Способы аппроксимации упругой поверхности крыла при расчете его на прочность методом прямых Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том X

197 9

№ 4

УДК 629,7.015.46.24.07

СПОСОБЫ АППРОКСИМАЦИИ УПРУГОЙ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА ПРИ РАСЧЕТЕ НА ПРОЧНОСТЬ ЕГО МЕТОДОМ ПРЯМЫХ

В. А. Белоус

Рассматривается применение различных типов координатных функций для аппроксимации изгиба упругой поверхности крыла малого удлинения при расчетах на прочность методом прямых. В качестве координатных функций рассмотрены полиномы, функции, применяемые в методах конечного элемента и конечных разностей, а также некоторые разновидности сплайнов.

Крыло малого удлинения с небольшой относительной толщиной можно рассматривать как конструктивно-анизотропную пластину, состоящую из изотропной обшивки, подкрепленной силовым набором из поясов лонжеронов, стрингеров и нервюр. Расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) такой пластины можно производить различными разновидностями метода перемещений. При этом прогибы крыла можно представить в виде конечного ряда:

*) = 2 ?»(*,*). (1)

т

где <рт(х,г) — линейно-независимые базисные функции, имеющие непрерывные первые производные; — искомые параметры (обобщенные перемещения). Эти параметры можно найти из решения системы линейных алгебраических уравнений равновесия, полученных вариационным методом Ритца. Та или иная разновидность метода перемещений определяется выбором базисных функций.

На стадии предварительного проектирования для расчета на прочность крыльев малого удлинения удобно применять метод прямых. Данный метод позволяет рассчитывать крылья с произвольным расположением силовых элементов и с различным типом закрепления лонжеронов на фюзеляже. Наиболее подходящей разновидностью метода прямых на данной стадии является вариационно-разностный метод прямых, положительной особенностью

которого является квазидиагональная структура матрицы жесткости. Это обстоятельство позволяет существенно повысить скорость формирования матрицы жесткости и сократить время решения системы уравнений равновесия.

Применение метода прямых к расчету на прочность крыльев малого удлинения и пластин рассмотрено в ряде работ [1—3]. В настоящей работе рассматривается применение различных типов координатных (базисных) функций в расчетах крыльев данным методом.

Для решения задачи на срединной плоскости крыла проведем семейство не пересекающихся внутри него кусочно-прямых линий, которые назовем координатными, рис. 1. Эти линии делят поверх-

с координатными линиями. Координатные линии в частном случае могут не иметь излома. Каждая линия / имеет свой угол наклона 6j к оси 2 прямоугольной системы координат. В этом случае задача решается в косоугольной системе координат г, х. Текущая координата тогда выражается формулой:

— г~г0 Г> ~ cos %j '

где z0 — координата точки излома координатной линии.

Прогибы поверхности крыла вдоль координатных линий зададим в виде конечных рядов:

W(rj) = ZWmj9mj (г,),

т

где fj — текущая координата вдоль линии у; <pmj (rj) — координатная (базисная) функция; Wmj — обобщенное перемещение.

На остальной поверхности крыла перемещения представим в виде двойного ряда:

] т

Тогда функции (х) должны быть функциями типа Лагранжа: 1 в точках на линии /; 0 — на остальных координатных линиях.

При этом базисные функции двух переменных (х, г) ряда (1) представляются в виде произведения двух одномерных функций

*/(*) И

Если в качестве функций х^ (х) взять классические функции Лагранжа, то приходим к методу Канторовича [4], применение которого к расчету напряженно-деформированного состояния крыла было рассмотрено в [5]. В этом случае матрица жесткости будет полностью заполненной, что приведет к увеличению времени решения задачи.

1 (X) /

1 Л У ' 1 м N \ \\ 1

Г V 1 , Г 1 1-' 1 1 Н \

Рис. 2

В данной работе в качестве функции х;. (х) была взята кусочно-непрерывная функция, отличная от нуля на трех полосах /—1, у, у—[— 1 (рис. 2). Аналитическая запись функции (х) имеет вид:

х, (х) =

- х2 + а}_1 х — на полосе у—1, + аул: + 1 — на полосе у,

1 ,

•"2" Ря-1 хг + а/+1 х — на полосе /+1, О — на остальных полосах.

