Выбор функций возможных перемещений при расчете сложных конструкций методом Ритца Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IV

19 7 3

№ 5

УДК 624.073

ВЫБОР ФУНКЦИЙ ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ СЛОЖНЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ РИТЦА

Предложен способ выбора координатных функций для метода Ритца, позволяющих при расчете деформированного состояния конструкции из пластин и балок учитывать вырезы и сложные граничные условия, заданные как на линиях, так и в точках.

Определение методом Ритца деформированного состояния двумерной конструкции, состоящей из набора пластин и балок, связано с отысканием минимума функционала потенциальной энергии П (да) (см. [1—3]). Деформации упругой конструкции приближенно представляются в виде

В качестве функций возможных перемещений (координатных функций) (х, у) берутся функции, удовлетворяющие условиям совместности деформаций, т. е. непрерывно-дифференцируемые, и удовлетворяющие геометрическим граничным условиям задачи, но необязательно естественным. Если имеется полная (см. [1]) система функций да*, то в методе Ритца определяются коэффициенты а*, доставляющие минимум П (да). С ростом числа обобщенных координат п уточняется значение ттП(да) и соответственно деформированное состояние конструкции.

При расчете конструкций с вырезами, состоящих из пластин и балок, геометрические граничные условия могут быть заданы как на некоторых линиях, так и в точках. Конструктивные особенности можно учесть выбором специальных координатных функций даА для возможных перемещений.

Граничные условия в точке можно удовлетворить, имея запас трех координатных функций, соответствующих вертикальному смещению и двум поворотам узловой точки. Однако для описания деформированного состояния конструкции в окрестности этой точки трех координатных функций может оказаться, вообще говоря, недостаточно. В связи с этим специальные координатные функции выбираются следующим образом.

Форма конструкции в плане разбивается некоторой системой линий на конечное число частей, например, так, чтобы граница области, занимаемой конструкцией, включалась в систему линий разбиения, а точки, в которых заданы точечные геометрические граничные условия и изломы границы или выреза, попадали в точки пересечения линий разбиения — узловые точки. Система линий разбиения в основном произвольна и определяется лишь условиями закрепления конструкции.

Ю. Ф. Яремчук

П

® (■*. у) = 2 (-*■ У)-

к=-1

(О

С каждой узловой точкой связываются три типа (набора) функций возможных перемещений. Пусть Г—граница занимаемой конструкцией области Й, на которой не заданы геометрические граничные условия; ¿¡—область, занимаемая клетками разбиения, примыкающими к г'-й узловой точке; Г,- — граница области В и не совпадающая с Г. Тогда три типа возможных перемещений (фиг. 1) можно представить в виде

Wjl (х, у) -■ (/= 1,2,3)

'/V-

I

если (х, у) ('. B¡, если (X, у) £ Bj,

(2)

ди,

дп

О (п —нор-

где м — заданная функция, удовлетворяющая условиям ш

маль к Гг); Ь1=1, Ьо — О и £3 = 0 — уравнения координатных линий 5 и г;, связанных с г'-й узловой точкой (¿у определяют тип возможного перемещения);

— функции из некоторой полной системы функций, обеспечивающей линейную независимость тд (например, степенные функции); индексы / и / не связаны с порядковым индексом £ для координатных функций в (1).

Фиг. I

На фиг. 1 узловая точка I расположена на пересечении линий разбиения, совпадающих с координатными линиями £ и г,. Прямолинейные участки границы Г,- лежат на линиях разбиения и являются либо линиями задания геометрических граничных условий, либо внутренними линиями, на которых лежат соседние с г'-й узловые точки.

Следует иметь в виду, что функции (2) предоставляют узловой точке три возможных перемещения, используемых в методе перемещений [4, 5], в том смысле, что каждая узловая точка может вертикально смещаться и поворачиваться в двух направлениях £ и y¡, а области выбираются, как и в методе перемещений, с перекрытием.

Второй и третий типы функций возможных перемещений (2) необходимы при учете геометрических граничных условий, заданных в точках. Для описания деформированного состояния в области, не содержащей изолированных граничных точек, можно использовать только первый тип функций возможных перемещений.

