Оптимизация маршрутных матриц в сетях с очередями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.2:004.421.5:004.7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Омский государственный технический университет

ОПТИМИЗАЦИЯ МАРШРУТНЫХ МАТРИЦ В СЕТЯХ С ОЧЕРЕДЯМИ

Рассматривается проблема оптимизации переходных вероятностей в однородных немарковских сетях с очередями. Изучается возможность моделирования дорог многоканальными системами с зависящей от н агрузки интенсивностью обслуживания. Разрабатывается метод оптимизации маршрутных матриц в транспортных сетях. Приводится пример оптимизации.

Ключевые слова: сеть с очередями, имитационное моделирование, анализ чувствительности, проблема вычисления градиентов.

1. Введение. В общем случае для оптимизации узлов (интенсивности обслуживания) [7], число

сетей с очередями, т.е. сетей массового обслужива- каналов в узлах [8], объемы буферов для хранения

ния (СеМО) приходится использовать имитационное очередей [9], переходные вероятности на выходах

моделирование (ИМ). И если задача оптимизации узлов или сочетания параметров нескольких таких

содержит более десятка варьируемых параметров, видов [10— 12]. Поскольку в реальных сетях общий

то ее решение без привлечения градиентных методов ресурс, используемый для варьирования параметров

становится практически невозможным. Но расчет определенного вида, как правило, ограничен, задачи

градиентов в ИМ существенно затрудняется стоха- оптимизации обычно формулируются как задачи

стическими погрешностями вычисляемых оценок поиска оптимального распределения одного или

целевой функции [1]. И все же проблему вычисления нескольких видов ресурса [13].

градиентов при ИМ СеМО удается решать путем В качестве показателей качества, из которых

использования аналитико-статистического подхода конструируются выражения целевых функций,

[2 — 6]. часто используются среднее время прохождения

В задачах оптимизации однородных СеМО варь- заявки через сеть, вероятность потери заявки, или

ируемыми параметрами могут быть быстродействия производные от них экономические показатели.

Частоты a. определяются через вероятности p

E=Ea-1w+—-

(i)

из системы уравнении:

= Ea p.

■■ 0, n, a0 ° 1.

(2)

j=о

Л = 1,

p = 0,2, p = 0,3, p = 0,5, p = 0,7, p = 0,3,

0,1 0,2 0,3 2,4 2,5

p =0,3, p =0,4, p =0,3, p =0,9, p =0,1

4,6 4,7 4,9 5,8 5,9

Рис. 1. Пример СеМО. Штриховая дуга соответствует замкнутой версии сети

В течение длительного времени разработка новых эффективных методов оптимизации СеМО остается весьма актуальной задачей в сферах проектирования компьютерных [13—15] и транспортных [16—18] сетей.

Значительные сложности при решении задач оптимизации возникают в случае, когда в число варьируемых параметров входят переходные вероятности [6, 11, 12], т.е. когда оптимизируются маршрутные матрицы СеМО. В статье разрабатываются методы, позволяющие существенно упростить оптимизацию маршрутных матриц различных сетей с очередями, включая транспортные сети.

2. Задача распределения производительности и переходных вероятностей. В качестве примера задачи, в которой требуется оптимизировать маршрутную матрицу, рассмотрим задачу оптимизации СеМО путем перераспределения быстродействий узлов и переходных вероятностей [11, 12]. В сеть поступает рекуррентный поток заявок с интенсивностью Л. Интервалы поступления заявок являются независимыми случайными величинами, принадлежащими функции распределения (ф.р.) А(Заявка из входного потока сети с вероятностью р попадает в ¡-й узел, г = 1, п. В любом из К каналов г-го узла время обслуживания заявки (независимая случайная величина) имеет ф.р. Б(£). Распределения А(^ и Б^) в общем случае не экспоненциальные. После обслуживания в г-м узле заявка случайно и независимо, в соответствии с заданными переходными вероятностями ру, выбирает один из узлов у для продолжения своего маршрута или, с вероятностью р , уходит из сети (рис. 1). Вероятности Ру (г,у = 0,п) задаются неразложимой стохастической маршрутной

матрицей Р = || р^ ||.

