CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том XIV
19 8 3
№ 3
УДК 539.3:6*24.04
УТОЧНЕНИЕ РАБОТЫ СДВИГОВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА, ПРИМЕНЯЕМОГО В ПРОГРАММЕ ЫА8ТИАМ
Приводится исследование работы сдвигового конечного элемента и анализируются неточности, допущенные при разработке сдвигового элемента в программе НАБ'ШАМ.
При расчетах напряженно-деформированного состояния тонкостенных авиационных конструкций методом конечного элемента часто применяют сдвиговые конечные элементы. Такие элементы имеют преимущество перед плоскими мембранными конечными элементами в тех случаях, когда необходимо производить редуцирование относительно тонких обшивок. В случае применения сдвиговых конечных элементов нормальные усилия воспринимаются стержневыми элементами; а работа обшивки сводится к противодействию складывания четырехугольных рамок из стержней. Правомерность такой идеализации доказана многолетней практикой расчета авиационных силовых конструкций.
Конечному элементу, работающему на сдвиг, посвящено немало работ как в нашей стране, так и за рубежом. При этом хорошая точность обычно получается для элементов, форма которых мало отличается от параллелограмма [1], [6]. Одной из основополагающих работ по сдвиговому элементу является работа Гарвея [2], в которой получены выражения потенциальной энергии деформации пластин произвольной формы через касательные усилия. Сдвиговые элементы, основанные на теории Гарвея, применяются в такой широко распространенной программе, как ^БТИАИ [3), а также в ряде других.
Расчеты скошенных панелей, проведенные с использованием сдвигового элемента, применяемого в программе ЫАЗТНАЫ, показали на неудовлетворительную точность при определении их деформированного состояния. Известны указания на низкую точность данного элемента при расчете скошенных панелей также и в иностранной литературе [4]. В связи с этим в данной статье представлены исследования, направленные на выяснение причин пониженной точности сдвигового элемента, применяемого в программе ЫАБТРАЫ, а также приведены рекомендации по устранению данного недостатка.
I. Особенности работы сдвигового элемента наиболее наглядно можно проиллюстрировать на примере мембранного элемента, имеющего форму параллелограмма и нагруженного силами Д, /а с равнодействующими, направленными вдоль диагоналей (рис. 1). При этом следует учесть, что в сдвиговом элементе при его деформации изменяются только величины углов, а длины сторон остаются неизменными. Поэтому, чтобы мембранный элемент был эквивалентен сдвиговому, его следует окантовать шарнирно соединенными стержнями, площадь поперечного сечения которых намного больше площади поперечного сечения мембраного элемента. Ввиду того, что деформация стержней пренебрежимо мала, потенциальная энергия окантованной панели будет определяться только энергией деформации мембраны, которая в общем случае имеет вид:
В. /1. Белоус
(0
12.5
Рис. 1
Рис. 2
где ас, 0у, гх, Еу нормальные напряжения и деформации вдоль осей X, Y; -.Ху Т.су—касательные напряжения и угол сдвига в прямоугольной системе координат t—толщина обшивки; й—поверхность элемента.
Очевидно, что угол сдвига -\Ху равен величине изменения угла между сторонами параллелограмма, а именно: углу сдвига 7. При деформации панели треугольник ABE (рис. 2) перейдет в треугольник AFE, причем AB=AF. Обозначим через и и v проекции перемещения узла В соответственно на оси X и У. Тогда
В направлении оси X деформация равна нулю, т. е. £*=0, так как стороны параллелограмма не деформируются.
Зная деформации, на основании закона Гука получим напряжения;
где Е, й — соответственно модуль упругости и модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона.
Подставляя выражения для деформаций и напряжений в (1), учитывая их постоянность по объему мембраны и выражая Е через О, получим потенциальную энергию деформации параллелограмма, выраженную через угол сдвига 7:
где 5—площадь панели в плане.
Аналогичное выражение получено в [1] путем использования косоугольной системы координат. Величину йН в выражении будем называть обобщенным модулем сдвига косоугольной панели. Этот модуль характеризует сопротивление панели при сдвиге, которое возникает от действия касательных и нормальных напряжений. Величина модуля зависит от материала и скошенности панели.
и — | BF | sin 6, V = — I BF I cos 0. Изменение угла А при деформации равно
I BF I '1~\АВ\ ■
Считая деформации малыми, можно записать:
и ] BF | sin 6
{ху \ВЕ | ! .46 I sin 6 '
Следовательно, 7 = '¡ху-
Деформация в направлении оси К равна
V — 7 cos 6 I АВ |
V
(2)
(3)
Если панель нагружена, как показано на рис 1, то, как указано в [5], на
рамку из окаймляющих стержней действуют нормальные Nn и касательные N.
усилия, постоянные по периметру:
Nn =— чу Ї, N. = хху t. (4)
Эти усилия можно определить в зависимости от внешней нагрузки /j из
равенства нулю работы сил на возможных перемещениях. В этом случае мы будем иметь:
[(2/j — N. b) a sin 0 — b N„ a cos 6J 5 0 = 0,
где а, ¿-длины сторон параллелограмма (рис. 1).
