ЕмСі^і/Я# -
а для замкнутой Мт1п=0. В задаче (2), (3) имеется в виду, что изменение любой интенсивности ц. приводит к изменению среднего Ь. = цгг и к соответствующему масштабному изменению ф.р. В.Щ. Вид ф.р.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
В (^ не изменяется, поскольку ассоциируется со случайной трудоемкостью заявок, тогда как варьируемый параметр ц. определяется производительностью каналов г-го узла. Варьирование переходных вероятностей в векторе р обычно ограничивается узкими пределами.
2. Общая структура метода. В разработанном авторами комплексе программ RedOpt 2 решение задачи (2), (3) является итерационным процессом. Каждая итерация оптимизационного процесса начинается с расчета коэффициентов чувствительности (КЧ) расширенным методом редукции (РМР) [14] и оптимизации распределения ресурса М по узлам СеМО методом направляющих гипербол (НГ) [14], дающим распределение Ц = Ц0р( при фиксированных р . Далее следует оптимизация СеМО по вероятностям при фиксированном ц. После этого выполняется переход к следующей итерации или завершение оптимизационного процесса (если выполняется условие останова). Однако необходимый для оптимизации по вероятностям анализ чувствительности времени Е к изменениям переходных вероятностей р]к, дающий значение производных дЕ/друк, является для ИМ достаточно сложной задачей. Выполнение такого расчета методом малых приращений в имитационном эксперименте связано с большими трудностями и часто бывает практически нереально. Учтем еще, что имитационная модель не позволяет давать приращение одной вероятности р , сохраняя неизменными переходные вероятности на альтернативных дугах, а одновременное изменение нескольких варьируемых параметров разрушает общепринятую универсальную интерпретацию КЧ как частных производных.
Возможность быстрого и точного вычисления КЧ дЕ/друк аналитическими средствами обнаруживается благодаря применению РМР. Дифференцируя по любой переходной вероятности р]к последнее в (1) выражение для Е, находим, что
8Е _£д(а,/ц,} | £д(а,щ) дР]к ¡=1 ^Р]к ¡=1 дР]к
Д 1 дщ Д да,- Д
--И—
1=1 Ц/ 1=1 ]к ¿=1 оР]к
(4)
Теперь заметим, что РМР вычисляет для графа задержек производные времени Е по переходным вероятностям точно [14], но эти производные определяются в предположении, что изменение вероятностей р.к не влечет за собой изменения задержек в узлах графа. Другими словами, РМР вычисляет следующие «виртуальные» КЧ дЕг/др.к, которые определяются путем отбрасывания в правой части формулы (4) третьей суммы:
8ЕУ
8Е
дР]к 8Р]к
Л 1
= 1-
дщ Д
да,-
■сопл 1=1 &Р]к ¿=1 1 &Р]к
(5)
Значение выражения (5) рассчитывается посредством РМР по заданным, приписанным вершинам графа, значениям t., которые обычно интерпретируются как средние задержки в вершинах. Например, для расчета (5) на графе задаются задержки ^.= 1/ц. (в вершинах каналов) и t= ш. (в вершинах очередей). Однако такая интерпретация параметров t необязательна, и свертки вида (5) с частными производными
да./др.к вычисляются посредством РМР (точно) при любых t.. Далее это будет использовано.
Однако, применяя РМР для расчета КЧ в СеМО, необходимо еще учесть, что изменение вероятности рук любой дуги влечет за собой изменение интенсивности той части потока, которая проходит по этой дуге, и, следовательно, влияет на время ожидания ш . во многих очередях. Влияние р.к на ш ,, отражаемое последней суммой в (4), не учитывается виртуальными КЧ (5), полученными на выходе РМР.
Приспособить РМР для расчета полных КЧ (4) позволяет выведенная в [14] для изолированной СМО связь между производными дш/дк. и дш/дц:.
к дш ц д\\г _
ш дк уг д\х
(6)
Это соотношение позволяет по известному значению одной из частных производных находить значение другой частной производной.
Для узлов сети (в случае малого изменения какой-либо переходной вероятности), в отличие от изолированной СМО, это соотношение выполняется лишь приближенно, поскольку изменение дк. интенсивности к,, вызванное изменением др.ккакой-либо переходной вероятности, в общем случае немного изменяет и статистическую структуру поступающих на входы узлов потоков. Вообще говоря, погрешности применения формулы (6) для анализа последствий приращения др.к будут тем выше, чем больший разброс коэффициентов вариации имеют ф.р. А.(^ и В.(^. Если эти ф.р. экспоненциальные, то формула (6) для узлов сети выполняется точно. С учетом того, что приближенные значения производных дш/дц. известны (на каждом шаге метода НГ они являются компонентами градиента, вычисляемого этим методом) формула (6) позволяет вычислять (оценивать) производные дш/дк. по этим известным дш/дц. без использования численного дифференцирования.
