Применение вариационно-разностного метода прямых к расчету деформаций срединной поверхности крыла Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м IX 19 7 8

М 2

УДК 629.7.015.46.24.07

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОГО МЕТОДА ПРЯМЫХ К РАСЧЕТУ ДЕФОРМАЦИЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА

В. А. Белоус

Рассматривается применение вариационно-разностного метода прямых для расчета напряженно-деформированного состояния срединной поверхности крыльев малого удлинения. Даются основные соотношения метода. Проводится апробирование метода на примерах, расчета консольных пластин.

1. Если нейтральная ось фюзеляжа не лежит в срединной плоскости крыла, то при изгибе фюзеляжа в этой плоскости возникает поле плоского напряженного состояния. Аналогичное поле напряжений может возникать и в зоне удлиненного воздухозаборника, а также при действии внешних сосредоточенных сил, лежащих в плоскости крыла.

Задачу определения указанного поля напряжений можно решать различными методами. Для проведения расчетов на стадии предварительного проектирования удобно применять вариационноразностный метод прямых. Данный метод удобен в том отношении, что с его помощью можно производить расчет крыльев малого удлинения при наличии сложных условий стыковки крыла с фюзеляжем.

Количество переменных обобщенных перемещений в данном случае сравнительно невелико. Матрица жесткости обладает ленточной структурой. Поэтому программы расчета на ЭЦВМ, построенные на основе вариационно-разностного метода прямых, обладают высокой скоростью расчета и занимают сравнительно мало места в памяти ЭЦВМ.

Применение вариационно-разностного метода прямых к расчету на изгиб симметричных крыльев малого удлинения впервые дано в работе [1]. В настоящей работе рассматривается применение вариационно-разностного метода прямых к расчету напряженно-деформированного состояния срединной поверхности крыла малого* удлинения. Задача решается в линейной постановке на основе пластинно-балочной аналогии.

К1

2. Для решения задачи с помощью метода Ритца получим уравнения равновесия плоского напряженного состояния анизотропной пластины для общего случая. С этой целью проекции смещений точек пластины на оси прямоугольной системы координат представим в виде конечных рядов:

где ит, vm — искомые параметры, обобщенные перемещения, Фт(*, г)\ Хт(х, г) — базисные функции.

Потенциальную энергию деформации пластины можно представить в виде:

где е — вектор деформации пластины в точке X, Z с компонентами:

Коэффициенты данной матрицы определяют жесткостные свойства крыла в точках X, Z как конструктивно-анизотропной пластины, поэтому матрицу упругости можно представить в виде суммы матриц упругости обшивки и стержневых элементов силового набора, состоящего из поясов лонжеронов, нервюр, стрингеров, размазанных по поверхности крыла:

Матрица упругости обшивки толщины 8° записывается с помощью матрицы Гука для изотропной пластины:

Чтобы получить матрицу упругости стержня, ось которого составляет угол ср с осью запишем для него потенциальную энергию деформации:

где Г — площадь поперечного сечения стержня; йі— элемент длины стержня.

Деформация е9 имеет следующий вид [2|:

на ось X: и(х, г) = '^ит^(х, г),

т

(О

на ось г\ v{x, г) = 2г>тхт(л;, г),

т

и= иіхйг,

(2)

„л ’ ^хг дг дх ’ £

здесь (Ї — симметричная матрица упругости:

ди ду

дг дх ’

дv

~дТ '

ёхх ё-Х"! ёхг

[0\ = ё-1Х

^ёгх ёг~! ёгг-

[0] = [0]0 + [0]л + [б7]нН-[0ГР.

(X 0 1

(3)

£<Р = гх віп2 9 + £г СОЯ2 ср + 1хг СОЭ <Р БІП ср.

Подставляя данное выражение в (3) и приводя его к форме (2), получим следующее выражение для матрицы упругости стержня:

sin4 <р sin3 9 COS 9 Sin2<pCOS2<p'1 Sin3cpcOScp Sin2 9 COS2 9 sin 9 COS3 9

[G]CT = £8C

sin2 <p cos2 <p sin 9 cos3 9 cos4 9

Приведенная толщина стержня 8СТ, имеющего длину М и размазанного по элементу пластины со сторонами Ах, Дг, будет

«и

§ст = ■

ДлсДг

Дифференцируя выражение (2) по параметрам ик, получим левые части системы уравнений равновесия, которую для общего случая плоской задачи можно представить в виде:

[Fi]u + [ft]v=*b*i \F5\u + [Fl\v = b.

