О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

(1)

О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара Севрюков П. Ф.

Севрюков Павел Фёдорович /Sevryukov Pavel Fyedorovich - кандидат физико-математических наук,

доцент,

кафедра математики и информатики, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь

Аннотация: рассматривается задача о дополнительных аналитических первых интегралах одной известной задачи о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Показано отсутствие дополнительных (отличных от известных) первых интегралов задачи.

Ключевые слова: планета, гравитационный потенциал, спутник, задача Баррара, первый интеграл задачи.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид:

где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, r - модуль радиус-вектора, In -постоянный параметр, Рп - полином Лежандра n - го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда I1=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, I2=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

ТТ fm fm .

U =--S1П (, (2)

z

где sin^= —. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят

Г

пертурбационную функцию

U = r-yTn=ъуЛ (S 1П( ), (3)

U=W+R. (4)

Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. Канонические переменные «действие-угол» введены в работе [2] и выражены через эллиптические квадратуры. Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0 [3]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l, g, h будут иметь вид dL дН* dG дН* dH дН*

dt dl dt дд ' dt dh' dl dH* dg dH* dh dH*

dt dL ' dt dG ' dt dH'

причём

н * =H0 + R. (6)

Ясно, что в формуле (6) HQ = HQ L. G. H - невозмущённый гамильтониан задачи

Баррара, R - пертурбационная функция(З), которая с учётом соотношений

sin^=sinrcosé', (7)

1

Г=р---(8)

1 + е cos v

может быть представлена в форме

R = fmï П=3^0) П+1 рп ( s in i С О S в ), (9)

В приведённых формулахр=а(1-е2), 0=v+œ; а- большая полуось, е - эксцентриситет, i -наклон орбиты, v - истинная аномалия, m - аргумент перицентра.

Введём функции наклона и эксцентриситета для задачи Баррара [4] :

^ ( 0 — Jq П РП (s ïn i c 0 s в ) С О S y в d в, (10) ..(fe), n 1 г2тт coskv ,

M( )(e) = — J ---d v, (11)

v v J 2nJ0 (l+e cosv) ' v y тогда пертурбационная функция запишется в виде

R = fmХп=з Xj,y ~!r+î 4r}exp (V=I0V + У<4).

(12)

n — i .

К = —L-.P: 0 PJ cos г . (14)

Функции эксцентриситета связаны с коэффициентами Ганзена с нулевым верхним индексом соотношением

х(°) = ( 1 - е2 ) (13)

Функции наклона выразятся через присоединённые функции Лежандра:

п — 7 ! п + 7 !

Выбрав в качестве малого параметра величину ц=сГ0 1 • 10"6, где г0 - средний радиус планеты, представим пертурбационную функцию рядом

Я = I I > 1 Д1 Н (15)

Используя формулы связи, указанные в работе [3], выразим элементы орбиты а, е, I через переменные действия Ь, О, Н. Для угловых переменных с точностью до в2 у=1, m=g.

Здесь £ = —. Таким образом, каждая функция Н^ может быть вьфажена через

Р

переменные Ь, О, Н, I, g и является периодической по угловым переменным I и g с периодом 2п:

Щ = Zj-y A)iY (L, G, H)exp (v=l0'/ + XflO)

вии с [3] невозмущённый гамильтониан задачи имеет ви

(16)

В соответствии с [3] невозмущённый гамильтониан задачи имеет вид

2 / тц2 9 4

(17)

Нетрудно заметить, что угловая переменная к является циклической, поэтому уравнения Гамильтона (5) допускают первый интеграл

Н =Л=сошЛ, (18)

что даёт возможность понизить порядок первоначальной системы уравнений и получить приведённую систему

dL _ дН* dG _ дН*

dt dl 'dt dg' dl _ дН* dg _ дН*

dt ~ dL ' dt ~ dG'

с гамильтонианом

Н* = Н0 ( Ь, С) + £; й! II¿ Щ {и С, I, д) (20)

В «Новых методах небесной механики» А. Пуанкаре [5] доказана теорема, которая в нашем случае может быть сформулирована следующим образом:

Пусть движение спутника описывается приведённой системой (19), причём гамильтониан имеет вид (20). Тогда, если

- функция Н0 не зависит от угловых переменных I яg,

- гессиан функции Н0 по переменным /. и (г не равен тождественно нулю,

- функции н являются периодическими функциями от I и g с периодом 2п,

то приведённая система уравнений не допускает никаких других независимых аналитических первых интегралов, кроме интеграла энергии Н =сош1 при достаточной малости параметра ц.

Нетрудно проверить, что все условия сформулированной теоремы выполняются. Доказательство основывается на том факте, что если бы в задаче существовал однозначный интеграл, то в разложении пертурбационной функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль. Изучение разложения Я показывает, что всё это не так. Следовательно, мы должны сделать вывод о том, что приведённая система уравнений (19) не может иметь никаких аналитических однозначных интегралов, не являющихся следствием интеграла энергии и циклического интеграла (18).

Литература

1. Barrar R. B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet // Astron. Journ, 1961. V. 66, № 1.

2. Дёмин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения / М.: Наука, 1968. С. 122-130.

3. Искакова А. МПеременные «действие-угол» в задаче Баррара // Аналитическая механика тел переменной массы. Алма-Ата, 1982. С. 30-36.

4. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Пуанкаре А. Избранные труды / М.: Наука, 1971. т. 1, С. 8-326.

5. Севрюков П. Ф. Несуществование дополнительных аналитических первых интегралов в задаче о движении спутника сфероидальной планеты // Евразийский союз учёных (ЕСУ), ежемесячный научный журнал, М:, № 12 (21), ч. 4, 2015, С.16-17.

6. Севрюков П. Ф. Введение канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче Баррара. // Евразийский союз учёных (ЕСУ), ежемесячный научный журнал. М:, № 2 (23), 2016, ч. 5. С. 58-59.