Последнюю сумму в выражении (4) для полных КЧ преобразуем следующим образом:
уа ^- = уа ^- = УХ ^ -^г-ы ! дР]к ы ‘ дщ др]к £ ' дк, др]к '
где учтено, что а =к.- Л-1. Подставляя это выражение в (4) и учитывая (6), получаем для полных КЧ формулу
8Е
8Р]к ¿=1
1_
да,-
ь5>/)
да,-
дР]к /=1 др]к 1=]
кг^ ' дк.
дщ
дР]к
П 1
= 1-¿=1^1
-Е
1=1
да, Д да,
—-+ЕК-)—
^Р]к /=1
™7+Ц/
дуг,
5ц,
I У
дщ
дР]к
(7)
После проведения имитационного эксперимента на любом шаге метода НГ становятся известны все компоненты формулы (7), за исключением производных да/др]к. Но последние точно определяются с помощью РМР. Поэтому, используя формулу (7) и РМР, мы можем эффективно вычислять частные производные среднего времени ответа по переходным вероятностям сети.
Добавим, что в общем случае РМР автоматически рассчитывает свертки вида (7) любых величин,
Таблица 1
Начальные значения и диапазоны варьирования переходных вероятностей
Вероятность Начальное значение Левая граница Правая граница
Р0,1 0,2 0,1 0,3
Р 0,2 0,3 0,2 0,4
р0,3 1 р0,1 Р0,2 0,5 -
Р2,4 0,7 0,6 0,8
Р2,5=1-Р2,4 0,3 -
Р 4,6 0,3 0,2 0,4
Р 4,7 0,4 0,3 0,5
аТ 1 аТ 1 II а 0,3 -
Р5,8 0,9 0,5 0,99
Р5,9=1-Р5,8 0,1 -
Рис. 1. Тестовый пример СеМО
Рис. 2. Изменение времени Е в ходе оптимизации тестовой СеМО
приписанных вершинам i графа задержек, со все-ми_соответствующими производными вида да/др]к, I = 1,п, формируя в результате матрицу КЧ времени Е к изменениям варьируемых вероятностей сети. Поэтому формула (7) позволяет вычислять и использовать, по меньшей мере, три вида КЧ. Если в графе задержек вершины очередей пометить нулями, а вершины каналов — средними задержками 1/ц., то будут вычислены частные КЧ, соответствующими первой сумме в (7). Если нулевые задержки в вершинах очередей заменить значениями ш, найденными в имитационном эксперименте, РМР определит виртуальные КЧ. При добавлении к вершинам очередей слагаемого Хдш/дк1 вычисляются полные КЧ, учитывающие реакцию на изменение переходных вероятностей, опосредованную не только изменениями частот а. посещения каждого узла заявками, но и изменениями средних задержек ш. в каждой очереди (которые зависят от интенсивностей прихода заявок в узлы).
Эти три комплекта КЧ (частные, виртуальные и полные) дают богатую информацию для оценки чувствительности среднего времени ответа Е к изменениям переходных вероятностей. Эти КЧ могут вычисляться в любой точке факторного пространства (ФП) и использоваться как компоненты градиентов
при решении задачи оптимизации переходных вероятностей.
3. Описание алгоритма оптимизации СеМО.
Описание алгоритма решения задачи (2), (3) может быть представлено следующей последовательностью шагов.
Начало алгоритма. Полагаем число итераций N=1, число неудачных итерации у = 0.
1) Процедура оптимизации распределения ресурса М по узлам. СеМО. (При фиксированном Ру вектор ц оптимизируется методом НГ [14], в результате получаем оптимальные Ц = Р0р( иЕ=Е .)
2) Процедура оптимизации вероятностей Ру при фиксированном. Д. Для каждой варьируемой вероятности р:
2.1) По знаку производной дЕ/др.копределяем направление изменения текущего значения р , в котором время Е уменьшается. Определяем ту границу диапазона варьирования р , которая лежит в данном направлении, и сохраняем ее значение в переменной d]k. Если дЕ/др.к=0, то с вероятностью 0,5 выбираем и сохраняем любую из двух границ.
2.2) Вычисляем ^к=Щк-р]к)/(дЕ/дР]к).
2.3) Принимаем Н равным наименьшему из всех вычисленных Л.к, не равных нулю. Если все к]к = 0, переходим к концу алгоритма.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
2.4) Каждой варьируемой вероятности р , для которой Л.к^0, даем приращение Др = Н^дЕ/др]к, вычисляем новое значение Е=Е
3) ЕСЛИ Eopt2<Eoptl'
-ор12 и полагаем = ру .
то принимаем Еор1 = Еор12, N= = N+1 и переходим к шагу 1. Иначе полагаем у = у+1. Если у<2, то переходим к шагу 1.
Конец алгоритма.