Стационарное среднее время Е прохождения заявки через сеть (среднее время ответа) можно представить в виде:

Через a.. последовательно определяются интенсивности 1,= L.a, входящих потоков узлов и их коэффициенты загрузки р.= l ./(—.■ K) i = 1, n . Значения w i для (1) в общем случае определяются посредством ИМ и эффективно используются для оптимизации распределения производительности [7].

Задача оптимального распределения производительности и переходных вероятностей более общая и ставится следующим образом.

Ресурс M производительности (стоимость) сети как функция вектора — = (— 1, ..., —n) интенсивностеИ обслуживания в узлах , = 1,n задается в виде

M(|) = с—г , где c,>0 — коэффициенты стоимости, Р>0 — коэффициенты нелинеИности. Варьируемые независимо переходные вероятности, указанные в фиксированном порядке, являются координатами вектора pv размерности т.

Требуется наИти векторы — = —opt и pv = pv opt, доставляющие минимум определенного формулоИ (1) среднего времени ответа:

E(1, pv) = Ea, (pv) W(— pv) + — I ® min

ii

(3)

и принадлежащие следующеИ области допустимых решений

M(—) = E c— = m = const; p, <1; E p. = 1

j=о

(i = 0, n); 0 < pv. < 1, (i = 1, m).

(4)

3. Метод совместной оптимизации векторов р

и рг. Метод решения задачи (3), (4), предлагаемый в [11, 12], со стоит в итерационном приближении к решению (рор1, рг ор1). Каждая итерация включает два шага. На первом шаге при фиксированном рг методом направляющих гипербол (НГ) [7] оптимизируется распределение р = (р 1, ..., рп) ресурса М* по узлам сети. На втором шаге при найденном р оптимизируется вектор рг (маршрутная матрица). Дале е итерации поочередной оптимизации векторов р и ру повторяются, пока не наступит заданное условие останова.

На шаге оптимизации вектора рг рассчитываются все частные производные (ЧП) 8Е/8ру1. При этом вычисление ЧП времени Е по вероятностям р^ сводится к вычислению ЧП частот аг по этим вероятностям. Действительно, дифференцируя (1) по любой переходной вероятности р , получаем равенство

8Е = £ 8(а, / р,) + £_8(а^) =

<Н г* Н г»

p ы dp

=1 p

где аг — среднее число («частота») посещений г-го узла заявкой за время ее прохождения через сеть, w¡ — среднее время ожидания заявки в очереди г'-го узла,

рг = Ь-1 — интенсивность обслуживания заявки каналом ¡-го узла (Ь1 — среднее время обслуживания в г'-м узле).

-Л 1 5a, -A 5a, -A 5w,

= E--- + E—-w, + E a ,-L,

¡=1 — i p 1=i p £1 p

(5)

из которого в монографии [6] выводится приближенная формула

5E » E I 1 _ 5wl | _5a,_

p hU i ' 5—i Jp '

a

г=1

=1

в которой значения всех компонент, за исключением ЧП да/др^, после шага оптимизации методом НГ вектора известны. Для точного расчета ЧП дБ/ дру. в [11, 12] используется расширенный метод редукции графа задержек. Этот метод позволяет точно вычислять все ЧП да,/др^ путем последовательных упрощений графа и соответствующих пересчетов ЧП как производных от суперпозиции функций многих переменных. Покажем теперь, что точный расчет ЧП да/др^ можно существенно упростить, сводя его к решению вспомогательной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

4. Расчет ЧП методом вспомогательных СЛАУ.