(4)

Здесь компонентами векторов и, V являются обобщенные перемещения ит, чт.

Элементы четырех подматриц жесткости, аналогично [3], можно представить в виде:

Я ЙД°]

Птн= \\гт[0]^п(1хйг-, (5)

/5**=1ЛсМ°]Х*

Элементы /“тА являются элементами матрицы, транспортированной к [/^].

Векторы фт, хт имеют вид:

Фт

Г д'\)т П ~ 0 '

дх дХт

і К.т ’ дх

дг Нт

_ 0 _ L дг J

(6)

В виду того что основные силовые элементы крыла могут иметь наклон к оси Z, задачу целесообразно решать в косоугольной системе координат. Переход от прямоугольной системы координат Z к косоугольной г, х осуществляется по формулам:

г =

cos t

где 6 — угол наклона оси г к оси

В этом случае вектор деформации и матрица упругости преобразуются по формулам:

е* = [Л]е,

[С]* = [ЛПО][Л].

Матрица преобразования [Л], согласно [2],' имеет вид-:

1 О О

1

[А]-

СОБ О вШ

СОв2 6

О

сое2 в -

3. При решении задачи методом прямых в области задания конструкции крыла 2 проводится семейство непересекающихся прямых, которые называются координатными линиями (фиг. 1).

Каждая линия у имеет свой угол

наклона

к оси Точки

на

линии задаются с помощью координаты г,- местной косоугольной.

системы координат. Проекции смещений V (г}), и{г}) на оси х косоугольной системы координат вдоль координатных линий задаются в виде рядов:

и (О) = 2 ит) (п); V (г,) = 2 ««у 1т) (О). т т

В остальных точках конструкции перемещения задаются в виде двойных рядов

и (Г, *) = 2 (*) 2 ит) *т] ® (Г’ *) = 2 %1 (*) 2 (Г))'

] т ] т

В этом случае функции ^(х) являются функциями типа Лагранжа: они равны 1 в точках на линии ) и равны 0 на остальных координатных линиях. При этом базисные функции двух переменных рядов (1) представляются в виде произведения одномерных функций.

Элементы матрицы жесткости для метода прямых получаются из формул (5) с использованием матрицы преобразования (7) и подстановкой произведений ^ (-*:) <Ку/(г); *./(■*) ХтДГ/) в (6).

В данной работе в качестве функций ■x■j(x) были взяты кусочно-линейные функции, вид которых дан на фиг. 2. Так как эти функции отличны от нуля между линиями у — 1, у + 1, то матрица жесткости является блочной, с трехленточной структурой. Значение производных по х от функций и(х, г), ъ(х, г), вычисленное аналитическим путем, совпадает со значением производных, вычисленных методом конечных разностей, поэтому рассматриваемая разновидность метода прямых названа вариационно-разностным методом прямых.

Получим теперь правые части системы уравнений (4). Пусть в плоскости заданы две силы Р“ и Р°. Сила Ри действует в направлении оси х, а сила Pv в направлении оси г. Суммарные проекции этих сил на оси прямоугольной системы координат будут равны:

на ось Х-, Ри + Р° sin 6;

на ось Z: Pv cos 6.

Работа данных сил на перемещениях и, vn прямоугольной системы координат

А = (Ри + Р" sin 6) и + Pv cos 6 vn, учитывая, что из [2]

V = va cos 6 и sin 0, (8)

получим

А = Ри и + Pv v. (9)

Дифференцируя выражение работы для всех сил, приложенных к пластине, по параметрам ukj, vk} получим правые части уравнений равновесия:

где Р“, Ps —усилия, приложенные в точках s.

4. Выбор координатных функций tymj, ут) оказывает существенное влияние на точность и размерность решаемой задачи. В тех случаях, когда внешние нагрузки приложены вблизи свободного конца крыла или вблизи его корня, достаточно хорошее решение дают степенные ряды. В этом случае проекции перемещений представляются в виде:

т*

ит)Гп}\

(Ю)

т=0

При этом должны быть выполнены геометрические граничные условия:

vn = 0 при г — 0, и —0 при г = л: = 0.

