CC BY
58
Том VII
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
197 6
№ 4
УДК 629.7.015.3
К РАСЧЕТУ СКОШЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
Ю. И. Иванов
Предложен конечный элемент в виде скошенной пластины, находящейся в плоском напряженном состоянии. Приводятся уравнения равновесия для плоской задачи в косоугольных координатах общего вида и уравнение совместности деформаций для скошенной пластины. Принятые аппроксимации напряжений в пластине характерны для распределения напряжений в обшивке конструкции типа крыла. Эти аппроксимации внутри пластины удовлетворяют уравнениям равновесия и уравнению совместности деформаций. Перемещения по кромкам пластины аппроксимируются по линейному закону. Применение предложенного конечного элемента иллюстрируется на примере расчета скошенного кессона, дается сопоставление с экспериментом.
Формулировка и решение задачи расчета скошенных конструкций упрощаются при использовании косоугольной системы координат. Такой подход позволяет, в частности, обобщить известные решения для призматических конструкций на случай скошенных и конических стержней и оболочек. Так, в работе [1] решения Сен-Венана задачи изгиба и кручения цилиндрического стержня обобщены на случай конической оболочки с произвольной формой поперечного сечения. В работе [2] даны решения в постановке Сен-Венана для конического и скошенного тонкостенных стержней с жестким контуром поперечного сечения. В работе [3] при расчете скошенных конструкций удачно используются простые аппроксимации, имеющие аналог в теории призматических стержней. Представляется целесообразным воспользоваться косоугольной системой координат в методе конечного элемента (МКЭ) при выборе аппроксимации напряженно-деформированного состояния конечных элементов (КЭ). Этому вопросу главным образом посвящена настоящая статья. Решение дается в рамках гибридной модели МКЭ, для которой характерны независимые аппроксимации перемещений на границах КЭ и напряжений внутри КЭ [4]. Аппроксимации для перемещений должны удовлетворять условиям совместности по перемещениям на общих границах смежных КЭ; аппроксимации для
напряжений должны удовлетворять уравнениям, равновесия внутри КЭ. Точность решения МКЭ может быть повышена, если аппроксимации для напряжений будут удовлетворять также уравнениям совместности деформаций. Такие аппроксимации предложены в настоящей работе для КЭ типа скошенной пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния. Предварительно на основе результатов работы [2] в косоугольной системе координат получены уравнения равновесия и уравнение совместности деформаций для скошенной пластины. Приводятся выражения для матрицы жесткости и внутренних усилий в скошенной пластине. Применение КЭ этого типа иллюстрируется на примере расчета скошенного кессона.
Соотношения в косоугольных координатах. Рассмотрим плоскую пластину толщиной /г, для которой введены прямоугольные координаты к, г] и косоугольные координаты а, р. Связь прямоугольных координат точки пластины с косоугольными устанавливается соотношениями
0)
При этом
А2 =
В2
"7+
до.
т
ÜV+f^iY
л d dí dí . dr¡ ói¡
AB eos / = ------L—-
da др да dp
(2)
где А, В, cos х — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности (1).
Пусть взаимное расположение координатных линий Е, -ц и а, р характеризуется тем, что направление оси Е совпадает с положительным направлением линий р (а = const), фиг. 1. При этом направляющие косинусы касательных к линиям аи^ будут:
для линии а (р= const)
/t \ 1 ^ ! \ 1 cos(i, а) = ——, cos(t¡, а) = — — ; (о)
A da А да
для линии р (а = const)
cos (5, p) = i--§-, eos(t¡, p) = 0. (4)
Выделим из пластины плоскостями а, Р, Р + ^Р элемен-
тарный четырехугольник (см. фиг. 1). При составлении уравнений равновесия с точностью до бесконечно малых высших порядков можно считать, что этот четырехугольник является параллелограммом. На гранях выделенного элемента действуют погонные усилия Л^а, Л/р и р; объемные силы полагаются равными нулю. Составляя с учетом (3) и (4) суммы проекций всех сил на оси I и ?¡, после
некоторых преобразований получим соответственно следующие уравнения равновесия:
да { А да / др \ В др ) да \ др / др \ да ) да { А да ) др\ да )
1
(5)
Второе уравнение было ранее получено в работе [2].
