Расчет многослойных плит на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

А. Г. Юрьев, д-р техн. наук, проф., В. Г. Рубанов, д-р техн. наук, проф.,

А. С. Горшков, канд. техн. наук, ст. преп. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛИТ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Предложен расчет многослойной плиты на упругом основании, моделируемом упругим слоем конечной толщины с двумя параметрами, зависящими от функции распределения вертикальных перемещений Ф(г). Использован вариационный метод Ритца - Тимошенко. Функция Ф образованна экспериментально. Приведен пример расчета пола промышленного здания. Ил. 8, табл. 3, библиогр. 4.

1. Математическая модель для многослойной плиты на упругом винклеровском основании.

Многослойная плита на упругом основании является физической моделью для большого числа строительных, дорожных и другого рода конструкций. Поперечные связи между слоями принимаются абсолютно жесткими.

Чаще всего применяемой моделью грунта является винклеровское основание, вертикальные перемещения которого прямо пропорциональны интенсивности нагрузкир: р=ки>, где к - коэффициент основания.

Математической моделью многослойной плиты на винклеровском основании является дифференциальное уравнение

£>У2У2 w + Ы = р, (1)

где Б - цилиндрическая жесткость; р - вертикальная нагрузка, распределенная по поверхности плиты.

А

V

2

4\ . А 'з V

и

На рис. 1 показана трехслойная плита в декартовых координатах хуг. Нейтральный слой смещается относи- У тельно центральной оси г в положительную или отрицательную сторону в зависимости от соотношения модулей продольной упругости Е. . Поскольку коэффициент Пуассона V изменяется в сравнительно узких пределах, его можно принять не изменяющимся по толщине плиты.

Обозначим толщину подстилающего слоя г , а толщину прослоек г2 и (см. рис. 1), а модули продольной упругости - Е1 , Е2 и Е3 соответственно.

Для однородной изотропной плиты нейтральный слой совпадает со срединной поверхностью. В трехслойной плите при Е1 > Е2 > Е3 этот слой смещается на величину е в положительном направлении оси г. Для ее определения привлекается условие равенства нулю продольной силы вдоль оси х(у). При использовании гипотезы прямых нормалей условие ХХ=0 представляется в виде уравнения [1]

" Т77 ТТ1 ТТТ

Рис. 1. Элемент плиты с поперечной неоднородностью

■

1- V2

5 Е(2)(2 - е)й2 = 0,

(2)

где кх (ку ) - кривизна волокон, параллельных оси х(у), приближенное значение которой не зависит от г. Оаёе! тбадп,

ж"2 д /ж/2 О

е = I 5 Е(2)2ё2± | 5 Е(2)ё2±,

В- ,/2 И В- и/2 Я

Для плиты из п слоев формула (3) прио бретает вид

"(Е -Е+1 )/,/,+, + "( -Е+ 2

п

" Е,и,

V '=1

В частном случае трехслойной плиты

(Е1 - Е, )// + (Е1 - Е3 )// + (Е2 - Е3

е =-

2 (£1/1 + Е2?2 + Еи) Цилиндрическая жесткость в общем случае имеет вид

(3)

(4)

(5)

Б =

1- п2

5 Е (2 )2 ,

(6)

а для трехслойной плиты

- 1 \ и3

Б =-5" Е1 —+4

1 -V2 12 1

е (е + /2 + /3) +

+ Ь-2 2

2

+ Е2

— + /, 12 2

е (е - /1 + /3) +

1 - /3.

2 2

2

е=

+ Ез

/33

— + /з 12 з

е (е - /1 - /2) +

Ч / 42 + _2_

2 2

V /

(7)

Уравнение (1) можно решить методом конечных разностей.

2. Усовершенствование методики расчета плиты на упругом основании методом Ритца-Тимошенко за счет введения в расчет функции вертикального распределения перемещений.