Отсюда, учитывая (4) и выражая из (2) хху через оу> получим:
2Л___________2_Л_
I 2ctg2 Є\ " tbH
to
Из данного выражения видно, что касательные напряжения, действующие в обшивке, только частично компенсируют воздействие внешних сил, приложенных к стержням. Угол сдвига при этом будет
1 tb HG '
Если в данной задаче считать, что обшивка работает только на касательные напряжения (обшивка из гофра), что можно получить, положив £ = 0, то Н— 1. В этом случае, как следует из формулы (5), жесткость соответственно уменьшается.
Если рассмотреть панель без стержней, то, как указано в [2] и [5], ау = 0 и Zxy—Gl- При этом в направлении оси X возникнут нормальные напряжения, которые, как нетрудно установить из условия равновесия треугольника АВЕ (рис. 2), будут
ах = 2-сгу ctg 0 = 2G 7 ctg ß.
Касательные напряжения в данном случае, как показано в [2], будут равны 2/,
tb’
т. е. касательные усилия здесь полностью компенсируют воздействие
‘■Ху •
внешних сил. Угол сдвига
2/і
Из сравнения выражений (5) и (6) видно, что жесткость панели, окантованной нерастяжимыми стержнями, в Н раз выше, чем панели без стержней; следовательно, жесткость сдвигового элемента в Н раз больше жесткости мембранного элемента такой же толщины.
Если в формулу потенциальной энергии (I) подставить выражения хх.,, -¡, зх, приведенные выше, а также ед-, полученные из закона Гука через ах, то'можно получить потенциальную энергию мембранной пластины без стержней £/м, приведенную к углу сдвига
й ( 2 \ и* = ~2~ ( 1 + — сі8* 0) 72 5/. (7)
Аналогичное выражение, приведенное к потоку касательных усилий, дано в [2]. Следует обратить внимание на то, что выражения (3) и (7) отличаются друг от друга знаком при коэффициенте Пуассона.
2. Потенциальную знеріию деформации сдвигового элемента можно выражать как через касательные напряжения, так и через углы сдвига. Так, например, выражение энергии (1), представленное через угол сдвига, можно представить в виде и = — т 7 Б?, где т = НО 7 — обобщенное касательное напряжение,
зависящее как от касательного, так и от нормального напряжений.
Выражая 7 через т, получим потенциальную энергию, представленную через обобщенные касательные напряжения:
1 Ї»
Рис. 3
Представляя из (2) 7 через хху, получим потенциальную энергию, выраженную через касательные напряжения:
В дайной форме получены выражения потенциальной энергии деформации для пластин различной формы в работе Гарвея [2]. Выражения, полученные Гарвеем, были использованы при разработке сдвигового конечного элемента в программе 1\А5ТИАЫ [3]. Однако при этом были допущены ошибки. Так, при получении матрицы жесткости энергетическим методом для определения коэффициента Н путем сравнения с выражениями, приведенными у Гарвея, ошибочно принималась во внимание формула (8), а не (9), которой выражена энергия у Гарвея. В результате этого коэффициент Н при вычислении элементов матрицы жесткости вместо числителя попадает в знаменатель, что при расчетах скошенных панелей приводит к значительному (в Н2 раз) занижению жесткости. Так, например, для параллелограмма с углом 0 = 60° жесткость уменьшается в 25/9 раза. Относительное снижение жесткости к в зависимости о г угла скошенности В представлено на рис. 3.
В работе Гарвея рассмотрены пластины, не окантованные стержнями, поэтому не эквивалентные сдвиговому элементу. В результате этого коэффициенты Н в работе Гарвея, как и в выражении (7), содержат коэффициент Пуассона со знаком плюс. Для того, чтобы правильно воспользоваться выражениями, приведенными в работе Гарвея, в них следует поменять знак у коэффициента Пуассона с плюса на минус по аналогии с (3).
После устранения указанных недостатков расчеты на ЭВМ панелей со сдвиговым элементом, имеющих форму параллелограмма, совпали с точным решением (5). Для панелей других конфигураций, содержащих сдвиговый элемент, решения по жесткости удовлетворительно совпадали с расчетами панелей, в которых применялся мембранный элемент.
ЛИТЕРАТУРА
1. Комаров В. А., Пересыпкнн В. П. „Сдвиговый конечный элемент для четырехугольных закрученных панелей обшивки“. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Вып. 7, ГГУ, Горький, 1977.
2. Garvey S. J. Jhe Quadrilateral, Shear Panel, „Aircraft Engineering“, vol. XXIli, N 267, MAY, 1951.
3. Mac Neal R. H. Jhe NASTRAN Theoretical Manual, (Level 15), NASA SP—221 (01), April, 1972.
4. К i u s a 1 a a s J. and Reddy Q. B. „DESAP-2“. A structural Design Program with stress and Buckling Constraints NASA CR—2798, March, 1977.
5. Б.а лабух Л. И. Расчет на прочность конических кессонов. Труды ЦАГИ, вып. 640, 1947.
6. Иванов Ю. И. К расчету скошенных тонкостенных конструкций методом конечного элемента. „Ученые записки ЦАГИ“. т, VII, № 4, 1976.
Рукопись поступила 12/Х 1981 г.
