О расчете деформаций пластин и оболочек с дискретными граничными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том III 1972 № 5

УДК 629.7.015.46.24.07

О РАСЧЕТЕ ДЕФОРМАЦИЙ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С ДИСКРЕТНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Е. К. Липин

Дается прямой метод решения вариационных задач с дискретными граничными условиями. Предлагаемый метод опробируется на примерах расчетов консольных пластин. Кратко иллюстрируются возможности метода в расчетах пластин и оболочек.

При решении инженерных задач теории упругости широко применяются энергетические методы.

Решение вариационной задачи представляется в виде

' П

1У(3, г) = £с*<р*(5, г), к = 1

где Чь(8, г) —заданные функции, имеющие непрерывную первую производную и удовлетворяющие заданным краевым условиям. Однако в ряде случаев трудно отыскать подходящие функции двух переменных <рк(з, г), например в случае дискретной заделки крыла в корне. Тогда более удобным и точным является метод Канторовича, смысл которого заключается в том, что функции двух переменных г, 5 заменяются произведениями функций одного переменного, функции одного из аргументов задаются, а функции другого остаются неизвестными и определяются из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение вариационной задачи в этом случае представляется в виде

П

Щз, г) = 2/*(я)ф*(г), (1)

к=1

где /*(«) — заданные непрерывные функции с непрерывной первой производной, ^(^ — неизвестные функции, подлежащие определению.

Если упругая система вдоль оси г регулярная, т. е. сечения, параллельные оси 5, подобны друг другу в отношении жесткост-ных и геометрических характеристик и внешние силы изменяются вдоль этой оси по простому закону, то дифференциальные уравнения, описывающие напряженное и деформированное состояние таких систем, решаются без особых затруднений. В противном

случае аналитическое решение дифференциальных уравнений может оказаться практически очень сложным. Предлагается метод, основанный на использовании более простого класса задаваемых функций /*(«), позволяющий получать решение краевых задач при дискретных граничных условиях для систем с произвольной упругой анизотропией.

Выбор аппроксимирующих (координатных) функций. Ставится задача выражения функции г) через обобщенные перемещения

по выбранным координатным линиям в области б. Под обобщенным перемещением Ук(г) будем понимать возможную форму перемещений вдоль координатной линии гк. Односвязная область й (например, представляющая собой косоугольную трапецию, фиг. 1) покрывается системой координатных линий гк таким образом, чтобы они проходили через точки, в которых должны быть удовлетворены краевые условия (для однородных краевых условий этого ограничения не требуется). Уравнение £-й координатной линии имеет вид (см. фиг. 1) гк — Ькг, где Ък — параметр, характеризующий одну из координатных линий гк, сходящихся в одной точке:

Л=]/1-2м!»(-т) + (т)’-

При

6,_Пт у1-2со8Т^+^у

система координатных линий гк распадается на линии, параллельные оси г.

Каждой координатной линии гк соответствует неизвестное обобщенное перемещение 1/А:

Ук{гк)=Ук{г).

Приближенное решение (1) вдоль у-й координатной линии выражается в виде

П

Ф(*;. г) = ХЛ (Зу) <Ь(г) =У}{г) (у - 1, 2,..., т) (2)

А=1

или в матричной форме _ _

[/)Ф = Й, (3)

где V — вектор смещений по направлениям координатных линий.

Тогда искомые функции равны ^ = [/]-1 V.

Если число неизвестных функций ^ будет в точности равно числу неизвестных обобщенных перемещений (т = п), то уравнение (3) будет иметь единственное решение

п

'Ь=ЦакеУе(г), (4)

е = 1

где величины аке характеризуют функцию W (s, г) по заданному

направлению. Подставляя формулу (4) в (1), получим IV(s, г),

выраженную через обобщенные перемещения Vk:

п п п

w (s, г) = £/* (s) 2 аке Ve (г) = £ 9, (s) У, (г). (5)

П

Из решения (2) следует, ЧТО функция «Pe(s) = ^ akefk(s) имеет

*=1

я - 1 нулей и |?e(s)l<l- Следовательно, функция <fe(s), описывающая возможные для области G перемещения, удовлетворяет условиям вида

1 при s = se

?e(s) =

О При S — Sj, S2, . . . , Se—1, Se-j-l, ...

В отношении задаваемых функций fk(s) требуется, чтобы они не делали матрицу [/] вырожденной. Обобщенные перемещения Vk в разложении (5) могут быть определены методом Ритца:

П

= Х СМг), , (6)

к=\

где Ri(r) удовлетворяют заданным краевым условиям в точках se.

Подставляя формулу (6) в (5), получим решение U^(s, г), выраженное через неизвестные обобщенные координаты Се1, которые определяются из условия стационарности некоторого функционала:

п т

W{S, Г) = £2X^00Я*(г). (7)

е=\е-1

Примеры расчетов. Прямоугольная консольная пластина (фиг. 2) постоянной толщины, нагруженная нормальным давлением, изменяющимся по закону р (s, r) — ps. Приближенное решение представим через обобщенные перемещения Vt (г) и l/g (г):

2

W(s, г) = •{*! (Г) + f ь W = Е ?е (s) ve (г),

и е=1

где ?! (s) = 1 —^ : ®2 (s) = -J- . .

Обобщенные перемещения представим в виде

+ V2 = C21 г2 -f- Ci2 rl,

Vt и Vt удовлетворяют геометрическим условиям по краю г = 0.