Учитывая (8), будем иметь:

vOJ = и0 jSinBj.

Отсюда следует, что в косоугольной системе координат имеется связь между проекциями и, v через геометрические граничные условия. В результате этого преобразуются столбцы матрицы жесткости, стоящие при неизвестных и0 f.

[/] = [/o“y] + [/o/]sine;,

где [/оу]. [/о;] — столбцы матрицы жесткости незакрепленной ПО V конструкции, стоящие при неизвестных u0j, V0j.

Аналогичным образом преобразуются строки, соответствующие уравнениям равновесия, составленным для параметров и0;-.

Правые части уравнений равновесия, составленных для параметров и0;-, также необходимо пересчитывать по формуле

Ьо} = Ьо ] Ьо} э1п

Если имеются силы, приложенные на участках крыла между его корневой частью и свободным концом, целесообразно применять координатные функции, вызывающие смещения лишь в локальных участках координатных линий [4]. Так, например, разбив отрезок координатной линии на т* частей, зададим в качестве неизвестных перемещения в точках разбиения. Тогда перемещения между точками гт-\ и гт с помощью линейной интерполяции можно представить в виде:

и (г) = ит_! +

т—\

А г„

Ут~ Ут-1

т

(Г - гт-х) = ит-1 ф*_1 (г) + ит фт (г);

(Г - Гт-1) = Ът-1 Хт-1{г) + <От Хт (Г).

(11)

Здесь Дгт — расстояние между точками с координатами гт_\ и гт.

Как следует из выражения (11), функции фту(г;), /т; (г;) являются кусочно-линейными, отличными от нуля на участках разбиения между точками гт-и гт, гт+х.

По форме эти функции совпадают с функциями *](х) (см. фиг. 2).

5. По методике, приведенной выше, с помощью ЭВМ типа М-220 были проведены расчеты консольных пластин. Для определения влияния величины порядка аппроксимирующих полиномов на точность решения были проведены расчеты напряженно-деформированного состояния квадратной пластины, нагруженной двумя сосредоточенными силами, приложенными к срединам противоположных сторон. Полученное решение сравнивалось по напряжениям с решением, полученным методом конечных разностей при разбивке пластины достаточно густой сеткой [5]. При этом оказалось, что для получения решения с точностью до 4—8% достаточно брать полином 5-й степени. Для пластины большего удлинения степень полинома требуется выше.

С помощью полиномов, взятых в качестве координатных функций, был проведен расчет стреловидной пластины (см. фиг. 1), нагруженной на свободном конце силами, действующими вдоль оси X. Графики нормальных напряжений аг, действующих вдоль оси г по передней и задней кромкам пластины, даны на фиг. 3.

Фиг. 3

Ъс

'У5о/Г

О 12 3* 5 6 7 X

Фиг . 4

Для определения напряженного состояния треугольного крыла при его взаимодействии в срединной плоскости с фюзеляжем был проведен расчет треугольной пластины.

При этом воздействие фюзеляжа имитировалось силами, приложенными в направлении оси X вдоль линии борта фюзеляжа. Поскольку в этом случае силы приложены на некотором расстоянии от оси симметрии крыла, расчет производился с применением комбинации полиномов (Ю) и кусочно-линейных функций (П). Аппроксимация консольной части крыла производилась полиномами 5-й степени. В зоне его стыка с фюзеляжем использовались кусочно-линейные функции. Распределение напряжений ох для этого случая показано на фиг. 4.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зураев Т. Г. О применении вариационно-разностного метода в расчетах крыльев малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ', т. 2. № 4, 1971.

2. Гурьев Н. И., Пучкова Д. А. Метод расчета крыльев переменной высоты с произвольным расположением лонжеронов. Труды ЦАГИ, вып. 1102, 1968.

3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., „Мир”, 1975.

4. М и х л и н С. Г. Об одном классе вариационно-сеточных схем повышенной точности. Сб. „Исследования по теории сооружений", вып. 21, 1975.

5. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., ,Наука", 1975.

Рукопись поступила 271X11 1976 г. Переработанный вариант поступил 221VI! 1977 г.