Вариационный метод Ритца-Тимошенко основан на использовании принципа возможных перемещений: упругая система находится в равновесии, если сумма элементарных работ всех внешних и внутренних сил на любом возможном перемещении равняется нулю.

При использовании для расчета пластин вариационного метода Ритца-Тимошенко прогиб пластины задается в виде

п

™(х>У) = Ха'Х* (х)¥' (у), (8)

1=1

где a- неизвестные коэффициенты. Однако при большом числе членов ряда разложения прогиба значительно возрастает трудоемкость решения задачи. Поэтому желательно использовать такие способы построения функций X(x) и Y(y), при которых они достаточно точно отражают характер прогиба плиты по направлению осей x и у, и решать задачу в первом приближении:

w(x,y) = аХ(х)У(у). (9)

Такой способ построения функций X(x) и Y(y) предложен В. З. Власовым. Его суть состоит в построении аппроксимирующих функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, а также и характеру внешней нагрузки.

Рассмотрим плиту на упругом основании, моделируемом слоем конечной толщины Н (рис.2). Плита с цилиндрической жесткостью D лежит на верхней поверхности основания и подвержена вертикальной нагрузке p (х,у). Потенциальная энергия деформации основания и плиты равна

и = 1

ёи ёу dw ' ёу ёи ' dw ёу ' ёи dw4

—+о у —+ ог — — + — + т — + — + тх —+ —

ёх ёу ёг ху ёх V уг ёг ёг ёх ^ -

ёхёуёг + ^ Ц

ё w ё w

ёх ёу

-2(1 -V ,)

d2w d2w ( d2w ^

ёх2 ёу2

ёхёу

ёхёу,

(10)

где о, оу, о, Тху, - напряженияя; и ,у,п> - перемещения вдоль осей х,у,г соответственно; V - коэффициент

Пуассона материала плиты. Двойное интегрирование проводится по той части верхней поверхности основания Б, на которой лежит плита.

Примем гипотезу В. З. Власова [2] о том, что ввиду отсутствия горизонтального нагружения горизонтальные перемещения основания не принимаются в расчет по сравнению с вертикальным перемещением, т. е. и = V = 0. Вертикальное перемещение ^(х,у,г) принимается в форме

<

Н

\

Рис. 2. Плита на упругом основании

w(х,у,7) = Wl (х,у)0(г),

(11)

Примем гипотезу В. З. Власова [2] о том, что ввиду отсутствия горизонтального нагружения горизонтальные перемещения основания не принимаются в расчет по сравнению с вертикальным перемещением, т. е. и = V = 0.

Вертикальное перемещение ^(х,у,г) принимается в форме

w

(х,у, 7) = Wl (х,у)0 (г),

(12)

где ц>1(х,у) - вертикальные перемещения верхней поверхности основания; Ф(г) - функция вертикального распределения перемещений.

Основанная на результатах экспериментов и получившая в дальнейшем теоретическое обоснование, функция ф оказывает влияние на сопротивление двухпараметрической модели грунтового основания. Из условия контакта плиты и основания ш(х,у) получаем

w (х, у, 7 ) = аХ (х )У (у )0 (г).

(13)

Раб ота внешних сил р(х,у) равна

А = Ц р (х, у )w1dxdy.

(14)

Работа внутренних усилий U с учетом выражения (11) имеет следующий вид [3]:

U =

2 я I

2G (1 -V) 1 - 2v

а2X2 ^)!2 (у )

С2

+ -G02а2

СХ (х)+ dY (у)

2

dx

dy

dxdyd2 + БII |

( d2 X (х)+ d 2! (у)

2

dx

dy2

-2 (1-V р )

d2 X (х) + d 2! (у)

dx2

dy2

г ХО.42

dx dy

^dxdy,

где G - модуль сдвига. Условие стационарности функционала энергии Ъ(U-A ) =0 приводит к системе дифференциальных уравнений:

2G (1 -V)

1 - 2v

к со42 И d2

d2

аХ ^)! (у)-G

п

1Ф2d2 аУ2 \Х (x)! (у)] + БаУ4 \Х (x)! (у)] = р (x, у), (15)

^-^^а2IIX2 ^)!2 (у)dxdy-ФGа2Ц

СХ ^) + dY (У

dx

СУ

СЖСУ = 0 .