Поскольку задача расчета ЧП да/дрпредставляет собой задачу расчета ЧП решений а.. СЛАУ (2) по ее заданным коэффициентам р., достаточно показать, как можно рассчитывать ЧП решений СЛАУ по ее коэффициентам в общем случае. Пусть, дана имеющая единственное решение СЛАУ Ах = Ь :

КХ1 + а12Х 2 + ■■■ + «lA = К

+ ■■■ + a2nxn = К

(7)

и требуется вычислить ЧП дх/да ^ всех решений этой системы по выбранному ее коэффициенту а ^ Для точного расчета искомых КЧ продифференцируем формально все уравнения данной СЛАУ по выбранному коэффициенту а]к. В результате получаем вспомогательную СЛАУ

дх,

+ ■■■ + а„

да

jk дх, jk

дх, да

да

+ ■ ■■ + а а

+ ■■■ + а„.

jk

дх, да

дхк

дх{ да а,

-«in = о

дхп

■ «п —— = -х

" да k

-ап ^ = a да ,i

(8)

Все п ЧП дх /да ., являются неизвестными в СЛАУ

1 ]к

(8) и, следовательно, могут быть найдены как ее решения. Матрица А коэффициентов СЛАУ (8) совпадает с матрицей А исходной СЛАУ (7). Столбец правых частей содержит нули везде, кроме строки , в которой находится значение (— хк). В итоге имеем следующее общее правило расчета ЧП всех решений х( по выбранному а]к:

(1) решаем исходную СЛАУ;

(2) решаем вспомогательную СЛАУ, получаемую из исходной заменой нулями всех элементов столбца Ь , кроме элемента Ь . — он заменяется значением ( — хк), известным в результате выполнения шага (1).

Решение (х^ ..., хп) вспомогательной СЛАУ, найден-

(

ное на шаге (2), есть искомый вектор

дх

дх

Л

да к""' дак 0

Замечание 1. При расчете ЧП решений СЛАУ по выбранному коэффициенту Ь вспомогательная

СЛАУ отличается от описанной только значением Ь :

]

Ь =1.

]

Замечание 2. Используя продемонстрированный подход, нетрудно свести к решению вспомогательной СЛАУ и задачу расчета ЧП решений СНАУ (системы нелинейных алгебраических уравнений) по ее коэффициентам.

Численные эксперименты показывают, что методом вспомогательной СЛАУ все ЧП рассчитываются с максимально высокой точностью^ Например, в Excel ЧП рассчитываются с 15-ю точными значащими десятичными цифрами Решение рассчитывается по сравнению с шагами ИМ практически мгновенно^ Например, решение СЛАУ из 100 уравнений в Excel (методом обращения матрицы A) занимает вместе с отображением результата долю секундьь

5. Пример уточнения оптимального вектора pv ■

В [11, 12] решается задача оптимального распределения производительности и переходных вероятностей для СеМО, представленной на рис 1 Вероятности оптимизируются с помощью метода редукции графов^ Точные условия задачи оптимизации указаны в [12] В результате оптимизации среднее время ответа снизилось в [11] с E = 25,5 до E = 2,9, ав [12] — до Е = 3,Г

При подготовке настоящей статьи выполнен эксперимент, в котором метод редукции заменен методом вспомогательной СЛАУ^ В результате получено более точное решение: время E снизилось до 2,697■ Уточнено только распределение переходных вероятностей Вместо приведенных в [11, 12] их оптимальных значений получены оптимальные значения р0Д = 0,1, p02 = 0,2, р24 = 0,6, р46 = 0,2, p47 = 0,3, р58 = 0Д Остальные переходные вероятности однозначно определяются перечисленными вероятностями (см^ рис 1]

6. Задача оптимизации маршрутных матриц в транспортных сетях. Придадим СеМО на рис 1 смысл транспортной сети и проиллюстрируем на ее примере метод оптимизации транспортных маршрутных матриц Для этого условимся представлять каждую дорогу транспортной сети многоканальной системой массового обслуживания (СМО) Число K каналов в СМО положим равным емкости дороги, т^ числу автомобилей, которые могут разместиться на дороге одновременно и «обслуживаться» ею параллельно во времена Положим емкости дорог 1, ..., 9 (узлы 1, ..., 9 на рис 1) равными соответственно 50, 50, 50, 150, 150, 100, 100, 100, 150^

Поскольку емкость узлов-дорог в сети велика, сеть можно отнести к классу высокорезервирован-ных СеМО [19] Поэтому в случае хорошей загрузки дорог случайное число автомобилей на них имеет распределение, близкое к нормальному [15] А это позволяет приближенно рассчитывать стационарные режимы и оптимизировать их характеристики, ориентируясь на среднее число машин на дорогах и на их средние скорости Среднюю скорость автомобиля на пустой дороге обозначим через v^

