Конечно-элементный расчет цилиндрической оболочки, податливой при трансверсальном сдвиге Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.62

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДАТЛИВОЙ ПРИ ТРАНСВЕРСАЛЬНОМ СДВИГЕ

В. А. Нестеров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. Е-шаП: mistemester@gmail.com

Рассматривается новый конечный элемент оболочки, в расчетах которой учитывается трансверсальный сдвиг. При этом в каждом из узлов конечного элемента в качестве основных кинематических параметров присутствуют осредненные по толщине углы трансверсального сдвига. Представлены результаты численного исследования, демонстрирующие отсутствие эффекта сдвигового запирания в новой оболочечной конечноэлементной модели.

Ключевые слова: балка, трансверсальный сдвиг, метод конечных элементов, эффект сдвигового запирания.

FINITE ELEMENT ANALYSIS OF THE SHEAR FLEXIBLE CYLINDRIC SHELL

V. A. Nesterov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: misternester@gmail.com

The finite element of a shell with low value of transverse shear stiffness is considered. As the basic kinematic variables transverse shear strains are in eveidence. The results ofnumerical analysis showing urgency of the model are presented.

Keywords: shell, finite element method, transverse shear strains.

Композитные конструкции, обладающие высокими удельными механическими характеристиками, находят широкое применение в производстве авиационной и ракетно-космической техники. Ряд особенностей композитных материалов резко выделяет их из ряда традиционных конструкционных материалов, что вынуждает разрабатывать новые расчетные модели, в которых адекватным образом учитываются эти особенности. Главная среди них - низкая сдвиговая жесткость по отношению к трансверсальным напряжениям. Учет данного обстоятельства приводит к повышению порядка разрешающих уравнений за счет введения в рассмотрение углов трансверсального сдвига.

В настоящей работе рассматривается новый четырехугольный конечный элемент оболочки, среди основных узловых переменных которого присутствуют углы трансверсального сдвига. Разработанная модель основывается на математической теории пластин Рейсснера-Мидлина. Вывод основополагающих уравнений и матриц теории метода конечных элементов выполняется вариационным методом, который предполагает использование в качестве исходного выражения полной потенциальной энергии для элемента оболочки. Основные преобразования при этом касаются выражения потенциальной энергии деформации, которое в геометрически нелинейной постановке для сдвиговой модели имеет вид

+ Nap(Sap +Єра + ЮаЮр) + )Xa + MpXp + (1)

+ Map (XaP + Xpa ) + Qafa + QpVp } d a d P ,

где N Q, M - внутренние погонные усилия; є, х -обобщенные деформации начальной поверхности, ю -углы поворота бесконечно малого элемента оболочки.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку радиусом R, нагруженную давлением p. Криволинейную систему координат свяжем с начальной поверхностью, где ось х направлена вдоль образующей цилиндра, ось у -по окружности начальной поверхности, ось г -по нормали к ней. Запишем функционал Лагранжа для задачи статического расчета в геометрически линейной постановке. Выражение потенциальной энергии деформации (1) в данном случае примет следующий вид:

+ My X y + Mxy X xy + Qx У x + Qy У y ) dxdУ,

где внутренние погонные усилия связаны с обобщенными деформациями начальной поверхности с помощью следующих физических соотношений:

Nх = В118х + В128у + С11хх + С12ху ,

Nу = В218х + В228у + С21Хх + С22Ху ,

Nxy = В338ху + С33хху , (3)

Мх = С118 х + С128 у + ^11х х + А2х у Му = С218х + С228у + ^21хх + ^22ху ,

Мху = С338ху + °33хху , Ях = КхVх , (2у = Ку Vу ,

где В, С, Б и К - жесткостные параметры: В определяют мембранную жесткость оболочки, С - так называемая смешанная жесткость, Б - изгибная жесткость, К - жесткость оболочки при трансверсальном сдвиге.

Обобщенные деформации определяются следующими геометрическими соотношениями:

X х =■

ди

дх ’

З0х_

дх

= у х

ду w

= дУ+Я

д0 у

ди ду

є ху = дУ+дх

д0х д0 у

ду

дw

дх

ду дх

дw

уу + я ду '

В выражении (4) фигурируют следующие кинематические параметры: 0х и 0у - углы наклона сечений, измеряемые в плоскостях хх и уг соответственно, и и V -перемещения точек начальной поверхности вдоль осей х и у соответственно, V - прогибы точек начальной поверхности, ух и уу - углы сдвига или осреднен-ные по высоте сечения деформации трансверсального сдвига, вычисляемые по следующим формулам [1]:

Н-Б л И-Б

. йг,

Єуг ,

(5)

X х =■

дх

X ху

с^

дх2

Су

X у =•

ду

^2

+

ду дх

у 1 ду д w

ду Я ду ду2

сУ у 1 ду , з2 w

у ^ — - 2-------------

Я дх дхду

(6)

и =

а с [

2 ЛЬ (їх

Су

Си

+ 2С12-------

дх

~,2 \ С w

Зух_________

їх їх2

+ Б11

С 2 V2 С w

дх їх2

+ 2 В, -

(

Си ( ду

+ В2

ду w | ди

— + — I + 2С,2 — їу Я) їх

їх (Су Я) (Су у 1 ду

2

С w

ду Я ду Су2

|У х

2

С w

(7)

їх дх

+ 2Б

12

+ 2С

|У х _

дх

ду

С2 w У Су у

дх'

1 ду

2

С w

22

ду Я

ду Я |у |у2

у

1 ду

2

С w

ду Я ду ду2

1 ду С2 w V2

|у у

|у Я ду ду2

+ В3

Си ду

ду їх

+ 2С331 — + —

ди ду |у їх

2

С w

Зух |у у 1 ду ,

—— + —- +--------------2-------

ду їх Я їх їхїу

(

+ Б,

33

їух їу у 1 ду ,

_!£. + —>- +--------------2------

|у їх Я їх їхїу

+ Кх у2 + Ку у2 } ёхёу.

Здесь а и Ь определяют границы элемента оболочки вдоль оси х, а с и ё - вдоль оси у.

Потенциал внешних сил для цилиндрической оболочки, нагруженной давлением р, определяется следующим интегралом:

Ь й

П = Ц pw йхйу •

(8)

Выражение полной потенциальной энергии цилиндрической оболочки имеет вид

Е = и + П .

(9)

где И - толщина оболочки, (И - б) и (-б) - координаты по высоте верхней и нижней поверхности оболочки соответственно.

С учетом соотношений (4) для углов наклона сечений (0Х и 0У) представим выражения для кривизн в виде

Здесь потенциальная энергия деформации задается интегралом (7), а потенциал внешних сил - интегралом (8).

Функционал (9) позволяет получить разрешающие уравнения теории МКЭ. Будем рассматривать модель с сеткой прямоугольных конечных элементов с внутренней нумерацией узлов, осуществляемой при обходе контура против часовой стрелки.

Вектор узловых кинематических параметров 8е имеет следующий вид:

8е = {81 Й2 83 б4>г, (10)

где 8; (/ = 1, 2, 3, 4) - вектор кинематических параметров /-го узла:

Подставим физические (3) и геометрические (4), (6) соотношения в подынтегральное выражение (2). В результате получим

Ьй ( /^\2

* = <»■ 'її [I

. (11)

Кинематические параметры можно выразить через их узловые значения следующим образом:

( дw ^ ( дw ^

V = p11w1 + Р12 I — I + Р1з| — I + Р18 w2 +

їх

(Су

їх

ду

"дwV (дw V (д^

+ Р19' + Р1,1о' -т-\ + Р1,15 wз + Р1,16 ' -т- I +

дх

ду

, дw V [ дw V ( ди'

+ р1,17 ' \ + р1,22W4 + р1,23 ' "Т- \ + р1,24 '

дх

ду

дw [ дw V [ дw V

— = P21W1 + Р22 ^ I + Р23 ' "Г" \ + p28W2 +

їх (їх) (ду )1

дw V ( дw V [ дw

+ р29 ' "Т- \ + р2,10 ' \ + р2,15 W3 + р2,16

дх

ду

їх

ду

дw V [ дw V (дw

+ р2,17 ' \ + р2,22^ + р2,23 ' \ + р2,24 '

їх

ї

Т

дw (дw ^ (дw |

— = Р31W1 + Р32 I — I + Р33 I — I + Р38w2 +

ду V дх у V ду у

(дw^ (дw | (дw^

+ Р39 I "Т” I + Р3,10 I ~Т~ I + Р3,15^^3 + Р3,16 I ~т~ I + (12)

V дх и V ду и V дх Л

2ху 3х2 у 3х2 2х 2у2 у3 у

Р29 = ^-—+—;-; Р210 = ——+ ^-т+—

аЬ а Ь а а , аЬ аЬ а

6х2 у 6ху у 3 у2 2 у3

р215 = —+—т^- +^-—^;

, а Ь а Ь аЬ аЬ Ь а

(дw | (дw'] (дw |

+ Р3,17 I ^Т" I + Р3,22W4 + Р3,23 I "Г- I + Р3,24 I "Т"" I ;

V ду Л ^дх у 4 V ду Л

Ух = Р44Ух1 + Р4,11Ух2 + Р4,18Ух3 + Р4,25Ух4 ;

У у = Р55у у1 + Р5,12у у 2 + Р5,19у у3 + Р5,26У у4 ; и = Р66и1 + Р6,13и2 + Р6,20и3 + Р6,27и4 ^

v = Р77V1 + Р7,14V2 + Р7,2Л + Р7,28V4 ,

где Ру - компоненты матрицы преобразования P размерностью 7x28 со следующими ненулевыми компонентами:

, ху 3х2 у 3ху2 2 х3 у

Р11 = 1—— + —т^- + -

аЬ а 2Ь аЬ2

а3Ь

2ху3 3х2 3у2 2х3 2у3 ;

Ь3а а2 Ь2 а3 Ь3 ’

-ч 2 3 3 Л, 2

2х у х у ху х 2х

Р12 =—-——-+—т-------------+х;

аЬ а Ь Ь а а

= 2 ху2 ху3 2 у2 + ху у3 +

Р13 =—Т-------и Т~ +-72 + у ;

аЬ аЬ Ь а Ь

ху 3х2у 3ху2 2х3у 2ху3 3х2 2х3

Р18 =~Т + ^Т,-------ТГ + ^й~ + ~ТТ~ + ~-т;

аЬ а Ь аЬ а Ь Ь а а а

2 3 3 2 -.2 3

х у х у х х 2ху ху ху

Р19 = —т—Т-+-г —; Р1,10 =—^+^+--г-

аЬ а Ь а

а

аЬ аЬ

2

а

_ ху 3х у 3ху 2х у 2ху

Р1,15 = Т+ ' +" '

аЬ а Ь аЬ

а3Ь Ь3 а

2 3 2 3

х у х у ху ху

Р1,16=—г+^; Р1,17 = ;

аЬ а Ь аЬ аЬ

ху 3х2 у Ъху2 2 х3 у 2 ху3 3у2 2у3

Р1,22 = ~----^------------ + ——+ —^ +---------•

аЬ а Ь аЬ

а3Ь

Ь а

= 2х2у + х3у + ху ; = 2у2 у3 у _

Р1,23 = , + 2, + , ; Р23 =

аЬ а2Ь Ь

аЬ аЬ

2 3 2 3

Р = ^ ^ + у_.

Р1,24 _ . , 2 . , 2 ;

аЬ аЬ Ь Ь

6х2 у 6ху у 3 у2 2 у3 6х 6х2

Р21=-+а_гат+ аЬ2-_^' а2+~';

4 ху 3 х2 у 3х2 4х у

Р22 = 1 + —7-2й~ + —---------Т;

аЬ а Ь а а Ь

6 х2 у 6 ху у 3 у2 2 у3 6 х 6х2

Р28 =нТ-^Г + * + 7з + —---г;

а Ь а Ь аЬ аЬ Ь а а а

(13)

2ху 3х2 у у2 у3

Р2,16 = Т~ + ^ ; Р2,17 = 74 72 ;

аЬ а Ь аЬ аЬ

6 х2 у 6 ху у 3 у2 2 у3

Р,,, =---------------г_ + ^-----•

2,22 а3Ь а 2Ь аЬ аЬ2 Ь3а

4 ху 3х2 у у у2 у3

Р223 =—-+—^- +—; Р2 24 = --=Цг;

, аЬ а Ь Ь , аЬ аЬ

6ху2 х 3х2 2 х3 6у 6у2 6 ху

Р31 = Ь3а аЬ + а2Ь а3Ь Ь2 + Ь3 + аЬ2 ;

Р32 =

2х2 х3 х

аЬ а Ь Ь

= 1 + 4ху - 3 ху2 + 3^ - х - 4у ;