Здесь двойное интегрирование ведется по полной верхней поверхности основания. Ур авнение (15) приним ает вид

БаУ4 \X ^)! (у)] + каХ ^)У (у)- 2/аУ2 [X ^)У (у)] = р у),

если обозначить

2G (1 -v)пr ( С Ф

к =

1 - 2v 0 V С2 у

П — С2 , 2/ = GIФ2С2.

(16)

(17)

(18)

Из уравнения (17) видно, что перемещение поверхности w1(x, у) будет зависеть от величин, взятых для параметров k и 2г, которые в свою очередь зависят от функции распределения вертикальных перемещений Ф^). С учетом того, что при г = 0 Ф = 1, а при г = H Ф = 0, получаем решение уравнения (16) в виде

Ф (2) =

¡А [у(Я - 2 )]

¡А(уП) '

(19)

где

У2 =

(1 - 2v)II(Уw1 )ССУ

2 (1 -V)!! w12dxdy '

(20)

Р

250 мм

Таким образом, величина у отображающая изменение по глубине вертикальных перемещений, уже не будет постоянной, как считалось ранее. Она будет зависеть как от нагрузки p, так и от формы и цилиндрической жесткости плиты. В особом случае загружения поверхности, когда D = 0, величина у будет зависеть только от нагрузки и формы загруженной области.

Задача не имеет замкнутого решения. Используется метод последовательных приближений. В качестве нулевого приближения можно принять решение уравнения (17) с предварительно заданными коэффициентами k и 2г или с одним коэффициентом k. На основе этого решения последовательно вычисляются у, Ф, k, 2г. Последние два параметра вводятся в уравнение (17) в следующем приближении и т.д.

3. Результаты экспериментальных исследов а-ний.

Широкая полоса резины использовалась для моделирования материала упругого основания. Этот материал был выбран, главным образом, по-

Жесткое основание

Рис. 3. Схема экспериментального оборудования

п

тому, что его модуль Юнга одного порядка с модулем деформации грунта и равен 4,24 МПа. Коэффициент Пуассона равен 0,4035.

Для простоты испытывалась двумерная модель. Нагрузка передавалась на основание через жесткие балки такой же ширины, что и основание. Испытывались четыре балки длиной 74; 148; 222 и 296 мм, глубина Н основания была 250 мм, в то время как ширина й фундамента - 37 мм. Детали экспериментального оборудования даны на рис. 3. Вертикальные перемещения измерялись в различных точках под точкой приложения нагрузки с помощью оптического прибора - катетометра с точностью до 0,001 мм.

На основе опытных данных для вертикальных перемещений верхней поверхности основания устанавливается аппроксимирующая функция w1, например, в виде полинома, после чего по формуле (20) вычисляется величина g.

Таблица 1

Коэффициенты двухпараметрического основания

с, мм 37 74 111 148

сМ 1 2 3 4

у, мм _1 0,0785 0,0538 0,0259 0,00258

к, МН/м3 4,4015 3,9307 3,7456 3,7322

Д МН/м 84,479 101,733 119,159 125,717

0.2

0.4

0.6

0.8

В табл. 1 приведены параметры у к и 2Г для четырех балок с различными отношениями длины к ширине. Как и

предсказывалось, величина у зависит от длины балки. На рис. 4 представлены графики Ф(г) на основе зависимости (20).

Ф Функция Ф(г) подставляется в выражение (11), в

1Ф

1 котор ом в качестве w1 выступает упомянутая выше ап-

проксимирующая функция. В табл. 2 приведены сравнения перемещений, вычисленных по формуле (11), и их экспериментальных величин.

