CC BY
31
Геодезия
УДК 528.2:528.4
ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ЛИНЕЙНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ РЕДУКЦИИ ЗА ВЛИЯНИЕ МАСС ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ ВНЕШНЕЙ ОБЛАСТИ
Юрий Викторович Дементьев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, профессор кафедры высшей геодезии СГГА, тел. 8913-901-08-71, e-mail: [email protected]
Анатолий Иванович Каленицкий
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры астрономии и гравиметрии
СГГА, тел. 8913-906-74-53, e-mail: [email protected]
Александр Владимирович Черемушкин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, доцент кафедры фотограмметрии и дистанционного зондирования СГГА, тел. 8913-749-90-18
Актуальность использования топографической редукции в гравиметрии при определении аномалий силы тяжести в последнее время возрастает. В статье обоснована возможность применения разработанной авторами новой методики расчета топографической редукции для дальней области, лежащей за пределами зоны в 200 км, к внешней области, расположенной в зоне с радиусами от 20 до 200 км относительно точки наблюдений.
Ключевые слова: промежуточный слой, топографическая редукция, внешняя учитываемая область, цифровая модель рельефа, линейная интерполяция.
SELECTION AND JUSTIFICATION OF OPTIMAL CONDITIONS OF LINEAR INTERPOLATION TOPOGRAPHIC REDUCTION FOR MASS EFFECT OF FOREIGN MIDDLEWARE
Yury V. Dementiev
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., professor of the Department of Geodesy SSGA, tel. 8913-901-08-71, e-mail: dir.inst.dzp @ ssga.ru
Anatoly I. Kalenitsky
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., doctor of technical sciences, professor of astronomy and gravity SSGA, tel. 8913-906-74-53, e-mail: [email protected]
Alexander V. Cheremushkin
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Associate Professor of Photogrammetry and Remote Sensing SSGA, tel. 8913-749-90-18
Relevance of the use of topographic reduction in gravity in determining the gravity anomalies in the mean time. In the article the possibility of using a new technique developed by the authors calculate the topographic reduction for the far region, which lies outside the area of 200 km, to the outer area, located in a zone with a radius of from 20 to 200 km with respect to the observation point.
18
Геодезия
Key words: intermediate layer, topographic reduction, external accounted area, digital elevation model, the linear interpolation.
Введение
В работе [1] исследована возможность линейной интерполяции топографических поправок при редукции силы тяжести за влияние промежуточного слоя всей земной поверхности (от 200 км), заданных в узлах регулярной сетки с шагом dI (по широте и долготе), к точке наблюдений «А». Показано, что значение общей поправки SgA слагается из её значения на поверхности эллип-
о 0 -
соида ogA и составляющей, линейно зависящей от вертикального градиента Ga и геодезической высоты HA,
SgA =8gA + GaHa . (1)
Это позволяет определять величину SgA в пределах точности гравиметрических измерений, если учитываемые массы промежуточного слоя дальней области лежат за пределами зоны в 200 км. При этом установлено, что параметры
SgA и Ga изменяются линейно в интервале di < 10 .
Требовалось выяснить, можно ли применить подобную методику расчета топографической редукции для промежуточного слоя, лежащего в области [ pn, 200] (pn - радиус внутренней границы учитываемой области в километрах) и при каких значениях d i (max) и pn (min). При этом возникает вопрос, с какой погрешностью p(H) в этом случае требуется знание высот цифровой модели рельефа (ДМР) и с каким шагом dt регулярной сетки задания их значений в плане?
Для ответа на эти и другие вопросы был проведен цикл экспериментов по расчету значений топографической поправки на основе методики, изложенной в работе [2] с использованием цифровой модели радарной топографической съемки рельефа Shuttle Radar Topography Mission (SRTM) [3], позволяющей выполнить расчет величин SgA, SgA и Ga . Промежуточный слой (переменной
толщины) ограничивался территорией размером 5 ° х 5 ° с координатами нижнего левого угла, равного B = 50° и L = 85° (B и L - геодезические широта и долгота точки). В этой модели значения высот заданы в узлах регулярной сетки (по
н
широте и долготе) с шагом dt = 3 . Декларируемая погрешность высот модели соответствует величине, равной ±16 м.
Следует отметить, что рельеф выбранного района исследований достаточно сложный (предгорье и горы Алтая), с перепадом высот, достигающим 4 000 м.
В своих исследованиях авторы исходили из того, что погрешность гравиметрических измерений составляет величину порядка 0,01 мГал.
19
Геодезия
Исследование шага задания узлов dt регулярной сетки ЦМР заданной области
В качестве результативной выбрана точка, лежащая в центре исследуемой области с координатами ВА = 52°30' и LA = 87°30'. Радиус внешней границы
исследуемой области был принят равным 200 км. Вычисление топографической поправки 5gA (dt, pn) выполнялось последовательно с различным шагом dt = 15", 30", 60", 90", 180" задания узловых точек ЦМР и различными радиусами pn = 10, 15, 20, 50 км внутренней границы учитываемой области. На основе
и
полученных значений поправок 8gA (dt; pn) с учетом того, что 8gA (3 ; pn) - базовая величина, были вычислены разности (табл. 1):
Л1 = SgA (dt; pn) - SgA (3"; pn).
Таблица 1
Значение разностей Л1 в мГал
dt pn (км)
10 15 20 50
15" 0 0 0 0
30" -0,001 0 0,001 -0,001
60" -0,005 -0,001 0,001 -0,003
90" -0,025 -0,005 -0,001 -0,004
180" -0,070 -0,021 -0,008 -0,011
Исходя из этого, установлен оптимальный интервал между узловыми точками ЦМР. Как видно из табл. 1, при радиусе pn = 10 км достаточно иметь ЦМР
с шагом регулярной сетки dt = 60". Для радиуса pn = 20 км имеем dt = 180".
Влияние случайных погрешностей цифровой модели рельефа
Для изучения влияния случайных погрешностей высот ЦМР был выполнен следующий эксперимент. В качестве результативной точки, как и в предыдущем случае, принята точка, расположенная в центре исследуемой области. Принимая последовательно значения внутренней границы исследуемой области, начиная с радиусов pn = 10, 15, 20, 50 км, используя цифровую модель SRTM, были рассчитаны четыре топографические поправки SgA (H; pn). Далее, искажая все высоты модели псевдослучайными числами, распределенными по нормальному закону со средним квадратическим отклонением цн =±10,20,50,100 м, для всех
отмеченных выше значений pn была рассчитана таблица значений величин SgA(н + ^ н; pn).
20
Геодезия
Очевидно, что разности
а 2= &§л (н + р н; Рп) -§&а (н; Pn)
характеризуют влияние случайных погрешностей высот принятой ЦМР на значение топографической поправки SgA. Результаты вычислений А 2 помещены в табл. 2.
Таблица 2
Значение разностей А 2 в мГал
Р н(м) Рп (км)
10 15 20 50
10 0 0 -0,001 0,001
20 -0,001 -0,001 -0,001 0
50 -0,011 -0,007 -0,005 -0,001
100 -0,048 -0,031 -0,023 -0,006
Из таблицы видно, что погрешности высот ЦМР до ±50 м приводят к погрешности расчета топографической редукции за влияние промежуточного слоя исследуемой области в интервале [10, 200] км, соизмеримой с погрешностью гравиметрических измерений.
Влияние сжатия Земли на значение топографической редукции
Принято, что промежуточный слой ограничен сверху физической поверхностью Земли, снизу - поверхностью относимости нормального поля силы тяжести, имеющей форму эллипсоида вращения. Однако, при расчете топографической редукции эту поверхность, как правило, заменяют поверхностью сферы с радиусом, равным среднему радиусу Земли. Рассмотрим, насколько оправдана такая замена в области [ рп, 200] км исследуемого района.
Для сфероидического (эллипсоидального) варианта примем в качестве поверхности относимости эллипсоид ПЗ-90 с большой полуосью, равной 6 378 136 м, и квадратом эксцентриситета, имеющего значение 0,006694366, для сферического варианта - сферу радиуса 6 371 000 м.
На меридиане с долготой LA = 87°30' в широтном интервале [52°,53°] с шагом в 10' были рассчитаны таблицы значений 8g3m (B; рп) и 5g^ (B; рп), разности которых
А 3 = Sg элл.(B; p п) - sg^.(в; Рп)
помещены в табл. 3.
21
Геодезия
Таблица 3
Значения разностей А 3 в мГал
Ba pn (км)
10 15 20 50
52°00' -0,234 -0,225 -0,215 -0,170
52°10' -0,177 -0,172 -0,170 -0,150
52°20' -0,110 -0,118 -0,126 -0,128
52°30' -0,099 -0,099 -0,099 -0,104
52°40' -0,092 -0,093 -0,089 -0,079
52°50' -0,079 -0,071 -0,069 -0,059
53°00' -0,057 -0,058 -0,056 -0,046
Из табл. 3 видно, что разности А 3 изменяются в зависимости от широты результативных точек. Так разность величин А 3(B = 53°) - А 3(B = 52°) составляет 0,177 мГал при pn = 10 км и 0,124 мГал при pn = 50 км, что на два порядка превосходит погрешность гравиметрических измерений.
Исследование допустимых границ линейной интерполяции топографической редукции за внешнюю область
Теоретически любую непрерывную математическую функцию можно линейно интерполировать с принятой величиной точности. Вопрос стоит лишь в том, какой интервал интерполяции d т выбрать. В зависимости от вида заданной функции этот интервал либо стремится к нулю (dт ^ 0), либо имеет конечные размеры (dT = T2-т1). Очевидно, что чем больше величина dт, тем меньше требуется узловых точек с вычисленными значениями заданной функции.
Для примера был рассчитан ряд значений функции Sg (Bt; pn) в окрестности центральной точки «А» исследуемого района с внутренними границами pn = 10, 15, 20, 50 км. Результаты интерполяции их величин в интервалах d т = 30", 1', 2', 4', 6', 8' применительно к результативной точке «А» и вычисленные разности
А4 SgA (BA; pn ) SgUHm.( BA; pn )
представлены в табл. 4. Здесь SgA (BA; p n) - непосредственно рассчитанная поправка, SgUHm( BA; pn) - её интерполированное значение.
Из табл. 4 видно, даже при интервале интерполяции dт, равном 30", погрешность интерполяции превосходит принятую погрешность гравиметрических измерений.
22
Геодезия
Таблица 4
Значения разностей А 4 в мГал
d т pn (км)
10 15 20 50
30м -0,112 -0,073 -0,052 -0,021
Г -0,047 -0,032 -0,023 -0,009
2' -0,303 -0,198 -0,143 -0,058
4' -0,050 -0,038 -0,029 -0,016
6' 0,898 0,569 0,411 0,159
8' 0,905 0,568 0,410 0,160
Другая картина наблюдается, если в тех же точках рассчитать значения топографической поправки на поверхности эллипсоида 8g0(Bt; pn) и вертикального градиента G(Bt; pn). Интерполирование их значений в результативную точку,
а затем вычисление по формуле (1) величины общей поправки 8gUHm (dg°A;GA;pn) обеспечивает получение разностей
А5 _ ^gA (BA; pn ) _ ^gunm.(dgA; GA; pn ) ,
которые также характеризуют погрешности интерполяции функции bgA (табл. 5).
Таблица 5
Значения разностей А 5 в мГал
pn (км)
10 15 20 50
30м 0 0 0,001 0,002 0,005 0,011 0 0 0
Г 0 0 0
2' 0 0 0
4' 0 0 0
6' 0,002 0,001 0
8' 0,002 0,001 0
Из табл. 5 видно, что в этом случае практически все диапазоны исследуемых интервалов интерполяции dт обеспечивают точность гравиметрических измерений.
Для более детального изучения погрешностей линейной интерполяции в заданных интервалах был выполнен следующий эксперимент. На меридиане с долготой L = 87°30' в широтном интервале [52°, 53°] с шагом в 1' рассчитыва-
23
Геодезия
лись значения 5g (Bt; pn) и её составляющие 5g°(Bt; pn), Gt (Bt; pn), где i = 1, 2, ..6°. Далее, на основе выражения
v;- (Pn) = Sgi(Bi; Pn) -
1
Sg°(Bi + ^;Pn) + Sg°(Bi -d-;Pn)
Gi (Bi + ^; p„) + Gi (Bi - у; Pn)
H;
вычислялись отклонения интерполированного значения поправки от её непосредственной величины. По полученным разностям vi (Pn), при Pn = 1°, 15, 2°, 5° км и различных значениях d -, были рассчитаны средние квадратические погрешности интерполяции. Результаты расчетов приведены в табл. 6.
Таблица 6
Средние квадратические погрешности интерполяции в мГ ал
d - Pn (км)
1° 15 2° 5°
2' 0,003 0,001 0,001 0
3' 0,008 0,006 0,005 0,002
4' 0,012 0,009 0,008 0,003
5' 0,016 0,012 0,010 0,004
10' 0,028 0,023 0,020 0,008
Из табл. 6 видно, что при средней квадратической погрешности интерполирования, не превосходящей погрешность гравиметрических измерений, допустимый интервал интерполяции d- увеличивается с увеличением радиуса Pn внутренней границы учитываемой области промежуточного слоя. Так при Pn = 1° км допустимый интервал интерполяции составляет 3', а при Pn = 2° км -
уже 5'. Это объясняется степенью сложности изменения параметров bgf( Bi; P n) и Gj (Bi; Pn) на исследуемом отрезке меридиана (рис. 1). Здесь ряд 1 соответствует значению Pn=1° км, ряд 2 - 15 км, ряд 3 - 2° км и ряд 4 - 5° км. Видно, что при Pn > 20 км (ряды 3, 4) вид графиков этих функций приближается к линейному.