^(сс-сот^ £
Фиг. 1
Фиг. 2
Закон Гука в косоугольной системе координат запишется в виде [2]
1 [Л^ + Л^соз^ — V з!п2 х) + 2^-сое у];
Ер:
(В :
Л/Тэт х 1
Л/: Бт х 1
[#« (сое2 х — V з1п2 X) + Ар + 2д сое хЬ
п х
[2 (ЛГ. + Щ с08 х + 2? (1 + сое2 х + ^ БШ2 X)].
(6)
Потенциальная энергия деформации пластины в косоугольных координатах определяется по формуле [5]
и — — |[ (е. Л/". + ер Ар + ш?) АВ йа йр.
2 а р
(7)
Скошенная пластина. Для скошенной пластины (фиг. 2) соотношения (1) и коэффициенты (2) принимают вид [2]:
А—-
1
вШх
; В= 1; сое х = сое х-
7—Ученые записки № 4
(8) 97
С учетом этого уравнения равновесия (5) переходят в следующие:
дq , дЛЬ п
втх — Ч--— = 0;
да др
дЫл , да _ эту-—5 + — = 0.
да ^¿р
(9)
;
еа = зт2Х
Соотношения между деформациями и перемещениями, которые в общем виде приведены в работе [2], в данном случае перепишутся в виде
\ да да) да
( .„ да , да . дъ \ ар да д$
Исключая из этих соотношений перемещения, придем к уравнению совместности деформаций
1 <?»ш = 1 | ¿2ер
втх^адр э1п2х дрг до?
Аппроксимации. Для КЭ типа скошенной пластины рассмотрим такую аппроксимацию напряженного состояния, которая отражает характерные особенности распределения напряжений в панели обшивки крыла. Если линии а направить вдоль лонжеронов, а линии Р — вдоль нервюр, то можно принять
Р
Я = +ёг-^г ■ Ъ
Из уравнений (9) будем иметь Пусть
о в'п х
/(Р) = ё-з ;
Ь
Тогда окончательно
= —\ (11)
ЭШ X '
Л/р = ёь, }
где
ё=4; ь = £, (12)
а Ь Ь
а и Ь — размеры пластины (см. фиг. 2). 98
Привлекая соотношения (6), нетрудно убедиться, что аппроксимации (И) удовлетворяют уравнению (10). Таким образом, функции (11) являются решением в смысле Сен-Венана уравнений теории упругости для скошенной пластины, т. е. они дают точное решение, если усилия на кромках пластины распределены в соответствии с (11).
Перемещения на кромках пластины будем аппроксимировать линейными функциями. Например, перемещения на кромке jk в зависимости от. перемещений узлов КЭ запишутся в виде
»/* = (1 - Р) u¡ + } Uk- vjk = (1 - Р) V, + P^V (13)
Матрица жесткости и внутренние усилия. Матрица жесткости КЭ в осях 5, ч\ вычисляется по формуле [4]
Кj = Су Ну 1 С/,
параметры напряженного состояния выражаются через перемещения узлов КЭ как
gj = Hr1CjPj.
Матрица H¡ на основании (7) и с учетом (8) и (12) вычисляется по формуле
А. о 0
Матрица Gj формируется на основании аппроксимаций (11), матрица Ф — на основании выражений (6). Знак штрих означает операцию транспонирования.
Матрица С;- вычисляется по формуле
Cy=J О/ п} L¡ dF,
(у .
J
где матрица L} формируется на основании аппроксимаций типа (13), а матрица n¡ — на основании соотношений (3) и (4) с учетом (8). Матрицы Hp Cj, gj и pj приведены в табл. 1 и 2, где дополнительно к (12) использованы обозначения
s = sinx; c = cosx; = 2(1 + cos2x + vsin2x); a2 == cos2 x — v sin2 х-
После определения параметров g¿ внутренние усилия в КЭ вычисляются по формулам (11).
