CC BY
42
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VIII
19 77
№ 4
УДК 534.121.1
КОМБИНИРОВАННЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
Описываются трапециевидные конечные элементы с дискретным интегрированием внутри элемента, улучшающим описание конструкции без введения новых степеней свободы. Это существенно расширяет возможности метода конечных элементов в динамических задачах. Рассмотрен элемент трехслойной пластинки с балочным подкреплением. Такая динамическая модель может быть использована для исследования колебаний и устойчивости самых разнообразных плоских конструкций, деформация которых определяется деформацией лх срединной поверхности.
При исследовании колебаний упругих конструкций решение уравнений движения, содержащие матрицы большого размера, представляет вычислительные трудности. Для преодоления этих трудностей можно использовать такие конечные элементы, которые понижают суммарный порядок матричных уравнений движения без ухудшения точности вычислений. Для этого необходимо улучшение характеристик элемента, как модели, в частности, увеличение точности интегрирования в элементе. В данной работе это направление развивается в применении к задаче о колебаниях конструкций типа пластинок.
1. Постановка задачи о колебаниях пластинок. Рассмотрим трапециевидный элемент пластинки, изображенный на фиг. 1, с узловыми точками 1, 2, 3, 4, координатами X, У, I к геометрическими параметрами Ь, с, х- Хі- Кинетическая энергия пластинки определяется поверхностной плотностью а = р/г (х, у),
А. С. Вольмир, М. В. ГІолюдов
2
Фиг. 1
~ X
где р — плотность материала, Л (х, у) — толщина пластинки. Рассматриваем консервативную систему. Считаем, что выполняются гипотезы Кирхгофа, и пластина не деформируема в своей плоскости, т. е. исследуем только поперечные смещения в направлении оси 02.
Формы прогиба элемента будем искать в виде степенных многочленов
11) (х, у, 0 = 2 ак*РкУ9к' к=1
(1)
где х = х1Ь; у = у/Ь — относительные координаты, Ь — характерный размер элемента, (^ — коэффициенты линейной формы, ^ — время, рк, — показатели степени координат, выбираемые из граничных условий свободной пластинки. Будем рассматривать элемент с набором показателей р*, для полной системы функций, обеспечивающих описание малых перемещений свободного тела (табл. 1). Тогда выражение (1) можно записать в матричном виде:
т (х, у, 0 = „ (*, у) 1 (0;
Таблица 1 Показатели функции перемещения элемента.
К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Рк 0 0 0 0 1 і 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
Чк 0 I 2 3 0 і 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
{х, у) = (1. У. У2, З'3. X, ху, . ■ . х3 у3) — строка базисных
ап г= {аь а2, . . . а]6} —столбец коэффициентов линейной формы.
В соответствии с выбранными базисными функциями в каждом узле определим четыре обобщенные координаты, образующие вектор смещений элемента
Ря, 1 (0 = {да1, иу ш\у, да2,... , т4ху}.
Между вектором рП)1 (0 и коэффициентами линейной формы устанавливается однозначная связь через матрицу преобразования а*п п:
Р«,1<*> = а*п,пап.1^У>
ап, 1 (0— ап,п Ря.1
где
~п, п
К п
1-1
В этом случае коэффициенты матриц жесткостей и масс конечного элемента -связаны с коэффициентами обобщенных матриц жесткостей и масс конгруэнтным преобразованием:
Кп,п п^п, п ®л, п<
тп.п = аХп.пт*п,пап. „•
В случае малых перемещений потенциальная энергия является однородной квадратичной функцией обобщенных координат, а коэффициенты обобщенной матрицы жесткостей определяются выражением
и
</ дщ да.] '
Коэффициенты обобщенной матрицы масс записываются в виде
К, п = 11 0 (•*> У) Ф», 1 +!,„ Лх Лу.
6'
Учитывая геометрические и динамические условия сопряжения для смежных элементов, и удовлетворив соответствующим граничным условиям, приходим к уравнению движения модели в виде
. (&
Км, N Рлг, 1 (*) + Д, Рд^ 5 (0 = 0, (2)
где N— ЧИСЛО степеней свободы модели, Кх дг! Мн Л, —матрицы жесткостей и масс модели, рЛ. 1 — вектор обобщенных координат модели.
Решение уравнения (2) определяет собственные формы и частоты колебаний конструкции, составленной из конечных элементов.
2. Конечный элемент неоднородной пластинки. Энергия деформации анизотропной пластины имеет вид
и = J гтЕвЛУ,
V
здесь е—вектор-столбец деформаций пластины, Е— матрица связи напряжений и деформаций. В дальнейшем будем рассматривать ортотропный конечный элемент. Для такой пластинки с главными осями ортотропии £ и г], в общем случае не совпадающими с осями X и У элемента, энергия деформации равна:
■^ = 4"// (°! + 2Г>1^ + 40*0^) йЫ-<] =
5
= ~Т // + 2 тлх^уу + йз и’уу + ^ ю2ху + 2йь и)хх ноху + 2й6 Юуу тху) йх<1у.
где
п — ■ п — . п _ 0ЛЗ ■ /ч\
1 — Гоп--------ч > 2 - Тъ-7-.-с > О*------— , (6)
12(1 — Ц1 [12) 12 (I - (X, (А2) 12
а й( — коэффициенты, характеризующие жесткость ортотропной пластины и зависящие от главных модулей Еи £2, О и угла направления ортотропии 6.
Будем рассматривать линейную неоднородность толщины элемента пластины по координатам х и у.
з
Ь{х, у) = 2 кх*1У*1 = + Рг^ + РзУ. (4)
г=1
здесь Р; — коэффициенты, определяемые через заданные узловые толщины /г2, Лз- Учитывая соотношение (4), получаем выражение
ю
ЬЦх, у) = ^ Р* **1У1 1=1
Обобщенная матрица жесткостей такого элемента имеет вид 10
^*/ = 2 Р* {~а1Р1Ру(Р1— ')(Ру — \)Р(Р1-\-Р] — Ь + Чи Ч1 + Чу + Ь) +
/=1
+ ^2 \Pi4yiPi~ 1)(?у- 1) + РуЧ1(Ру — 1)(9г— 1)\Р(Р1 + Ру — 2 + 9ь<7;+ ц} -2 Ф/) + ^8 41 Чу (<7г П (<7у 1) Р (Р1 Ру 9г> Чс~{~ Ч/ ~ 4 + фг) +
+ ^4Р1 РуЧ1 Чу Р~Ь Р] — 2 + <рг, 41 Л- Чу — 2 + фг) -)- [Р1 (р1 — \)Р]Я] +
-\-PjiPj- 1)Р1Я(]Р(Р1+Р/~ 3 + 9г> 41 ~ Чу — 1 + Ф/)+^в[9((<?<—l)9/^V^-+ Чу (Чу 1) 9; Л] ^ (Рг + — 1 + <рг> 9г + <7; — 3 + ^г)} >
а коэффициенты обобщенной матрицы масс находим по формуле
з .
т*] = X ^ р^л + ^ + 'Рь + ‘и + М;
г=1
где интеграл по трапеции Е(т, п) = ^^ хтут йхЛу вычисляется в замкнутом
5
виде.
3. Подкрепленная трехслойная пластинка с дискретным интегрированием внутри элемента. Пластинки такого типа являются весьма распространенными в конструкциях летательных аппаратов. Дискретное интегрирование в элементе введено на регулярных участках конструкции с целью уменьшения числа конечных элементов в модели без ухудшения в точности описания конструкции. Это существенно уменьшает общее число степеней свободы модели и расширяет возможности метода в практических приложениях.
Рассмотрим комбинированный конечный элемент трехслойной, существенно неоднородной пластины, подкрепленной балками, работающими на изгиб. Весь криволинейный профиль элемента разбиваем на подэлементы, в которых соблюдается постоянство толщины несущего слоя 5 и линейная неоднородность строительной высоты к(х, у) по координатам X и У. Геометрические параметры конечного элемента изображены на фиг. 2. Считаем, что для такого элемента
Фиг. 2
справедливы гипотезы Кирхгофа. Подэлементами конструкции будут являться также и подкрепляющие элементы — балки, работающие на изгиб. Примем, что ось балки С образует угол к с осью У.
Энергия деформации комбинированного элемента трехслойной пластинки и соответственно коэффициенты обобщенной матрицы жесткостей аналогичны приведенным в предыдущем параграфе с тем отличием, что вместо (3) будут иные цилиндрические жесткости:
г. £, Л2 5
/А = —----------- и т. д.
2(1 -и Ы „
Интегрирование при этом ведется по г-му подэлементу панели с площадью 6;. Потенциальная энергия изгиба балок имеет вид:
ЕІ (С) <4- л.
где й— длина балки, £/(С) — неоднородная изгибная жесткость балки.
Вклад в обобщенную матрицу жесткостей, соответствующий таким балкам определяется выражением:
К,
л,
где С — Ч/Л — безразмерная координата балки;
е = — безразмерная неоднородная жесткость балки;
/}=Р} ІР) — 1) віп2 ■{х'і 2 у9і + 2 р] БІ п 7 сое
•у — ч 314- \Л ■ у ■ Т ьу] Ч] ОІ11 I оиз ' у Я] (.ЯІ — О С0!>2 Iх 1У 1 ■
Интеграл по длине балки удобно брать численно, по квадратурной формуле Г аусса.
Матрица обобщенных жесткостей такого комбинированного элемента суммируется из матриц жесткостей отдельных подэлементов — панелей и балок:
п2
к* = V к*{п + У к*{і)
Л, я ^1уп,п> / 1 пп. п ’
/=1 1=1
где пх— число трапециевидных участков — панелей внутри конечного элемента, п2 — число изгибных балок. Вообще говоря, число панелей и балок в элементе произвольно и определяется описываемой конструкцией.
Таблица 2
Сводная таблица частот собственных колебаний
Матрица жесткостей ^16, 16 ^16, 16 ^16. 16 ^16, 16 ^16, 16 ^12, 12 Метод Ритца
Разбиение тХп 2X1 2X2 2X3 2X4 3X3 3X3 —
12 24 36 48 48 36
Тон
Приведенные частоты а>*
1 3,51 3,49 3,48 3,48 3,48 3,47 3,49
2 8,94 8,57 8,54 8,53 8,53 8,53 8,55
3 26,65 21,48 21,38 21,34 21,37 21,67 21,44
4 35,37 27,42 27,31 27,28 27,34 26,85 27,46
5 44,12 31,53 31,24 31,15 31,16 30,80 31,17
Относительные отклонения Є %
1 + 0,57 +0,00 -0,28 —0,28 —0,28 —0,57 —
2 + 4,56 +0,23 -0,12 -0,23 -0,23 —0,23 —
3 + 24,3 +0,19 —0,28 -0,47 —0,32 + 1,07 —
4 +28,8 -0,15 -0,55 -0,65 —0,44 —2,22 —
5 +41,5 + 1,15 +0,22 -0,06 —0,03 -1,19 —
колонки 1 2 3 4 5 6 7
Таблица 3
Пример 2. Сводная таблица частот собственных колебаний
Матрица жесткостей ^16, 16 Экспери- мент
Разбиение тХп 1X2 1X4 2X2 зхз 4X3 5X4
Тон 16 32 24 48 48 72
Приведенные частоты ш*
1 4,29 4,29 4,27 4,26 4,28 4,28 4,13
2 10,60 10,57 10,36 10,23 10,38 10,36 10,08
3 21,67 21,44 20,29 19,68 19,66 19,60 19,36
4 24,98 24,64 23,99 23,50 23,82 23,70 22,7
5 41,95 41,12 35,34 33,96 32,90 32,78 31,7
Относительные отклонения Е % '
1 3,9 3,9 3,4 3,1 3.6 3,6 —
2 5,2 4,9 2,7 1,5 2,9 2,8 —
3 11,9 10,7 4,8 1,7 1,6 1,2 —
4 10,0 8,6 5,7 3,5 4,9 4,4 —
5 32,3 29,7 11,5 7,1 3,8 3,4 —
№ колонки 1 2 3 4 5 6 7
I=1 г=1
Очевидно при помощи таких комбинированных элементов можно достаточно точно описать регулярную конструкцию, приводимую к вышеописанной схематизации, при небольшом числе степеней свободы модели. Для динамических задач это существенно.
4. Примеры расчетов. Анализ полученных результатов. Исследование точности моделей проводилось на примерах вычисления форм и частот колебаний пластинок, для которых известны решения, полученные другими методами или экспериментальные результаты. Для сравнения с другими данными использовались приведенные частоты:
здесь ш — реальная частота колебаний, А — линейный параметр. В качестве критерия точности примем относительное отклонение частот конечноэлементной
7 }}}}'/}} ?'Г
3*3
4*3
и 7 пу / ; ГТТ7
5*4
\-гп
Фиг. 3
модели от частот экспериментальных или полученных другими расчетными методами.
В качестве первого примера рассмотрим колебания консольной, защемленной по одной стороне квадратной пластинки. Результаты вычислений сведены в табл. 2. Рассмотрено пять вариантов по разбиению на элементы. При этом т. — число элементов по заделке, п — число элементов по размаху пластины. Вычисленные значения приведенных частот сравнивались с результатами, полученными по методу Ритца [5] и по методу конечных элементов с применением несогласованного элемента [6] (см. колонку № 6). Из таблицы видно, что модель имеет хорошую сходимость к решению по методу Ритца и несколько точнее модели с применением несогласованного элемента.
Следующим примером являлась консольная пластинка с разбиением на элементы, изображенным на фиг. 3. Результаты вычислений сведены в табл. 3. В колонках № 5, 6 приведено разбиение только на прямоугольные элементы, которые по стреловидной передней кромке дают фиктивные узлы. Для сравнения в колонке № 7 приведены данные эксперимента, приведенные в работе [7]. Как видно из вычисленных приведенных частот, для обеспечения достаточной точности (г<!5%) необходимо для пластин с такими геометрическими параметрами достаточно мелкое разбиение. Совпадение форм, полученных в расчете,
с экспериментальными является также удовлетворительным. Анализируя полу ценные результаты, можно сделать вывод, что модель обладает удовлетвори тельной точностью вычислений собственных форм и частот и может быть при менена для динамического исследования конструкций типа пластинок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., „Мир", 1975.
2. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., Гостехиз-дат, 1947.
3. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., Гостех-издат, 1956.
4. Буньков В. Г. Учет деформаций сдвига при расчете колебаний крыла малого удлинения методом многочленов. „Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 4, 1972.
5. Б и р г е р И. А., П а н о в к о Я. Г. и др. Прочность, устойчивость колебания, т. 3. М., „Машиностроение*, 1968.
6. Dame D. 1. A finite element approach to plate vibration problems. Journal of Mechanical Engineering Scince, vol. 7, № 1, 1965.
7. Gustafson P. N., Stokey W. F., Zorowski C. F. The effect of tip removal on the natural vibration of uniform cantilever trian-qular plates. Journal of the Aeronautical sciences, vol. 21, № 9, 1954.
Рукопись поступила 18jXI 1976 г.