(2)

Данные функции получаются путем аппроксимации прогибов на полосе параболой, проходящей через три точки, соответствующие прогибам по координатным линиям у—■ 1, у, у + 1. Аналогичное представление дано в работе [6]. Прогибы IV (х, г) на полосе у в этом случае представляются в виде трехчленной суммы, зависящей от прогибов на линиях / —1, у, у+1.

5=1

\У(х,г)=* 2 */+*(*) (3)

Первая и вторая производные прогибов по х будут также выражаться через прогибы на трех линиях у—1, у, / + 1. Следует заметить, что в точках линии у аналитическое выражение производных по х функции (3) совпадает с выражениями для производных, вычисленных методом конечных разностей, поэтому данную разновидность метода прямых можно называть вариационно-разностным методом. При таком выборе функций ху (х) матрица жесткости получается квазидиагональной (пятиленточной), что существенно повышает скорость решения задачи.

При решении задачи вариационно-разностным методом прямых, как и при решении другими методами, существенное значение для точности и скорости решения имеет вопрос выбора координатных функций <рт7(гу). Были рассмотрены два основных типа функций: глобальные, отличные от нуля на всей длине координатной линии, и локальные, отличные от нуля только на отдельных ее участках. Глобальные координатные функции хорошо аппроксимируют перемещения регулярных конструкций, в которых отсутствуют сильные перепады жесткостей и нагруженных распределенными нагрузками. Преимуществом такого типа функций является малое количество неизвестных.

Если конструкция нерегулярная, имеет большие перепады жесткостей, вырезы или нагружена значительными сосредоточенными усилиями, то более точные результаты дают локальные координатные функции. Кроме того, точность решения в случае применения локальных функций увеличивается в силу лучшей обусловленности матрицы жесткости. Оба класса функций должны быть линейно независимыми и удовлетворять геометрическим и статическим граничным условиям. На свободных концах статическим граничным условиям можно не удовлетворять. В этом случае в соответствии с вариационными принципами получаются естественные граничные условия.

Из глобальных функций рассмотрим полиномы. В этом случае прогибы задаются в виде ряда:

ИГ (г,) = г, + г) + + (4)

Путем соответствующего исключения коэффициентов

можно удовлетворять геометрическим граничным условиям, задающим отсутствие перемещений и обеспечивающим условия жесткой заделки, шарнирного закрепления и кососимметричного случая нагружения.

В тех случаях, когда шарнирное сочленение находится на некотором расстоянии г0 от начала координат, его влияние на деформацию крыла можно учесть путем приравнивания в этой точке нулю второй производной прогиба, которая определяет величину изгибающего момента. Из (4) для этого случая

д" W

м

дг, _ =2W2 + £ Wm т (/и-1) Го = О,

т = 3

поэтому прогибы по линии j можно записать в виде

м

W=W0 + 2 Wm [гт + fflm г2),

т-3

где

т (т — 1) т—2 *я =--2-Г° ■

Если координатные линии имеют излом, то зона аппроксимации прогибов разбивается на два участка. В этом случае на первом участке, расположенном между плоскостью симметрии летательного аппарата и точкой излома, прогибы можно представить в виде

м

W (г,) = , + W2 (г? + Х2 rj) cos 6,. + ^ Wmj (г? -f Am г,.). (5)

m= 3

Из условия равенства нулю первой производной в плоскости симметрии и учитывая, что здесь угол 6; = 0, можно записать:

dWl{r¡) Z

—óf~~ , „ = 2 ^1» Í-*»)-1 +=

' i 0 т=2

Отсюда в силу линейной независимости координатных функций получим:

К^-гп (—20)т-'.

