Расчет ортотропных оболочек вращения на осесимметричную нагрузку с учетом ползучести Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК: 624.04

РАСЧЕТ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ

НАГРУЗКУ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ

Чепурненко А.С1., Сайбель А.В.2

ФГБОУ ВО «Донской государственный технический университет» Адрес: г. Ростов-на-Дону, Социалистическая, 162 E-mail: [email protected]*

Аннотация. Получены разрешающие уравнения для расчета ортотропных оболочек вращения на осесимметричную нагрузку с учетом ползучести. Задача свелась к системе из двух дифференциальных уравнений относительно угла поворота нормали и функции V, равной произведению поперечной силы на кольцевой радиус кривизны. Приведен пример расчета резервуара из однонаправленного стеклопластика в форме однополостного гиперболоида вращения, жестко защемленного в основании. В качестве закона ползучести использовано уравнение линейной теории наследственности с ядром в виде суммы экспоненциальных функций. Решение выполнено численно методом конечных разностей в пакете Matlab. Для расчета произведен переход от интегральной формы закона ползучести к дифференциальной, что позволило использовать для определения деформаций ползучести метод Эйлера. Также приведено сравнение результатов с решением, полученным на основе метода конечных элементов. При расчете методом конечных элементов использовались осесимметричные конечные элементы в виде усеченных конусов. Установлено, что в рассматриваемой задаче ползучесть материала оказывает положительное влияние на напряженно-деформированное состояние конструкции. Перемещения, а также кольцевые и меридиональные продольные силы в процессе ползучести практически постоянны, и в то же время происходит снижение меридиональных и кольцевых изгибающих моментов в основании оболочки на 8%. Ключевые слова: ползучесть, оболочки вращения, моментная теория, численные методы.

ВВЕДЕНИЕ

Осесимметричные задачи представляют один из важных классов задач строительной механики и теории упругости. Примерами осесимметричной нагрузки для оболочек вращения являются собственный вес, равномерная снеговая нагрузка, давление жидкости в резервуаре и т.д. При наличии осевой симметрии уравнения теории оболочек существенно упрощаются.

В инженерной практике, в большинстве случаев ограничиваются расчетом оболочечных

конструкций только в упругой стадии. При медленно меняющейся поверхностной нагрузке в упругой оболочке вращения напряженное состояние можно представить в виде суммы безмоментного напряженного состояния и краевого эффекта. Для оболочек из вязкоупругого материала краевой эффект ранее практически не исследовался.

АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

Упругим задачам теории пластин и оболочек посвящено достаточно много работ, в том числе [112]. Что касается расчетов с учетом ползучести, в настоящее время имеются только некоторые частные решения, справедливые для определенного закона деформирования, например, [13-18], либо общие математические модели без указания конкретных путей решения [19-20]. В работе [21] приводится методика расчета изотропных осесимметрично нагруженных оболочек, подходящая для произвольных уравнений связи между деформациями ползучести и напряжениями. В настоящей статье выполняется развитие

предложенного подхода на случай ортотропных конструкций.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА ЕЕ РЕШЕНИЯ

Рассматриваемый элемент оболочки вращения приведен на рис. 1.

Рис. 1. Равновесие элемента оболочки вращения

Уравнения равновесия этого элемента записываются в виде [10]:

—+—- +--Шг) + р = 0;

Я1 Я2 гЯ1 '

гя cosv+Nq>sinч))r~] = -Рz; (1)

йг

где р - нормальная составляющая поверхностной нагрузки, t - касательная составляющая внешней нагрузки,

рг = р 008 р + t $тф- вертикальная составляющая внешней нагрузки.

Интегрируя второе уравнение в (1) от р0 до р (координата р0 соответствует верхнему краю оболочки), получим:

г (Жр8тр + 0 008 р) = ^ (р), (2)

где F (p) = -f pzR1rdp

+ c.

Рис. 2. К формулировке граничных условий

При отсутствии нагрузки на верхнем краю оболочки постоянная C обращается в нуль.

