CC BY
70
Экспертная оценка
Опасность угрозы
Правила отнесения угрозы безопасности ПДн к актуальной
Возможность реализации угрозы Показатель опасности угрозы
Низкая Средняя Высокая
Низкая Неактуальная Неактуальная Актуальная
Средняя Неактуальная Актуальная Актуальная
Высокая Актуальная Актуальная Актуальная
Очень высокая Актуальная Актуальная Актуальная
Рис. 2. Схема отнесения к актуальной угрозе безопасности ПДн
V. G. Mironova, A. A. Shelupanov
ANALYSIS OF STAGES PREPROJECT SURVEY INFORMATION SYSTEM OF PERSONAL DATA
This article describes and analyzes the main stages included in the first stage of creation of a system ofprotection of personal data, which is called "Preproject”. The article examines the stages of audit information security for the stage of pre-survey information system of personal data.
Keywords: personal data, audit, information system.
© Миронова В. Г., Шелупанов А. А., 2011
УДК 519.62
В. А. Нестеров
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ РАСЧЕТ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ
Рассматривается новый конечный элемент балки, в расчетах которой учитывается трансверсальный сдвиг. При этом в каждом из узлов конечного элемента в качестве основных кинематических параметров присутствуют осредненные по толщине углы трансверсального сдвига. Представлены результаты численного исследования, демонстрирующие отсутствие эффекта сдвигового запирания в новой балочной конечноэлементной модели.
Ключевые слова: балка, трансверсальный сдвиг, метод конечных элементов, эффект сдвигового запирания.
В последнее время в авиационной и ракетно- бое место занимают композиционные материалы. Об-
космической отрасли все чаще применяются новые ладая высокой удельной прочностью и жесткостью,
конструкционные материалы, позволяющие изготав- композиты, кроме того, позволяют проектировать
ливать технику разнообразного назначения с высоки- конструкции с требуемыми механическими свойствами удельными характеристиками. Среди прочих осо- ми в зависимости от их назначения и условий экс-
плуатации. Однако композитные конструкции, в том числе и балки, отличаются рядом особенностей, которые необходимо учитывать при проектировании и расчете. И основная среди них - низкая сдвиговая жесткость по отношению к трансверсальным напряжениям. Учет указанной особенности приводит к повышению порядка разрешающих уравнений за счет введения в рассмотрение углов трансверсального сдвига.
В данной работе представлен новый конечный элемент балки, в расчете которой учитывается транс-версальный сдвиг. При этом рассматривается модель, базирующаяся на математической теории пластин Рейсснера-Миндлина. При выводе основополагающих соотношений теории метода конечных элементов используется вариационный подход, при котором в качестве исходного фигурирует выражение потенциальной энергии деформации конструкции. Для сдвиговой модели балки это выражение имеет вид
Е = — Г Г Ы— + М— + 0^1 *х-\qwdx. (1)
2 ^ dx I
Сх
В выражении (1) фигурируют следующие кинематические параметры: 0 - угол наклона сечения, измеряемый в плоскости Х2 (рис. 1); и - перемещения точек начальной плоскости вдоль продольной оси балки; w - прогибы точек начальной плоскости; у - угол сдвига, или осредненная по высоте сечения деформация трансверсального сдвига, вычисляемая по формуле [1]
і к - я
=кь
где к - высота сечения балки (толщина балки); (к-я) и (-5) - координаты по высоте верхней и нижней поверхности балки соответственно.
Рис. 1. Система координат в слоистой структуре
Полный угол наклона сечения представляет собой сумму двух слагаемых:
dw
-у-* •
(2)
N = в—+а**, м = с^+о?™., а = Ку, (3)
dx dx *х *х
где В, С, О и К - жесткостные параметры балки: В определяет жесткость балки при растяжении-сжатии вдоль продольной оси; С - так называемая смешанная жесткость; О - изгибная жесткость; К - жесткость балки при трансверсальном сдвиге.
Получим матрицу жесткости конечного элемента и вектор эквивалентной узловой нагрузки для балки, нагруженной погонной нагрузкой q, для случая низкой трансверсальной сдвиговой жесткости. Будем полагать нагрузку постоянной вдоль одного конечного элемента. В качестве основных узловых неизвестных будем рассматривать прогиб w, изгибной угол наклона сечения, угол трансверсального сдвига и продольное перемещение и (рис. 2).
