О возможности и необходимости определения аномалий силы тяжести в полной топографической редукции Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОДЕЗИЯ

УДК 528.2.528.4:528.27:550.831:551.3

О ВОЗМОЖНОСТИ И НЕОБХОДИМОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

АНОМАЛИЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ В ПОЛНОЙ ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ РЕДУКЦИИ

Юрий Викторович Дементьев

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, докторант СГГА, тел. 8913-901-08-71

Анатолий Иванович Каленицкий

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры астрономии и гравиметрии СГГА, тел. 8913-906-74-53, e-mail: [email protected]

Обосновывается методика и технология определения значений полной топографической редукции в гравиметрии. Показано, что основной объем вычислений для любой территории может быть выполнен один раз, их результаты могут использоваться неоднократно при гравиметрии различного масштаба.

Ключевые слова: редукции силы тяжести, полная топографическая редукция, цифровые модели рельефа, учитываемая область.

THE POSSIBILITY AND NECESSITY OF GRAVITATION ANOMALIES DETERMINATION IN COMLETE TOPOGRAPHIC REDUCTION

Yury V. Dementyev

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph.D., tel. 8913-901-08-71

Anatoly I. Kalenitsky

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Prof., Dr., department of astronomy and gravimetry SSGA, tel. 8913-906-74-53, e-mail: [email protected]

The methods and technology of complete topographic reduction determination in gravimetry is substantiated. It is shown that the main calculations for any territory may be made only once, with their results being used time and again for different scale gravimetry.

Key words: gravity reduction, complete topographic reduction, digital terrain models, area under consideration.

3

Геодезия

Введение

Как в геодезической, так и в прикладной гравиметрии (при геологическом картировании и тектоническом районировании, поисках и разведке полезных ископаемых, инженерных изысканиях, изучении геодинамических процессов, в том числе техногенного характера) определение аномалий силы тяжести (АСТ) связано с наиболее трудоемким до последнего времени процессом вычисления поправок (редукций) за рельеф местности dgp, а, в конечном итоге, -

поправок за переменное гравитационное влияние промежуточного слоя топографических масс, ограниченного снизу поверхностью относимости нормального гравитационного поля g0. Обычно значения g0 не совсем корректно с учетом нормальных высот относят к поверхности геоида (квазигеоида). В настоящее время при повсеместном применении спутниковых технологий определения пространственных координат появилась возможность устранить эту некорректность и относить значения g0 к поверхности отсчетного эллипсоида.

В геодезии, строго говоря, не требуется определение АСТ в топографической редукции (вместо которой до последнего времени используются значения в менее качественной «плоской» редукции Буге с учетом поправок за влияние рельефа местности). Необходимо знание АСТ в редукции за свободный воздух с учетом геодезических высот пунктов измерения силы тяжести (СТ). При этом излишний объем вычислений (а он весьма значительный), связанный с возможностью якобы более качественного определения осредненных по номенклатурным листам АСТ в редукции за свободный воздух, корректно не обоснован. Вообще-то значения АСТ в редукции Буге, особенно для местности с пересеченным рельефом, не могут интерполироваться в плане. Их величина для точек, расположенных даже в непосредственной близости друг от друга, но существенно отличающихся в положении по высоте, может также различаться, и весьма существенно [1]. Другими словами, построение качественного плана изо-аномал для площади со сложным рельефом местности требует такого сгущения сети точек измерений СТ, когда уклон местности между ними изменялся бы линейно. Но в этом случае будут допустимы интерполяция и осреднение АСТ в редукции за свободный воздух.

АСТ в полной топографической редукции менее зависимы от разницы высот пунктов гравиметровых измерений, отражая в основном проявление в разновысотности отличие по плотности как топографических, так и нижележащих масс Земли.

«Недостатки» редукции Буге (по сравнению с полной топографической редукцией) снижают в определенной степени и возможности прикладной гравиметрии и гравиразведки в частности. При этом часть переменного гравитационного эффекта, связанного с недоучетом удаленных масс (за пределами области расчета поправок за рельеф), исключается при разделении АСТ в этой редукции на локальные аномалии и региональный фон. Однако при этом «вносятся» ложные локальные осложнения, обусловленные, в том числе, гравитационным эффектом не учитываемых «боковых» масс, например, горных хребтов, крупных

4

Геодезия

озер, морей и океанов [1-3]. В связи с этим следует особо отметить, что процедуру учета влияния «боковых» водных масс (как любого «погребенного» рельефа) необходимо проводить после получения АСТ, но до разделения их на локальную и региональную составляющие.

