Введение функций эксцентриситета в возмущенной задаче Баррара Текст научной статьи по специальности «Физика»

В выражении (10) все члены с нечетными степенями

будут равны нулю , как интегралы вида R = R (/х, /22"+1 ) от антисимметричных на отрезке функций. В итоге мы получаем, что для функций /1, /2, отличающихся на отрезке только сдвигом, коэффициент корреляции представим рядом по четным степеням сдвига, а фазовый сдвиг в смысле принятого определения - рядом по нечетным степеням сдвига, т.е.-

да

I кУ"

R = 0 , R = Сопй т—0, (11)

да

т2"+1

ф= 0 , ф=т т—»0

При малых сдвигах т фазовый сдвиг между финитными функциями равен самой величине сдвига т, а коэффициент корреляции малые сдвиги т не «чувствует», и направление сдвига коэффициент корреляции не «замечает». Из (11) следует приближенное выражение при малых т -R ~ 1 - (Сопй) * ф2 (12)

В кинематическом сдвиге форм (функций), коэффициент корреляции дает степень «сходства», «похожести» форм , а физическая фаза есть степень их «непохожести». Поскольку коэффициент корреляции не зависит от направления сдвига (от знака (ф), поэтому зависимость R(ф) квадратична в (12).

Выводы. Понятие сдвиговой (физической) фазы позволяет оценивать объекты в экспериментальной физике с точки зрения их различий и сдвигов, а также изменения в больших системах с точки зрения их смещений и деформации

(формы, координаты, время) по экспериментальным данным. Это понятие содержательно использовано в физике при анализе больших систем, в том числе в климатической системе для нахождения крупномасштабных потоков тепла и прогноза температур [1-4] , для определения кпд реальной тепловой машины, для эффективности предприятий (производства), для определения понятия информации, для «узнавания» и обнаружения феноменов [5,6].

Прим. - феномен есть любое нечто, отличающееся от любого нечто.

Литература

1. Гулев С.К., Лаппо С.С., Рождественский А.Е. Крупномасштабное взаимодействия в системе океан-атмосфера и энергоактивные зоны мирового океана. Л. Гидрометеоиз-дат, 1990, с. 60-83, 298-306.

2. Рождественский А.Е., Лаппо С.С. Крупномасштабный теплоперенос между океаном и атмосферой в годовом цикле. ДАН СССР, сер. мат. физика,1989 т. 307, №1.

3. Малышев Г.А. Крупномасштабный теплоперенос в атмосфере над океанами. Автореферат диссертации, М. ГОИН, 1992, 23 с.

4. Рождественский А.Е., Лаппо С.С. Технология фазовых инвариантов в прогнозе температур» . Журнал «Наукоемкие технологии», №3, 2006, т.7.

5. Рождественский А.Е. Физика общественного производства. Воронеж, 2008, рец. акад. РАН Д.С. Львова, ISBN 978- 5- 89981 - 518, с. 30,34, 67-90, 101-1104, 114118,

6. Рождественский А.Е. Информация как результат формального взаимодействия. Материалы конф. «Физика фундаментальных взаимодействий» Секции ядерной физики отделения общей физики РАН. М. ИТЭФ.2007.

ВВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА В ВОЗМУЩЕННОЙ

ЗАДАЧЕ БАРРАРА

Севрюков Павел Фёдорович

кандидат физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь

АННОТАЦИЯ

Вводятся функции эксцентриситета в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара.

ABSTRACT

Functions are introduced with eccentricity in a well-known problem of the perturbed motion of a satellite in a field that is set by the gravitational Barrar potential.

Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, канонические оскулирующие переменные.

Keywords: satellite, gravitational potential, perturbed task of Barrar, canonical variables and true.

fm

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль оси динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

и =

1 +

X г11 Рп С)

гс=1

(1)

где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, г - модуль радиус-вектора, 1п - постоянный параметр, Рп -полином Лежандра п - го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 3]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда 11=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, 12=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

fm fmc W =--1--Г-sin w

Г Г2 (2)

где sin9= z/r. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию

U=W+R.(4)

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [3] В сферических координатах r, ф, X решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид 1

г = р-

(5)

= 1 _ _ -Ч (6)

где

и = ат (т, к) (g)

(7)

2' — — '.(9) s i = sini',(10)

' (12)

(11)

П( amu, n, k)

u = am(т. к) = t — к2 — з:

(4 + к2У- +

з:

(14)

с точностью до е2 даёт

sinф=sini•cos9,(15)

где

9=у+ю.(16)

Запишем пертурбационную функцию R в виде

R =

cos

е>

71=3

(17)

где для сокращения записи обозначено s=sini. В соответствии с (5)