При использовании теории Кирхгофа-Лява полные деформации оболочки представляют сумму деформаций срединной поверхности и деформаций, вызванных изменением кривизны:

s<p=sl + ХсрУ; Se=Se + ХвУ. (3)

В формулах (3) и далее под y понимается локальная ось, направленная по нормали к срединной поверхности оболочки. Координаты y отсчитываются от срединной поверхности. Положительное направление оси y совпадает с положительным направлением поверхностной нагрузки p. Деформации срединной поверхности определяются следующим образом:

0 1 dv w 0 v cos p- w sin p

sp=^~, 7Г; se= , (4)

R1 d(p R1 r

где w и v - соответственно перемещения в направлении нормали к поверхности оболочки и касательной к меридиану.

Изменения кривизн оболочки определяются следующим образом:

1 da a

Xp = ; xe = ctg % (5)

r1 dp

R2

V 1 ём>

где а =--1----угол поворота нормали.

Я1 Я1 йр

Исключая из (4) перемещения, получим:

R2 dse

\sl-si )ctg Я>-а.

г» 7 \ р 0 10! (6)

К1 а р

Связь между напряжениями и деформациями для ортотропного материала имеет вид:

^Р &в * & в " Р * ^ч

sp = E ~у2 + Se = E- — E + Se,(1)

Щ 2 2

где sp и s* - деформации ползучести. Выразим из (8) напряжения через деформации:

-(Sp+^2Se-(SP + —S* ));

&p =

1 -—1 — E.

ста =

jE— (se + ^Sp -(se +VSS)). (8)

Изгибающие моменты определяются следующим образом:

h/2

Mp= Í &pydy =D1 (xp + —Xe ) -Mp

-h/2

= -D

/ 1 da —2 ---+—actgp

v R1 dP R2

h/2

\

-Mp;

(9)

Me= f aeydy =D2 (Xe + —Xp)-M*e

= -d,

-h/2

с a — da

—ctgp + —--

v R2 R1 dp

E h/2

где Mp = f (

I -v,v„ J v

1 -h/2

h/2

\

-Ml

/

Sp+—S

>)ydy;

mi = -

1 - h/2

f (( + —1s )ydy,

d1 =■

Exh

;, d2 =•

e2 h3

12(1 -К1К2) 12(1 -К1К2)

Подставляя (9) в последнее уравнение равновесия в (1), получим первое разрешающее уравнение:

r2 da da —L +-

r1 dp dp

с

с R >

dp

v R1 J

Rl R

-ctgp

+a

—2 r1

2 —ctg p

—1 rl

RV

D

1

d1 sinp V dp

Jp-(M'p r )-R1cos pMe

(10)

Продольные силы определяются следующим образом:

h/2

np= f&pdy = ~-e—(sp +—2s°e )-n J 1 -—— 4 '

p J p

-h/2 h/2

p

Ne = f &edy =

-h/2

el h / 0 0\ *

2 ( +—Sp )- Ne

(11)

1

h/2

Np =

f (

1

Sp+—S

где

1 2 -h/2

)dy,

h/2

n* =-

1 -У1У2 -h/2

j+у4)dy•

С другой стороны, из первых двух уравнений равновесия (1) можно записать:

no=~r ^ - pr2 F (р);

R1 dp R1 sin2 p

Nw=-c-^V-

p R2

1

(12)

-F (9>),

v2 r2 sin p

где V = RQ •

Выразим из (11) деформации срединной поверхности:

0 1 / -.у У2

sp =-L (Np + np)(Ne + n*) =

p Eh p p E2h * *'

p

Eh

1

E1h

(

ctgp

R

V-

2 r2 sin p

F (p) + Np

1

у li.dp - r -

E2h ^ R1 dp Rjsin p

F (p) + К

* -E-u (+ N*) - Eth (Np+ Npp =

(13)

E2 h

1

1 dV

F (p)

-(----pR2 — 2

e2h R1 dp sin p

CtgpV + N* -yNi).

J_

r"' r

'2 J

R

2

Подставляя (13) в (6), получим второе разрешающее уравнение:

r2 d 2V dV

R1 dp2 dp

+V

R,

f r2 >

ctg p +-

Ri p Ri j

f y2 R 2 ^ 2 j-ctg 2p

УR2

= E2haR1 + Ф (p) + Ф* (p).

