CC BY
7УДК 519.6
ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ МЕТОДОМ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Чемодуров В.Т., Шинкарук В.И.
Национальная академия природоохранного и курортного строительства
В статье приводится один из множества методов выбора оптимальных параметров многослойной пластины. А именно - градиентный метод. Вектор градиента целевой функции ищется с помощью метода планирования эксперимента. Эксперимент осуществляется с помощью ЭВТ на разработанной математической модели объекта, оценивающий задачу прочности пластины и задачу её жесткости. Математическая модель, статистическая модель, целевая функция, функции ограничений, градиент, уравнение регрессии.
Введение
Решение большого числа проблем на практике связанно с проведением сложных и дорогостоящих экспериментов с натурой или с физически подобными моделями. Применение методов планирования экспериментов позволяет в ряде случаев существенно сократить затраты времени и материальных средств на выполнение исследовательских работ. Несомненно, что подготовка к проведению фактических физических экспериментов приводит к тщательным теоретическим исследованием физической природы объекта, условиям его функционирования в будущем, а так же по расходам ресурсов. Кроме того, предварительные теоретические исследования позволяют с достаточной степенью достоверности определиться как с условиями проведения физического эксперимента, так и с первоначальным выбором параметров исследуемого объекта. Область параметров объекта с целью проведения физического эксперимента с наименьшими затратами легко определяется при исследовании функционирования математической модели с помощью ЭВМ.
Рис. 1. Схема трехслойной пластины-панели
Математическое моделирование позволяет без особых ресурсных затрат провести глубокое исследование поведения объекта при самом широком диапазоне как его параметров, так и внешнего воздействия. Покажем это на примере анализа напряженно-деформированного состояния многослойной пластины, объект исследования представлен на рисунке 1.
Цель и постановка задачи исследования
Задача исследования любой системы состоит из двух этапов. На первом этапе осуществляется построение математической модели исследуемой системы. На втором этапе подбирается метод исследования разработанной модели с целью определения оптимальных параметров поставленной задачи.
Детальный анализ математической модели напряженно-деформированного состояния пластины-панели приводится в работе [5].
Что касается метода исследования построенной модели, то в настоящее время имеется достаточно большой объем литературы, в котором изложены многочисленные методы нелинейного программирования. Их системный анализ приводится, например, в работах [2,
4].
В качестве метода исследования выберем градиентный метод определения оптимальных параметров построенной модели. Причем сам градиент целевой функции будем искать с помощью метода планирования эксперимента [1], рассмотренный в работе [4]. Данный метод оптимизации параметров не всегда удобен с точки зрения достаточной точности решения задачи, если модель представляет собой математическое описание системы. Но, если модель системы имеет физическую природу, то данный метод в ряде случаев является достаточно эффективным. Имея в виду, что в дальнейшем предполагается провести ряд физических экспериментов с целью уточнения теоретических выводов и экспериментального подтверждения параметров многослойной панели, примем в качестве исследования метод экспериментальной оптимизации.
Постановка задачи имеет вид: минимизировать целевую функцию
Г» (х ) =
т ^ тт
(1)
при условиях:
< О
уу шах —
Г1 (х ) = w -Г2(х)=ав -[ас] <О, Г3(х)=ан - [ар] < О,
Г4(х)= N -Ркр <О
(2)
х е X
1 в тт ^ 1 ] в тах
1 н тт 1н тах
8 °в тт в тах
8н тт ^ 8 '-'и тах
„ ^тт ^ а итах J
(3)
Здесь: т - общая масса пластины-панели, включающая массу бетона, массу внутреннего наполнителя и массу арматуры; Г1 (х) - ограничение по жесткости пластины; Г2 (х) - ограничение по прочности бетона на сжатие; Г3 (х) - ограничение по прочности бетона на растяжение; Г 4 (х) - ограничение по устойчивости элементов армирования.
Методика исследований
Ограничения на область варьируемых параметров (3) выбираются из разумных размеров объекта, хотя это и не является строгим ограничением.
Для решения задачи (1) - (3) применяем метод планирования эксперимента. В современной математической теории планирования эксперимента представляют интерес следующие 2 направления:
- планирование эксперимента для изучения механизмов сложных процессов и свойств многокомпонентных систем;
- планирование эксперимента для оптимизации параметров систем.
Для заданной темы исследования представляет интерес второе направление.