Анализ табл. 2 показывает, что расхождение в основном составляет 2 - 10%. Это достаточно хороший результат, свидетельствующий о соответствии предложенной теории реальному взаимодействию компонентов системы «конструкция - основание». Пример.

Практическое применение предложенной модели использовано на примере расчета пола промышленного здания (см. рис.5).

Для плиты, одна грань которой защемлена, а три другие шарнирно оперты (см. рис.6), проверим условия прочности при нагружении силами = 46 кН; Р2 = Р3 = 86,4 кН, представляющими нагрузку от колес грузового автомобиля ЗИЛ-130 (см. рис. 6).

Составляем систему конечно-разностных уравнений для определения вертикальных перемещений м внутриконтурных точек (см. рис.7).

1

2 У

—3

4

2/с Рис. 4. Зависимость между функцией вертикального распределения перемещений и глубиной для с/й = 1, 2, 3, 4

Таблица 2

Вертикальные перемещения для образца е/й = 1

2, См 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

По формуле (11) 0,063 0,056 0,049 0,043 0,038 0,033 0,029 0,025

Экспериментальная величина 0,056 0,050 0,048 0,044 0,038 0,034 0,032 0,031

12 13,5 15 16,5 18 19,5 21 22,5 25

0,022 0,019 0,016 0,013 0,01 0,008 0,006 0,004 0

0,029 0,025 0,023 0,02 0,015 0,013 0,007 0,005 0

В данном случае

а =

> Ах

\2

Ау 1,7 Ау

= 0,346;

А V г А Е' 17500МПа

Е2 • 20000МПа ^ \

......... центра неитр ТСЬ 2 4 ось г

V Е • 30000М Па \

/// /// /// /// ///

к • 50МПа / м

Рис. 5. Конструкция цеменгно-бетонного пола

къ • 0,05м к2 • 0,03 м

0,15м

1, 1 м

1,4 м

Л

\ 5

е^ О 1 А ь

и т к п V

Е ^ У Г

Е* г Е*

- / 15,0м -^

/ / / / / Рис.6. Нагружение плиты

ттт

Е

Е±

Е3

/777

27

16

17

18

17

16

х 3,75 м

22 7 8 9 8 7

23 13 1 Е^ Е. 4 * 1 13

24 14 2 5 2 14

25 15 3 Е^ / Е2 6 / 3 15

26 10 11 Е3 12 * 11 10

28 19 20 21 20 19

27 22

23

24

25

26

28

у 2,15 м

Рис.7. Расчетная сетка с учетом внеконтурных точек

а2 = 0,3462 = 0,119; 2а = 0,692; 6а2 + 8а + 6 = 6 • 0,119 + 8 • 0,346 + 6 = 9,48; 4(а + 1) = 4-0,346 + 4 = 5,38; Ду = 0,256 = ё.

/1 1,0 м

Таким образом, уравнение (1) принимает вид

® 1,72 ё4к О , ч / ч

|9,48 +--=—- 5,38( + 0,346wn + we + 0,346wm) + 0,692(0 + wq + wr + wp) + ws + 0,119wv + wt +

I В и

+ 0,1^„ = 1,7Рк (Бу)7В,

где Рк - нагрузка в узле к.

Система уравнений метода конечных разностей для точек 1 - 6 имеет вид:

1,7 Её2

134,3^ - 5,384w2 + w3 - 1,863w4 + 0,692w5 + 0 = -^-В—;

17 Р ё2

- 5,384w1 + 135,319w7 - 5,384w3 + 0,692w4 - 1,863w5 + 0,692w6 = ^^—;

> 1 > 2 > 3 > 4 > 5 > 6 в

1,7 Р ё2

w1 - 5,384w2 + 136,319wз + 0 + 0,692w5 - 1,863w6 = ' 3 •

3,724w1 + 1,384w2 + 0 + 134,319w4 - 5,384w5 + w6 =

В

1,7Р4ё2

4

В

1,7Р5ё2

1,384w1 - 3,724w2 + 1,384wз - 5,384w4 + 135,319w5 - 5,384w6 = -^-В—; V. 0 + 1,384w2 - 3,726wз + w4 - 5,384w5 + 136,319w6 = 1,7В6ё .

