CC BY
16УДК 69.699.8
ВЛИЯНИЕ СПОСОБОВ КРЕПЛЕНИЯ ПЛАСТИНЫ НА ЕЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ
НАГРУЗКИ
12 3
Чемодуров В.Т. , Маслак А.С. , Кузьменко О.А.
1,2,3 Академия строительства и архитектуры (структурное подразделение), ФГАОУ ВО КФУ им. В.И.Вернадского, 295943, г. Симферополь, ул. Киевская, 181, е-mail: 1 chens_mu1@mail.ru, 2 acm2@mail.ru, 3 olya.kuzy@mail.ru
Аннотация: В последнее время широкое применение в практике приходится на проектирование мотов висячей конструкции, как наименее затратных. Однако стремление к облегчению конструкции приводит к росту чувствительности таких мостов к воздушному потоку в период сильных ветров. Возникающие при этом аэродинамические нагрузки оказывают влияние на прочностные характеристики пролетов таких мостов. Определение критического соответствия устойчивости пролетов висячих мостов к аэродинамическим нагрузкам является актуальной задачей при предварительном проектировании сооружений данного типа. Таким образом, целью данной статьи определение зон динамической устойчивости пролетов висячего моста, которые зависят от скорости набегающего потока воздуха. В качестве модели пролета висячего моста используется плоская пластина. Для определения положения пластины в любой момент времени используются уравнения Лагранжа второго рода. В работе используется одномерный подход к построению зон устойчивости пластины к ветровой нагрузки при постоянной толщины. Критерием задачи является критическое отношение длины полотна пролета к его ширине. Далее приводится метод нахождения функциональной связи критических параметров полотна от двух переменных: толщины полотна и скорости потока воздуха. Данный метод опирается на правила рототабельного планирования экспериментов.
Ключевые слова: висячий мост, аэродинамическая нагрузка, колебания, подъемная сила, прогиб пластины.
ВЕДЕНИЕ
В связи с ростом масштабов транспортного строительства, с увеличением перекрываемых пролётов мостов и с оптимизацией их конструкций, исследования в области совершенствования методов динамических и аэродинамических расчётов приобретают особую значимость.
Низкая конструкционная жёсткость висячих кабельных систем общеизвестна [3-5]. С увеличением перекрываемых пролётов они становятся всё более гибкими и податливыми, поскольку ширина пролётных строений, несущих не более 6 полос временной нагрузки, редко превышает 35 м. Почти во многих висячих большепролётных системах наблюдались значительные колебания, вызванные ветром. Таким образом, воздействие набегающего потока воздуха и связанные с этим процессы можно считать одними из главных проблем при расчёте устойчивости балок жёсткости узких висячих систем как вантовых, так и кабельных, а также балочных сплошностенчатых пролётных строений. Взаимодействие пролётных строений мостов с ветровым потоком вызывает ряд опасных статических и динамических аэроупругих явлений, которые должны учитываться в расчётах как на стадии возведения, так и при эксплуатации сооружения. Поэтому при строительстве крупных мостов висячей системы проводят исследование проектируемой конструкции на модели, подвергаемой действию пульсирующих вертикальных и горизонтальных нагрузок и воздушного потока в аэродинамической трубе.
При воздействии ветровых нагрузок на пролеты висячего моста, возможны их колебания, включающие поперечные и крутильные составляющие. При совпадении оси жесткости пролета с его осью центра масс можно считать, что поперечные и крутильные колебания являются независимыми. Изучим только поперечные колебания пролета при различных условиях крепления концов.
АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ; МАТЕРИАЛОВ, МЕТОДОВ
Первые исследования по аэроупругости висячих мостов в 40-х годах прошлого века проводили: Т. Карман, Д. Штейнман, Ф. Фаркуарсон, Г. Винсент, Ф. Блейх. В нашей стране подобными исследованиями занимались - Власов В.З., Гольденблат И.И., Болотин В.В., Якубович В.А., Размадзе А.Н., Цаплин С.А. [4-6]. Проблема динамической устойчивости и пространственных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней в связи с аварией Такомского моста рассматривалась в докторских диссертациях Болотина В.В., Гольденблата И.И.,
Дмитриева Ф.Д. В работах Передерия Г.П., Стрелецкого Н.С., Гибшмана Е.Е., Цаплина С.А., Ильясевича С.А., Качурина В.К., Потапкина A.A. [5, 7, 8] отмечается важность учёта ветрового динамического воздействия на пролётные строения мостов и даются рекомендации по расчёту. В настоящее время нормативные документы расчета аэродинамических явлений висячих мостов не в полной мере удовлетворяют требованиям безопасности при строительстве и эксплуатации сооружений. Расчет границ динамической устойчивости мостового полотна на аэродинамическую нагрузку еще не рассматривалось другими ученными.
ЦЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
С целью исследования реакции пролета висячего моста на аэродинамическую нагрузку в качестве модели выберем пластину с соответствующими габаритными размерами. С помощью метода конечных разностей, разработаем математическую модель прогиба пластины при действии ветровой нагрузки; изучить реакцию пластины на динамическую нагрузку при различных условиях ее закреплениях.
ОСНОВНОЙ РАЗДЕЛ
Рассматривается динамика модели мостового полотна одного пролета под действием аэродинамичекой нагрузки, представляющая собой пластину с параметрами, показанными на рисунке 1.
Рис. 1. Модель мостового полотна в виде тонкой пластины
В реальных условиях внешняя нагрузка состоит из подъемной аэродинамической силы и вращательного аэродинамического момента.
Построим модель поперечных колебаний моста с использованием метода конечных разностей. Модель (в виде пластины) в плане разбиваем на произвольные числа участков по осям х и у, определим их сетку численного решения задачи поперечных колебаний пластины (рис. 2) [1].
Рис. 2. Сетка численного решения задачи
Пусть грани пластины АС и ВБ имеют шарнирные опирания, при этом они беспрепятственно могут сближаться, если одна из опор шарниро-подвижная.
Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины имеет вид
ПУ4 ж -д = 0
где П = ■
ЕН3
12(1 -М)2
цилиндрическая жесткость; д - подъемная аэродинамическая погонная
нагрузка; V4 - оператор Лапласа четвертого порядка.
,_,4 д ж „ д ж д ж
V ™ = —Т + 2—5-+ —Т
дх дх ду2 ду
(2)
Погонная нагрузка (приходящаяся на 1 м2 площади пластины) определяется как аэродинамическая подъемная сила [2]:
2
(3)
д = су аР"
у 2
где Су - коэффициент подъемной силы; р - плотность воздуха; V - скорость воздушного потока; а - угол атаки потока воздуха является случайной величиной.
Для плоской пластины он имеет следующее значение
Са =я^
су л 1 -у
(4)
Используя формулы производных метода конечных разностей, запишем уравнения (2) для произвольной ячейки сетки. Получим:
^ = а1(™1-2,у - 4™г-1,у + 6ж1,у - 4™г+1,у + Щ,у+2) + (8ж1,у + 2™1-1,у-1 + 2жг-1,у+1 + 2жг+1,;-1 + + 2жг+1,у+1 - 4™1-1,у - 4ж1,у - 4ж1,у+1 - 4^1+1,у ) + а2(™1,у-2 - 4ж1,у-1 + 6ж1,у + 4ж1,у + Щ,у + 2)
Г Н ^
где а1 =
V Нх У
2 (к
НУ.
Нх и Ну - шаг сетки по соответствующим осям. Граничные условия задачи имеют вид При х= 0 и х=1х
д2ж . ж = —=- = 0
При у=о и у = 1у
дх2 д2ж д3ж
= 0
дУ2 дУ3
В сетке метода конечных разностей эти условия имеют следующий вид
(5)
(6)
ж0, у = ^, у = 0
1 , у = - ж , у ; ы Пх + 1, у = х - 1
ж , = 2ж„ - ж,' ж , = 2ж - ж
1,-1 1,0 1,1 ? 1, пу +1 1, пу 1, пу -1
ж 9 = -ж9 - 4ж, + 4ж „; ж ^ = ж 9 - 4ж , + 4ж
1,-2 1,2 1,1 1,0? 1, Пу + 2 1, Пу -2 1, Пу -1 1,,
Перепишем (1) в виде
ПУ4ж = д .
В процессе колебания пластины учтем ее силу инерции
ПУ ж = д-т
д2ж
дл2
Окончательно получим следующие уравнения колебательного процесса
(7)
(8) (9)
а1 =
>
У
I?= £(,о(10)
от т
Ч
гДе Чо = — •
Если принять, что в начальный момент времени, 1 = 0 пластина неподвижна, то легко найти ее прогибы в процессе воздействия подъемной силы д, которую пока считаем постоянной
-+1 = — — 1 + И,2" (чо - V—) (11)
т
где И, - шаг по времени.
Полученную абстрактную задачу прогиба пластины под действием аэродинамической нагрузки необходимо свести, путем использования зависимостей теории упругости к реальной конструкции. В этом случае необходимо ограничить возможность прогиба пластины условиями прочности. При выбранных условиях крепления пластины наибольший изгибающий момент
• Пх ^
располагается в районе узла г = —. В этом случае используем известную зависимость для погонного изгибающего момента [3,4]
М =-В
гд2- д— + м
кдх2 ду2 ,
(12)
распишем уравнение (12) с использованием метода конечных разностей для узла 1 =
Получим: (— — 2? ■ -■• Л
М = -В-—11- 2 М Л2
—■ , ■ — 2— ■ + —■ ■ 1 — 2— ■ + — ■
1—1, J г, ] 1+1, ] г, J—1 г, ] г, J+1
+ М'
V Их ду ,
(13)
Представленная модель колебания пластины характерна для случая, когда одна из шарнирных опор имеет возможность свободно перемещаться вдоль оси х.
В этом случае, единственным ограничением на амплитуду колебаний является величина максимального изгибающего момента, вычисляемого по формуле (13). Имея максимальное значение внутреннего изгибающего момента, представляем математическую зависимость функции ограничений
Мпах < С1 или Мл^ — 1 < 0 (14)
° ]у <с* Ф [с]
В формуле (14) Мтах - максимальный изгибающий момент, приходящийся на единицу
ширины пластины: И 2
цг _ единичный момент сопротивления поперечного сечения.
= 6
Зафиксируем обе шарнирные опоры (рис.3).
В этом случае уравнение нзгнбных колебаний пластины примет вид:
- / / //
Рис. 3. Шарнирное крепление обоих концов пластины
лтд ж д ж
ПУ ж - N—— = д - т-
д2 ж БГ
или
а2
т
дх2 д
д0 - V4ж + N
д2 ^
0 дх2
(16)
где N - продольная сила, приходящаяся на единицу ширины пластины
д2ж = у - 2щ у + ж,
дх2 ~ К2
ДГ N N0 = — 0 П
"¿+1, у
(17)
В спокойном состоянии продольная сила N равна нулю. В процессе поперечных колебаний пластины, ввиду ее деформации при растяжении, продольную силу, приходящуюся на единицу длины сечения легко определить, используя простейшие геометрические преобразования.
Аппроксимируя форму прогиба пластины окружностью, получаем:
- = -,
1
1 +
16
V2
3
V -х у
(18)
Отсюда, относительная деформация вычисляется по следующей формуле
8 = 8,
1+16
3
V К у
-1
(19)
которая позволяет определить внутреннее нормальное напряжение и продольное усилие
а = еЕ, N = аЛ0, (20)
где А0 - площадь единицы поперечного сечения пластины.
Достоверность математической модели продольных колебаний пластины в потоке воздуха
легко проверить на известном точном решении Навье при ее статическом нагружении. В этом
случае граничным условиям можно представить в виде При х= 0 и х=Ьх
ж =
д 2 ж
дх
2
= 0
(21)
Прогиб пластины представляем в виде тригонометрического ряда
™ . . тлх ж(х) = Е Ат 81П"
т=1
(22)
В этом случае уравнение прогибов пластины-балки имеет вид:
д4ж
( у
тл
V -х у
® . тлх д „
Е Ат вШ—— = — , или П
т=1 -„ П
(тл^ ш
V -х У
. тлх
Е Атвт—— = д
т=1
К
(23)
Для нахождения коэффициента Ат необходимо правую часть уравнения (22) разложить на тригонометрический ряд
^ . тлх
д(х) = Е ст эт——
т=1 -г
(24)
Согласно правилам математического анализа коэффициент этого ряда определяется по следующим формулам:
2
^ 2 7 . . . mmx ,
сш =-г) q(x)sin - dx (25)
lx 0 lx
При q= const Cm = (1 - cosmm) (26)
mm
f \4
( mm ® . mmx 2q 1 mmx
Тогда D - I 4 sin-= —— I—(1 - cosmm)sin-. (27)
I lx ) m=1 lx mm m lx
Два ряда равны между собой, если равны соответствующие их члены. В этом случае
4» - cosmm) (28)
Dm m
Полученные результаты подставляем в уравнение (9) и получим в окончательном виде уравнение прогиба пластины-балки [1, 2].