Р33 аЬ аЬ2 Ь2 а Ь ’

6ху2 х 3х2 2 х3 6 ху

Р38 = ——+-т 27+-^" :г; Ь а аЬ а Ь а Ь аЬ

2 3

хх

4 ху 3ху х

Р39 = , 2 ; Р3,10 = ' , ' 2 '

аЬ а Ь аЬ аЬ а

6 ху2 х 3 х2 2х3 6ху

Р315 = —3---------------1—2------------3—I—2;

3,15 Ь а аЬ а Ь а3Ь аЬ2

2 3

хх

2 ху 3ху

Р3,16 = Т + _2Г; Р3,17 = Т-1 гт;

аЬ а Ь аЬ аЬ

= 6 ху2 х 3х2 2х3 6 у 6у2 6 ху

Р3,22 Ьъа аЬ а2Ь аъЬ Ь Ь аЬ2 ’

2 х2 х3 х.

Р3 23 =-------------1----^----1----;

, аЬ а Ь Ь

= 2 ху 3ху2 + 3 у2 2 у = 1 + ху х у

Р3,24 = , 2 + 2 ,; Р44 = 1 +, , ;

аЬ аЬ Ь Ь аЬ а Ь

ху х ху ху у

Р4,11 = Г^~ ; Р4,18 =~Г ; Р4,25 = Т^Т ;

аЬ а аЬ аЬ Ь

, ху х у ху х

Р55 = 1 + ~Т Т ; Р5,12 = Т + —;

аЬ а Ь аЬ а

_ху,у. _л , ху х у

Р5,19 = , ; Р5,26 = 1,^1, ; Р66 = 1 + , , '

аЬ аЬ Ь аЬ а Ь

ху х ху ху у

Р6,13 = Т+ ; Р6,20 Т ; Р6,27 = Т + Т ;

аЬ а аЬ аЬ Ь

ху х у ху х

Р77 = 1 Т Г; Р7,14 = Т^_ ;

аЬ а Ь аЬ а

_ х^. ху , у

Р7,21 = , ; Р7,28 = , + , .

аЬ аЬ Ь

Подставляя разложения (12) в выражения потенциальной энергии деформации (7) и потенциала внешних сил (8) и минимизируя их сумму (9) по компонентам вектора узловых кинематических параметров 8е (10), (11), получим систему алгебраических уравнений равновесия

^ 8е = Fe, (14)

где - матрица жесткости конечного элемента цилиндрической оболочки; Fe - вектор эквивалентных узловых сил.

Вектор эквивалентных узловых сил удобно представить в блочном виде:

Fe =

(15)

где подвекторы Е], Г2, Г3, Г4, состоящие из 7 компонентов каждый (в случае нагрузки равномерным давлением) имеют вид

Г = {/ /2 /з 0 0 0 0}г ;

Г2 = {./8 /9 /10 0 0 С? К 0 0

Г3 = {{ /\б /17 0 0 0 0};

Г4 = {/22 /23 0 0 4 0 0};

N а 2Ъ Р 24 ■; /з = р аЪ 2 аЪ 14; /8 = р-;

а2Ъ /9 = - р—; 9 24 Ло 2 •§1 Я Р = аЪ 5 = Р^;

а2Ъ = - Р^; /17 2 •§|Я Р - = Р =

а 2Ъ = Р 24 ;

аЪ

4 =- Р^.

Здесь р - величина давления.

В общем случае матрица жесткости конечного элемента цилиндрической оболочки Ке, размерность которой 28x28, имеет плотное заполнение, т. е. в ней немного нулевых элементов. Для ее вывода разработана специальная программа [2].

Вывод разрешающих уравнений при реализации вариационного подхода МКЭ для оболочек предполагает получение выражения полной потенциальной энергии для всего ансамбля конечных элементов модели:

(17)

Минимизация (17) по узловым неизвестным каждого узла системы приведет к глобальным уравнениям равновесия

^ А = FE, (18)

где ^ - глобальная матрица жесткости пластины; FE - глобальный вектор эквивалентных узловых сил всей пластины; А - глобальный вектор узловых неизвестных:

А = { 81 Й2 ... 8,- ... 8^г. (19)

Следует иметь в виду, что при решении СЛАУ (18) необходимо учесть граничные условия.

Одной из самых распространенных конструкций, в расчетах которых необходимо учитывать трансвер-сальный сдвиг, является трехслойная оболочка с податливым заполнителем. Будем полагать, что жесткость несущих слоев существенно выше жесткости промежуточного слоя. В этом случае можно допустить, что параметры жесткости оболочки В, Си Б обеспечены несущими слоями.

Будем полагать материалы несущих слоев и заполнителя изотропными. При совпадении начальной поверхности со срединной и при симметричной структуре слоистого пакета смешанные жесткости (С) равны нулю. Остальные параметры жесткости вычисляются по формулам

11 = В22 =

2К1

1 -цН

В12 = В21 = Н- н В11,

В33 = 2&н*-, Б11 = Б22 =

Б12 = Б21 = Н-н Б11, Б33 =

Ен (Н3 - И3)

12(1 -^) ,

Он (Н3 - И3) (21)

12(1 -^)

где N - число элементов в модели; - потенциальная

энергия деформации /-го элемента; П - потенциал

внешних сил /-го элемента.

^^=х+г

а + в,

где Н - полная толщина пакета; И - толщина слоя заполнителя; t - толщина каждого из несущих слоев; Ен - приведенный модуль упругости материала несущих слоев; вн и вз - модули сдвига материалов несущих слоев и заполнителя соответственно.

Как известно, в последнее время получила распространение конечно-элементная модель податливых при трансверсальном сдвиге оболочек, в которой в качестве основных узловых переменных фигурируют перемещения точек начальной поверхности и углы поворота сечения (0Х и 0У). Эта модель с пятью кинематическими параметрами в узле обладает определенным недостатком, который называется эффектом сдвигового запирания (ЭСЗ).

Покажем, что наша КЭ модель с семью кинематическими параметрами в каждом узле лишена данного недостатка. Для этого проведем следующий численный эксперимент. Выполним две серии расчетов для оболочек различной толщины. В первой серии будет задействована рассматриваемая в настоящей работе модель с 7 узловыми кинематическими параметрами.

I=1

Во второй серии будем использовать конечно-элементную модель, основывающуюся на классической теории оболочек Кирхгофа. В этой классической модели в каждом узле присутствует 5 кинематических переменных: перемещения и и V, прогиб м> и два изгибных угла поворота нормали (дм/дх и дм/ду). Таким образом, вектор узловых неизвестных 4-узлового элемента оболочки в данном случае будет иметь вид (10) со следующим подвектором узловых параметров в каждом узле:

б; = \ wt I — I I —

дw

іУ

(22)

Процедура вывода разрешающих уравнений равновесия для одного конечного элемента точно такая же, что описана выше для модели, учитывающей трансверсальный сдвиг. Только во всех выражениях необходимо положить уХ = уУ = 0 и, следовательно, 0х = -дм/дх и 0у = -дм/ду.

Выражение энергии деформации при этом будет иметь вид

„ _ ди I dv w .

+ 12~dx [dy + ~R I+ 12

2 I я2 А2

гл dw +D

cx2

2

д w

cx2

1 dv д2 w А R dy dy2

+ B2

+ B3

dv w

dy + R

du dv -------1-------

dy dx

(

+ D2

+D3

22 1 dv dw '

(

y

dy R dy dy2

д2w А2

(23)

1 dv _ 2____________

R dx dxdy

dxdy.

ленного композита с углами укладки ф = ±45°. Зададим следующие механические свойства (углепластик):

- модуль упругости вдоль волокон El = 180 ГПа;

- модуль упругости поперек волокон Е2 = 6,2 ГПа;

- модуль сдвига G12 = 5 ГПа;

- коэффициент Пуассона д12 = 0,007;

- плотность р = 1500 кг/м3.

Упругие параметры пластины, которую будем считать однослойной и условно однородной, вычислим по формулам

All = Е cos4 ф + Е2 sin4 ф +

+ 2 (ц12 + 2Gl2) sin2 ф cos2 ф;

(24)

A22 = El sin4 ф + E2 cos4 ф +

+ 2 (mi2 + 2Gl2 j sin2 фcos2 ф;

A12 = A2l = El M-12 +

+ (ei + E2 - 2 (mi2 + 2Gl2 ) sin2 ф cos2 ф;

A33 = (E + E2 - 2 E1m12 ) sin2 фcos2 ф + Gl2 cos2 2ф,

где El и E2 - приведенные модули упругости, вычисляемые по формулам

El(2) = El(2)/(1 -М-12 М21 ) , (25)

а коэффициент Пуассона ц21 определяется из условия симметрии упругих постоянных:

М-12 El

Н-21 = "

E2

(26)

Размерность матрицы жесткости элемента сократится до 20. Вектор эквивалентных узловых сил сохранит блочный вид (15), но подвекторы (16) будут иметь размерность 5 с теми же значениями ненулевых компонентов.

Рассмотрим цилиндрическую панель, с защемленными торцевыми (искривленными) кромками и свободными прямыми (см. рисунок), нагруженную равномерным давлением на внешней поверхности. Радиус кривизны панели - 5 м. Размеры в плане 1 м на 1 м. Будем полагать оболочку изготовленной из однонаправ-

Модули трансверсального сдвига примем равными а12. Коэффициенты жесткости пластины вычислим по формулам

ВП = АП И ; В22 = А22И ; В21 = А21 И ;

B33 = A33h

D11 =■

A h3

12

D22 =

12

D12 =

A12 h3

12

D21 =

12

; D33 =

A33h

12

(27)

Kx = Ky = Gxlh .

Композитная панель и картина деформирования

6В

Таблица 1

Прогибы однородной композитной панели

Толщина оболочки, к, мм Прогиб в центральном узле, мм Расхождение, % Давление, Па

Классическая модель Модель, учитывающая сдвиг

50 4,593 5,070 9,4 1000000

40 8,579 9,144 6,18 1000000

30 18,566 19,219 3,40 1000000

20 4,993 5,055 1,23 100000

10 1,7817 1,7811 0,034 10000

5 2,8689 2,8619 0,24 10000

1 -0,522263 -0,522286 0,0044 100

Таблица 2

Прогибы трехслойной панели

Толщина слоя заполнителя, к, мм Прогиб в центральном узле, мм Расхождение, % Давление, Па

Классическая модель Модель, учитывающая сдвиг

50 4,718 10,717 55,98 100000

40 7,302 14,673 50,24 100000

30 6,369 11,119 42,72 50000

20 2,778 4,117 32,52 10000

10 4,990 6,101 18,21 5000

5 1,610 1,765 8,78 500

3 0,675 0,708 4,66 100

1 2,02 2,045 1,22 100

0,5 1,4358 1,4444 0,595 50

0,1 0,39015 0,39065 0,128 10

Определим прогибы в центральном узле, вычисляемые по классической (Кирхгофа-Лява) и сдвиговой моделям для различных значений толщины панели. Результаты расчетов представим таблично (табл. 1). Анализ этих данных позволяет заключить, что по мере увеличения толщины оболочки классическое решение дает существенно заниженный прогиб. С другой стороны, по мере уменьшения толщины пакета решение по сдвиговой модели приближается к классическому.

Еще более рельефно отмеченные эффекты проявляются в расчетах по классической и сдвиговой моделям, выполненным для трехслойной панели. Длина панели (по образующей - 1 м, ширина (в окружном направлении) - 0,2 м. Радиус кривизны - 5 м. Толщина стальных несущих слоев - 1 мм, толщина слоя заполнителя варьируется. Коэффициенты жесткости вычисляются по формулам (21).

С помощью специально разработанной программы [3] выполнена серия статических расчетов панели при нагрузке давлением. При этом оцениваются прогибы в центральном узле, полученные для трехслойной оболочки с различной толщиной слоя заполнителя. Параллельно выполняются расчеты по двух КЭ моделям: сдвиговой и без учета сдвига (Кирхгофа-Лява). Результаты представлены таблично (табл. 2). Данные таблицы показывают, что по мере уменьшения толщины слоя заполнителя результаты решения с использованием сдвиговой модели приближаются к ре-

зультатам, полученным на основе классического решения, что свидетельствует об отсутствии ЭСЗ в разработанной КЭ модели. Эти же результаты лишний раз подчеркивают необходимость применения сдвиговой модели для расчета конструкций, весьма податливых при трансверсальном сдвиге.