Используя формулы (5) и (7), получаем е=0,011; В = 24,5361 1 а > 3.

Нагрузка, действующая от колеса автомобиля на покрытие, перераспределяется в узловые точки расчетной сетки пропорционально расстояниям от места ее приложения.

Значение силы в точках 4 и 6 удваивается ввиду того, что линия 9-12 (она же ось у) является осью симметрии плиты и одновременно осью симметрии приложения нагрузок.

В результате преобразований получаем следующие значения сил в узловых точках: Р1 = 6,28 кН; Р2 = 3,76 кН; Р3 = 31,07 кН; Р4 = 17,26-2 = 34,52 кН; Р5 = 10,34-2 = 20,68 кН; Р6 = 85,43-2 = 170,86 кН.

1 7 Рё2 1 7 Рё2 1 7 Рё2 1 7 Рё2

Тогда 1) Ь-7^ = 0,002г ; 2) -Ь-7^ = 0,00121 ; 3) = 0,00991 ; 4) = 0,01111 ;

В В В В

17 Р ё2 17 Р ё1

5) = 0 066 г ; 6) = 0,0547 г .

ВВ

Вертикальные перемещения внутриконтурных точек пластинки равны:

w1 = 1,555>0- 51 ; w2 = 1,103>10- 5 г ; Wз = 7,814>0- 5 г ;w4 = 8,287>0- 5 г ; w5 = 6,753>10- 5 г ; w6 = 4,054>10- 4 г .

Перемещение верхней поверхности основания ъ(х, у) для нулевого приближения задается в виде полинома (21):

w1 = ах2 + Ьу2 + сх + ёу + е. (21)

Используя симметрию рассматриваемой плиты, избираем пять точек (рис.9), для которых записываем уравнение (21), исходя из условий:

у 375 см В точке 9 (х = 0, у = 4300 мм) ъ = 0 мм;

9 ^_/ / В точке 5 (х = 0, у = 0) ъ = 0,06753 мм;

^^215 см В точке 12 (х = 0, у = -4300 мм) ъ = 0; х В точке 14 (х = 7500 мм, у = 0) ъ = 0;

В точке 2 (х = 3750 мм, у = 0) ъ = 0,01103 мм.

12 _/_/ Рис.9. Точки, избираемые для определения коэффициентов полинома

тч о Л /\ л* Л л* Л О Л ^ Г >< \ Гу Г О Г \ Г •• Г . ЛОЛ

Ваееа пепоаю ооаа1а1ее, иео-аа1:

a = 1,6167-10-9 мм-1, Ь = -3,6522-10-9 мм-1, с = -2,1129-10-5, d = 0, е = 6,753-10-2 мм.

оша оааашеа (21) е1аао аеа: w1 = 1,6167>0-9х2- 3,6522>0-9у2- 2,1129>0-5х+ 6,753>0-2.

На основании (18 - 20) определяем коэффициенты g, k и 2t для нулевого приближения:

(1- 0,4)0,63337 4 1

У ' = 1,2056>0- 41 I ''.

2(1- 0,2) 1,6341 >07

Первоначально коэффициент k = 50 МПа/м принят по таблице для грунта средней плотности Е = 50 МПа. Далее он корректируется на основании (18). Толщина сжимаемого слоя грунтового основания равна

Е

Н = к, (22)

где Е - модуль упругости грунта.

Таким образом, в рассматриваемом случае получаем H = 1 м. Используя формулу (18), находим k = 55,5 МПа/ м и 2t = 6,93 МПа м.