Тот факт, что при увеличении плотности транспортного потока скорость автомобилей в нем уменьшается, учтем с помощью фундаментальной диаграммы (ФД) дороги Определим ФД дороги как убывающую функцию S(p) коэффициента р загрузки, который в стационарном режиме равен отношению среднего числа автомобилей на дороге к ее емкости K (0<р<1, 0<8(р)<1] В общем случае p = 1b/K, где l — интенсивность входа автомобилей на дорогу, b — среднее время проезда дороги В нестационарном режиме р может превышать единицу Фактическая средняя скорость v определяется формулой v= v0S(p] Вид ФД S(p) реальных дорог находят путем натурных измерений на дорогах^

Скорости v0 на дорогах 1, ., 9 из-за разного качества дорог различны и составляют в км/ч соответственно 30, 50, 40, 45, 45, 40, 40, 40, 50^ Длины дорог

а21х1 + а22х2

b

п 1х1 + ап2 Х2 +

+ аппХп

а

а

а

р =

р=^ = 1_L_ 1=

и K v08(р) K 8(р)

(9)

Kv о 211

KVo 211

-1

1

2р0

(2р0)2

-- 1,

(10)

Рис. 2. Примеры ФД дорог

1, ..., 9 тоже различны и составляют (в км) 2,5, 2,5, 2,5, 3, 3, 2, 2, 2, 2,5.

Для целей данной статьи можно использовать упрощенную ФД, одну и ту же для всех дорог сети. Выберем, например, в качестве ФД функцию 8(р), изображенную верхней линией на рис. 2. Если р>1, то 8(р) = 8(1) = const.

Примером задачи оптимизации маршрутных матриц в транспортных сетях является задача оптимизации переходных вероятностей в описанной транспортной сети. Дополним исходные данные задачи. Положим Л = 500 ам/ч (автомобилей в час) и потребуем, чтобы частоты а. захода в узлы i =1, 6, 7 были не менее 0,25, а в узел 8 — не менее 0,5 (таковы обязательства по обслуживанию пунктов транспортного спроса). Переходные вероятности р^ — это доли числа автомобилей, сворачивающих на соответствующие ветви маршрутов. Требуется найти значения Pj, доставляющие минимум времени E.

7. Аналитический метод оптимизации транспортных маршрутных матриц. При заданной интенсивности входа автомобилей на дорогу 1>0 возникает некоторый положительный коэффициент ее загрузки р>0. Это приводит к уменьшению 8(р) (см. рис. 2) и фактической средней скорости v= =^8(р). Учитывая ФД дороги 8(р) и используя формулу Литтла, запишем уравнение:

где 1 — длина дороги, р0 = И/(У0К) — виртуальный «свободный» коэффициент загрузки. Уравнение (9) справедливо для стационарного режима и в общем случае решается численными методами. Для выбранной нами ФД 8(р) = 1/(1 + р2) нетрудно найти аналитическое решение уравнения (9):

которое корректно (соответствует стационарному режиму) при р0<1/2. Здесь у каждой дороги интенсивность 1=аЛ и частота а являются функциями переходных вероятностей, так как частоты а задаются как решения СЛАУ (2).

Вычисляя р на всех дорогах сети по формуле (10), можно найти все скорости v = ^8(р) = v0 /(1 + р2) на этих дорогах, все средние времена b = 1/v прохождения дорог и время E, равное сумме произведений времен b на соответствующие частоты а дорог:

E = Е,=1 a.b.. К сожалению, при больших коэффициентах загрузки, влиянием которых на скорости пренебречь нельзя, точный расчет ЧП 8E/8p.k сводится к решению вспомогательных СЛАУ посредством формул слишком громоздких, чтобы имело смысл здесь их приводить. При небольших размерах сетей они хорошо оптимизируются стандартными программами, использующими численное дифференцирование.

