Изгибно-крутильные колебания плоской пластины в потоке воздуха Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.3.(075)

ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ В ПОТОКЕ

ВОЗДУХА

Тарабара И.Ю., Чемодуров В.Т.

Национальная академия природоохранного и курортного строительства

В статье рассмотрен вопрос, связанный с разрушением висячих мостов под воздействием аэродинамических сил в потоке воздуха с различными скоростями. Наиболее опасным последствием этих сил является наложение изгибных и крутильных колебаний конструкции, приводящих к явлению флаттера. При этом реальная конструкция моста моделируется плоской пластиной с приведенными массой и жесткостью реальной схемы. Усилия подвеса не учитываются. Висячий мост, изгибно-крутильные колебания, флаттер конструкции, аэродинамическая нагрузка

Введение

Аэродинамические силы, возникающие при порывах ветра, как с постоянной скоростью, так и с переменной, относятся к категории динамических нагрузок. Наиболее опасным последствием этих сил является флаттер конструкции, который относится к категории самовозбуждающихся колебаний упругих ее элементов в потоке воздуха.

Флаттер возникает, когда колебания в потоке газа приводят к дополнительной аэродинамической нагрузке. При малых скоростях ветра он невозможен, так как дополнительные демпфирующие силы больше сил, приводящих к колебаниям. Начиная с некоторой критической скорости, демпфирующие силы оказываются меньше сил, возбуждающих колебание системы. Возникающие при этом колебания могут привести к разрушению конструкции. Важно знать минимальную критическую скорость ветра, при которой возможен флаттер.

При колебательном процессе полотна реальной конструкции висячего моста вторым разрушающим его фактором является динамическое нагружение тросов подвеса. Этот вопрос в данной статье не рассматривается.

Анализ публикаций

Разрушение мостов вследствие аэродинамической неустойчивости при ветровых воздействиях:

Мост Чейн-Пиэр в Брайтоне (Англия) разрушение под действием аэродинамических сил 30.11.1836 г., во время шторма.

Подвесной мост Уиминг-Бридж через реку Огайо (США) разрушился во время шторма в 1854 г., вследствие сильной раскачки и возникновения крутильных колебаний

Подвесной мост через реку Такома в Пачет-Саунде (США) разрушился в 1940 г., вследствие возникновения изгибно-крутильных колебаний под действием аэродинамических. Уже при скорости ветра 17м/с возникли изгибно-крутильные колебания с частотой 0,6Гц, когда их амплитуда достигла до 1,5м.

Цель и постановка задач Целью исследования является разработка математической модели изгибно-крутильных колебаний плоской пластины в потоке воздуха, определение критических условий возникновения флаттера конструкции.

Для мостовых висячих конструкций, возникновение возбуждающих колебаний возможно в том случае, если линии жесткости по его длине и центров тяжести не совпадают (Рис.1.).

Рис. 1. Случай несовпадения линий центров тяжести и центров жесткости в пластине

Если эти линии совпадают, то изгибные и крутильные колебания существуют самостоятельно. Пусть эти линии отстают друг от друга на расстояние б.

Если возбудить изгибные колебания, то возникает крутящий момент, так как силы инерции расположены в центре тяжести, а силы упругости в центре жесткости. В этом случае силы инерции имеют плечо б относительно центра жесткости. Аналогичная картина возникает при возбуждении крутильных колебаний. Формы совместных изгибных и крутильных колебаний такие же как и отдельные, то есть при б=0. Поэтому при приближенном решении задач используются формы колебаний при б=0.

Если возбудить колебания в вакууме, то они быстро затухают. Иначе обстоит дело в потоке воздуха.

Метод исследования

Метод исследования базируется на тщательном изучении причин катастроф и повреждений, связанных с разрушением мостовых полотен висячих мостов при неблагоприятных погодных условий и аномальных нагрузках. Особенно скрупулезно рассматривались колебательные процессы конструкции моста при ветровом воздействии. На основании этого предлагается методика исследования, основанная на уже известных работах по обоснованию изгибно-крутильных колебаний крыла самолета.

Проведение исследования

На Рис. 2. изображено сечение пластины. Предположим, под действием импульса сечение пластины начало движение вниз. Точка центра тяжести начнет отставать от точки центра жесткости, так как возникает инерционная сила - , что приведет к развороту сечения пластины и возникновению дополнительного угла атаки Аа^.

Рис. 2. Силы, возникающие в пластине

Вследствие этого возникнет дополнительная погонная сила:

Y = cy-л« • q • b (i)

Здесь c«« = 2p - для пластины - производная коэффициента подъемной силы;

q = pv2 /2 - скоростной напор, включающий плотность воздуха р и скорость набегающего потока воздуха при ветре v.

Эта сила усиливает колебание (рис.3.) Колебательный процесс пластины происходит с переменной скоростью У.

Рис. 3. Возникающая дополнительная сила

За счет этой вертикальной скорости возникает дополнительный угол атаки:

Аа2 = у / V (2)

Этому дополнительному углу соответствует подъемная сила (рис.4.).

72 = са •Аа, • д • Ь (3)

Данная подъемная сила является демпфирующей и направлена в сторону, обратную движению профиля пластины. Таким образом, при обтекании пластины потоком воздуха на ее поверхности всегда возникает две силы (переменные во времени). Ух - усиливает процесс колебания, У2 - демпфирующая колебания. Если У, > У2, то колебательный процесс бурно возрастает и может привести к разрушению конструкции, и наоборот.

Опишем математическим языком колебательный процесс пластины. Введем обозначение для прогиба оси жесткости - у(х,1) Его можно представить как произведение независимых функций:

у (х, г ) = д, (г )• / (х) (4)

Здесь д, (г) - вертикальное перемещение точки пластины, /(х) - форма изгиба

колебаний первого тона.

Обычно за точку приведения принимают конечную точку консоли при закреплении одного края пластины, либо центральную точку на оси х для крепления обоих ее концов. В процессе колебания пластина закручивается по закону

в(х, г ) = д2 (г )• у(х), (5)

Где д2 (г) - угол закручивания, <р(х) - форма крутильных колебаний первого тона. Для составления деформационных уравнений изгибно-крутильных колебаний воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:

ё дТ дТ ди „ / \ . , „

----+-= 0, (() * = 1,2 (6)

ёг дд, дд, дд1

Кинематическая и потенциальная энергии для системы с двумя степенями свободы:

(7)

T = 2 (an q,2 + 2ai2 qq + a22 q2 ) U = 2 (ciiq1 + 2ci2 qq + c22ql)

Если центр жесткости и центр масс совпадают, то средние члены в формулах (7) отсутствуют. В эти формулы входят следующие параметры:

I

|т/2ёх - приведенная масса чисто изгибных колебаний,

aii = ■ —

|Jmj2^ - приведенная масса чисто крутильных колебаний,

I

| msfjdx, при ъ = 0 а12 = 0,

0

1 = |Ш(^")2 dx - приведенная жесткость чисто изгибных колебаний,

0 I

| GJp (ф")2 - приведенная жесткость чисто крутильных колебаний,

a22 | J m

а12 =-

0

l

c,, =

0 l

C22

с12 = 0, так как деформация не зависит от положения центра жесткости, Jm - массовый момент инерции, Jp - полярный момент инерции.

Обобщенные силы от дополнительной аэродинамической нагрузки при колебаниях пластины определяются по формулам:

Q (( ) = (x, t )f (x

0

l

Q2 (t )= |AM (x, t j(x )

0

(8)

Здесь ЛР - погонная поперечная нагрузка, ДМ - погонный дополнительный момент.

(9)

DF = cyqb DM = cmqb2

Для расчета необходимо иметь зависимости для коэффициентов су и ст, которые зависят от угла атаки 0, скорости 0 и у. Для пластины можно принять в первом приближении:

су = 2ра , ст = -ра. (10)

Если зависимости (4) и (5) подставить в (9) и (10), то этим самым выразим ЛР и ДМ через перемещения и д2. Полученный результат подставляется в (8) и проводится интегрирование. В результате получим:

Q =

Q, , , ,

Q2 = \bj\q+gjqq (Ц)

Здесь в и у - квадратные матрицы коэффициентов.

Далее зависимости (7) и (11) подставляются в (6). Получим два уравнения:

Aq + Bq + Cq = 0 (12)

Здесь нет свободного члена, который мы выразили через перемещения. A,B,C -матрицы инерции, дэмпфирования, восстановления. Перемещения q ищутся в форме:

q = q ^ (13)

Тогда будем иметь:

ц0 (я2 А + ХБ + С )= 0 (14)

Получена система алгебраических уравнений для амплитуд колебаний. Для ее решения необходимо требование:

ёе1(я2 А + ХБ + С )= 0 (15)

Это характеристическое частотное уравнение четвертой степени. Его можно представить в виде:

аХ4 + ЪХ + сХ + dХ + е = 0 (16)

>

При Х > 0 - процесс расходящийся, при Х < 0 - затухающий. В общем случае, при решении уравнения (16) помимо действительных корней имеем и комплексные корни (Рис.4) Для области устойчивости корни уравнения (16) должны быть в левой полуплоскости.

При малых скоростях набегающего потока воздуха все корни находятся в левой полуплоскости. С увеличением скорости ветра один из корней уравнения переходит в правую полуплоскость, что соответствует расходящемуся колебательному процессу.

У

Ве

Рис. 4. Плоскость корней характеристического уравнения

Анализ зависимости (16) достаточно подробно рассмотрен в специальных курсах аэродинамики. При этом рассчитывается критерий Фауста:

Я = Ъcd - Ъ 2е - d2 а (17)

При малых скоростях потока воздуха Я < 0. Если Я > 0 колебательный процесс становится расходящимся.

Выводы

В основной части статьи приведенная модель колебания плоскости пластины в потоке воздуха отражает идеальный процесс, позволяющий анализировать влияние массово-геометрических характеристик конструкций на возникновение изгибно-крутильных колебаний, приводящих к флаттеру, и разрушению пластин в случае, когда внутреннее усилия конструкции превысят критические значения.

На самом деле, конструкция висячего моста намного сложнее и требует более сложного аппарата для расчета его на прочность.

Если принятую модель моста использовать для анализа устойчивости и прочности пролета, то в этом случае пластина имеет жесткое защемление на двух концах пролета. Но это уже не висячий мост.

Особенность висячего моста, заключается в том, что система подвеса препятствует полноценному процессу колебания пролета моста. Однако в данном случае возникает динамическая нагрузка, как на пролет моста, так и на саму систему подвеса. Данные исследования не проводились.

Вместе с тем предложенная модель колебательного процесса плоской пластины в потоке воздуха может служить отправным моментом для детальных исследований прочности и устойчивости мостовых конструкций в условиях больших скоростей ветра.

Список литературы

1. Чемодуров В. Т. Проблемы обеспечения прочности и надежности ракет и пусковых установок / Чемодуров В.Т. // Учебное пособие ВМА, Л. 1990, 194 с.

2. Краснов Н.Ф. Аэродинамика /Краснов Н.Ф // Высшая школа, Ш. 1980, 496 с.

3. Немчинов Ю.И. Сейсмостойкость зданий и сооружений /Немчинов Ю.И.// К. 2008, 480 с.