Расчет многослойной пластины с приведенной жесткостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Невозможность предсказать (подтвердить) экспериментальный результат является лишь одним из аспектов более широкой проблемы - неспособность делать предсказания на основе экспериментальных исследованиях.

В науке на основании уже установленных фактов, как правило, удается представить, что произойдет в новых экспериментальных условиях или при эксплуатации конструкций (например, места с высокими концентраторами напряжений являются очагами хрупкого разрушения конструкций при понижении температуры, при ударных и циклических нагружениях и т. д.).

Экспериментальные исследования иногда проводят с целью определения действительной расчетной модели эксплуатируемого сооружения или отдельных конструкций. В этом случае по эпюрам усилий и перемещений можно построить действительную расчетную модель конструкции с учетом всех факторов, влияющих на НДС с учетом закреплений, наличия дефектов и других моментов, которые трудно установить в эксплуатируемом объекте.

Выводы

Эксперимент - это один из основных способов познания объекта.

Правильно постановленный эксперимент позволяет проверить гипотезы и причинно -следственные связи взаимодействия элементов в исследуемом объекте.

Планируя экспериментальные исследования необходимо ознакомиться с имеющей информацией, касающейся поставленной задачи.

Эксперимент следует оценивать по слабому звену.

Эксперимент заслуживает внимания только тогда, когда его можно повторить.

Список использованных источников

Давиденков Н. Н. Динамическая прочность и хрупкость металлов, Избранные труды. Т. Л. Киев. 1981. - 704 с.

Ажермачёв Г. А., Остриков Г. М. Результаты натурных замеров сейсмических колебаний большепролетного здания_-. Промышленное строительство.-№5.-1970. - С. 2729. Ажермачёв Г. А. Экспериментальные исследования бокового давления на подкрановые конструкции при движении мостового крана с раздельным приводом / Исследование, проектирование и монтаж строительных металлических конструкций. 3 научно -техническая конференция. Казахское отделение ЦНИИПСК. Алма-Ата.- 1972. - С. 14-17. Ажермачёв Г. А. Экспериментальное исследование стального каркаса - оболочки / Всесоюзное совещание 4 научной сессии советской национальной комиссии по пространственным конструкциям. Алма-Ата.-1973. - С.83-88. Ажермачёв Г. А. Конструктивные решения сооружений и расчетные модели. /Строительство и техногенная безопасность. Алушта - Симферополь. 2011. Вып.35. - С. 193-197.

УДК 519.6

РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С ПРИВЕДЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ Чемодуров В.Т., Канцеров П.М.

Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Рассматривается один из вариантов расчета многослойной пластины с жестко закрепленными краями. Показана возможность приведения многослойной пластины к однородной с приведенным модулем упругости. Получено уравнения прогиба пластины в виде ряда с применением метода Леви.

Полоса-балка, жесткое крепление, прогиб пластины, приведенная жесткость, упругость ортотропного тела.

Введение

В последние годы многослойные панели находят все большее применение в строительстве. Благодаря целесообразному выбору и составу отдельных слоев могут быть созданы панели с заданными статическими и конструктивными свойствами.

Многослойная панель, используемая в качестве несущего элемента, как правило, состоит из трех слоев: двух внешних и одного внутреннего. Для достижения общей несущей способности этой многослойной конструкции слои соединены между собой для образования монолитной системы.

Анализ публикаций

Для расчета многослойной панели, на которую действует поперечная нагрузка, имеется много теорий различной точности и сложности. Точный расчет плоской однослойной панели вытекает из математической теории упругости ортотробного тела [1]. В работе [3] показаны подходы к расчету многослойных панелей с решением уравнений для каждого слоя в отдельности, приводящие к сложным математическим зависимостям. В статье предлагается новый подход к расчету многослойных пластин, путем специального подбора их параметров и объединяя решения, полученные в выше указанных исследованиях.

Цель и постановка задачи исследования

Рис. 1. Схема крепления платтнны

В работе рассматривается трехслойная панель, внешние слои которой выполнены из бетона, а средний слой - из армированного полимерного материала. Представляется, что расчет многослойной панели можно упростить, ели реальную панель заменить однослойной с приведенной жесткостью. Таким образом, общую задачу расчета многослойной панели-пластины разобьем на два этапа. Вначале получим уравнения прогиба пластины как однородного ортотробного тела, используя законы классической теории упругости. На втором этапе построим модель трехслойной пластины с приведенной жесткостью.

Методика исследований

Рассмотрим задачу прогиба сплошной пластины с жестким креплением ее граней. Схема крепления пластины показана на рисунке 1.

Граничные условия на защемленных концах.

При y = 0 и y = L

р. dw

w = 0 и — = 0

dy

При исследовании вопроса об изгибе полосы-пластины воспользуемся решением М. Леви. Условия (1) будут удовлетворены, если примем в качестве частного решения уравнения прогиба

д ^ д w д w а

—Т + ^Т-^ТТ + = 5" (2)

выражение вида

ax4 ах%2 ay4 d

пкх

wn = YnSm-

а

Здесь Уп - неизвестная функция у, которая должна удовлетворять уравнению (2) и условиям по сторонам полосы-пластины, параллельным оси х. Будем искать выражение для прогиба полосы-балки в форме бесконечного ряда.

ж плх

w = Е . (3)

п=1 Ь

Нагрузку а примем равномерной по площади полосы-балки. Подставив (3) в (2), найдем

ж

I

n=1

f 2 2 4 4 Л

П К П К

Y""- 2 y" i Y

v b2 b4 y

^. пкх q

Sin-= —

b D

o • пкХ

Умножая обе части полученного уравнения на Sin- и интегрируя и интегрируя

b

его в пределах от 0 до b, получим следующее линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами для функции Yn.

2 2 4 4 о b

n к п к 2 b пкх

Yn- 2^Yn = bD 1 q • Sin-dx. (4)

b2 b4 bD0 a

ПК

Обозначим-= а . Тогда, при q=Const, получим

b

Yn "- 2а 2Yn + а Ч = - Cos(n')). (5)

bDa

Пусть фП (y) - частное решение уравнения (5). Общий интеграл его запишется в виде Yn = ф n (y) + AnSh (ay)+ BnCh (ay)+ y(CnSh (ay) + DnCh (ay)). (6) Произвольные постоянные An, Bn, Cn, Dn определяются из условия крепления пластины по краям, параллельным оси х (1). Для этого дифференцируем (6) по y.

aY

—П = a(Anch(ay) + Bnsh (ay)) + (Cnsh (ay) + Dnch (ay)) +

ay (7)

+ ay(Cnch (ay) + Dnsh (ay))

П 0 Ф n (y)+ Bn = 0,1 (8)

При У=0: A ТЛ Л f (8)

aAn + Dn = 0. J

Фп (у) + ЛпбИ (аЬ) + БпсИ(аЬ) + СПЬ ■ БИ(аЬ) + БпЬ ■ сИ(аЬ) = 0, При у=Ь: а(ЛпсИ(аЬ) + БпБИ(аЬ)) + СпБИ(аЬ) + БпсИ(аЬ) +

+ аЬ(СпеИ(аЬ) + БпБЬ(аЬ) = 0.)

Решая совместно уравнения (8) и (9), получим

Лп =Фп (у)

сИ(аЬ) -1 + аЬ

Бп

-Фп (у),

( ) БИ(аЬ) Сп =Фп (у )-

Бп =-Фп(у)а °Ь(аЬ) 1

(10)

+ аЬ 7 бИ (аЬ) + аЬ

Частное решение Ф п (у) найдем путем подстановки его в уравнение (5), правая часть которого отлична от нуля при нечетных значениях п.

,4„ лл

а

*Ф п (у ) =

ЬБа

откуда

Ф

п (у )

ЬБа5

т^ 4q / \ К

Обозначим К = -—, тогда Фп (у ) = —5. Выражения (10) можно переписать так:

ЬБ а

Л = К сИ(аЬ)-1 а 5 зИ(аЬ) + аЬ С = К а бИ(аЬ) а 5 БИ(аЬ) + аЬ

Б = К

Бп =--^

а5

С =-К_а сИ(аЬ)-1 а 5 бИ (аЬ) + аЬ

(11)

Выражение для Уп запишется следующим образом

V К

Уп = — Х

а5

х

1 +

:И(аЬ )-1

БИ(ау)- сИ(ау) + ау-

зИ(аЬ )

зИ (ау)

БИ(аЬ )+аЬ 4 7 бИ (аЬ) + аЬ бИ (аЬ )+аЬ

Для краткости записи введем обозначения для постоянных величин

сИ(аЬ)-1 = зИ(аЬ)

сИ(аЬ)-1

:И(ау)

Б,

+ аЬ 2 бИ (аЬ) + аЬ I

Прогиб пластины на основании (3) представляется в таком виде

w = X -^5-[1 + ^бИ(ау) - сИ(ау) + Б2ау ■ бИ(ау) - ^ау ■ сИ(ау) ■ Зт-^^1. (12)

п=1,3,5,... а а

Проанализируем уравнение (12). Наибольший прогиб пластины приходится на ее середину. При у=Ь/Ь и х=Ь/2 и подстановки в (12) значений К и а будем иметь:

wr

4Ь

4

(1 V

п=1,3,5...V п )

1 + ^бИ

ГаЬ ^

V 2 )

сИ

аЬ

+ к

аЬ

Т"

бИ

аЬ

Б,

аЬ

сИ

аЬ

Данный ряд быстро сходится. Так как первый его член при п=1 равен 0,15. Этим членом в принципе достаточно ограничиться, так как уже при п=3 выражение в скобках на два порядка меньше предыдущего. Поэтому приближенно можно принять

0,6Ь4

(13)

w

тах

Определим изгибающий момент по оси у.

м.

Б

ду2

+ ц-

д V ^

дх2

К

плх

= -Б x ^т [(ау)- ^(осу)- еИ(ау)-цО(ау

п=1,3,... а а

В выражении (14) введены следующие функции:

у(ау) = 2 • еИ(ау) + ау • бИ (ау),

<^(ау) = бИ (ау) + ау • еИ(ау),

&(ау) = 1 + ^бИ (ау) - еИ(ау) + Р2ау • бИ (ау) - ^ау • еИ(ау).

Ряд (14) так же как и ряд (12) сходится довольно быстро. Наибольший изгибающий момент наблюдается в закреплении пластин. В точке х=Ь/2 и у=0 или у=Ь.

К бИ(аЬ) - аЬ

д 2w

ду п=1. ,3,5,... а3 бИ(аЬ)+ аЬ

дх2

0.

(15)

Согласно формуле (14) Му

тах

4Ь2

а X

п=1,3,5...

( 1 ^ 3 V п )

- аЬ бИ (а1) + аЬ

(16)

Для квадратной пластины значение суммы бесконечного ряда равно 1=1 ^^ . Поэтому получим для данного случая

Му

2,4Ь2

тах

а

(17)

Далее рассмотрим возможность представления реальной многослойной пластины, показанной на рисунке 2, в виде однослойной со специально подобранными параметрами, соответствующими параметрам оригинала. Представим приведенную жесткость пластины в следующем виде

(Н4Р(18)

x а1

У///////////////, ъ

© ¿в 11

© Он

ш У/////////////Л

- ь

Рис. 3. Геометрические параметры пластины

Здесь Л1 - площадь поперечного сечения 1-го слоя (рис. 3). Определим жесткость

каждого слоя пластины.

(Б! )1Л1 = Е

14 + ^ §в +128 2

ь,

(Е^ )2Л2 = Е^ 8 4Ь, (Е! )3Л3 = Е1| 8 н Ь,

(Е! )4 Л4 = Е

1 4 3 2 2

+ н + ^ 8н

V 3

Ь.

(19)

Здесь Е - модуль упругости внешних слоев, Е1 - модуль упругости среднего слоя.

X Л1 = (1 в + t н +8в +8н )Ь Приведенный модуль упругости трехслойной пластины

(Е! )пр

Е =

пр

(20) (21)

Где момент ее инерции

! = Х !

1

V

^ +1 Х +1 в82

1

1 3 2 2

+ 31н + 12 8 н + 1 н8н

) V3

+183 +18н 3 в 3 н

Ь. (22)

Окончательное выражение для приведенного модуля упругости имеет вид

Е

Е =

пр

Л {1 Л (\ 1 л

1.4 3^ 1.4 ^ 1 п4 1

1 в + 1 в 8 в + 12 8в2

+

+4 8н+12 8 н

+ Е

3 8в4 + 3 84

V3 3 )

((в + 1 н +8в +8н)

113 + 12 8в + 1 в 8 2

Л г +

/

V

+ 12 8 н + 1 н 82

+1 ( +8н)

(23)

Выражение (23) значительно упроститься, если трехслойная пластина симметрична по толщине, то есть 1 в = 1 н = 1 и 8 в =8 н =8

3

Е

'1

Е =

пр

-I4 +135 +12 5 2 3

+ Б!15 4 1 3

(1 + 5)| 43 +125 +152 + — 5

13

= КБ + К1Б1.

V 3 3 )

Значения коэффициентов К и К1 зависят от соотношения толщин 1 и 5 (таблица 1).

Таблица 1.

5/1 К К1

1 0,438 0,0625

2 0,234 0,198

3 0,144 0,316

4 0,0976 0,410

Определим модуль упругости среднего слоя, который препятствует сдвиговым деформациям (рис. 4).

Согласно закону Гука

7 = ^ *ё(у) = А, (25)

О и

Где А = 2 • АЬ • Соб450 = 1,4 • АЬ . Здесь АЬ - деформация растяжения (сжатия) армирующего металлического стержня, у которого модуль упругости Ее, и площадь сечения Ае.

Рис. 4. Определение сдвиговых деформаций

ККЬ

АЬ =-. (26)

БеАе

Для определения продольного усилия N составим уравнение равновесия относительно точки О.

Xм0 = ТИ - = 0. Отсюда И

N = Т—. (27)

Ь

Где Т - сдвиговое усилие.

Выразим Ь через толщину среднего слоя И.

И , „,

Ь =-0 = 1,4И. (28)

Соб450

В этом случае

И

N = Т-= 0,7Т . (29)

1,4И

ЛТ 0,7Т • 1,4И ТИ

После подстановки (28) и (29) в (26) будем иметь АЬ =

БеАе БеАе

ТИ

Отсюда, деформация сдвига А = 1,4 •АЬ = 1,4

БеАе

А лл Т х

Угловая относительная деформация у = — = 1,4-= —.

И БеАе О

Усилие Т выразим через касательное напряжение и площадь поперечного сечения среднего слоя. Т = хАь = хЬИ. При Ь=1 Т = хИ . Следовательно

1 л хИ х

у = 1,4-= —. Отсюда

БеАе О

О = = б (30)

1,4И 1

Если принять диаметр стального стержня ё=5мм, с модулем упругости Бе = 2,1 • 1011 Па ,

то модуль упругости одного узла будет равен 12,3 • 106 Па. При наличии п узлов модуль упругости среднего слоя полосы-балки

БеАе

Б1 = п е е . (31)

1 1,4И

Далее, по формуле (18) находим приведенный модуль упругости полосы-балки и ее цилиндрическую жесткость.

Б = -Е2Еа3!. (32)

12(1 -ц) '

Продольная сила воспринимается бетонными частями. Ее можно определить через прогиб пластины

( э2„, э2„,Л1

Т Б

1 2 1 - ц

д w д w

-Т + Ц-2

ду дх

I ^^

)0

С учетом двух слоев бетона и выражений (15) и (16) получим

= 0,8Б(12 + 12 )Ь2

N = Т • СОБ450 = "7"9Гн 3" а. (33)

(1 -ц 2 )

Половина стержней работает на растяжение, половина на сжатие - на устойчивость. Проверку будем осуществлять по условию устойчивости.

Выводы

В данной работе представлена методика определения прогиба трехслойной пластины и внутренних усилий, возникающих в ее поперечном сечении при равномерной поперечной нагрузке. Расчет внутренних усилий при известной нагрузке дает возможность обоснованно определить параметры многослойной пластины.

Список использованных источников

1. Тимошенко С.П. - Теория упругости. /Тимошенко С.П. «Наука», М., 1975г., 620 с.

2. Чемодуров В.Т. - Моделирование систем. /Чемодуров В.Т. ВМА, Л., 1981г., 180 с.

3. Штамм К., Витте Х. - /[Штамм К., Витте Х.] Многослойные конструкции. «Стройиздат», М., 1983г., 176 с.