На рис. 3 показан расчет на Excel значений ру, доставляющих минимум времени E. Начальное распределение варьируемых вероятностей определено следующим образом: р =0,1, р02 = 0,2, р24 = 0,6, р46 = 0,5, р47 = 0,4, р58 = 0,5 (если его взять как на рис. 1, то стационарный режим будет невозможен — коэффициенты загрузки дорог 5 и 8 превысят единицу). При таких ру получается E = 0,639 часа. Использование найденных оптимальных значений показанных на рис. 3, приводит к уменьшению времени E до 0,307 ч. Оптимизация выполнена в Excel с помощью сервиса «Поиск решения».

8. Имитационная проверка аналитического решения. Найденное решение основано на средних скоростях и коэффициентах загрузки. Реальная стохастическая динамика дорожного движения лучше описывается мгновенными значениями случайных величин, характеризующих дорожную ситуацию и разнообразное поведение ее участников. Поэтому для решения оптимизационных задач целесообразно использовать двухуровневые подходы [18], в которых аналитические решения время от времени проверяются и уточняются с помощью ИМ.

На рис. 4 приведен фрагмент модели, написанной для проверки найденных аналитических решений. Скорость автомобилей на дороге в модели случайна и выбирается из симметричного треугольного рас-

с15

щ =суммпроизв(в4 :j4:b13:j13)

А В С D E F G H I J К L M N О

л = 500

¡: 1 2 3 4 5 6 7 в 9 Варьируемые Pi

>=0,25 >=0,25 >=0,25 >=0,5 Оптимальные

Альфы i: 0,250 0,553 0,197 1,000 1,000 0,250 0250 0.500 1 P а 1 0,250

U: 125 276,7 98,3 500.0 500.0 125 125 250,0 500 P а 2 0,553

Ki 50 50 50 150 150 100 100 100 150 P 2 4 0,452

li 2,5 2.5 2,5 3 3 2 2 2 2.5 P 4 0,250

VOi 30 50 40 45 45 40 40 40 50 P 4 J 0,250

pOi 0,2063 0,2767 0.1229 0,2222 0,2222 0.0625 0.0625 0.1250 0.1667 P 5 0,500

pi 0,21 s3 0,3019 0.1248 0,2344 0,2345 0.0627 0.0627 0.1270 0.1716 P 0 1 0,197 P 2 Б 0,548 P 4 9 0,500 PES 0,500

ад 0.9545 0,9165 0,9847 0.9479 0,9479 0,9961 0.9961 0.9841 0,9714

Vi факт-е 28,636 45,823 39,386 42,656 42,655 39,843 39,843 39,365 48,570

b i: 0.0673 0,0546 0.0635 0.0703 0.0703 0.0502 0,0502 0.0508 0,0515

Стало: E = 0,307

Было: E = 0,639

2

1

Рис. 3. Аналитическое решение задачи

155

TTB TABLE M1,0,2,60

CHAN1 STORAGE 50

<SPATMEHT ПРОПУЩЕН>

CHAN9 STORAGE 150

GENERATE (Exponential(1,0,1/500))

TRANSFER .197,,SMO3

TRANSFER (.553/.803),SMO1,SMO2

SMO1 ENTER CHAN1

ASSIGN STOR,CHAN1

ASSIGN Delta,(1/(1+(S$CHAN1/50)A2)

ASSIGN V ,(30#P$Delta)

ADVANCE (2.5/(Triangular(1,0.9#P$V 1. 1#P$V _,P$V_)))

TRANSFER ,SMO4

SMO2 ENTER CHAN2

ASSIGN STOR,CHAN2

ASSIGN Delta,(1/(1+(S$CHAN2/50)A2)

ASSIGN V ,(50#P$Delta)

ADVANCE (2.5/(Triangular(1,0.9#P$V 1. 1#P$V _,P$V_)))

TRANSFER .548,SMO4,SMO5

SMO3 ENTER CHAN3

<SPATMEHT ПРОПУЩЕН>

SMO4 ENTER CHAN4

LEAVE P$STOR

ASSIGN STOR,CHAN4

ASSIGN Delta,(1/(1+(S$CHAN4/150)A2 )

ASSIGN V ,(4 5#P$Delta)