На выбор минимального значения радиуса Pn внутренней границы учитываемой области сказывается изменение вертикального градиента GA (HA; Pn) топографической поправки с изменением высоты Ha результативной точки. Покажем это на примере. Для точки «А», лежащей в центре исследуемой области с координатами BA = 52°3°', LA = 87°3°' и HA = °,719 км, рассчитаем вер-
24
Геодезия
тикальные градиенты GA (0,719; pn), полагая, как и раньше, pn = 10, 15, 20, 50 км. Далее, изменяя высоту точки наблюдений H в интервале [0,1; 1,9] км с шагом 0,2 км, вычислим таблицу значений величин Ga (H; pn) и разности
А 6 = Ga (H; pn) - Ga (0,719; pn),
характеризующие изменение вертикального градиента с высотой, относительно точки наблюдений. Результаты вычислений поместим в табл. 7.
а)
б)
Рис. 1. Графики изменения параметров 5gA : а) и GA; б) с широтой
Таблица 7
Значение разностей А 6 в мГал/м
Н (м)
Pn (км)
10 15 20 50
0,003 0,002 0,001 0
-0,001 0 0 0
-0,002 0 0 0
0 0 0 0
0,004 0,002 0,001 0
0,012 0,004 0,002 0,001
0,021 0,007 0,003 0,001
0,037 0,012 0,005 0,001
0,054 0,017 0,008 0,001
0,073 0,023 0,01 0,001
100
300
500
700
900
1100
1300
1500
1700
1900
Из табл. 7 видно, что изменение высоты результативной точки в пределах 1 км относительно исходной не приводит к погрешностям, большим, чем по-
25
Геодезия
грешности измерений при учете промежуточного слоя исследуемой области, имеющей внутренний радиус 20 км и более. То есть для района с такой степенью изрезанности рельефа местности, как Горный Алтай и его окружение в радиусе 200 км, достаточно уверенно можно полагать рп > 20 км.
Заключение
Проведенные исследования на примере области [ рп, 200] км с достаточно сложным рельефом показали, что при использовании выражения (1) для расчета топографической редукции наиболее оптимальной величиной внутренней границы является радиус, равный 20 км. При этом:
• модель рельефа SRTM, покрывающая около 80 % всей суши Земли, с декларированной погрешностью высот ±16 м вполне приемлема для выполнения топографической редукции;
• шаг регулярной сетки задания узловых точек отмеченной выше ЦМР может быть разряжен до 180" (3');
• при расчете топографической поправки следует учитывать сжатие Земли;
• линейную интерполяцию параметров, входящих в правую часть выражения (1), можно выполнять в широтном интервале до 5'.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дементьев Ю.В. Возможность интерполяции поправок, обусловленных влиянием масс промежуточного слоя внешней области при топографической редукции силы тяжести [Текст] / Ю.В. Дементьев // Геодезия и картография. - 2011. - № 10. - С. 2-6.
2. Дементьев Ю.В. Расчет топографических редукций силы тяжести по съемочным трапециям земного эллипсоида [Текст] / Ю.В. Дементьев // Геодезия и картография. - 2008. -№ 7. - С. 14-16.
3. Shuttle Radar Topography Mission [Электронный ресурс]: The Mission to Map the World / JPL NASA; ред. Eric Ramirez. - Электрон. текст. данные, граф. данные и табл. - California: PFMA Group, 2005 - 2006. - Режим доступа: http://www2.jpl.nasa.gov/srtm/index.html.
4. Дементьев Ю.В., Каленицкий А.И. О возможности и необходимости определения аномалий силы тяжести в полной топографической редукции // Вестник СГГА. - 2011. -Вып. 3 (16). - С. 3-14.
5. Дементьев Ю.В. Зависимость поправок за плоский и сферические слои в неполной топографической редукции от их толщины и радиуса учитываемой зоны // Вестник СГГА. -2010. - Вып. 2 (13). - С. 13-17.
6. Каленицкий А.И., Ким Э.Л. О результатах применения гравиметрии на Западно-Ситорминском геодинамическом полигоне // Вестник СГГА. - 2011. - Вып. 2 (15). - С. 3-6.
7. Каленицкий А.И. Еще раз о редукциях в гравиметрии // Вестник СГГА. - 2006. -Вып. 11. - С. 98-110.
8. Сурнин Ю.В. Определение астрономических, гравиметрических и геодезических трансформант внешнего гравитационного поля на локальном участке земной поверхности // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 3-8.
Получено 21.11.2012
© Ю.В. Дементьев, А.И. Каленицкий, А.В. Черемушкин, 2012
26
