CC BY
8
Problem 1. Extend the M of examples in Propositions 5 and
6.
Problem 2. Give the full characterization of all graph examples in Problem 1.
Let Tn={G1,G2,... ,GN } be the set of all pairwise non isomorphic graphs on n vertices.
Using Tn and D2-transformations, we define a directed graph H1n(D2) by the following way.
a) V(H1n)=V(Gi) (i=1,2,...),
b) GiGjeE(Hln) if D2(Gi)eGj, where Gi,GjeTn.
Using Tn and L2 transformations we define a directed graph H1n(L2) by the following way.
a) V(H1n)=V(Gi) (i=1,2,...),
b) GiGjeE(Hln) if L2(Gi)eGj, where Gi,GjeTn.
Theorem 3. If H1n(D2) has ml connected components and H1n(L2) has m2 connected components, then m1<m2.
Proof. Clearly, each of H1n(D2) and H1n(L2) has a loop. These loops generate connected components in such graphs. By Lemma 1 and Lemma 2, every graph containing K3, generates K3 in H1n(L2) as well, which generates connected components. An analogous flatement is not true with respect to H1n(D2).
References
1. J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan, London and Elsevier, New York (1976).
введение канонических переменных «деиствие-угол»
в возмущенной задаче баррара.
Севрюков Павел Фёдорович
кандидат физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь
АННОТАЦИЯ
Вводятся канонические переменные «действие-угол» в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара.
ABSTRACT
Are introduced canonical variables «action-angle» to the problem of di^urbed motion of the satellite in the field specified by the gravitational Barrar potential.
Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, переменные «действие-угол», канонические оскулирующие переменные.
Keywords:satellite, gravitational potential, perturbed task of Barrar, the variables "action-angle" canonical variables and true.
Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид
U=fm/r [1+Z(n=i)"In/rn Pn (z/r)], (1)
где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, r - модуль радиус-вектора, In - постоянный параметр, Рп -полином Лежандра n - го порядка.
Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда 11=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, 12=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:
(2)
fm fmc
W = +
sin ср
г
г
где sin9= z/r. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию R=fm/r I(n=3)"In/rn Pn (sin9), (3) U=W+R. (4)
Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потен-
циала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [2] В сферических координатах г, ф, X решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид г=р 1/(1+е cosv ), (5) sinф=(s2-s1 ) sin2u+s1, 6)
V((p+2c;sini)/c(s1-s3 ) ) (Щ-в, ) ЩатиЖ,к)+1/(1-s1) П(ати,п'',к)) (7) где и=ат(т,к),(8) т=1/2 ^(в^ ) ) (у+ю), (9) s1=sini, (10)
s23=1/4е (-(1+2 еsini )±^(1-4 еsini+4е2 (1+3 sin2i ) )), (11) е=с/р, (12) р=а(1-е2 ). (13)
Щати^к) - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны
к^^-в^-вз ));П'=^-^)1^ ; ^"^уНв, . В формулах (5)-(13) а, е, ^ V, ю являются аналогами большой полуоси, эксцентриситете, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.
Канонические переменные «действие-угол» введены в работах [2, 3] и выражены через эллиптические квадратуры.