4. Испытания метода оптимизации. Рассмотрим применение предложенного метода на примере оптимизации СеМО (рис. 1). Суммарный ресурс М=20 распределяется здесь при с = (с1,...,сп) = (Кг,...Д9) = (1,2Л,и,и,3,1), т. е. для каждой СМО стоимостный коэффициент равен числу ее каналов. Типы распределений В.(^ для узлов г=1,...,9 определены как D, М, D, М, D, М, М, D, D соответственно, где М — экспоненциальное распределение, D — детерминированное. Входной поток СеМО пуассонов-ский и имеет интенсивность Л=1. Переходные вероятности указаны на рис. 1. Диапазоны варьирования каждой из переходных вероятностей определим так, как указано в табл. 1.
На рис. 2 приводится типичная траектория изменений целевой функции в процессе оптимизации, выполняемой рассматриваемым методом. На каждой итерации приближение к точке оптимума происходит за количество шагов, сравнимое с размерностью (т+п) ФП. Вблизи точки оптимума растут стохастические ошибки аппроксимации, перенастраиваемой по двум сближающимся точкам ФП, и происходит «отбрасывание» очередного приближения (ц*+1,р*+1), от искомой точки оптимума, вследствие чего значение целевой функции резко возрастает. Затем процесс вновь возвращается к точке оптимума. В связи с этим предлагается начинать новую итерацию процесса оптимизации после каждого такого «отбрасывания». Решение, определяемое для тестовой СеМО за 4 итерации, обеспечивает снижение среднего времени ответа Е с 25 до 2,9. На каждой эффективной итерации число шагов в ФП меньше, чем его размерность (т+п).
Заключение. Для оптимизации немарковских СеМО путем перераспределения ресурсов и переходных вероятностей в общем случае приходится использовать ИМ, которое характеризуется высокой сложностью вычисления градиентов, обусловленной стохастическим характером получаемых путем ИМ оценок. При решении задачи оптимального распределения ресурса и переходных вероятностей проблема градиентов эффективно решается предлагаемым методом оптимизации. Он характеризуется относительно хорошей точностью и приемлемой вычислительной трудоемкостью, позволяющей рекомендовать его для практического применения при проектировании или модернизации сетей массового обслуживания (ИВС, транспортных сетей и т.д.), содержащих десятки и сотни узлов.
Библиографический список
1. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. - М. : Техносфера, 2003. - 512 с.
2. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями : пер. с англ. / Л. Клейнрок ; под ред. Б. С. Цыбакова. — М. : Мир, 1979. - 600 с.
3. Вишневский, В. М. Моделирование ведомственных систем электронной почты / В. М. Вишневский, С. М. Пороцкий // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 12. — С. 48-57.
4. Жожикашвили, В. А. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ / В. А. Жожикашвили, В. М. Вишневский. — М. : Радио и связь, 1988. — 192 с.
5. Феррари, Д. Оценка производительности вычислительных систем / Д. Феррари ; пер. с англ. А. И. Горлина, Ю. Б. Котова, Л. В. Ухова ; под ред. В. В. Мартынюка. — М. : Мир, 1981. — 576 с.
6. Герасимов, А. И. Оптимизация замкнутых сетей массового обслуживания с несколькими классами сообщений /
A. И. Герасимов // Проблемы передачи информации, 1994. — Т. 30, вып. 1. — С. 85 — 96.
7. Рыжиков, Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии / Ю. И. Рыжиков. — СПб. : КОРОНА принт; М. : Альтекс-А, 2004. — 384 с.
8. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок ; пер. с англ. И. И. Грушко ; ред. В. И. Нейман. — М. : Машиностроение, 1979. — 432 с.
9. Bitran, Gabriel R. Open Queueing Networks: Optimization
and Performance Evaluation Models for Discrete Manufacturing Systems / Gabriel R. Bitran, Reinaldo Morabito / Сайт Массачусетского технологического института. — URL: http://dspace.mit. edu/bitstream/handle/1721.1/2537/SWP-3743-31904719.pdf —
November 1994. — 47 p. (дата обращения: 01.11.2012).
10. Клейнен, Дж. Статистические методы в имитационном моделировании : пер с англ. / Дж. Клейнен ; под ред. Ю. П. Адлера и В. Н. Варыгина. — М. : Статистика, 1978. — Вып.1. — 221 с.
11. Johnson, M. E. Infinitesimal Perturbation Analysis: a Tool for Simulation / M. E. Johnson, J. Jackson // J. of the Operational Res. Soc. — 1989. — Vol. 40, N 3. — P. 134-160.
12. Rubinstein, R. Y. Sensitivity analysis of computer simulation models via the efficient score / R.Y. Rubinstein // Oper. Res. — 1989. — Vol. 37. — P. 72 — 81.
13. Suri, R. Perturbation Analysis Gives Strongly Consistent Sensitivity Estimates for the M|G|1 Queue / R. Suri, M. Zazanis // Mgmt Science. — 1988. — Vol. 34, P. 39 — 64.
14. Задорожный, В. Н. Аналитико-имитационные исследования систем и сетей массового обслуживания : моногр. /
B. Н. Задорожный. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. — 280 с.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: [email protected] ЕРШОВ Евгений Сергеевич, старший преподаватель кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 14.12.2012 г.
© В. Н. Задорожный, Е. С. Ершов