Пример расчета. Применение КЭ типа скошенной пластины проиллюстрируем на примере стреловидного кессона, рассмотренного в работе [6]. Принятая расчетная сетка соответствует конструктивно-силовой схеме кессона (фиг. 3). Конструктивные элементы кессона моделируются тремя типами конечных элементов: стрингеры, пояса лонжеронов и нервюр — стержнем, работающим на растяжение — сжатие с постоянным осевым усилием; стенки лонжеронов и нервюр — тонкостенным элементом, работающим на сдвиг [7]; клетки обшивки — скошенной пластиной, описанной в настоящей работе. Алгоритм расчета конструкции дан в работе [7]. На фиг. 3 даются графики напряжений в поясах лонжеронов и приводятся результаты эксперимента [6]. Как видно, напряжение в поясе при
/ й \ Матрица \—аГ')ХН}
Таблица
ё2 ёз 84.
1 / 2сХ \
£1 \ 2 2с с
1 2сХ\ 3 Хс Х2 X 2 с X
£2 —) в + Зв2 3 "47
2 с X 1 1 1
gз 2с X 2 1
gi с 3 ~~ 4« 2 3
хх2 Х2 Х2
ёь 2 с с- 2Т~ ~2~
Яъ
2с
ХХ2 2в
2
1
Таблица 2
Матрица -у X С,-
«к Щ Щ "т
1 1 Хс ~ 2 ~ 2 я 1 1 1 Хс ~ Т + 2 5 1 1 1 2 + 2 Хс 5 т* 1 1 Хс 2 — 2 в
ёи 1 — 6 0 1 Хс - 3 + 2в X 2 1 3 0 1 Хс 6 ~ 2в X — 2
ёз с — 7Г с ~~ ~т я с "2 Т с "Г"
ё*. с ~ ~6~ ~ б" с ~ 3 в _ 3 с "3 с ТГ
ёъ X 0 X 2я 0 X 2в 0 X 0
, 1/см2- п
К ✓ / -и
N \ В,
\ \
\ э \
■ к 3 " N §
ч N э •
Ч I4—
N
N > ч ■ч
Ч N
10 0}8 0.6
¥
о Л
о
0,2
О Л
06
= Г]/1
-напряжения в поясе переднего лонжерона;----напряжения в поясе
заднего лонжерона: эксперимент. |71". 9— передний лонжерон, О — задний лонжерон
Фиг. 3
ол
-OS
• 1 о ,1/см2
X \
X
—- 4* ¥
__ •
—
Напряжения 'в обшивке в сечении по АА: - напряжения иа, ---напряжения т; "'х — напряжения в стрингерах; напряжения в;нервюре 2: — ■ — нормальные напряжения в'поясе ар; — . . — касательные напряжения в стенке
Фиг. 4
переходе через нервюру изменяется скачком. Эта особенность не отмечается в известных решениях данной задачи [3], [6]. Характер распределения напряжений в косых сечениях кессона виден из графиков, приводимых на фиг. 4. Напряженное состояние нервюр в скошенных кессонах рассматриваемого типа исследовано пока еще недостаточно полно. Решение, предложенное в настоящей работе, позволяет определить напряженное состояние нервюр. Напряжения в одной из нервюр представлены на фиг. 4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бал а бух Л. И. Изгиб и кручение конических оболочек. Труды ЦАГИ, вып. 577, 1946.
2. Б а л а б у х Л. И. Расчет на прочность конических кессонов. Труды ЦАГИ, вып. 640, 1947.
З.Образцов И. Ф., Она но в Г. Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М., „Машиностроение", 1973.
4. Пиан. Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный на выборе распределения напряжений..Ракетная техника и космонавтика", 1964, № 7.
5. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций (в сб. „Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем* под ред. проф. Филина А. П.). Л., Судпромгиз, 1961.
6. Lang A. L., В i s р 11 п gh о f f R. L. Some results of sweptback wing structural studies, JAS, vol. 18, № 11, 1951.
7. И в a h о в Ю. И. Расчет подкрепленных тонкостенных конструкций методом конечного элемента. „Ученые записки ЦАГИ, т. 3, № 1, 1972.
Рукопись поступила 7jX 1975 г.