На втором участке прогибы представим следующим образом:

м

u^'1 irj) = W0J + W,J (г2 + X2 r cos2 6,) + 2 wmi (гт + к r cos 9j). (6)

m

При таком выборе координатных функций в месте излома координатных линий, где r¡ — 0, будут, как нетрудно видеть, выполняться условия сопряжения по прогибам и изгибающим моментам в силу того, что

d*Wl(r¡) д2 Wu (rj)

-Л— =-Г2— cos Qr

drj dr¿j '

При этом необходимо также удовлетворить условию непрерывности изменения угла наклона нормали к поверхности крыла:

dW dW г) i óW . г

—д- — cos В, -f —.— sin 6.

or¡ дг 1 1 дх 1

Считая, что деформация по оси х в результате большой жесткости фюзеляжа мала (это было подтверждено расчетами), можно записать

dW dW и

-d7¡ = ST cosbJ- (7)

Дифференцируя выражение (5) по z*, а (6) по г и подставляя в (7), убедимся в выполнении соотношения (7).

При наличии значительных сосредоточенных сил, приложенных на некотором удалении от концов координатной линии, точность определения напряженно-деформированного состояния конструкции при аппроксимации прогибов полиномами падает. Для увеличения точности вычислений вместо полиномов (4) целесообразно воспользоваться комбинацией кубических полупарабол:

т

W(r¡)= W0J + W2jrj + 2 Wmj9mj (rj),

m=3

где функции fmj (r¡) при разбиении координатной линии на ряд участков определяются следующим образом:

?mj (rj) =

{rj—rm)\ если r,>rm, О, если г,<гт,

(8)

где гт — граница между участками т и т1, в которой может быть приложена сосредоточенная сила.

, dW dW „

* На участке I ~Jr~ = ~'дг ~ вслеДствие "/' =

В качестве локальных координатных функций были рассмотрены сплайны 2-й степени, соответствующие конечно-разностной аппроксимации. В этом случае отрезок координатной линии разбивался на ряд участков. Прогибы между срединами участков т■—1 и т аппроксимировались параболой:

/ \ 0,1 ,22 •ш (г;) = ат + ат г] -г ат гу,

которая проходила через три точки, соответствующим прогибам в точках т — 1, т, т+1 координатной линии. Координата здесь отсчитывается от точки т. Три коэффициента параболы можно выразить через данные прогибы. В этом случае мы будем иметь:

(г) = (г) + ХГт,?оту (г) + №т+1/?а+1/(г). (9)

Координатная функция <рту- (г) отлична от нуля на трех участках и имеет вид, аналогичный функциям ху- (л:) (2) при замене индекса у на т.

Граничные условия в заделке получаются приравниванием нулю коэффициента а1т для жесткой заделки или а~т для шарнирного закрепления.

Если произвести аппроксимацию прогибов на участках разбиения полиномами третьего порядка, то можно получить координатные функции, соответствующие формам конечного элемента для балок. Пусть прогиб на участке т, ограниченном точками т— 1 и т, задан полиномом

IV (гу) = а°т + а1т г] + ат г) + сСт г). (10)

Здесь г у отсчитывается от точки т.

Четыре коэффициента данного полинома можно выразить через два прогиба и два угла поворота в точках т— 1 и т. При этом будем иметь на участке т:

и/ (Гу) = (Гу) + Я/И—1у?Я1—1 (Г;) + «туЧ4/ (О). (1 1)

Координатные функции для перемещений (рис. 3) имеет следующую запись:

3 , 2

, г---г — на участке т;

Д г Д г

'т т

3 2 1 —д- /'3 Н--з— гъ —на участке т-\~ 1;

т -1 Агт-1-1

0 — на остальных участках. Для углов поворотов координатные функции записываются следующим образом:

-на участке т;

<Рт/ (Г) =

~~ на Участке /я+1; 0 — на остальных участках.

Определим теперь координатные функции при помощи сплайнов третьей степени. С этой целью выразим углы поворотов ат_!

и ат В (11) с помощью конечных разностей через прогибы в точках /га—2, /га—1, /га, т+1:

<*т-1 = ат-1 \Vm-2 + №т—1 + Яот-1 \Ут;

= УРт-1 + <>-т№т + \У„

(12)

т +1 ■

Подставляя эти выражения в (11) и приводя подобные члены при \Vrn-2, Шт и №т+и получим:

№ (г,.)=№т_2у срш_2/ (г;)+<рт_,у (о)+ ?т/ (г,) + Шт+У <рт+1У (г,). Координатная функция <рш;- (г,), рис. 4, отлична от нуля на четырех участках и на каждом участке будет представлена полиномом третьего порядка:

ЧV (г) =

т—1

Аг.

