CC BY
56
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том III
197 2
№ 4
УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.422
УЧЕТ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА ПРИ РАСЧЕТЕ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ МЕТОДОМ МНОГОЧЛЕНОВ
В. Г. Буньков
При расчете колебаний и флаттера крыльев малого удлинения, имеющих достаточно .плавную" конструкцию: без разрезов, без глубоких провалов в эпюрах жесткости, без больших вырезов в обшивке, широко применяется метод многочленов. Этот метод является обобщением метода Ритца с разложением деформаций в степенной ряд. Для деформаций принимается пластинная аналогия.
Учет деформаций сдвига (также энергетическим методом) позволяет оценить погрешности, вносимые гипотезой прямых нормалей. Показано, что для крыльев с .плавной" конструкцией учет сдвига снижает частоты колебаний на 4—6%, а для „разрезанных" крыльев частоты падают на 15—25%.
1. Гипотеза прямых нормалей сводит крыло к пластине, работающей совместно' с балками. Записывая деформации срединной поверхности такой пластины в виде многочлена [1] —[3]
г,.*)= 2 0)
. *=1
где х, г — безразмерные координаты, отнесенные к характерной длине Ь, приводим задачу о колебаниях и флаттере крыла к задаче
о колебаниях системы с N степенями свободы. Обобщенные координаты движения (£) при соответствующем выборе показателей рк, <7* могут описывать как упругие деформации крыла и всего летательного аппарата (если фюзеляж схематизирован балкой), так и движения летательного аппарата как твердого тела (вертикальное смещение, тангаж).
В практических исследованиях достаточным числом степеней свободы оказалось Ы = 20. Такое число ТУ достаточно велико для правильного описания первых 8—10 тонов колебаний и достаточно мало, чтобы избежать неустойчивости численного процесса в методе Ритца. Неустойчивость при вычислениях с девятью знаками
наблюдается, начиная с N=30-4-40. В первую очередь эта неустойчивость появляется при вычислении собственных значений матриц высокого порядка.
Показатели рк, цк выбираются из граничных условий. Например, для консольного защемленного крыла берется набор показателей, приведенный в табл. 1.
Таблица 1 Таблица 2
к Рк Як к Рк Як
1 0 2 1 0 0
2 0 3 2 1 0
3 0 4 3 2 0
4 0 5 4 3 0
5 0 6 5 4 0
6 0 7 6 5 0
7 1 2 7 6 0
8 1 3 8 7 0
9 1 4 9 0 2
10 1 5 10 1 2
11 1 6 И 2 2
12 2 2 12 3 2
13 2 3 13 0 3
14 2 4 14 1 3
15 2 5 15 2 3
16 3 2 16 0 4
17 3 3 17 1 4
18 3 4 18 2 4
19 4 2 19 0 5
20 4 3 20 1 5
^ Для случая шарнирного опирания около бортовой нервюры ИЗ всех <7Л следует вычесть единицу*, для свободного крыла — еще одну единицу.
Для расчета самолета (ракеты) с длинным фюзеляжем и коротким крылом рекомендуется таблица рк, <7* (симметричные деформации) (табл. 2).
Матрица жесткости 0={^й}, связывающая обобщенные силы системы с вектором обобщенных координат У7= ..., ге>лг)', оп-
ределяется суммированием матриц жесткости всех балок, пластин (панелей) и пружин, входящих в расчетную схему конструкции.
Обозначив координатную функцию, соответствующую г-й обобщенной координате ад*, через /\ (/г = хр1 г91), получим следующие выражения для коэффициентов gik:
* Если в упругой шарнирной заделке отсутствуют некоторые пружины, то следует изъять из разложения члены с £2, что соответствует нулевому моменту. При этом точность расчета повысится. Однако случаи, когда, кроме геометрических условий, допустимо удовлетворение и силовых условий, в расчетной практике не встречались.
для балок, работающих на изгиб (фиг. 1),
р- _____ I £i d2/< d2fk
gtk —JM dv2 dv2 av>
где Е1—изгибная жесткость балки, V — координата вдоль балки, / — длина балки. (Аналогичное выражение получается для балок, работающих на кручение). Интеграл (2) при подстановке в него функций вида
dv2
--PkiPk- 1 )s2xp* 2 z9k -f- qk (q +2pk qkscxPk~1 z9*
k
.“I
1) <?2 xpk zqk-2 -f
(3)
вычисляется точно. Здесь S = Sin9, C = COS0, 0 —■ угол между балкой и осью z;
для ортотропных панелей (в частности, обшивки с гофром или частыми ребрами)
gik = 2^ И ki dJ X Ht Я хГ]+Р( zSj+Qt dx dz, (4)
j=i
t=\
где 8 — толщина обшивки, Ь — характерный размер, к которому отнесены безразмерные координаты; г}, — показатели и свя-
занные с ними множители, появившиеся при вычислении частных
производных
d4i d*ft
~дх*г’ ’ дхдг’ Р(> Ч(' Н(~показатели степени
и сомножители в выражении функции Н (л:, г) — № (х, г), Н {х, г) — строительная высота, меняющаяся линейно на участке интегрирования 5; й] — коэффициенты, характеризующие жесткость орто-тропной трехслойной пластины и зависящие от главных модулей Еи Ег, в и угла направления оси ортотро-пии 6.
Интеграл (4) вычисляется точно, если область интегрирования 5 выбрана трапециевидной (см. фиг. 1).
2. При представлении деформаций многочленом вида (1) для правильного отражения особенностей конструкции в некоторых случаях необходимо использование специальных приемов. Так, отклонение органов управления приводит к излому несущей поверхности, в то время как многочленом можно описать только плавную поверхность. Поэтому для элеронов или рулей вводятся дополнительные степени свободы: отклонение элерона как твердого тела.
\ \ Z
4i£
сел
Фиг. 1
8—Ученые записки ЦАГИ № 4
113
Элерон вращается вокруг оси, проходящей через шарниры А, В (см. фиг. 1). Шарниры находятся на концах жестких кронштейнов СА и ИВ, касающихся упругой поверхности крыла в точках С, И. Углом отклонения элерона назовем угол между плоскостью элерона и прямой /^(З, перпендикулярной оси АВ и отстоящей от шарнира А на расстоянии й (по оси). Прямая касается крыла в точке О, проектирующейся на прямую СО.
Другим примером конструкции, мало подходящей для описания ее деформации многочленом, является крыло с большими вырезами или щелями. В этом случае все крыло (или летательный аппарат) разбивается на несколько участков, деформация каждого из которых описывается своим многочленом.
На примере двух участков покажем, как стыкуются такие системы. Пусть деформация первого участка описывается степенями свободы, а второго — Ы2\ получены матрицы жесткости для обеих систем: и 02.
Если приравнять деформации в общих точках обоих участков*, т. е. наложить R связей, то получится новая система, имеющая Д^=Л/1-|-ЛГ2 — степеней свободы.
Обозначим прямоугольные матрицы порядка связы-
вающие вектор реальных перемещений в тточках /'-го участка крыла с вектором обобщенных координат этого участка, через X (/):
х (/) = II х, ОУ* 2г ОТ*(/)|| (I = 1, 2,..., т-, 6 = 1,2,..., Ы,). (5)
Индекс у означает, что на каждом участке может быть взята своя система координат х (/), г (/) и свой набор показателей Рк (/)> Чк (Л
Нумерация точек должна быть выбрана так, чтобы первые /? точек в обеих системах были точками, в которых приравниваются деформации (/==1, 2,..., £?):
2 (1) *г (ф т г, (1)?* ш =2», (2) х, (2Л(2) (2)**(2). (6)
к-1 к=1
С помощью уравнения (6) исключим первые Я обобщенных координат чюх (2), 1юг (2),..., 1И)ц(2), после чего вектором, описывающим деформацию объединенной системы, будем считать следующий вектор:
(2),..., та>л/г (2); яюх (1), (1),... , ют (1))- (7)
Матрица жесткости й для объединенной системы может быть получена из следующих выражений:
_ ~ ~ ~ (вг 0 \ ~ (М\ \
О-М'аМ-, 0=(0 0]); ж = (£);
М = (Хц, /?(2))~1 (—Хцу (2); ЛО?, лгд(1)), ]
где Хц, д (2) — левый верхний квадрат /? X Я матрицы ^(2);
Хц, (2) — правый верхний блок ЯХ(М2 — К) матрицы Х(2);
Хц, л?, (1) — верхние Я строк матрицы ^”(1);
В — единичная матрица порядка N = + Л^2 — И-
* Стыковка по углам поворота осуществляется стыковкой по смещениям в двух близко расположенных точках, при этом участки конструкции частично
накладываются друг на друга.
Аналогично при стыковке объединяются инерционные и аэродинамические матрицы.
Матрицы перехода Х{\) и X(2) объединяются следующим образом:
--------- / X (2) 0 \
Х-ХМ-, * = ((/ '*(„). (9)
Как видно из формул (8), важно правильно выбрать нумерацию обобщенных координат второй системы, иначе не обратится матрица Х^ д(2).
Если теперь к объединенной системе необходимо пристыковать еще и третью систему, то следует повторить для этой новой пары все те же действия, предварительно переставив в матрице X на первые места строки, необходимые для новой стыковки.
3. Откажемся от гипотезы прямых нормалей и дадим ниже методику определения жесткости крыла методом многочленов с учетом деформаций сдвига силового набора.
Вертикальные перемещения т(х, г) срединной поверхности крыла по-прежнему будем описывать вектором обобщенных координат 1¥ — гт2,..., и/л?)', см. уравнение (1). Будем полагать,
4>(х,2)- сМаг
ч_
Фиг. 2
что крыло деформировалось таким образом, что все прямые, которые в недеформированном состоянии совпадали с нормалями к срединной поверхности, отклонились от нормалей, не меняя своей длины, на углы <?(х, г) и ^(х, г), соответственно в сторону осей х и г (фиг. 2). Функции <р и ф также зададим в виде многочленов:
1
?(Х, 2)= у г)
1
/=1
т
^(х> г) = у ХМ1—^ ;=1
8у== 1 при /-<1 (£-8у- = 0 при у > I;
/ ч Р,- Чі
gj{x, г) = х 1 г1 ;
'772);
(10)
Р], Ц] — показатели, выбираемые из граничных условий.
Теперь деформации крыла будут описываться вектором обобщенных координат длиной Л^+Т:
Для того чтобы определить упругую энергию крыла как квадратическую форму обобщенных координат, выразим перемещения и(х, г), ъ(х, г) точек конструкции, а также относительные деформации гх, еги] через но, ср, ф:
ди
&х дх'
д2 w
dw
dv
dz
дх'
v /
-=у (з*
дх'2
д2 w dz
/2
ди
dz'
dv
дх'
d<? , дЦ dz' ^ дх'
д2 w дх' dz'
(12)
где у—расстояние от срединной поверхности (— Л/2 <.Л/2),
х' — Ьх, г' = Ьг — размерные координаты.
Определяя упругую энергию всей обшивки крыла как объемный интеграл от удельной энергии (е1 ах--(-е2 а2+'ух)/2, где е1; е2, о1(
о2, -с —главные деформации и напряжения ортотропного материала, связанные следующими соотношениями:
в, = (01 — 71о,)/^1; е2 = (о, - »2 Т = (13>
мы получим для ортотропных панелей следующее выражение:
1
1 — Vj V,
(Еj £i + Е2 е2 + 2Ех v2 8l е2) -f Gf
dx dy dz-
_ 1 PP8^2 /d2®> <M2 , Г,
— 2 J J 2b2 \Ul { d¥ ft ) + 2 \ dff dtI
+ 2 D0
где
D\ =
d2 da\fd2w
~W~
E,
dl J I d-ц
dt[ dUd-q дц
^\\dxdz,
E,
D2 = .
1 — V1 V2
D0 = »,D1; (v, A = v2 Я,); (14)
a, p — сдвиг вдоль главных осей £, yj:
a = f sin 6 + Ф cos 0; p = <p cos0 — sin 0,
0 — угол между осью z и осью S (для модуля £,).
После подстановки в (14) выражений для w, 9 и ф из (1) и (10)
получаем для коэффициентов gik матрицы жесткости формулу, уже встречавшуюся ранее, см. (4).
Упругая энергия каждой балки состоит из двух частей; энергии изгиба
энергии сдвига стенок
п = т(/7с (?5 + «Ю2^ (16)
б
</%. — площадь сечения стенки).
Если представить общую матрицу жесткости О состоящей из четырех блоков
^'У'ВУ=Г,)'( а -ЛП. ПТ)
то коэффициенты блоков б, Н для изгиба балок будут равны соответственно:
ё>к=~¥\Е1р1 Ркйч}' 2и=~5*
где
я*+ 2/Г«+/?*са;
6,= [М + (1 - 8,)с1 + цгхр'гчг~х с) .
Энергия от сдвига стенок войдет только в блок Н:
(18)
ёт*= Ъ* I Ге а' = 15^ + (! - 8Л с\хРг 2?г- (19)
о
Если крыло или часть его представляет собой трехслойную пластину с заполнителем, работающим только на сдвиг с модулем сдвига 6, то энергия заполнителя запишется следующим образом:
П =11/г(^2 + Л2) (20)
это даст добавки также только в блок Н.
4. При решении задачи о колебаниях и флаттере крыла можно пренебречь инерционными силами, возникающими за счет вращения нормалей, и вообще силами в плоскости крыла (исключение составляют случаи, когда крыло перемещается в своей плоскости как твердое тело — вместе с фюзеляжем или из-за податливости заделки). Тогда вектор обобщенных сил /?, соответствующий вектору обобщенных перемещений и, будет равен нулю:
*•■)
Это позволяет определить и через УР и выразить вектор сил <3 следующим образом:
<3 = С№-Р'и = 0])Г—Р' Я-1 РШ = {в — Р' Н~1Р) УР. (22)
Таким образом, связь между силами и перемещениями можно записать в прежнем виде с той лишь разницей, что из прежней матрицы жесткости в следует вычесть матрицу Р’Н~г Р — в этом и будет заключаться учет деформаций сдвига.
Расчеты показали, что для крыла обычной конструкции сдвиг снижает частоты колебаний первых четырех тонов соответственно на 3,5; 2,4; 6,9 и 4,5%.
ЯРЬ/Л0 СО ЩЄЛЬ/0
104 ( + 10%) -13% 263 (+2%) -8%
——»-
428 ( + 30%) —25%
----►
N. = 17
<о1 =г 90 (—5%)
шкр — 242 (—6^) <*>а —* 321 (—3%)
Условия для концевой части выбираются как для свободного крыла
То же нрь/ло ' щели •^сплошное)
104 ( + 10%) -3% ш, — 101 (+6%)
265 (+3%) -6% 5- шкр — 248 (—3 %)
425 (4-30%) -9% > ш, = 386 (+18%)
Ы1 = 21
Сплошное ндыло " жес/77моа заделкой
121 ( + 27%) 341 ( + 33%) 477 (4-46%) N. = 21
о>1 = 95 гц “кр = 257 гЧ ш2 = 328 ги, Эксперимент
Фиг. 3. Сравнение частот колебаний, рассчитанных методом многочленов по гипотезе прямых нормалей и с учетом сдвига, и2 — частоты изгибных колебаний 1-го и 2-го тона, <йкр—частота крутильных колебаний. В скобках—отличие от эксперимента (в процентах). Над стрелками поправка от учета сдвига (в процентах); — число степеней свободы.
Большое уменьшение жесткости за счет сдвига имеет ме сто для крыла, разрезанного на короткие части (фиг. 3). У кры ла, имеющего конструктивную щель посредине, обшивка части чно выключается в окрестности щели, и это особенно сильно вли яет на изгибные формы колебаний. В этом случае сдвиг в комбина дии со щелью снижает частоты изгибных колебаний 1-го и 2-го тона на 13 и 25% (соответствующее снижение без щели 3 и 9%). Интересно, что на крутильную форму колебаний щель влияет меньше: снижение частоты крутильной формы колебаний за счет сдвига со щелью и без щели равно соответственно 8 и 6%, т. е. почти одинаково. Расчетные значения сравниваются с экспериментальными.
Для иллюстрации характера деформации крыла со щелью приводим формы колебаний двух тонов (фиг. 4 и 5).
Фиг. 4. Форма крутильных колебаний Фиг. 5. Форма тона, следующего за
крыла; заметен разрыв амплитуд на пе- вторым тоном изгибных колебаний,
редней кромке около щели. Стыковка Эпюры колебаний слева и справа от
в узлах Д и £ осуществляется парой то- стыка резко различаются. А и Б—стычек в каждом узле — всего четыре точ- ковочные узлы
ки. Эпюры слева и справа от щели построены для разных точек
Условия эксперимента соответствуют крылу со щелью и с упругой заделкой. Вариант расчета сплошного крыла с жесткой заделкой сделан для оценки погрешности, получаемой из-за пренебрежения податливостью заделки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Канторович Л. В., Крылов В. П. Приближенные методы высшего анализа. Изд. 4. М., Гостехиздат, 1952.
2. Марченко Г. А. Исследование колебаний консольных треугольных и трапециевидных пластин методом Ритца. Изв. высш. учебных заведений, Авиационная техника, Казань, 1965.
3. Б у н ь к о в В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166,
1969.
Рукопись поступила 22/ХП 1971 г.