В соответствии с ранее принятыми обозначениями в сферических координатах г, ф, X функция Гамильтона невозмущённой задачи Баррара может быть записана в виде Н=1/2(рг2+(Рф2)/г2 +(Рх2)/(г2 С08ф ))^(г,ф).(14) Здесь канонические импульсы определены стандартным образом, а потенциал W определяется формулой (2). Уравнение Гамильтона-Якоби
5Б/д1+1/2 ((^/дт)2+1/г2(^/5ф)2+1/(г2^фХ^/а)2)-W(r,ф)=0 (15)
даёт полный интеграл, который легко находится разделением переменных:
S=-a г+/2 Г, ./^т^а, г2-а ) dr/r+
1 а(1-е) ^ 1 2 '
+/2 ^/((а^тс sinф ) cos2ф-a3 ) dф/cosф +/(2а3 ) Х(16) В формуле (16) канонические постоянные а1, а2, а3 выбраны следующим образом:
а^-Ету^а; a2=fm/2 р; а3=:£т/2 (р+2с sini ) cos2i (17) Зная полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, определим для данной задачи канонические переменные «действие» по формулам
£=/2/п Г, .,а(1+е%тг+а 1 гЛ2-а 2 ) ¿г/г,
1 I га(1/-е)
^2=/2/л ^/((а+тс sinф ) cos2ф-a3 ) dф/cosф , ^3=1/2п /02п/(2а3 ) ЫХ. (18) В результате интегрирования получим ^1=(Ет-2^(-а1 а2 »//(-2^ ),
^^/(л^тс^^ ) )) (2(a2+fmcs3 )K(k)+2fmc(s1-s3 ) Е(к)-а3 (1/1-s1 П(п';к)++Ш+81 П(п";к))), ^3=л/(2а3 ),(19)
где К(к), Е(к), П(п;к) - полные эллиптические интегралы I, II, III рода соответственно, модуль и параметры которых равны
к=/((^2)/(^ ));n'=(s1-S2)/(-s1 ; п"^)/^ , причём s1, s2, s3 являются корнями уравнения 2cs3+ps2-2cs+(2ccos2i-psini)sini=0 и выражаются формулами (10) и (11). Опуская выкладки, отметим, что переменные «угол», соответствующие соответствующим переменным типа «действие», выразятся следующими формулами: П=п(1-Т)=М,
П=п/К(к) /(е/2 (81-83 ) ) (п(1-Т)-ш), П3=ЩШ-81П(п';к)++Ш+81 П(п';к)) (п(1-Т)-ю)/2К(к) cosi //(1+2е 81п11) (20)
где Т - момент прохождения спутником перицентра, М -средняя аномалия спутника, п - среднее движение: п^^т/а3 ).
Дифференциальные уравнения, описывающие возмущённое движение спутника во введённых выше канонических переменных «действие-угол», будут иметь вид:
(аум1=сн/(дп ); (¿п^^шщ ); (i=(,2,з)(2()
где Н=Н0+R. (22) i
Невозмущённый гамильтониан Н0=-а1 (41;42;43), а пертурбационная функция R задаётся формулой (3), при этом предполагается, что R есть функция переменных " (i=(,2,3).
Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если вместо переменных n¡ ввести канонические переменные L, G, H, 1, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0. Попытка ввести такие переменные была предпринята в [4], однако при введении переменных была сделана ошибка: вверённые переменные не удовлетворяют условию каноничности! Введём переменные с помощью равенств L=^1+^2+^3, 1=п1, G=^3,g=-n1+n2, (23)
H=£3,h=n2+n3.
Поскольку, как легко проверить, I^Vm -(Ld1+Gdg+Hdh)=0, (24)
элементы L, G, H, 1, g, h являются каноническими и при с=0 обращаются в соответствующие элементы Делоне ке-плеровского движения.
Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, 1, g, h будут иметь вид dL/dt=(fflA*)/S1, dG/dt=(5HA*)/5g, dH/dt=(5HA*)/5h, d1/dt=-(5HA*)/5L, dg/dt=-(5HA*)/5G, dh/dt=-(fflA*)/ffl, (25)
причём H=-a1 (L,G,H)+R(L,G,H,1,g).(26) Ясно, что в формуле (26) H0=-a1 (L,G,H) - невозмущённый гамильтониан задачи Баррара, R - пертурбационная функция(З).
Введение предложенных автором переменных существенно упрощает решение задачи интегрируемости возмущённой задачи Баррара.
Список литературы:
1. Barrar R.B. Some remarks on the motion of a sate11ite of an ob1ate p1anet.// ASron. Journ. 1961. V. 66, №1.
2. Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.
3. Искакова А.М. Переменные «действие-угол» в задаче Баррара.// Аналитическая механика тел переменной массы. Алма-Ата, 1982. стр. 30-36.
4. Конкс В.Я. Канонические переменные «действие-угол» в задаче Баррара. //Космические исследования, 1985, т. 23, вып. 3, стр.477-479.
5. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.
6. Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: - Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.