/п—2

т—г

на участке /га—2;

1 , 2 г} ат_1 +

Д/-2 ,

т-1

Д Л

т-1

(2а'т_1+ят)

+

Дг

ТП — 1

— на /га — 1;

II О I 2

1+г,ат+ г,-

2«и„

т + 1

д/:

д г„

+

^ °-тп +1 4" Гу

/га

т+1

Дг

т+1

Д^

хт+1

Дг,

т-}-1

на участке /га; — на участке тп+1;

О — на остальных участках.

(13)

Если в начале координат на перемещения наложены геометрические условия равенства нулю первой производной, то в этом случае для определения координатных функций полагается равным нулю значение угла поворота (12).

В случае шарнирного сочленения в точке шарнира вместо условия сопряжения по производным ставится условие равенства нулю второй производной полинома (10).

Рассмотренные выше координатные функции были проверены на точность путем сравнения полученного с их помощью решения

с решением изгиба прямоугольных консольных пластин в балочной постановке.

Расчеты показали, что при аппроксимации полиномами прогибов равномерно нагруженной пластины достаточно брать полином пятой степени. При этом в случае равномерной нагрузки точность расчета по напряжениям аг составляла 3%, а для нагрузки, сосредоточенной на конце, — 7%. Аппроксимация тем же полиномом прогибов стреловидных пластин с углом стреловидности до 45° дает ошибку по напряжениям ог до 10% по сравнению с решением, приведенным в [7].

При наличии сосредоточенных нагрузок, приложенных на расстоянии -у / от краев пластины, решение в виде степенных рядов

давало довольно большую, до 20%, ошибку. Применение в качестве координатных функций кубических полупарабол (8) давало для этого случая ошибку по напряжениям аг до 3% при разбиении пластины по размаху на три участка, рис. 5. Изгибающие моменты в случае применения кубических полупарабол представляются ломаными линиями. Применение этих функций для случая равномерной нагрузки при использовании четырех форм дает меньшую точность, чем применение полинома пятой степени, также имеющего четыре координатные функции.

Расчеты равномерно нагруженной пластины с применением локальных функций показали, что при разбиении пластины по размаху на три участка, наибольшую точность давали функции метода конечного элемента (11), но при этом имелось большое количество переменных. Точность при применении функций типа кубических полупарабол (8) была в два раза выше, чем в случае применения сплайнов третьей степени (13) и составляла 6%. Однако при увеличении количества узлов точность решения в случае применения сплайнов увеличивалась и при разбиении на 6 участков составляла 2%, в то время как при применении кубических полупарабол точность уменьшилась, рис. 6. Такое поведение точности решений объясняется лучшей обусловленностью матрицы жесткости в случае применения сплайнов.

Точность аппроксимации сплайнами 2-й степени (9) меньше, чем при использовании сплайнов 3-го порядка (13). Особенно при

7_«Ученые записки» № 4

97

Л д Кубические /\ параболы д Í II 1 II Н | í !

/ у \ А / айны 'Н

L v

0,'' у 0, 0/ 'Уг 6 0, т 7 19 Ц

/ \

\ *

Рис. 6

редком разбиении. При увеличении числа разбиений точность расчетов функциями (9) также увеличивалась.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зураев Т. Г. О применении вариационно-разностного метода в расчетах крыльев малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ", т. 2, № 4, 1971.

2. Петров Ю. П. Расчет на изгиб упругих прямоугольных пластин дискретным методом. Труды ХАИ, вып. 18, 1961.

3. Вахитов М. Б., СафариевМ. С. К применению метода прямых для расчета пластин. Труды КАИ, вып. 143, 1972.

4. Канторович Л. В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла. Известия АН СССР, № 5, VII сер., 1933.

5. Л и п и н Е. К. О расчете пластин и оболочек с дискретными граничными условиями. „Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 5, 1972.

6. Винокуров Л. П. Метод приближенного расчета на устойчивость пластин, нагруженных силами в срединной плоскости. Труды ХАИ, вып. 18, 1961.

7. Образцов И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М., „Машиностроение", 1966.

Рукопись поступила 18! VII 1977 г.