Таким образом, определение АСТ в полной топографической редукции может существенно повысить и качество геодезических исследований в изучении фигуры и гравитационного поля Земли, и эффективность использования гравиметрии в прикладных целях самого различного назначения. Для этого в настоящее время имеются все возможности.

Краткое определение основных понятий и терминов, постановка вопросов

Чтобы исключить неоднозначность истолкования некоторых понятий и терминов, данных ранее [1, 3], в процессе обоснования последовательности реализации редуцирования гравитационного поля, представим их в кратком изложении.

Редуцирование исходного (измеренного) гравитационного поля - это разделение измеренных значений силы тяжести на этапе их обработки. Цель данной процедуры состоит в определении АСТ посредством вычитания из них некоторой нормальной величины, представляющей гравитационный эффект теоретической (нормальной) Земли. При этом обязательно предполагается, что все указанные величины определяются и вычисляются в конкретной точке координатного пространства, где выполнены гравиметровые измерения, без какого-либо «приведения» к какой-либо плавно изменяющейся поверхности.

Сферический параллельный слой - это материальный сферический слой постоянной толщины и плотности (s0) (по аналогии с плоскопараллельным слоем).

Промежуточный слой - слой переменной толщины и постоянной плотности (s0), ограниченный сверху физической поверхностью Земли, снизу - уровнем относимости исходного нормального поля (g0). Он может считаться сферическим - в топографической редукции, или плоским - в редукции Буге. Заполняют слой топографические массы.

Редукция Буге предполагает выделение одноименных АСТ в физической точке измерений силы тяжести при условии учета в нормальном поле поправок за ее геодезическую высоту (Нц) и притяжение «плоского» промежуточного слоя

(dg “^(s,)). При этом значение нормального поля определяется из выражения

Гб =Го + dg Б =go + dgc.B. + dg ш'пр'с. (S>), (1)

где, согласно [4], dgc.B. =

Ъг

дИ

■ И

0,30855(1 - 0,00071 ■ cosB) ■ Иц + 0,0000000723 И2ц ;

B - геодезическая широта в точке измерения СТ; Иц выражается в метрах.

5

Геодезия

Топографическая редукция аналогична редукции Буге. Отличается тем, что в нормальном поле учитывается притяжение сферического промежуточного слоя (Sg сфпрс\а0))).

АСТ в редукции Буге должны обязательно определяться при условии равенства размера учитываемой области радиуса rk - при круговой, расстояния до стороны квадрата dk - при квадратной в случае задания цифровой модели рельефа местности (ЦМР) вокруг точки определения как для поправок за рельеф, так и для плоского слоя Буге. В противном случае значения АСТ будут коррелировать с высотами точек измерения СТ как из-за создания переменного по величине ложного эффекта «боковых» масс (на приподнятых участках), так и из-за неучитываемых реальных масс (на пониженных участках) за пределами учитываемой области [1, 3].

Было показано [1], что при учете в редукции Буге поправок за рельеф способ задания отметок высот в учитываемой зоне (снятых по круговой палетке, заданных в узлах квадратной сетки - цифровая ЦМР) не имеет особого значения. Существуют весьма несложные формулы приведения размера учитываемой области к сопоставимой величине. Это же касается и случая, когда ЦМР представляет массив отметок высот местности, заданных в узлах номенклатурой (трапециевидной по широте и долготе) разграфке. Поэтому последующее изложение приводим для удобства, оперируя наиболее наглядной круговой (в цилиндрической системе отсчета относительно результативной точки) системой задания отметок высот местности.

Особой оговорки требует оценка размера центральной зоны учета влияния топографических масс в непосредственной близости от результативной точки, в которой выполняется измерение СТ. Это связано с тем, что гравитационное влияние как рельефа, так и в целом промежуточного слоя топографических масс в этой зоне требует «индивидуального» подхода, который сложно во многих случаях автоматизировать. Наиболее рациональным и малозатратным является корреляционный способ [1], когда имеется возможность использовать отметки высот соседних точек гравиметровых измерений или отметки высот соседних (относительно результативной) точек ЦМР в ближайшей учитываемой зоне. Обычно размер центральной зоны (величина ее радиуса гц) полагается равным

0,5-Ah-3АН, где АН - максимальное изменение высот рельефа на территории гравиметровых измерений. Притяжение плоского слоя при этом определяется как притяжение вертикального цилиндра высотой Нц. Оговорка об отдельном учете

составляющей гравитационного влияния топографических масс в этой зоне связана не только с «индивидуальностью» ее определения, но и с тем, что (как будет показано далее) выполнение редукции для промежуточного слоя в последующих зонах внешней (до какого-то размера rk) учитываемой области рациональнее

рассматривать как оценку поправок за рельеф и поправок за параллельный слой. Задача состоит только в том, чтобы установить, начиная с какого размера вели-

6

Геодезия

чины rk можно непосредственно учитывать гравитационное влияние промежуточного слоя всей Земли. Во всех случаях речь ведется о величине rk как о сферическом расстоянии на поверхности эллипсоида относимости у0.

Таким образом, при выполнении полной топографической редукции предполагается, что вся учитываемая область разделяется на центральную (до rk) зону, внешнюю (от гц до rk) и дальнюю (от rk до R, где R - среднее значение радиуса Земли) области.

Специфика проявления гравитационного влияния промежуточного слоя во внешней области

Автоматизированная методика и технология выбора оптимальных параметров размера шага задания ЦМР в различных зонах внешней учитываемой области в зависимости от масштаба (и точности) гравиметровых работ изложена в «Методических рекомендациях по учету влияния рельефа местности в гравиразведке» [1], утвержденных МинГео СССР как практическое руководство. Методика и технология позволяют определять АСТ как в редукции Буге, так и в неполной топографической редукции. Производственный опыт применения этой методики показал, что в зависимости от площади и точности гравиметровой съемки, сложности рельефа, как на территории проведения, так и за ее пределами, размер rk может изменяться от нескольких километров до 600 км и более.

В основу вычислительных процедур по оценке оптимальных параметров редуцирования были положены, с одной стороны, несложные мнемонические формулы, обеспечивающие получение результатов с погрешностью порядка ±0,02-0,03 мГал до rk = 2 000 км, а с другой - весьма информативные характерности степени изученности рельефа местности. Это позволило оперативно и объективно в автоматизированном режиме оценивать оптимальные условия формирования ЦМР для различных зон учитываемой области, определять рациональные размеры гц и rk с целью выполнения редукции Буге и неполной топографической редукции с требуемой точностью. При этом обеспечивался перевод редукций из одной в другую на основе среднего взвешенного параметра высот:

H(rn, rk ) =

n m

ЕЕDrt ■ H

1=1 ]=1

i, J

m ■ Dr

(2)

где t = 1, 2, ..., n - номер зоны во внешней учитываемой области; j = 1, 2, ., m - номер радиального сектора в i-й зоне;

HtJ - значение высоты ЦМР в t-м секторе j-й зоны;

Drt - разница размера внутреннего и внешнего радиусов i-й зоны;

Dr = (rk - rH) - разница внешнего и внутреннего радиусов всей внешней области.

7

Геодезия

Поскольку значения H(rH rk) интегральны по сути и изменяются плавно, то

имеется возможность построения карты изогипс их значений, в том числе в электронном виде.

В этом случае определение гравитационного эффекта сферического промежуточного слоя выполняется согласно формуле:

%сфпр-с- (Гн, Гк, H) = & ^ (Гн, Гк ) + F (Гн, Гк ) • Н

(3)

где

r r

F (rH, rk)=(sm2R - sin2R);

R - среднее значение радиуса Земли.

При условии rk < 400 км, можно с достаточной степенью точности считать, что

F(rH, rk ) @Pfs0

Dr

R

(4)

Очевидно, что для сферического слоя толщиной Hц по аналогии с (3) можно записать:

$ёСФ'С (rH , rK , Hц ) = d ПЛ'С (rH , rK , Hц ) + F(rH , rK ) • Hц

(5)

Разница правых частей формул (5) и (3) позволяет записать выражение для сферического значения поправки за рельеф:

&СфФ (rH, rK, h ц, H) = Sg сф-с (rH, rK, h ц) - 4т сф.прс (rH, rK): = 4рп (rH, rK ) + F(rH, rK )(Hц - Я).

(6)

Нетрудно заметить весьма важную особенность: если в выражениях для определения поправки за рельеф и влияние параллельного слоя сферическая составляющая зависит от величины Нц, то зависимость от значения Нц в выражении для промежуточного слоя отсутствует.

Вместе с тем, если раскрыть содержание «плоской» составляющей в выражениях (3), (5) и (6) с отражением механизма соотношения средних и средних квадратических «весовых» значений высот местности в учитываемой области, то с учетом обозначений формулы (2) получим их следующие аналитические представления:

4сфпрс (r, г ) = а(2Нц ■ Но - Н2) + F(г, г ) • Н Sg^tr,Гк) = a • Нц + F(rн.Гк) • Нц

4рсф(Гн,Г) = a(Н2ц + Н2 -2Нц ■ Но) + F(г,.Гк)• (Нц -Н)

(7)

8

Геодезия

где H 0

n m Dr n Dr ____

ZZ-----— • Hj Z------^ • Hi

i=1 i=1 r-1 • r2 = i=1 rii • ri2

n Dr Dr

m • Z---— -----

i=1 ri1 • ri2 r н—Гк

n m Dr

ZZ——

H 2 = i=1 i=1ri1 • ri 2

•H

n Dri

m • Z------—

i=1 ri1 • ri 2

ii

a = pfSo

Dr r — r

1 н 1 к

ra и rn - соответственно значения внутреннего и внешнего радиусов в i-й зоне учитываемой области.

Самое важное содержится в выражении «плоской» составляющей для поправки за рельеф. Оно может быть представлено в виде суммы двух слагаемых:

a( H Ц + H

2Hц • Ho) = a(Hц — Ho)2 + a(H2 — Ho2) = dg + dgo

(8)

Первое слагаемое (dg ) равняется o, когда Hц = Ho и возрастает по параболическому закону, если разница Щц — Ho), независимо от ее знака, увеличивается. Это указывает на то, что значения Ho соответствуют интегральной для учитываемой области поверхности, на которой поправки за рельеф минимальны и соответствуют плавно изменяющимся в плане значениям dgo. Вместе с тем, очевидно, что значение dg o дисперсионно отражает степень изрезанности рельефа в учитываемой области вокруг каждой результативной точки. Это говорит о недопустимости весьма трудоемкой процедуры осреднения высот рельефа местности в пределах элементарных площадок вокруг узловых точек задания исходной ЦМР.

Значения Ho(r, rk), H2( r„, rk) и dgo(r„, rk), как и значения H( Гн , rk), интегральны по своей сути. Имеется возможность их определения на конкретную территорию заранее и один раз (если в рельефе не произошло существенных изменений) с построением в графическом или электронном виде соответствующих карт. Значения dg(rH, rk) также заранее могут быть представлены аналитически в виде таблиц или в электронном виде. Тогда по мере проведения гравиметровых съемок с получением плановых координат и высот точек измерений можно сразу же получать поправки за рельеф и промежуточный слой в целом как в редукции Буге, так и в неполной топографической редукции.

Производственный опыт применения этой методики показал, что в зависимости от площади и точности гравиметровой съемки, сложности рельефа как на территории проведения, так и за ее пределами, размер rk может изменяться от нескольких километров до 6oo км и более. Но при этом уровень отсчета значений АСТ остается относительно условным. Это затрудняет «стыковку» съемок различных лет, тем более в номенклатурной разграфке. Инструкцией по гравиразведке в этом случае рекомендовано среднее значение rk = 2oo км. Это в определенной степени приводит съемки к одному уровню

отсчета. Но в значениях АСТ в таком случае для районов со сложным рельефом местности сохраняются значительные погрешности, которые могут превышать декларируемый показатель точности АСТ многократно, создавая

9

Геодезия

сложную картину искажений прямо, обратно, или комбинированно связанных с изменением высот местности.

Стало очевидным, что использование гравиметрии при проведении региональных исследований и изучении особенностей изменения гравитационного поля всей Земли, его интегрированных (потенциальных) трансформант требует определения АСТ в полной топографической редукции с учетом гравитационного влияния промежуточного слоя в дальней области, начиная с какого-то размера величины rk без разделения на поправки за рельеф и параллельный сферический слой с использованием единой ЦМР всей Земли [7]. Как показывают выполненные исследования, возможности для этого имеются. Во-первых - по мере увеличения величины rk значение составляющей Sg0 в поправках за рельеф стремится к нулю.

Это обусловлено геометрическим фактором - «опусканием» сферического промежуточного слоя за горизонт результативной точки. Кроме того, по мере «удаления» блоков модели топографических масс от результативной точки последние

все больше наклоняются относительно ее горизонта - вплоть до 180° на противоположной от нее стороне Земли. Во-вторых - становится возможной интерполяция топографических поправок в плане и высоте с использованием (как и во внешней области) определенных интегральных параметров.

Особенности проявления и возможности учета гравитационного эффекта промежуточного слоя в дальней области.

Результаты расчета значений топографической поправки для всей дальней учитываемой области по методике, описанной в статье [6], с использованием планетарной ЦМР показали следующее:

- процесс вычисления на современном персональном компьютере значений поправок весьма трудоемкий;

- линейная интерполяция значений поправок между результативными точками, расположенными через 10 угловых минут, отличается от непосредственно определяемой величины в пределах ± 0,7 мГал, когда высоты результативных точек изменяются от первых сотен метров до 2 км;

- требуется обоснование такой методики определения топографических поправок, которая обеспечивала бы возможность линейной интерполяции их

значений в зависимости от высоты Нц и планового положения с использовани-

ц

ем минимального числа интегральных параметров.

Выяснилось, что изменение величины топографической поправки в зависимости от высоты Нц связано со значением вертикального градиента (G) наподобие изменения поправок за свободный воздух в нормальном поле СТ (см. формулу (1)).

Определение значений величин G в равномерно расположенных по широте и долготе узловых точках планетарной ЦМР производилось с учетом разницы

10

Геодезия

топографических поправок на земной поверхности Sg(rk, Hu j) и на эллипсоиде относимости dg0 (rk, H = 0) исходного нормального значения СТ g0:

G (rk,Hi,,) =

dg (rk, H,, j) -dg °(rk, H = 0)

H

i, j

(9)

где индексы «i» и «j» соответственно по широте и долготе.

На рис. 1 приведены обобщенные графики изменения величин G в зависимости от значения rk в одной результативной точке B = 35°,L = 90° (рис. 1, а) и в

зависимости от значения широт В в точках по меридиану с долготой L = 80° при rk = 200 км (рис. 1, б).

Рис. 1. Обобщенные графики изменения в величины G: а) в зависимости от значения rk; б) в зависимости от значения широт В

Рис. 2 дополняет общее представление об особенностях изменения величины G(rk, Hi j).

При этом с целью сохранения степени разрешения при значительном различии значений Gt j, в зависимости от величины rk, графики «приведены»

к уровню их минимального значения.

Из анализа всех графиков следует, что изменение значений G(rk, В, H4) весьма дифференцировано по величине при rk < 150 км, особенно в зависимости от Htj. Максимум значений, соответствующий величине H 0, как уже отмечалось, по мере увеличения величины rk смещаются к нулю, переходя, по-видимому, к отрицательному значению. Вместе с тем, видимое возрастание G с уменьшением величины В по рассчитанному профилю (см. рис. 1, б) фактически объясняется приближением внутренней границы дальней учитываемой области к районам высокогорья на юге России и сопредельных государств. Вычисления в различных по широте и долготе результативных точках в интервале 11

11

Геодезия

реально существующих высот при величине rk = 200 км показали, что значение параметра G(rk, В, Нц) изменяется практически линейно по вертикали (всего

0,004 мГал/км) и весьма плавно в пределах от 0 до 2,030 мГал/км в плане на территории России и в ближайшем ее окружении. Это свидетельствует о том, что параметр G(rk, В,Нц) при rk > 200 км является интегральной величиной. Вычисление его величины, согласно формуле (9) с построением карты значений, в том числе в электронном виде, вполне может быть осуществлено с использованием планетарной ЦМР при задании отметок высот в узлах равномерной номенклатурной сетки через 10' по широте и долготе.

Рис. 2. Графики изменения величины DG = G(rk, Ни) - G min(rk) в зависимости от значений Н,j и rk в точке при B = 35°, L = 90°

Выводы и предложения

В настоящее время имеется возможность (с учетом все возрастающей необходимости) определения АСТ в полной топографической редукции, а на ее основе - в других редукциях СТ.

Очевидно, что реализация вышеуказанной возможности для территории России потребует значительных затрат средств даже при дополнительной минимизации необходимых процедур с учетом огромного объема данных, полученных ранее.