Отличие (2) от координатных функций, обычно применяемых в методе Ритца, заключается, в основном, в том, что последние соответствуют деформации всей конструкции (за исключением граничных, все точки конструкции испытывают смещения). Это неудобно для описания деформаций конструкции в окрестностях вырезов или изолированных граничных точек. Возможные перемещения вида (2) позволяют учитывать местные особенности деформации конструкции, так как, по определению, они соответствуют деформации только некоторой части конструкции — окрестности г'-го узла.

Проиллюстрируем некоторые возможности применения функций (2) примером.

Рассмотрим конструкцию — крыло малого удлинения, схема которой представлена на фиг. 2. Крыло закреплено в двух узлах: узел 2—шарнирная опора, узел 3—заделка. На фиг. 2 показаны линии разбиения и узлы, балки с жесткостью на изгиб EI¡ и пластины с цилиндрической жесткостью D¡. Значения жест-костных параметров и геометрические данные следующие: Е1\ = 2-1010 Н-см2 (соединяет узлы 1 — 4); Е12 = £75 = 5-10» Н-см2; £/3-15-109 Н-см2; F/4=2-1010 Н-см2; Е1а = Ю10 Н-см2 (узлы 5—7); = D2 = Ds = 3-10» Н-см; v = 0,33 — коэффициент

Пуассона, 6 = 400 см — длина корневой хорды (узлы 1—4).

Для определения коэффициентов (I) использован функционал

- 2 || р*' ,и ,1у + У і £/, (!£■”- )“ Л.

8 /=1 $ 4 '

где 5^ отрезок прямой, занимаемый г'-й балкой, « —координата вдоль балки.

Фиг. 4

Возможные перемещения, рассмотренные в примере, представлены в таблице, где ¿у = 0— уравнение линии разбиения, соединяющей узлы г и у

Поверхность конструкции, деформированная под действием нагрузки р = \ Н/см2, представлена на фиг. 3. Для сравнения здесь же показана деформированная поверхность рассматриваемой конструкции, защемленной по корневой хорде, а на фиг. 4 — частично защемленной по корневой хорде между узлами 2 и 3 при той же нагрузке. Для случая, иллюстрируемого фиг. 4, были использованы координатные функции, представленные в таблице, исключая I — 4, 5, 6.

9— Ученые записки ЦАГИ № 5

117

і да/ (х, у) СО * ь Р Ві Тип Узел

1 (¿25)2 Ы 1 1 ■Р» 1 1

2 (¿25)2 X (¿25)* 1 X ¿>х 1 1

3 (^ь)гУ (¿2б)2 1 У ¿>1 1 1

4 (¿За)2 ¿13 (¿за)2 ¿13 1 ¿^1 + ¿Ь 2 2

5 (¿Зв)2 ¿25 (¿зв)2 ¿25 1 ¿*1 + ¿*2 3 2

6 (¿2б)2 ¿36 (¿2б)2 ¿38 1 ¿^2 + ¿>3 3 3

7 (¿зв)2 (¿зе)2 1 1 ¿>3 1 4

8 (¿за)2 х (¿за)2 1 X ¿>3 1 4

9 (£зв)*.у (^зв)2 1 У ¿>3 1 4

10 (¿14)* (¿и)2 1 1 ¿^+¿^+¿*3 1 5, 6, 7

11 (¿14>2* (¿и)2 1 X ¿^1-)-£?2+^3 1 5, 6, 7

12 (£и)2У "(¿и)2 1 У ¿^1~Н^2+^3 1 5, 6, 7

Дальнейшее повышение точности расчета * с помощью функций (2) может быть осуществлено как увеличением числа координатных функций в (1) при одной и той же системе линий разбиения, так и увеличением числа элементов разбиения.

Необходимо отметить, что применение возможных перемещений (2) дает, как правило, хорошо обусловленную матрицу жесткости относительно обобщенных координат ак.

*■ Для проверки точности результатов была рассчитана треугольная консольная пластина. Отличие результатов приближенного расчета с помощью девяти функций типа (2) от данных точного решения не превышает 3%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михлин С. Г. Вариационные методы математической физики. М., Гостехиздат, 1957.

2. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М., Физматгиз, 1962.

3. Тимошенко С. П., Войновски й-К р и г е р С. Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 1963.

4. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Сб. статей под ред. проф. А. П. Филина. Перев. с англ. Л., Судпромгиз, 1961.

5. Иванов Ю. И. Расчет крыльев малого удлинения методом перемещений. Труды ЦАГИ, вып. 1069, 1967.

Рукопись поступила 20/Х 1972 г.