F (p)

(14)

где Ф (p) = -(1 + у2 ) (1+ У) E2 Rj

sin2 p

pRR

ctgp-

R2 sin p

F (p) ctgp-

(

-R2— dp

pRl+m f ±+r

sin p\R1 R

W

2 JJ

Ф* (p = R2 dp(N*-УгN*p) -

(

\

-Я^р Níp (1 + уа)-2_(1 + у2)Nв

V

Таким образом, задача свелась к системе из двух дифференциальных уравнений второго порядка (10) и (14).

Методику решения задачи рассмотрим на примере жестко защемленной в основании оболочки из однонаправленного стеклопластика, поверхность которой представляет однополостной гиперболоид вращения (рис. 3). Уравнение меридиана этой поверхности записывается в виде:

r =—\jb b

2 2 2 1 z

(15)

где а и b - параметры гиперболы.

Рис. 3. Однополостной гиперболоид вращения

Граничные условия для свободного края (Р = Р0) записываются в виде: Q = 0 ^ V = 0;

1 da ctgp Mp = 0 ^--+ v2 a = 0.

p R1 dp R2

Для жестко защемленного края: a = 0, s{)e = 0.

В качестве уравнения связи между деформациями ползучести и напряжениями будем использовать следующий закон, приведенный в [23]:

t

% (t)=1л (0+\km (t - ()d), (16)

0

где <Jkj - тензор напряжений, sij - тензор деформаций, Ki]kl (t -)) - функции ядер ползучести.

В развернутом виде для осесимметричного нагружения соотношения (16) записываются следующим образом:

sp= i

\l11°p+1 1122aв + jXlll (t -T)p) dT~

l

^jK1122 (t °в() dT;

(17)

£в = 1И22%р + 12222^в + \КИ22 ( - т) "

хЮ

Ь|К2222 ( ~)СГв(т)с!т.

Связь технических постоянных Е1;Е2,у1,у2 коэффициентами имеет вид:

е =■

1

; е2 =-

1

1111 Функции

Кци (/) = Рш в

2222 работе

(18) [23]

(19)

-М.

(20)

представляются в виде суммы экспонент:

Рш (О еХР (-М .

г =1

Индекс ш в формуле (19) указывает на номер ядра ползучести: К1111 = р , К2222 = р2,К1122 = р3. Упругие и реологические характеристики однонаправленного стеклопластика были взяты из работы [23].

При ядре (19) закон ползучести (16) можно представить в дифференциальной форме. Дифференциальная форма закона ползучести позволяет разбить временной интервал, на котором исследуется процесс ползучести, на п шагов Д/, на первом этапе решить упругую задачу, далее по напряжениям определить скорости роста

деформаций ползучести, а величины еРр в момент

времени /+Д/ найти при помощи метода Эйлера:

£/+Д/ = ег +

О/

Система уравнений (10) и (14) авторами решалась методом конечных разностей. Для

определения величин м* и N (г = р,в ) вводилась сетка по толщине оболочки, и интегралы вычислялись численно по формуле трапеций.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Расчет выполнялся на действие гидростатического давления при а = 2 м, Ь = 5 м ,

= -0.7 м, = 3.3 м, И = 1 см . Помимо метода конечных разностей для решения использовался метод конечных элементов. Оболочка моделировалась осесимметричными конечными элементами в виде усеченных конусов. Полученный в результате график роста максимальной величины прогиба приведен на рис. 4. Штриховой линии соответствует решение при помощи МКР, сплошной - при помощи МКЭ. Из данного графика видно, что перемещения в процессе ползучести практически не меняются.

4.56 4.555 4.55 ? 4,545 Г 4.54 4.535 4.53 4.525

О 1000 2000 3000 4000

1,суш

Рис. 4. Графики роста наибольшей величины прогиба

На рис. 5 приведен график изменения во времени меридионального изгибающего момента в основании оболочки. Изгибающий момент снизился на 8%. На такую же величину произошло уменьшение кольцевого изгибающего момента. Продольные силы в процессе ползучести практически не изменились. Изменение величины Мр по высоте оболочки в конце процесса ползучести приведено на рис. 6.

0.104

* |В1 01

/ / V —МКЭ МКР

н 1

1 1 1

1 [

0.102

? 0.1

0.098

0.096

0.094

г 2 & тт

1 1 и и

п и \\ \\ \\

\\ \ч \ ч 1 —, "** — ^ &

О 1000 2000 3000 4000

/, суп

Рис. 5. Изменение во времени наибольшего меридионального изгибающего момента

0 1

0.06 0.06 0.04 Ъ 0.02

-0.02 »

-0.04 -1-1-1-'-

-10 1 2 3 4

г, м

Рис. 6. Изменение меридионального изгибающего момента по высоте оболочки в конце процесса ползучести

ВЫВОДЫ

Полученные уравнения являются

универсальными и позволяют использовать произвольный закон ползучести, в том числе и нелинейный. Также имеется возможность применения модели ортотропной оболочки для расчета железобетонных резервуаров, у которых коэффициенты армирования в меридиональном и кольцевом направлении различны. Из полученных результатов следует, что в рассмотренной задаче ползучесть оказывает положительное влияние на напряженно-деформированное состояние

конструкции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крысько, А. А. Способ геометрического моделирования поверхности резервуара любого объёма для хранения нефтепродуктов с учетом несовершенств / А. А. Крысько // Строительство и техногенная безопасность. 2013. № 48. С. 98-102.

2. Якупов, Н.М. Расчет тонкостенных сферических оболочек с углублениями на базе трехмерных конечных элементов // Н. М. Якупов, Ф.Г. Ахмадиев, Х.Г. Киямов // Строительство и техногенная безопасность. - 2014. - № 50. - С. 185190.

3. Чемодуров, В.Т. Оценка прочности цилиндрических баков с жидким наполнителем при динамических нагрузках / В. Т. Чемодуров, Ю.С. Кузьмина // Строительство и техногенная безопасность. - 2016. - № 2 (54). - С. 31-34.

4. Куликов, Г.В. Упругие связи предварительного напряжения мягких оболочек тентовых сооружений / Г.В. Куликов, Г.Г. Куликов // Строительство и техногенная безопасность. 2013. № 47. С. 12-15.

5. Куликов, Г.В. Тентовая архитектура Крыма: вчера, сегодня, завтра/ Г.В. Куликов, Г.Г. Куликов // Строительство и техногенная безопасность. 2013. № 46. С. 5-9.

6. Погорелый, Д.Ф. Демпфирование колебаний оболочки при полигармоническом нагружении / Д.Ф. Погорелый, С.М. Малинский, А.Ю. Чернявский, В. А. Бойко // Строительство и

техногенная безопасность. - 2013. - № 48. - С. 137141.

7. Чемодуров, В.Т. Расчет многослойной пластины с приведенной жесткостью / В.Т. Чемодуров, П.М. Канцеров // Строительство и техногенная безопасность. - 2012. - № 42. - С. 1825.

8. Чемодуров, В.Т. Выбор параметров многослойной пластины методом планирования эксперимента / В. Т. Чемодуров, В.И. Шинкарук // Строительство и техногенная безопасность. - 2012.

- № 42. - С. 26-30.

9. Чемодуров, В.Т. Выбор параметров многослойной пластины методом случайного поиска / В. Т. Чемодуров, М.С. Сейтжелилов // Строительство и техногенная безопасность. - 2012.

- № 42. - С. 31-36.

10. Трегубова, И.А. Выбор систем координат при численном описании конечно- элементной модели оболочки // Строительство и техногенная безопасность. - 2012. - № 41. - С. 222-224.

11. Якупов, Н.М. Компьютерное моделирование расчета напряженно-деформированого состояния оболочечной конструкции сложной геометрии / Н.М. Якупов, Х.Г. Киямов, Ф.Г. Ахмадиев // Строительство и техногенная безопасность. - 2012.

- № 41. - С. 261-267.

12. Литовченко, П.А. Распределение напряжений в нормальном сечении облегчённых трёхслойных сборно-монолитных железобетонных панелей при изгибе / П.А. Литовченко, Н.И. Глушаков // Строительство и техногенная безопасность. - 2012.