С этой целью настроим статистическую модель, используя уже разработанную аналитическую, причем ограничимся построением лишь ее линейной составляющей ввиду того, что коэффициенты при варьируемых параметрах являются оценками градиента целевой функции. Найдя их, мы можем использовать простейший градиентный метод оптимизации задачи 1-3. Итак, построим модель вида:
Г» (х ) = а» + а:х: + ...апхп. (4)
Для ее построения используют метод полного факторного эксперимента (ПФЭ). ПФЭ предполагает такую организацию проведения опытов (экспериментов), в которой
реализуются все возможные неповторяющиеся сочетания уровней факторов. Будем наши пять параметров вектора X варьировать на двух уровнях каждый. Тогда общее число решения математической модели N=25=32.
Это минимальное число решений для построения линейной модели целевой функции.
Для упрощения записи условий ПФЭ и обработки его результатов удобно перейти от натуральных значений факторов к кодированным (переход к безразмерному виду).
X; - Х;
Zi =
40
АХ;
i = 1,n,
(5)
где: х;о - значение фактора в центре плана; Дх; - интервал варьирования фактора относительно центра плана.
В этом случае будем иметь:
+1,
Zj
0,
Z;
1.
(6)
= t = 5.0см;
в max н max ?
= 5н max = 7,0см;
J;max ' ^i0 "imin
Итак, примем следующее значение входных параметров:
- толщины слоев бетона te min = tH min = 3.0см, t
- толщины слоев пенопласта 5в min = 5н min = 3,0см
- диаметр арматуры dmm = 0,2см, dmax = 0,6см.
Для численного примера решения задачи примем следующие значения постоянных параметров: длина пластины L=400 см, ее ширина b=400 см; плотности: бетона рб=0,002 кг/см3, внутреннего наполнителя рп=0,00022 кг/см3, арматуры рс=0,0079 кг/см3; модули упругости: бетона Еб=300000 кг/см2, материала арматуры Ес=2*106 кг/см2; допускаемые напряжения: бетона на сжатие [ос]=430 кг/см2, на растяжение [ор]=25 кг/см2, нагрузка на пластину q=0,01 кг/см2.
План проведения 32-х решений задачи и их результаты приведены в таблице 1.
Таблица 1.
ПФЭ и его результаты
N Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 f0 (x )
1 + + + + + 3720
2 - + + + + 3080
3 + - + + + 3080
4 - - + + + 2440
5 + + - + + 3580
6 - + - + + 2940
7 + - - + + 2940
8 - - - + + 2300
9 + + + - + 3580
10 - + + - + 2940
11 + - + - + 2940
12 - - + - + 2300
13 + + - - + 3440
14 - + - - + 2800
15 + - - - + 2800
16 - - - - + 2160
17 + + + + - 3700
18 - + + + - 3060
19 + - + + - 3060
20 - - + + - 2420
21 + + - + - 3550
22 - + - + - 2910
23 + - - + - 2910
24 - - - + - 2270
25 + + + - - 3550
26 - + + - - 2910
Продолжение табл.1.
27 + - + - - 2910
28 - - + - - 2270
29 + + - - - 3410
30 - + - - - 2770
31 + - - - - 2770
32 - - - - - 2130
Последняя колонка таблицы заполнена значениями целевой функции, полученными при решении математической модели с параметрами, соответствующими каждой строке плана.
Коэффициенты регрессии вычисляются по следующим формулам:
1 N 1 N
ао = -1 ^ (х), = -1 ^ (х )■ (7)
N 1=1 N 1=1
В результате получим следующее уравнение регрессии:
Г0 (2 )= 2926 + 32°21 + 32°22 + 71,223 + 71,224 +13,825. (8)
Как было сказано выше, коэффициенты линейного полинома является оценкой градиента целевой функции. Это свойство используем, для построения процедуры экспериментальной оптимизации. С этой целью один из факторов (как правило, максимальный) принимается за базовый и для него выбирают шаг движения р1. После вычисляют нормированный множитель, определяющий шаг движения для других факторов.
Таблица 2.