Выражение полной энергии для изотропной пластины при коэффициенте Пуассона [л = 0 имеет вид

о

Из условия стационарности / найдем постоянные Сп,...,С2г. Обобщенные перемещения

fn-nfiRr*-— nniK-d-)^--

Как видно, предлагаемый метод в случае однородных краевых условий совпадает с обычным методом Ритца. В скобках на фиг. 2 лриведены значения из работы [2].

Косоугольная консольная пластина постоянной толщины (фиг. 3). Перейдем от ортогональной системы координат ху к косоугольной системе яг по формулам:

' -У -5

0053— {0,05Вг у)

—5

0,07*^(0,0783

Фиг. 2

Выражение для полной энергии пластины в новых координатах г и 5 будет (см. [2], стр. 381 при ц = 0):

'к/' 1

2«д21Г 25(?ИГ\2 ,

+ а_* .. д8дг + Г2 д5 I

‘К'* 1

■-/Ят

т

о о 1 д2 УГ г2 дэ2

+

дг2 в

г2 дя2

дБ2

1 д2 Ш г двдг

1 д\У\2 г2 <?я ]

1*р

0,5 О,* В,2 0 -0,2 -О*

Решение ищется в виде (7), где /?;(г) = (1 — г)1 (/ = 2,3,...,6),

/1 = 1, Л = 5. Л=«*(1 —З)3 (Л = 3, 4,.. .,8).

Выбранные функции /?,(г) удовлетворяют геометрическим граничным условиям при г=1,

/*(я) не ¡образуют линейно зависимых строк в матрице [/].

На фиг. 4 построены функции <рг (я) и «р2 (5) Для пластины с параметрами /=200 см, 1к = 400 см, Л = 4,2 сж, ¡¿ = 0, Е = 0,72-10® кгс\см2, р = 0,5 кгс/см2.

Напряжения ау могут быть найдены по формуле

_ ЕГ1(д21Р 82 д2Ш 2 яд2 Н7- 25

ау 2/3 I /5г2 -2 ’Т- -2 I

ГС *) / 1 \

\ 1 и ?2(■?)

1

\ / Л

/\ \ /

\ /^1 / /

</>, (Я ку

Фиг. 4

дздг

На фиг. 5—8 сплошными линиями построены перемещения 1^(5, г), напряжения ау в сечениях, параллельных оси я, и по передней и задней кромкам пластины.

Косоугольная пластина постоянной толщины, дискретно закрепленная в корне (см. фиг. 3). Обобщенные перемещения с нечетными индексами выбираются такими, чтобы удовлетворялись условия жесткого закрепления

1/1 = С12(1-/-)2 + С13(1-г)3+ . , . +С]6(1-г)6 для 5 = 0; 0,3125; 0,5625; 0,8125.

о,г 4:« о,е о,в і

Фиг. 5

0„ [ягс/ммг]

у

20

15

10

5

"ч > N

\ / 1 \ 1 г-- 1

I о,. и-1 1- / ?— 1 \ 1 Ґ 1

ОБ 1 1 1 и

1 -V- 1 т- 1 —< V 1

О 0^ 0/ 0£ s

Фиг. 7

Обобщенные перемещения с четными индексами выбираются такими, чтобы удовлетворялись условия шарнирного закрепления

1/2 = С22(1-г) + С23(1-г)3+ .. , + С26(1 — г)6

для « = 0,1875; 0,4375, 0,6875; 1.

На фиг. 5—8 пунктирными линиями построены перемещения («, г), напряжения ау в сечениях, параллельных оси я, и по передней и задней кромкам пластины. Показано, как происходит затухание по длине местных эффектов в напряженном состоянии, связанных с нерегулярностью заделки пластины в корне.

О применении метода для решения других задач прикладной теории упругости. Некоторые задачи прикладной теории упругости для пластин и оболочек могут быть сведены к задаче о стационарности функционалов вида

д* XV д2№ д2 \У \ ’ дг2 ’ дэдг )

где Е / Г* ^ ~ энергия краевых элементов упругой системы;

а=1

х й

У, — энергия дискретных элементов, входящих в упру-

р = 1 Э = 1 гую систему.

В случае сложных граничных условий на одном из элементов границы Г могут быть сформулированы краевые условия в дискретных точках 8], 8т, «¡;

Ш -1 " " ?т, = . . . , (8)

дг

— и

— аР дг*

у

г=е

где у'=1, 2,... ; /»= 1, 2,...; ¿= 1, 2........

В отношении задач с краевыми условиями вида (8) интересна статья [1], где интегральный функционал J1 в направлении 5 представляется в виде конечной суммы, а производные по я от № (5, г) заменяются соответствующими разностными соотношениями. Однако метод, изложенный в статье [1], не позволяет получить аналитического решения и может быть применен для регулярных, изотропных упругих конструкций (функционал Уг) с краевыми условиями в дискретных точках, отстоящих на одинаковом расстоянии друг от друга.

В отличие от существующих методов и метода, изложенного в статье [1], предлагаемый метод решения позволяет получить аналитическое выражение № (8, г), учесть краевые условия вида (8), заданные в произвольных точках на элементе границы Г для упругих систем с произвольной анизотропией силовой конструкции (функционал J2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Зураев Т. Г. О применении вариационно-разностного метода в расчетах крыльев малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ\ т. II, № 4, 1971.

2. Образцов И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М., .Машиностроение“, 1966.

Рукопись поступила 71X11 1971 г.