, , 2qt ® (1 -cosmm) . mmx w(x) = -qr I1-5-)sin-— (29)
Dm m=1 m lx
(1 — cosmm)^^ mmx
m =1
Максимальные значения суммы а будут иметь место при m = 1,3,5...n. Сохраняем в этом ряде три первых члена, тогда:
2 . тгх 2 . 3mx 2 . 5mx 2 . nmx
а«^- sin--y—г sin--y—г sin--y ... ч—т sin-, или
15 lx 35 lx 5 lx n5 lx
а « 2sinm + 0,00823sin— + 0,00064sin— +... + -^sin—
lx lx lx n lx
Полученная математическая модель прогиба пластины дает точные значения ее прогиба при статическом нагружении. Реально нас интересует реакция пластины на динамическую нагрузку. Приложим к пластине внезапно нагрузку q, для которой коэффициент динамичности Kd = 2. В этом случае «условно» динамическая модель прогиба пластины будет иметь вид
. . 4ql4 ® (1 - cosmm) . mmx w(x) = -qx I(-j-¿sin — (30)
Dm m=1 m lx
Сравнивая результаты расчета прогибов пластины с использованием модели и расчетов по методу конечных разностей, можно утверждать о достоверности численной модели динамических продольных колебаний пластины, так как максимальные расхождения в значениях прогибов w не превышают на 1,5%. Численная модель колебаний пластины позволила определить области ее неразрушения для различных условий внешней нагрузки, и размеров пластины в плане, представленных на рисунке 4.
А Б
г\г — cosmm ) . mmix л л __
Обозначим сумму I----- sin- коэффициентом а.
m L
Рис. 4. Диаграмма колебаний пластины при жестком (А) и шарнирном (Б) креплении
ВЫВОДЫ
Рассмотрены влияния способов крепления пластины на ее колебания под действием постоянной аэродинамической нагрузки. Модели поперечные колебаний плоской пластины указывают на зависимость критических зон устойчивости от способов крепления ее концов. Так при жестком креплении концов пластины допускаемые критические скорости воздушного потока значительно расширяют зону устойчивости пластины, по сравнению с их шарнирным соединением. Зону устойчивости пластины в потоке воздуха, также можно расширить при использовании в местах крепления ее концов демпферов с соответствующими выбором их жесткости.
ПЕРСПЕКТИВЫ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Уточнение модели колебаний с учетом крутильных колебаний пластины; определение критического отношения длины пластины к ее ширине в зависимости от скорости набегающего потока воздуха и толщины самой пластины.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чемодуров, В.Т. Моделирование систем. Монография. [Текст] / Чемодуров В.Т., Литвинова Э.В. - Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2016. - 232 с.
2. Чемодуров, В.Т. Численные методы. Монография. [Текст] / Чемодуров В.Т., Сеитжелилов М.С. - Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2017. - 196 с.
3. Фын, Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. [Текст] / Я.Ц. Фын. - М.: Физматгиз, 1959. -524 с.
4. Карман, Т. Аэродинамика [Текст] / Пер. с англ. Богатырёвой Е.В.; под ред. Борисова А.В. -Ижевск: НИЦ РХД, 2001. - 208 с.
5. Дмитриев, Ю.В. Аналитические методы расчета висячих и вантовых мостов. Уч. пособие. [Текст] / Дмитриев Ю.В., Дороган А.С. - Хабаровск: ДВГУПС, 2008. - 196 с.
6. Болотина, В.В. Проблемы устойчивости в строительной механике [Текст] // Труды Всесоюзной конференции / Под ред. Болотина В.В. и др. — М.: Изд-во лит. по строит., 1965. -488 с.
7. Ильясевич, С.А. Металлические коробчатые мосты. [Текст] - М.: Транспорт, 1970. - 280 с.
8. Качурин, В.К. Проектирование висячих и вантовых мостов. [Текст] / Качурин В.К., Брагин А.В., Ерунов Б.Г. - М.: Транспорт, 1971. - 280 с.
INFLUENCE OF THE PLATE FIXING METHODS ON ITS TRANSVERSE OSCILLATIONS UNDER THE ACTION OF A CONSTANT AERODYNAMIC LOAD
Chemodurov V.T., Maslak A.S., Kuzmenko OA.
V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Crimea, Simferopol
Annotation: In recent years, a wide application in practice is accounted for by the design of hanging designs, as the least expensive ones. However, the desire to facilitate the construction leads to an increase in the sensitivity of such bridges to the air flow during the period of strong winds. The resulting aerodynamic loads affect the strength characteristics of the spans of such bridges. Determination of the critical correspondence of the stability of spans of suspension bridges to aerodynamic loads is an actual task in the preliminary design of structures of this type. Thus, the purpose of this article is to determine the zones of dynamic stability of the hanging bridge spans, which depend on the speed of the incoming air flow. As a model of the span of the suspension bridge, a flat plate is used. To determine the position of the plate at any time, the Lagrange equations of the second kind are used. The paper uses a one-dimensional approach to the construction of zones of plate stability to wind load at a constant thickness. The criterion of the problem is the critical ratio of the length of the span sheet to its width. Below is a method for finding the functional relationship between the critical parameters of the web from two variables: the thickness of the web and the speed of the air flow. This method is based on the rules of rototable planning of experiments.
Keywords: suspension bridge, aerodynamic load, oscillations, lifting force, plate deflection.