План и результаты экспериментальной оптимизации__
Факторы х1 х2 х3 х4 х5 Г1 Г2 Г3
Центр плана 4,0 4,0 5,0 5,0 0,4
Ах1 1,0 1,0 2,0 2,0 0,2
Верхний уровень 5,0 5,0 7,0 7,0 0,6
Нижний уровень 3,0 3,0 3,0 3,0 0,2
а1 320 320 71,25 71,25 13,8
а1*Лх1 320 320 142 142 2,76
Р1 0,2 0,2 0,089 0,089 0,0017
N
1 4,0 4,0 5,0 5,0 0,4 2920 -4,5 -421 -15,8
2 3,8 3,8 4,911 4,911 0,3983 2790 -4,35 -420 -15,2
3 3,6 3,6 4,822 4,822 0,3966 2650 -4,21 -420 -14,5
4 3,4 3,4 4,733 4,733 0,3949 2520 -4,06 -419 -13,7
5 3,2 3,2 4,644 4,644 0,3932 2380 -3,92 -418 -12,9
6 3,0 3,0 4,555 4,555 0,3915 2250 -3,77 -417 -12,0
7 2,8 2,8 4,466 4,466 0,3898 2120 -3,63 -416 -10,9
8 2,6 2,6 4,377 4,377 0,3881 1980 -3,49 -415 -9,70
9 2,4 2,4 4,288 4,288 0,3864 1850 -3,42 -414 -8,35
10 2,2 2,2 4,199 4,199 0,3847 1710 -3,20 -412 -6,81
11 2,0 2,0 4,11 4,11 0,3830 1580 -3,05 -410 -5,05
12 1,8 1,8 4,021 4,021 0,3813 1440 -2,91 -408 -3,02
13 1,6 1,6 3,932 3,932 0,3796 1310 -2,76 -406 -0,66
14 1,4 1,4 3,843 3,843 0,3779 1180 -2,62 -403 2,10
У = ^"Г . (9)
а1 • Дх1
Шаги движения к оптимуму для остальных факторов рассчитывается по формуле:
Р1 =уа1 Ах^. (10)
Движение к оптимуму начинаем из центра плана. Для данной задачи (поиск минимума целевой функции) все шаги будут иметь знак противоположный знакам полученных коэффициентов уравнения регрессии. То есть, все знаки будут отрицательными, так как очевидно, что увеличение размеров элементов пластины ведет к росту массы конструкции.
План экспериментальной оптимизации приведен в таблице 2. В нем, кроме значения целевой функции приводятся значения и функциональных ограничений. Движение к оптимуму прекращается при изменении знака одного из ограничений на положительный.
Результаты и их анализ
На четырнадцатом опыте одно из ограничений стало больше нуля. Это есть признак окончания процесса движения к оптимуму, который носит название метода наискорейшего спуска. Предложенное решение - есть вектор оптимальных параметров данной задачи.
Итак, получены следующие значения параметров, отвечающих минимуму выбранной целевой функции:
- толщины слоев бетона 1в = tн = 1,6см;
- толщины слоев пенопласта 5в = 5Н = 3,93см ;
- диаметр арматуры ё = 0,38см.
При полученных результатах выполнены все ограничения по условиям прочности элементов трехслойной пластины и устойчивости стержней внутренней арматуры для заданной внешней нагрузки, а общая масса пластины-панели составляет 1310 кг.
Вы1воды
Приведенный метод оптимизации наиболее эффективен для тех задач, для которых в силу различных причин не получены строгие математические зависимости между входными и выходными параметрами, а их взаимосвязь находится путем проведения физических экспериментов. Но, если при существующем математическом описании функционирования объекта математическая модель является громоздкой, то такой метод оптимизации при экспериментах на ЭВМ вполне применим.
И еще одно замечание. Метод наискорейшего спуска приводит к оптимальному решению, лежащего вблизи одного функционального ограничения. В данной задаче это ограничение связано с напряженным состоянием нижнего пояса бетона, работающего на растяжение. В то время, как верхний пояс бетона, работающий на сжатие, имеет переизбыток в толщине, а, следовательно, массу пластины можно было бы еще уменьшить. Поэтому полученную область оптимального решения следует при необходимости детально изучить, используя другие математические методы оптимизации целевой функции.
Список исользуемыз источников
1. Адлер Ю.П. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.,
/Адлер Ю.П. «Наука», 1971г., 324 с.
2. Ермольев Ю.М. - Математические методы исследования операций. /Ермольев Ю.М.
К., «Вища школа», 1979г., 312 с.
3. Тимошенко С.П. - Теория упругости. /Тимошенко С.П. «Наука», М., 1975г., 620 с.
4. Чемодуров В.Т. - Моделирование систем. /Чемодуров В.Т. ВМА, Л., 1981г., 180 с.
5. Чемодуров В.Т., Канцеров П.М. - Расчет многослойной пластины с приведенной
жесткостью. /[Чемодуров В. Т., Канцеров П.М.] // Строительство и техногенная
безопасность, НАПКС, г.Симферополь, 2012г., 8 с.
6. Штамм К., Витте Х. - Многослойные конструкции. /Штамм К., Витте Х.
«Стройиздат», М.,1983г., 176 с.