ADVANCE (3/(Triangular(1,0.9#P$V ,1 1#P$V , P$V_)))

TRANSFER .5,,CMO9

TRANSFER .5,SMO6,SMO7

SMO5 ENTER CHAN5

<SPATMEHT ПРОПУЩЕН>

CMO9 ENTER CHAN9

LEAVE P$STOR

ASSIGN Delta,(1/(1+(S$CHAN9/150)A2 )

ASSIGN V ,(50#P$Delta)

ADVANCE (2.5/(Triangular(1,0.9#P$V 1. 1#P$V _,P$V_)))

LEAVE CHAN9

TABULATE TTB

TERMINATE

GENERATE 1000

TERMINATE 1

Рис. 4. Фрагмент имитационной модели рассматриваемой транспортной сети

пределения с центром в точке у = у0 /(1 + р2ек), где Ртек — мгновенный коэффициент загрузки, равный текущему числу машин на дороге, деленному на ее емкость.

Моделирование 1000 ч «жизни» сети с исходным набором вероятностей дает £=0,686 ч, при оптимальных вероятностях получается £ = 0,310 ч (ср. с аналитическими решениями в конце предыдущего раздела). Хорошо коррелируют или практически совпадают с аналитическими решениями и другие показатели, полученные при ИМ (включая коэффициенты загрузки).

Таким образом, быстрая приближенная аналитическая оптимизация хорошо подтверждается имитационным моделированием. Найденное аналитически оптимальное распределение переходных вероятностей снижает время Е немногим более чем вдвое. Экономический эффект, достигаемый такой оптимизацией транспортных маршрутных матриц, вполне очевиден.

7. Заключение. Разработан аналитический метод оптимизации транспортных маршрутных матриц для стационарных транспортных потоков. Метод основан на представлении дорог многоканальными системами массового обслуживания и учитывает фундаментальные диаграммы дорог.

Возможность оптимизации больших маршрутных матриц, связывающих сотни дорог, обеспечивается сведением расчета градиента целевой функции по варьируемым вероятностям к решению вспомо-

гательных систем линейных алгебраических уравнений.

Рекомендуется использовать разработанный аналитический метод оптимизации совместно с имитационным моделированием сетей, позволяющим уточнять и проверять получаемые решения.

Библиографический список

1. Рыжиков, Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии / Ю. И. Рыжиков. — СПб. : КОРОНА принт ; М. : Альтекс-А, 2004. - 384 с.

2. Клейнен, Дж. Статистические методы в имитационном моделировании : пер с англ. / Дж. Клейнен ; под ред. Ю. П. Адлера и В. Н. Варыгина. — М. : Статистика, 1978. — Вып. 1. — 221 с.

3. Johnson, M. E. Infinitesimal Perturbation Analysis: a Tool for Simulation / M. E. Johnson, J. Jackson // J. of the Operational Res. Soc. — 1989. — Vol. 40, № 3. — P. 134 — 160.

4. Rubinstein, R. Y. Sensitivity analysis of computer simulation models via the efficient score / R.Y. Rubinstein // Oper. Res. — 1989. — Vol. 37. — P. 72 — 81.

5. Suri, R. Perturbation Analysis Gives Strongly Consistent Sensitivity Estimates for the M|G|1 Queue / R. Suri, M. Zazanis // Mgmt Science. — 1988. — Vol. 34, P. 39 — 64.

6. Задорожный, В. Н. Аналитико-имитационные исследования систем и сетей массового обслуживания : моногр. / В. Н. Задорожный. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. — 280 с.

7. Zadorozhnyi, V. N. Optimizing Uniform Non-Markov Queueing Networks / V. N. Zadorozhnyi // Automation and

Remote Control ISSN 0005-1179. - Vol. 71, No. 6, 2010. -P. 1158-1169. DOI: 10.1134/S0005117910060172.

8. Задорожный, В. H. Распределение каналов в однородных немарковских сетях с очередями / В. H. Задорожный // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. - 2010. - № 1 (87). - С. 5-10.