Рис. 2. Узловые параметры балочного конечного элемента
Будем полагать, что прогиб изменяется по кубическому закону вдоль длины элемента, а угол сдвига у и продольное перемещение и - по линейному закону:
" (х) = а + а2х + а3х2 + а4х3 , у(х) = а5 +а6 х, и (х) = а7 +а8 х.
(4)
Основные кинематические параметры в произвольной точке конечного элемента можно выразить через их узловые значения:
б = P 6,
где
где *^/*х - угол наклона сечения, происходящий за счет изгиба балки.
В энергетическом функционале (1) присутствуют силовые факторы: q - погонная балочная нагрузка и N М, а - внутренние балочные усилия (Ы - продольная сила; М - изгибающий момент; а - перерезывающая сила), которые связаны с кинематическими параметрами посредством следующих физических соотношений:
( с™
О = і " — у и 1 Сх
с™ ^ (с™
Сх І и "2 {*
(5)
(6)
V2 и2 \ . (7)
Матрица P имеет следующую структуру:
P
Р11 Р12 0 0 Р15 Р16 0 0
Р 21 Р22 0 0 Р25 Р26 0 0
0 0 Рзз 0 0 0 Р37 0
0 0 0 Р 44 0 0 0 Р 48
Т
и компоненты
2 3 2 3
, ~ х ^ X .XX
Р11 = 1 - 3 — + 2—, Р12 = х - 2---+ —
11 І2 У 12 І Iі
2 3
^ х л X
Р15 = 3-т— 2 —
15 і 2 і 3 '
2 3
X X
р1б = -7+
22 ^ X _ X , . X _ X
Р21 =-Р25 =-6 ~2 + 61Г’ Р22 = 1 - 4 І + 31Г =
Т X - X2 X
Р26 =-2 у + 31Г> Р33 = Р 44 = 1 - у ,
Р37 Р 48
І
Здесь / - длина балочного элемента.
Запишем матричное выражение (5) в виде следующих соотношений:
м = С 2 3 |1 - 3 4т + 2 X-( І І3 ) "Ч с X X3 Л С дм Л (:Г- 7+7)("7) +
С 2 3 Л N X ^ X + [3 Т- 2 Т |«, +( X X3 V дм Л І І2 ) ( dx )2
дм dx =и±+6 X. ( І І3 ■) + - 4 X+3 * )С ^) + ( І І ) ( dx ^
+(6 X - 6 X2) м2 +( „X „X2 1С дм Л - У + 7 )("7 )/
у = С1 - X Ь+X У 2> С л X Л X и = | 1 I и. + — и2. ( І)1 І
(8)
С учетом соотношения углов (2) перепишем физические соотношения (3) в виде
N = В— + С
(
М = С— + ог
dx
dx dx2
/
2 ''Х
д у д м
dx ду?
(9)
С помощью (8) вычислим фигурирующие в (9) производные:
ди и2 - и1 dx І д2 м С 6 12x
^7 7 7 + 1Г
6 6 X
ду у2 -у1 dx І 4 6 X V дм'
+ I “7 Г I +1------------------------------------+ о
, І І3 І 2 І І І2
2 6x V дм> dx
(10)
Подставим физические соотношения в перемещениях (9) в выражение полной потенциальной энергии (1), а затем заменим все фигурирующие в нем кинематические переменные (и соответствующие производные) их выражениями через узловые неизвестные (8), (10). Выполним интегрирование по длине конечного элемента балки. Полученную функцию полной потенциальной энергии продифференцируем по каждой из компонент вектора 6^ В результате получим систему уравнений равновесия произвольного балоч-
ного элемента, которая в матричном представлении имеет следующий вид:
(11)
где - матрица жесткости балочного элемента; Fe - вектор эквивалентных узловых сил.
Матрица жесткости симметрична относительно главной диагонали:
где к11 = 12
£22 = 4 О;
о
£12 0 0 £15 £16 0 0
£ 22 £23 £24 £25 £26 £ 27 £ 28
£33 £34 0 £36 £37 £38
£44 0 £46 £47 £48
£55 66 0 £67 0 £68
С и м м £ 77 £ 78 £ 88
) ? £12 =6 г ; £15 = - -2 7 ; £1
£23 = - о І; £24 " = -■ С І; £25
(12)
о 'і2 ; о ’і2 ;
£36 =
о о ; С о КІ С
2— І ; £27 = ~ ? £28 =7; £33 = 7+ Т; £34 = 7
о о КІ с £ В С
7; £37 =- 7+ Т; N 8 3 £ - 7; £44 = = 7; ь N 6 4 £4
С В о о
- 7 • £ = - 48 7; £55 =12 7; £56 = -6 ут
о о С о КІ
4— І • £67 = - 7; £68 = - У; £77 = 7+Т
Ь _ с. Ь _ В
Ь18 1 ? Ь88 1 *
Вектор эквивалентных узловых сил имеет следующий вид:
Fe = {^ 0 0 0 0[> . (13)
[ 2 12 2 12 '
Рассмотрим балку длиной Ь, разбитую на п конечных элементов (рис. 3). Выделим г-й конечный элемент.
Рис. 3. Конечно-элементная модель балки
Полученная для него по описанной выше процедуре система уравнений равновесия имеет вид
Ke(г) 5є(0 = Fe (г), (14)
где 6є(/) - вектор узловых неизвестных /-го элемента, соединяющего /-й и / + 1-й узлы, Ke(г) и Fe (/) - матрица
16
3
26
жесткости и вектор эквивалентной узловой нагрузки /-го конечного элемента, определяемые как (12) и (13) соответственно.
Сформируем глобальный вектор узловых неизвестных. Для этого введем в рассмотрение вектор узловых неизвестных /-го узла одномерной КЭ сетки:
V,
(15)
£Е=£(и, + П,). ,=1
(17)
= /'
V, и,
(18)
Дифференцируя (18) по каждой компоненте глобального вектора неизвестных (16), получим следующую СЛАУ, являющуюся системой уравнений равновесия всей балки:
Ку А = Гу
(19)
К =
К,
К,,,
К,,
К,
(20)
где К!, Кп, Кш, Кту - подматрицы размером 4 х 4 имеют следующее представление:
К, =
12В 6В 0 0
~Г 1г
6В 4В В с
Т ~г - 7 - 7
0 В 2К і2 + 6В с
- 7 61 7
0 с с В
Ктт -
Кттт -
Тогда глобальный вектор узловых неизвестных можно представить в виде
Д - {бх Й2 ... 6г ... бя+1}Г. (16)
Чтобы получить глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор узловых нагрузок, необходимо записать выражение полной потенциальной энергии для всего ансамбля конечных элементов:
К,у -
6В - ~
0 — і
0 £ 12В
~~Г
6В 0
0 —
12В ~
6 В
-1Г
0
6В п 0
Т
2В В
~Г і
В В 6 1 3
7 6і
с с
7
6В
0
- 7"
2В В
~Т 7
В В 6 1 ЇЇ
7 6і
с с
7 7
- 6В п
і2 0
4В В
~Т 7
-В 2К і2 + 6 В
і 61
с с
і і
£
7
£
-7
в
-7
0
с
7
с
7
с
7
с
і
Выражения потенциальной энергии деформации и потенциала внешних сил отдельных элементов получаются по описанной выше процедуре. В результате преобразований получим выражение полной потенциальной энергии балки как функцию от всех узловых неизвестных:
ём>'' ёх _
/ = 1, 2, к п +1.
Тогда глобальную матрицу жесткости однородной балки постоянной жесткости, состоящую из конечных элементов равной длины, можно сформировать следующим образом:
К,=
Кі Кп 0 0 0 0
Кш К: + Кг, Кп 0 0 0
0 Кш Кі + Кг, Кп 0 0
0 0 Кш К: + Кг, Кп 0
0 0 0 Кш Кі + Кг, Кп
0 0 0 0 кш Кг,
(21)
где Ку - глобальная матрица жесткости балки; Гу - глобальный вектор эквивалентных узловых сил.
Глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор нагрузки можно сформировать по более простой процедуре [2]. Для этого матрицу жесткости элемента представим в блочном виде:
Здесь под 0 следует понимать нулевые матрицы размером 4 х 4.
Для удобства интерпретации представлена глобальная матрица жесткости для балки, состоящей из 5 конечных элементов. Глобальный вектор нагрузки в этом случае будет иметь следующий вид:
12 £_ 0 0 ^ 000 д[ 0 0 0д1
Ъ = ^ 22 г (22)
000 д1 000 -1- 0 0! .
2 12 ]
Следует иметь в виду, что в разрешающей СЛАУ (19) необходимо учесть граничные условия.
Одной из самых распространенных конструкций, в расчетах которых необходимо учитывать трансвер-сальный сдвиг, является трехслойная оболочка с податливым заполнителем. Рассмотрим модель трехслойной балки (рис. 4). Будем полагать, что жесткость несущих слоев существенно выше жесткости промежуточного слоя. В этом случае можно допустить, что параметры жесткости балки В, С и Б обеспечены несущими слоями.
При совпадении начальной плоскости со срединной плоскостью балки и при симметричной структуре слоистого пакета смешанные жесткости (С) равны нулю. Остальные параметры жесткости вычисляются по формулам
В -
2ЕН Ы
1 -Ц
К - н
в -
Ен Ь(Н3 - Н3)
А
12(1 -Ц) н л
н—
а
(23)
где Н - полная толщина пакета; Н - толщина слоя заполнителя; ( - толщина каждого из несущих слоев; Ь - ширина сечения; Ен - приведенный модуль упругости материала несущих слоев; Он и 03 - модули сдвига материалов несущих слоев и заполнителя соответственно.
Рис. 4. Трехслойная конструкция
Как известно, в последнее время получила распространение конечно-элементная модель податливых при трансверсальном сдвиге балок, в которой в качестве основных узловых переменных фигурируют продольные перемещения и прогибы точек продольной оси и полный угол поворота сечения (0). Эта модель с тремя кинематическими параметрами в узле обладает определенным недостатком, который называется эффектом сдвигового запирания (ЭСЗ).
Для того чтобы выяснить, не проявится ли эта же проблема в решениях с использованием нашей КЭ-модели, проведем следующий численный эксперимент. Выполним две серии расчетов для балок различной толщины. В первой серии будет задействована рассматриваемая в данной работе модель с 4 узловыми кинематическими параметрами. Во второй серии нужно использовать конечно-элементную модель, основывающуюся на классической теории оболочек Кирхгофа. В этой классической модели в каждом узле присутствует 3 кинематических переменных: продольное перемещение, прогиб и изгибной угол поворота нормали (dw/dx). Таким образом, вектор узловых неизвестных балочного элемента в данном случае имеет следующий вид:
,, (^1 „1 W2 (£) „2 Г (24)
^ ах у ^ ах у 2 ]
Процедура вывода разрешающих уравнений равновесия для одного конечного элемента точно такая же, что описана выше для модели, учитывающей трансверсальный сдвиг. Только во всех выражениях необходимо положить у = 0, и, следовательно,
е=- ^.
<3х
Вариационное уравнение при этом будет иметь
вид
N
(Зи
<3х
М
а w
с1х
(Зх -1 qwdx . (25)
Размерность матрицы жесткости элемента сократится до 6:
К =
к12 0 к14 к15 0
2 2 к23 24 к25 2
кзз 0 к35 к36
к44 к45 0
к55 к56
и м м 6 6 к6
(26)
в в
где кц _ 12— к12 _6 72 к14 _
в С в
к22 _4 7 к23 _ - 7; к24 _ -6 72;
к _ В . к _ С _ к _ В _ в ; к _ 6 в
к33 I => к35 I => к36 I => к44 12 13 5 к45 6 72
в
к55 _ 4у > к56
С, к _ В
1 9 66 I
Вектор эквивалентных узловых при этом содержит 6 компонент:
=^ о ф7 -4- о
2 12 2 12
(27)
Рассмотрим трехслойную шарнирно-опертую балку со стальными несущими слоями толщиной в 1 мм каждый и весьма податливым заполнителем (Ез = 50 МПа). Длина балки - 1 м, ширина сечения - 10 мм. С помощью специально разработанной программы [3] выполним серию статических расчетов этой балки при нагрузке равномерно распределенным балочным усилием (ф, Н/м). В качестве основного результата будем оценивать прогиб в центре пролета. Будем сравнивать центральные прогибы, полученные для трехслойной балки с различной толщиной слоя заполнителя. Параллельно выполняются расчеты по двух КЭ-моделям: сдвиговой и без учета сдвига (Кирхго-фа-Лява). Результаты сведем в таблицу. В первом столбце таблицы указана толщина среднего слоя, которая последовательно уменьшается от 50 мм и практически до нуля. Во втором столбце - величина погонной нагрузки, которую тоже приходится уменьшать, чтобы НДС конструкции всякий раз сохраняло адекватность линейной теории. Результаты расчетов по основной сдвиговой модели - в пятом столбце (жирно выделены). Прогибы, вычисленные по модели Кирхгофа-Лява - в третьем столбце, а в четвертом столбце - относительная разница прогибов, определенных по этим двум моделям. Эти данные наглядно демонстрируют, что по мере уменьшения толщины слоя заполнителя результаты решения с использованием сдвиговой модели приближаются к результатам, полученным на основе классического решения, что свидетельствует об отсутствии ЭСЗ в разработанной КЭ-модели. Эти же результаты лишний раз подчеркивают необходимость применения сдвиговой модели для расчета конструкций, весьма податливых при трансверсальном сдвиге.
15
2
I
Центральные прогибы трехслойной шарнирно-опертой балки
h, мм Нагрузка, q, НІм Прогиб в модели Кирхгофа-Лява, w1, мм д (w1, w2), % Прогиб в основной сдвиговой модели, w2, мм д (w2, w3), % Прогиб во второй сдвиговой модели, w3, мм
50 1000 4,767 71,60 16,786 5,84 17,767
40 500 3,688 66,65 11,057 6,84 11,813
30 500 6,450 59,61 15,971 8,21 17,283
20 200 5,620 48,87 10,992 10,26 12,120
10 100 10,220 30,64 14,735 13,47 16,720
5 10 3,413 16,27 4,076 15,63 4,713
3 5 3,796 9,32 4,186 16,58 4,880
1 1 2,862 2,45 2,934 19,70 3,512
0,5 0,5 2,400 1,07 2,426 25,72 3,050
0,1 0,2 1,607 0,19 1,610 80,56 2,907
0,05 0,2 1,727 0,12 1,729 145,05 4,237
0,01 0,2 1,8322 0,03 1,8328 709,61 14,832
Иногда в тех случаях, когда жесткость несущих слоев существенно выше жесткости слоя заполнителя, используется сдвиговая модель, в которой при определении коэффициента трансверсальной сдвиговой жесткости не учитывается вклад несущих слоев, и для вычисления этого параметра используется формула
К = в3 И . (28)
Результаты расчетов, выполненных по этой сдвиговой модели, помещены в последнем столбце таблицы. В предпоследнем столбце даны отклонения этих результатов от прогибов, полученных с применением основной сдвиговой модели. Эти данные свидетельствуют о том, что обе сдвиговые модели дают примерно одинаковые решения для трехслоек с относительно толстым слоем заполнителя. По мере уменьшения толщины среднего слоя результаты двух решений начинают расходиться, достигая существенных величин (-20 %) в том случае, когда толщина этого слоя (заполнителя) становится сопоставимой с толщиной несущих слоев. Если толщина промежуточного слоя заметно меньше толщины несущих слоев, то, как видно из приведенных данных, нельзя пользоваться формулой (28) для определения сдвиговой трансверсальной жесткости трехслойных конструкций.
Итак, разработана конечно-элементная модель балки, податливой при трансверсальном сдвиге. Разрешающие уравнения теории МКЭ получены вариационным способом. Вектор узловых неизвестных содержит 4 независимых кинематических параметра,
включая осредненный по высоте сечения угол транс-версального сдвига. В результате численного эксперимента на примерах расчетов трехслойной балки показано, что в КЭ-модели с полным набором узловых кинематических параметров отсутствует эффект сдвигового запирания. Выполнено сравнение результатов расчета трехслойных балок по двум сдвиговым моделям. Определены границы применимости упрощенной формулы для коэффициента трансверсальной сдвиговой жесткости.
Библиографические ссылки
1. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. : Машиностроение, 1988.
2. Комплекс программ для получения основных матриц и векторов теории МКЭ для конечных элементов балки, пластины и оболочки, податливых при трансверсальном сдвиге : программа для ЭВМ : свидетельство о гос. регистрации № 2010611594 от 26.02.2010 / Нестеров В. А. № 2009617627 ; заявл. 31.12.2009.
3. Исследование НДС, устойчивости и собственных колебаний трехслойной балки с податливым заполнителем с помощью МКЭ при учете трансвер-сального сдвига в качестве узлового неизвестного: программа для ЭВМ : свидетельство о гос. регистрации № 2010611781 от 09.03.2010 / Нестеров В. А. № 2010610178 ; заявл. 18.01.2010.
V. A. Nesterov
FINITE ELEMENT ANALYSIS OF SANDWICH BEAM
The author considers a new finite element of a beam with low value of transverse shear stiffness. As the basic kinematic variables transverse shear strains are appointed. Results of numerical analysis showing urgency of the model are presented.
Keywords: beam, finite element method, transverse shear strains.
© Нестеров В. А., 2011