- № 43. - С. 31-35.

13. Creus G. J. Viscoelasticity—basic theory and applications to concrete structures. Springer Science & Business Media, 2012. 168 с.

14. Тамразян А.Г. Механика ползучести бетона: монография. М.: МГСУ, 2012. 524 с.

15. Boyle J. T., Spence J. Stress analysis for creep. Elsevier, 2013. 283 с.

16. Bockhold J., Petryna Y. S.. Creep influence on buckling resistance of reinforced concrete shells // Computers & structures. 2008. №86.7. С. 702-713.

17. Бреславский Д.В., Морачковский О.К., Татаринова О.А. Высокотемпературная ползучесть и длительная прочность элементов конструкций при циклическом нагружении // Проблемы прочности. 2008. № 5. С. 46-53.

18. Белов А. В., Поливанов А. А., Попов А. Г. Оценка работоспособности многослойных пластин и оболочек с учетом повреждаемости материалов вследствие ползучести и высокотемпературной водородной коррозии // Современные проблемы науки и образования. 2007. №. 4. URL: https://www.science-

education. ru/ru/article/view?id=416

19. Тамразян А.Г. Термоползучесть пологих железобетонных оболочек и плоских пластин при высоких температурах // Промышленное и гражданское строительство. 2015. № 10. С. 15-20.

20. Жгутов, В. М. Математические модели деформирования ортотропных и изотропных

ребристых оболочек при учете ползучести материала/ В.М. Жгутов //Инженерно-строительный журнал. - 2009. - №. 7. - С. 46-54.

21. Chepurnenko A.S., Mailyan L.R., Yazyev

B.M., Ivanov A. Calculation of the rotation shells on axisymmetric load taking the creep into account // MATEC Web of Conferences. 2017. № 106. URL: https://www.matec-

conferences.org/articles/matecconf/abs/2017/20/matecc onf_spbw2017_04011/matecconf_spbw2017_04011.ht ml

22. Александров А. В., Потапов В. Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. школа, 2002. 400 с.

23. Горохов А.Ю., Труфанов Н.А. О перераспределении напряжений в ортотропной вязкоупругой пластинке в окрестности круглого включения //Вестник ПНИПУ. Механика. 2011. №1.

C. 170-182.

REFERENCES

1. Krys'ko, A. A. Method for geometric modeling of surface reservoir of any size for storing petroleum products subject to imperfections / A. A. krys'ko // Construction and technogenic safety. 2013. No. 48. P. 98-102.

2. Yakupov, N.M. The calculation of thin-walled spherical shells with indentations on the base of three-dimensional finite element/ N. M. Yakupov, F. G. akhmadiev, H. G. Kiiamov // Construction and technogenic safety. - 2014. - No. 50. - P. 185-190.

3. Chemodurov, V. T. Evaluation of strength of cylindrical tanks filled with liquid under dynamic loads / Chemodurov V. T., Y. S. Kuzmin // Construction and industrial safety. - 2016. - № 2 (54). - P. 31-34.

4. Kulikov, G. V. Elastic pre-tension when soft shells for tensile structures / G. V. Kulikov, G. G. Kulikov // Construction and technogenic safety. 2013. No. 47. S. 12-15.

5. Kulikov, G. V. Awning the architecture of the Crimea: yesterday, today, tomorrow/ G. V. Kulikov, G. G. Kulikov // Construction and technogenic safety. 2013. No. 46. P.5-9.

6. Pogorelov, D. F. damping vibrations of the shell at polyharmonic loading D. F. Pogorelov, S. M. Malin, A. Yu., Chernyavskii, V. A. Boiko // Construction and technogenic safety. - 2013. - No. 48. - S. 137-141.

7. Chemodurov, V. T. Calculation of laminated plates with a given stiffness / Chemodurov V. T., P. M. Kantserov // Construction and technogenic safety. -2012. - No. 42. - Pp. 18-25.

8. Chemodurov, V. T. the Choice of parameters of multilayer plates by the method of experiment planning / Chemodurov V. T., V. I. Shynkaruk // Construction and technogenic safety. - 2012. - No. 42. - P. 26-30.