12

Геодезия

В качестве одного из вариантов предлагается следующая последовательность действий.

1. Выполнение ревизии проведенных ранее гравиметровых съемок на земной поверхности, воздушных и морских (подземные, в том числе скважинные измерения требуют отдельного рассмотрения).

2. Систематизация результатов гравиметровых съемок (по номенклатурным листам) в масштабах от 1 : 1 000 000 до 1 : 25 000 с представлением карт и, особенно, каталогов в электронном виде.

3. Перевычисление значений нормальных высот пунктов измерения СТ в значения геодезических высот (или непосредственно измеренных, или с использованием данных об аномалиях высот) и перевычисление с учетом этого значений АСТ в свободном воздухе.

4. Проведение анализа методических особенностей определения значений АСТ в редукции Буге. Если при этом поправки за рельеф определялись ранее с учетом сферичности Земли и переменной величины плотности топографических масс [5, 8], то предварительно требуется проведение их коррекции с использованием интегральных параметров Sg0,H0, а затем - перевычисление всех значений АСТ в редукции Буге - в неполной топографической редукции при rk = 200 км с использованием интегрального высотного параметра H.

5. Чтобы получить значения АСТ в полной топографической редукции как для предварительно исправляемых, согласно указанному в п. 4, так и неисправленных номенклатурных листов, требуется для всей территории страны выполнить предварительную оценку оптимальных условий определения топографических поправок в центральной зоне и внешней области (до rk = 200 км) согласно «Методическим рекомендациям» [1], а на их основе рассчитать и построить (по-планшетно), электронные карты значений интегральных параметров Sg 0, H 0

и H и электронные таблицы изменения значений Sg'. Их наличие обеспечит оперативное определение значений топографических поправок и АСТ в неполной топографической редукции (до rk = 200 км) в точке измерения СТ по мере определения ее плановых координат и геодезической высоты.

6. Одновременно с определением параметров Sg0, H0 и H требуется вычисление значений и построение электронных карт изменения интегральных параметров Sg° и G с использованием планетарной ЦМР, значения которой могут быть представлены в узлах номенклатурной сетки через 10' по широте и долготе. Определение плановых координат и геодезической высоты пункта (точки) измерения СТ позволит оперативно вычислять значения топографической поправки за влияние масс промежуточного слоя в дальней области, а с учетом обеспечения реализации п. 5 - за влияние промежуточного слоя всей Земли и АСТ в полной топографической редукции.

Очевидно, что реализация определения АСТ в полной топографической редукции будет возможна только в рамках целевой Федеральной Программы с

13

Геодезия

привлечением высококвалифицированных специалистов и обеспечением координации единства действий.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Каленицкий А.И., Смирнов В.П. Методические рекомендации по учету влияния рельефа местности в гравиразведке: практическое руководство МинГео СССР. - СНИИГГиМС, 1981. -171 с.

2. Каленицкий А.И. К проблеме повышения качества редуцирования гравитационного поля для геологической интерпретации. - Новосибирск: СНИИГГиМС, 1987. - 28 с. - Деп. ВИНИТИ, № 6404-В87.

3. Каленицкий А.И. Еще раз о редукциях в гравиметрии // Вестник СГГА. - Новосибирск, 2006. - Вып. 11. - С. 98-110.

4. Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли: учебник. - М.: Недра, 1975. - 432 с.

5. Инструкция по гравиразведке / отв. редактор К.Е. Веселов. - М.: ВНИИГеофизика, 1980. - 80 с.

6. Дементьев Ю.В. Расчет топографических редукций силы тяжести по съемочным трапециям земного эллипсоида // Геодезия и картография. - 2008. - № 7. - С. 14-16.

7. Дементьев Ю.В. и др. Построение планетарной цифровой модели рельефа Земли для выполнения полной топографической редукции гравитационного поля / Ю.В. Дементьев, А.И. Каленицкий, Е.Н. Кулик, А.В. Черемушкин // Геодезия и картография. - 2010. - № 12. -С. 17-19.

8. Лукавченко П.И. Таблицы и номограммы для вычисления поправок силы тяжести за рельеф местности при съемки с гравиметрами. - М.: Гостоптехиздат, 1951. - 39 с.

Получено 02.11.2011

© Ю.В. Дементьев, А.И. Каленицкий, 2011

14