Г - f (v) = Г 1

P 1-

1 + ecos v

(18)

f r Л

Тогда

P )

можно представить в виде ряда Фурье

<r\

ад

=M(V+mV ) cos kv

,(19)

или в комплексной форме: £ M^ exp(V-Lfev)

r

P) ~

.(20)

M

(k)

Коэффициенты у , являющиеся функциями эксцентриситета е, при этом определяются формулой

м<' '=П

1 2f cos kv

2п 0 (1 + ecosv)v

-dv

.(21)

Найдём формулы, позволяющие вычислять коэффициен-

M.(k>

ты V для всех v и k. Если e

ß =

,(22)

то

2ß 1 + ß2

,(23)

Л-i

1-ß

■ неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны соответственно

В формулах (5)-(13) а, е, ^ V, ю являются аналогами большой полуоси, эксцентриситета, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.

Выражение (6) с учётом (10) и (11), а также разложения в ряд

1.(24) С учётом записанных соотношений

-1 =(1+в2У(1+2р^+р2

р) (25)

или, поскольку

в комплексной форме

cos kv =1 (exp (V-ikv)+exp (-V-1kv))

- I = (1+в) (1+ вехриЩ " (1 + вехр(->Ш р) ' .(26) Разложим сомножители правой части (26) в ряд по степеням ехр (\i~1v) , при этом получим:

(1 +вехр(V—-V)) "=1-вехр(лПV ^^ехр(4-1

у(у + 1)(у + 2) 3 I I— \ —^-^->-р'ехр (>Н ■3v) + ...

(1 + ß exp (-V—v))' = 1 ■- vß exp(->Я ■ v)+vVV1ß2exp(-R ■ 2v) -VHMß^exp (—1— ■3v)+...

.(28)

Перемножая ряды (27) и (28) и подставляя полученный Положим m-k=2j, тогда

результат в (26), находим разложение для г r у в виде (20).

Коэффициенты разложения м^ определяются формулами:

MM =1 +

2 2 |v(v+1) ,1 fv(v+1)(v+2) ,)

1+vв +1 —'-в l+lJ—-—'-в l+...

I 2! II 3! I

(29)

v+l)...(v+k-l)

k!

-вв (1 + в2

1+vvk в++Н.(^+к)№11в4+...''

1 LK

М-} =— J (1 + e cos v)" cos kvdv 2n J v '

.(30)

Воспользуемся формулой бинома Ньютона (1+ e cos v)" = £ C;em cosmv

m=0

где

n.m =-

,(31)

n!

N = 1.

m

-(n-m)!

2n

In

J (1+e cos v)" cos kv -dv= £ Ce f cos" v cos kv dv

0 m=0 0

Если m-k - число нечётное, то

J cosmv cos kv -dv = 0

если m-k - число чётное, то

.(32)

2П ^-m-t

cosm v cos kv -dv =-C

1

W ^ k+2 '

J (1+e cos v)" cos kv.dv = £ l -1 С}+'

2n 0 j=0,(34)

"k+2 j

, n-k n-k-1

Л =—:— X =-

2

2

смотря по тому, чётное,

к+1 2! (к+1)(к+2)

В реальных спутниковых задачах v<0. Остановимся на этом случае подробнее.

Если v<0 и к>^+1, то все коэффициенты М' равны нулю, таким образом, при v<0 и к<^ ряды (29) становятся многочленами.

Положим в соответствии с введёнными ранее обозначениями п=^>0, тогда из (21) можно получить

где или

или нечётное п-к.

Сравнивая (30) и (34), для функций эксцентриситета приходим к следующей формуле:

Ак я Г „\2'

M--,=l - J§ [ 2 C}+2 'с

или в развёрнутом виде:

}

j

k+2 j

,(35)

М <4-1 I— , ,

V2^ % ]!(к + ]]!("-к(36)

Отметим, что связь между функциями эксцентриситета и коэффициентами Ганзена с нулевым верхним индексом даётся формулой [2]:

X,=(1+e f3 mV

.(37)

Умножим (31) на coskv и проинтегрируем по V в пределах от 0 до 2п, при этом будем иметь

Библиографический список.

1. Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Айгап Journ. 1961. V. 66, №1.

2. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики./ М.: Мир, 1964, - 516с.

3. Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122130.

4. Конкс В.Я. Канонические переменные «действие-угол» в задаче Баррара. //Космические исследования, 1985, т. 23, вып. 3, стр.477-479.

5. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.

6. Севрюков П.Ф. Введение канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче Баррара.// Евразийский союз учёных (ЕСУ), ежемесячный научный журнал, М:, №2 (23), 2016, ч. 5, с.58-59.

(33)