9. Chemodurov, V. T. the Choice of parameters of multilayer plates by the method of random search /

Chemodurov V. T., M. S. Satullo // Construction and technogenic safety. - 2012. - No. 42. - P. 31-36.

10. Tregubova, I. A. Choice of coordinate systems for the numerical description of finite element model shell / Building and technogenic safety. - 2012. - No. 41. - Pp. 222-224.

11. Yakupov, N.M. Computer modeling calculation of the stress-state of deformation of shell structures with complex geometry / N. M. Yakupov, H. G. Kiiamov, F. G. akhmadiev // Construction and technogenic safety. -2012. - No. 41. - Pp. 261-267.

12. Litovchenko, P. A. the stress Distribution in a normal cross section of the lightweight three-layer precast concrete panels in bending / A. P. Litovchenko, N. And. Glushakov // Construction and technogenic safety. - 2012. - No. 43. - S. 31-35.

13. Creus G. J. Viscoelasticity—basic theory and applications to concrete structures. Springer Science & Business Media, 2012. 168 p.

14. Tamrazyan A. G. Mechanics of creep of concrete: monograph. Moscow: MGSU, 2012. 524 p.

15. Boyle J. T., Spence J. Stress analysis for creep. Elsevier, 2013. 283 p.

16. Bockhold, J., Petryna Y. S.. Creep influence on buckling resistance of reinforced concrete shells // Computers & structures. 2008. No. 86.7. P. 702-713.

17. Breslau, D. V., Morachkovsky O. K., Tatarinova O. A. high-temperature creep and long-term strength of structural elements under cyclic loading // Problems of strength. 2008. No. 5. S. 46-53.

18. Belov A.V., Polivanov A. A., Popov A. G. performance Evaluation of multilayered plates and shells taking into account damage of materials due to creep and high-temperature hydrogen corrosion // Modern problems of science and education. 2007. no. 4. URL: https://www.science-education. ru/ru/article/view?id=416

19. Tamrazyan A. G. Creep of shallow reinforced concrete shells and flat plates at high temperatures // Industrial and civil construction. 2015. No. 10. S. 15-20.

20. Harnesses, V. M. Mathematical model of deformation of orthotropic and isotropic ribbed shells when accounting for material creep/ V. M. Zhgoutov //magazine of civil Engineering. - 2009. - №. 7. - P. 46-54.

21. Chepurnenko A. S., L. R. Mailyan, Yazyev B. M., Ivanov A. Calculation of the rotation on axisymmetric shells load taking the creep into account // MATEC Web of Conferences. 2017. No. 106. URL: https://www.matec-

conferences.org/articles/matecconf/abs/2017/20/matecc onf_spbw2017_04011/matecconf_spbw2017_04011.ht ml

22. Aleksandrov A.V., Potapov V. D. mechanics of materials. Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity. M.: Vyssh. school, 2002. 400 p

23. Gorokhov A. Y., Trufanov N.. On the redistribution of stresses in orthotropic viscoelastic plate in the vicinity round on //Vestnik pnipu. Mechanics. 2011. No. 1. P. 170-182.

THE CALCULATION OF ORTHOTROPIC SHELLS OF ROTATION ON AXISYMMETRIC

LOAD WITH THE CREEP

Chepurenko, A. S., Saybel A.V.

Summary. The example of calculation of tank made of unidirectional fibreglass in the form of one-sheet hyperboloid of rotation, rigidly clamped at the base. As law creep equation is used linear theory of heredity with the nucleus as a sum of exponential functions. The solution is made numerically by finite difference method in Matlab. For the calculation the transition from the integral form of the law of creep to the differential, which allowed to use for the determination of creep deformation Euler method. Also the comparison of the results with the solution obtained on the basis of the finite element method. In the calculation by the finite element method was used axisymmetric finite elements in the form of truncated cones. Found that in this task the creep material has a positive effect on the stress-strain state of the structure. Movement, and annular meridional and longitudinal force in the process of creep is almost constant, and at the same time there is a decrease in the meridional and circumferential bending moments at the base of the shell 8%.

Key words: creep, skins, rotation, moment theory, numerical methods.