Разработана конечно-элементная модель цилиндрической оболочки, податливой при трансверсальном сдвиге. Разрешающие уравнения теории МКЭ получены вариационным способом. Вектор узловых неизвестных содержит семь независимых кинематических параметров, включая осредненные по высоте сечения углы трансверсального сдвига. В результате численного эксперимента на примерах расчетов монолитной композитной и трехслойной оболочек показано, что в КЭ модели с полным набором узловых кинематических параметров отсутствует эффект сдвигового запирания.

Библиографические ссылки

1. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. : Машиностроение, 1988.

2. А. с. о гос. регистр. прог. для ЭВМ № 2010611594 /

26.02.2010. Комплекс программ для получения основных матриц и векторов теории МКЭ для конечных элементов балки, пластины и оболочки, податливых

при трансверсальном сдвиге / В. А. Нестеров. Заяв. № 2009617627 ; 31.12.2009.

3. А. с. о гос. регистр. прог. для ЭВМ № 2010611593 /

26.02.2010. Конечно-элементное исследование напряженно-деформированного состояния и собственных колебаний цилиндрической панели с учетом транс-версальной податливости / В. А. Нестеров. Заяв. № 2009617626 ; 31.121.2009.

Referens

1. Vasilyev V. V. Mekhanika konstruktsiy iz kom-pozitsionnykh materialov (Mechanics of composite struc-

tures. M: Mechanical engineering). Moscow, Mashinos-troyeniye, 1988, 272 p.

2. A set of programs for basic matrices and vectors of the theory of finite elements FEM for beams, plates and shells, stretch during transverse shear: Auth. of State. Register. prog. computer № 2010611594. 26.02.2010. Nesterov V. A. Stated. № 2009617627, 31.12.2009, 6 p.

3. Finite element study of the stress-strain state and the natural vibrations of cylindrical panels with the transversal compliance: Auth. of State. Register. prog. computer № 2010611593. 26.02.2010. Nesterov V. A. Stated. № 2009617626, 31.121.2009, 33 p.

© Нестеров В. А., 2013

УДК 62-506.1

О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ И УПРАВЛЕНИИ ПРОЦЕССОМ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОРАДИОИЗДЕЛИЙ

В. И. Орлов1, Н. А. Сергеева2

'ОАО «Испытательно-технический центр - НПО ПМ»

Россия, 662970, Железногорск, ул. Молодежая, 20. E-mail: itcnpopm@atomlink.ru 2Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. E-mail: sergena@list.ru

Рассматривается комплекс задач диагностики электрорадиоизделий (ЭРИ) по данным испытаний неразрушающего контроля. В частности, рассматриваются результаты диагностики некоторых видов интегральных микросхем, транзисторов и диодных матриц. В результате обработки диодных матриц выявлены различные группы годных изделий. Приводятся некоторые численные результаты обработки диагностических параметров. В этой связи анализируется задача ведения технологического процесса изготовления ЭРИ заданного качества. Приводятся непараметрические модели дискретно-непрерывных процессов для различных технологических этапов производства. Излагается также последовательность формирования управляющих воздействий для всего технологического цикла. Непараметрические оценки, модели, алгоритмы управления и принятия решений базируются на непараметрических статистиках Надарая-Ватсона. Приводятся конкретные непараметрические модели и алгоритмы, которые могут быть положены в основу при проектировании компьютерных систем диагностики ЭРИ по результатам испытаний неразрушающего контроля, а также при разработке компьютерных систем управления технологическим процессом при изготовлении ЭРИ.

Ключевые слова: непараметрические модели, априорная информация, дискретно-непрерывный процесс, диагностика, распознавание образов, оценка Надарая-Ватсона.

ON NONPARAMETRIC DIAGNOSIS AND CONTROL OF THE PROCESS OF ELECTRONICS MANUFACTURE

V. I. Orlov1, N. A. Sergeyeva2

1OJSC “Proof and Experimental Technical Centre - NPO PM”

20 Molodyezhnaya st., Zheleznogorsk, 662970, Russia. E-mail: itcnpopm@atomlink.ru

2Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: sergena@list.ru

The paper examines the problems of electronics diagnosis according to the data of non-destructive control. In particular, the results of some types of integrated circuits diagnostics, transistors and diode matrices are considered. As a result of diode matrices processing, different groups of applicable items were revealed. Some numerical results of diagnostic parameters processing are given. In this context, the task analysis of the technological processes of electronics manufacture of the specified quality is analyzed. The non-parametrical models of discrete-continuous