Для получения системы конечно-разностных уравнений в первом приближении используем уравнение (17)

в виде

БУ2У2 w + Ы - 2tУг w = р( х, у). (23)

Расчетная сетка с учетом внеконтурных точек остается без изменений (см. рис. 7). Конечно-разностное уравнение принимает вид

ж 1 72 кё4 4 ё2 1 724ё2 О Ж 1 722ё2 О, ж 2 ё2 О,

£9,48 + 1,7 _ + + 17 _ - 5,38Й- + w.)+ 0,346Й- 2_^ + w )У+

I Б Б Б ё к | 5,38Б ё I 0,346Б0 "

, \ рк 1,7 ё2

+ 0,692( + wq + wr + wp) + w, + 0Л19w„ + w, + 0,119w„ = к _—.

-1 уи у Л р / о ^ V I ' „ рр

Составив новую систему уравнений для точек 1 - 6, определяем значения вертикальных перемещений в этих точках плиты в первом приближении:

w1 = 9,957>10- 61 ;w2 = 4,937>10- 6/ ;w3 = 5,098>10- 5/ ;w4 = 6,774>10- 5/ ; w5 = 4,467>10- 51 ;w6 = 3,379>10- 41 .

Таблица 3

Сравнительная таблица перемещений для двух моделей основания

БУ 2У2 w + ^ = р( х, у) БУ 2У2 w + ^ - 2гУ2 w = р( х, у) Разница в %

wl = 1,555-10"5 м W1 = 9,957-10"6 м 36

W2 = 1Д03-10"5 м W2 = 4,937-10"6 м 55

wз = 7,81410-5 м w3 = 5,098-10"5 м 35

W4 = 8,287-10"5 м w4 = 6,774-10-5 м 18

w5 = 6,753 10-5 м W5 = 4,467-10"5 м 34

W6 = 4,054-10"4 м W6 = 3,379-Ш"4 м 17

Получив новые значения вертикальных перемещений, переходим ко второму приближению. Используя уравнение (21) и рис. 8, получаем новую систему пяти уравнений. В итоге находим новые значения неизвестных коэффициентов:

a = 3,4844-10-10 мм-1, Ь = -4,0335-10-8 мм-1, с = -1,0205-10-4, d = 0, е = 0,7458 мм. В итоге w1 = 3,4844>0- 10х2 - 4,0335>0- 8у2 - 1,0205>10- 4х + 0,7458.

Вычисляем по формулам (20) и (18) новые значения у, к и 2t:

- 1,2544>10 4i i к = 55,5 МПа/м и 2t = 6,9299 МПа м, которые незначительно

отличаются от значений первого приближения, что позволяет завершить решение задачи.

В табл. 3, дано сравнение значений перемещений, вычисленных при использовании двух моделей основания.

Ср авнение вертикальных перемещений из дифференциальных ур авнений с одним пар аметр ом и двумя параметрами позволяет сделать вывод о том, что перемещения во втором случае меньше в среднем на 33%.

В итоге можно сделать вывод о целесообразности применения математической модели многослойной плиты на упругом основании с двумя параметрами (23) ввиду значительного уточнения перемещений в сравнении с моделью винклеровского основания. Это приводит к уменьшению внутренних усилий и, следовательно, экономии расхода материалов плиты. Экономический эффект обнаруживается и при расчете по второму предельному состоянию.

1. Кончковский З. Плиты: статические расчеты / Пер. с пол. М.В. Предтеченского; Под ред. А.И. Цейтлина.- М.: Стройиздат, 1984. - 480 с.

2. ВласовВ.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. - М.: Физматгиз, 1960. - 492 с.

3. Jones R. The Vlasov foundation model /R. Jones, J. Xenophontos // Int. J. mech. Sci. -1977. - v.19. -P.317-323.

4. ХечумовР.А. Сопротивление материалов и основы строительной механики / Р.А. Хечумов, А.Г. Юрьев, А.А. Толбатов. - М.: Изд-во. АСВ, 1994. - 387 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК