CC BY
6ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Введение функций наклона в возмущённой задаче Баррара
Севрюков П. Ф.
Севрюков Павел Фёдорович /Sevryukov Pavel Fyedorovich - кандидат физико-математических наук,
доцент,
кафедра математики и информатики, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь
Аннотация: вводятся функции наклона в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, функции наклона, канонические оскулирующие переменные.
Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль оси динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид
и = ^[1 + Гп=г^Рп g)], (1) где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, r - модуль радиус-вектора, In -постоянный параметр, Рп - полином Лежандра n - го порядка.
Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 3]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда Ь=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, I2=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:
и/=/Ш + /Щ£5.п (2)
г rz
где sin^= —. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят
Г
пертурбационную функцию
R = T-fJL П=з^Рп О incp ) , (3) U=W+R. (4)
Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах [3].
В сферических координатах r, ф, X решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид
1
г = р--, (5)
1 + ecos v
sin^ = (s2 -s)sin2u + s, (6)
X = Q- cos it
где
lp + 2c sin i I 1 , ч 1 ^
--— I-П( amu, n', к )+--П( amu, n", к )
c (S1 - S3 ) I1 - S1 1 - S1
(7)
u = am (г, к), (8) г = 1^2s(s1 - S3) (v + a), (9) S = sin i, (10)
s23 = -1 (-(l + 2s sini)±^jl -4ssini + 4s2 (l + 3 cos2 ij j, (11)
с
S = , (12) р
р = а (l - e2 j. (13)
n(amu,n,кj - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны соответственно
к =
V
51 - 52
51 - 53
n = —-- , n" = —-1
1 - 5 1 + 5j
В формулах (5)-(13) а, е, /, О, V, т являются аналогами большой полуоси, эксцентриситета, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.
Выражение (6) с учётом (10) и (11), а также разложения в ряд
г3 г5
и = аш —, к) = т- к2 —+ (4 + к2) — -... (14)
2
с точностью до £ даёт
Бт^т-соБ©, (15)
где
в=>+т. (16) Запишем пертурбационную функцию Я в виде
я =/шК=3^1(9П+ Ч (5СО50), (17)
где для сокращения записи обозначено 5=5т/. Введём функции наклона / по формуле
i 2n
= — J P (5. cos в) cos ydde, (18)
In 0
тогда
P„ (^ • cos0) = £ l[7) exp(V_10) (19)
7=_вд
При вычислении интеграла (18) воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра:
P (cos Q cos Q + sin Q sin Q cos р) =
n (n _r)| (20)
= P (cos Q) P (cos Q' ) + 2 Y )-1-^-P(r) (cos Q) P(r) (cos Q' ) cos р,
v '7=1 (n + 7)! v 7
(r)
где Р( ' - присоединённые функции Лежандра.
, л
Положив в формуле (20) Q = i, Q = —, р = 0, будем иметь
2
n (n_r )!
Pn (s cos р) = Pn (0)Pn (a) + 2£ Ц-Р^7 (0)pM (a) cos О, (21)
7=1 (n + 7)-
где s=sirn, a=cosi.
Умножим обе части равенства (21) на cosyé* и проинтегрируем по в в пределах от 0 до 2п.
При y>n
2л
J Р (scosp) cos y9d0 = 0, (22)
0
а при y<n
(n-r)!
J P (s cos p) cos rOde = (-4-P(r) (0)P(r) (a). (23)
• (n + r)!
образо
Лежандра:
Таким образом, функции наклона ZÍr) выразились через присоединённые функции
L^)=|n-r)j PW( 0) P,(r)(a) (24)
т(у)
Отметим, что функции наклона V могут обращаться в нуль. Этот факт вытекает из свойств, присоединённых функций Лежандра. Поскольку
\2 акрп И
P(k )(a) = (l-a2)
da
к
р(2kp(2k)
Поэтому при нечётном п+у
P2f+1)(00, P*í(0), 0.
s ) = 0.
Вернёмся теперь к пертурбационной функции R и выразим её через функции наклона
М аАк)
п
L'r и эксцентриситета M_n', где
м«=Г e Ту_ni_f eJ2j, (25)
-n 12 J U j! (k + j)! (n - k - 2j)! 12 J ( )
— I = U Mf) exp (V^lkv). (26)
p y k=-да
v
Подставляя в формулу (17) выражения (19) и (26), получим
Я = ГтТ, »=0Е ^^тМ«;^ ^ ехр [лРГ (ш + уш )] , (27) где положено j=k+y.
Разложение пертурбационной функции вида (27) может быть с успехом использовано в задачах теории возмущений.
Литература
1. Barrar R. B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet. // Astron. Journ., 1961. V. 66. № 1.
2. Дёмин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. / М.: Наука, 1968. С. 122-130.
3. Севрюков П. Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара // Наука и образование сегодня, 2016. № 5 (6). С. 5-7.
4. Севрюков П. Ф. О введение канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче Баррара // Наука и образование сегодня, 2016. № 6 (7). С. 8-13.