9. Zadorozhnyi, V. N. Simulation modeling of fractal queues, in Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics) / V. N. Zadorozhnyi. - 2014. - December, 2014, pp. 1-4 // Dynamics. - 2014.7005703. DOI: 10.1109.

10. Tsitsiashvili, G. Sh. Parametric and Structural Optimization of the Queuing Network Throughput / G. Sh.Tsitsiashvili // Automation and Remote Control. PACS number: 89.75.Fb. -Vol. 68. No. 7, 2007. - P. 1177- 1185. DOI: 10.1134/ S0005117907070065.

11. Задорожный, В. H. Оптимизация немарковских сетей с очередями путем перераспределения ресурсов и переходных вероятностей / В. H. Задорожный, Е. С. Ершов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. -2013. - № 1 (117). - С. 220-224.

12. Zadorozhnyi, V. N. Optimization of Uniform Non-Markov Queueing Networks using resources and transition probabilities redistribution / V. N. Zadorozhnyi // Communications in Computer and Information Science. 2016. - Vol. 638. - P. 366-381. DOI: 10.1007/978-3-319-44615-8.

13. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями : пер. с англ. / Л. Клейнрок ; под ред. Б. С. Цыбакова. - М. : Мир, 1979. - 600 с.

14. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. - М. : Техносфера, 2003. - 512 с.

15. Моисеев, А. А. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания / А. А. Моисеев, А. Н. Назаров. — Томск : Изд-во НТЛ, 2015. - 240 с.

16. Хейт, Ф. Математическая теория транспортных потоков : пер. с англ. / Ф. Хейт ; под ред. И. Н. Коваленко. — М. : Мир, 1966. — 288.

17. Задорожный, В. Н. Аналитико-имитационные методы решения актуальных задач системного анализа больших сетей : моногр. / В. Н. Задорожный, Д. Ю. Долгушин, Е. Б. Юдин. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013. — 324 с.

18. Задорожный, В. Н. Двухуровневый многомодельный подход к задачам оптимизации транспортной инфраструктуры города / В. Н. Задорожный, М. А. Корнач, Е. А. Пендер, М. И. Ганеева // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2015. — № 1 (137). — С. 189—193.

19. Задорожный, В. Н. Оптимизация высокорезервирован-ных немарковских сетей с очередями / В. Н. Задорожный // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2014. — № 3 (123). — С. 21 — 25.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления.

Адрес для переписки: zwn2015@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 13.10.2016 г. © В. Н. Задорожный

Книжная полка

Советов, Б. Информационные технологии. Теоретические основы : учеб. пособие / Б. Советов, В. Цехановский. - СПб. : Лань, 2016. - 448 с. - ISBN 978-5-8114-1912-8.

В учебном пособии на основе современных тенденций развития информатики рассмотрены вопросы становления и развития информационных технологий. Информационные технологии рассматриваются как единая система, базирующаяся на основных информационных процессах, базовых информационных технологиях, поддерживаемых соответствующей инструментальной стратой. Представленный материал формирует у студентов представление об информационных технологиях в контексте промышленных методов и средств работы с информацией в различных сферах человеческой деятельности, обеспечивающих рациональное и эффективное ее использование. Для бакалавров учреждений высшего профессионального образования, обучающихся по укрупненной группе специальностей «Информатика и вычислительная техника».

Гаврилов, М. Информатика и информационные технологии : учеб. / М. Гаврилов, В. Климов. -4-е изд., перераб. и доп. - М. : Юрайт, 2016. - 384. - ISBN 978-5-9916-7317-4.

Изложены базовые понятия по информатике, информационным технологиям, современным компьютерным аппаратным средствам. Раскрыты назначение, возможности применения и дана классификация программного обеспечения, рассмотрены операционная система Microsoft Windows, прикладные программы различного назначения последних версий. Строгая формулировка основных понятий сочетается с доходчивыми пояснениями и рекомендациями по практической работе. Подробно изложены вопросы организации размещения, обработки, хранения и передачи информации. Описаны услуги глобальных компьютерных сетей, сети Интернет. Особое внимание уделено законодательной и технической защите от несанкционированного доступа, средствам антивирусной защиты. Для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования.