О введении канонических переменных "действие-угол" в возмущённой задаче Баррара Текст научной статьи по специальности «Математика»

Здесь uf, - заданные значения перемещения и напряжения на поверхностях 5! и S2 соответственно, S = S-l + S2 - полная поверхность тела, n¡ - направляющие косинусы единичного вектора, перпендикулярного к поверхности S2.

В соответствии с известной теоремой Келли Гамильтона симметричный тензор второго ранга удовлетворяет своему характеристическому уравнению, которое, очевидно, для тензора Оу будет уравнением третьего порядка. Следовательно, любые тензорные степени выше второго можно выразить через слагаемые второй и первой степени, а также единичную матрицу Кронекера Stj. Из этого следует, что полиномиальное разложение вида (3) является наиболее общим представлением между тензорами напряжений и деформаций в виде ряда Тейлора.

Представление (3) содержит как частный случай известные законы, описывающие свойства нелинейных материалов в частности теорию малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина [1], двухинвариантные модели Д. Л. Быкова [2], а также модели, учитывающие влияние температуры, М. М. Ошхунова [3, 4].

Для специального вида представления (3), когда вместо тензора деформаций £у используется его

д

девиатор e£j- = £у , в = El. В работах [5] получены условия, обеспечивающие справедливость

теоремы о минимуме потенциальной энергии (принцип Лагранжа). В случае, когда соотношения (3) обратимы и тензор деформаций разлагается в ряд по степеням тензора напряжений в виде полинома, в работе [6] получены условия минимума дополнительной работы (принцип Кастильяно). В частных случаях из этих условий следует широко известные ограничения, полученные в работах [1, 2]. В работe [7] рассматриваются условия сходимости итерационных процессов в пространстве С.Л. Соболева, сводящих решение нелинейной задачи к решению последовательности линейных задач.

Литература

1. Ильюшин А. А. Победря Б. Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука, 1970. 281 c.

2. Быков Д. Л., Ильюшин А. А., Огибалов П. М., Победря Б. Е. Некоторые основные проблемы теории термовязко-упругости // Механика композитных материалов, 1971. № 1. С. 41.

3. Ошхунов М. М. О скорости сходимости итерационных процессов нелинейной упругости // Прикладная механика, 1995. Т. 31. С. 117.

4. Комаров Г. Н., Ошхунов М. М. О разрешимости физически нелинейных задач теории упругости // Украинский математический журнал, 1996. № 6. С. 132.

5. Oshkhunov M. M., Ozden S. The general stress and strain relationship in non-linear materials // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2000. № 35. P. 763-767.

6. OshhkunovM. M., Ozden S. The conditions of minimum potential energy and Castigliano's functional in non-linear media // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2003. № 38. P. 71-77.

7. Nagoev Z. V., Oshkhunov M. M. Discrete-dynamic particle method in problems of mechanics of deformable solids // Mechanics of Solids, 2011. Т. 46. № 4. С. 622-634.

О введении канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче

Баррара Севрюков П. Ф.

Севрюков Павел Фёдорович /SevryukovPavel Fyedorovich - кандидат физико-математических наук, доцент,

кафедра математики и информатики, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь

Аннотация: вводятся канонические переменные «действие-угол» в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, переменные «действие-угол», канонические оскулирующие переменные.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

и =

(1)

где/- гравитационная постоянная, т - масса планеты, г - модуль радиус-вектора, 1п - постоянный параметр, Рп - полином Лежандра п - го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда 11=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, 12=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

fm fmc .

W =-+-sin«

г

где —. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят пертурбационную

Г

функцию

и=Ш+К. (4)

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах [2].

В сферических координатах г, <р, X решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид

где

г = р-

А = Q- COsi

1 +- е cosv Siaip - - S1}S1mxU + Slt

l

(5)

fp + 2С Slni ( 1

i - -n(ömii,?i,fe) +

■v cCs1 - s3D VI - st

и = ат(т, fcD

1 -s

(8)

(6) n (amu,n",

(7)

7" = -v'iit, - _0(Г + ■,,) (9)

ьi = , (10) + 2£ sin l)± J1 - 4fsin i + is2(l + 3 Sin2 i)^

(11)

£ = ■

V

(12)

n(flT7lli,?l, fc) - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны

к =

-;П = ■

71 = ■

^ - К, 1 - ^ 1 +

В формулах (5)-(13) а, е, г, О, V, а являются аналогами большой полуоси, эксцентриситете, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с = 0.

Канонические переменные «действие-угол» введены в работах [2, 3] и выражены через эллиптические квадратуры.

В соответствии с ранее принятыми обозначениями в сферических координатах г, ф, X, функция Гамильтона невозмущённой задачи Баррара может быть записана в виде

Здесь канонические импульсы определены стандартным образом, а потенциал Ш определяется формулой (2).

Уравнение Гамильтона-Якоби

даёт полный интеграл, который легко находится разделением переменных:

(15)

J(a. л-fmc sia<p)COs: (р - + J20C3A.

В формуле (16) канонические постоянные аь а2, а3 выбраны следующим образом:

ff,

fm f77i

/т

а. = i—jj- а = l—(Ü + 2С sin ¿1 cos" г га 2 r 2 *

(16)

(17)

Зная полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, определим для данной задачи канонические переменные «действие» по формулам

+fmc sin(p)cos: <p-a3

d<p COs <p'

В результате интегрирования получим

(18)

V2

~кJf ?nc(sl -

1-s:,)(

fm - 2^-a^a.

2(а, + f mcs,)K(k) + 2fmcis1 - s,~)E(k) -

fa = v 2a3 ^ (19)

где K(k), E(k), illfjt; k) - полные эллиптические интегралы I, II, III рода соответственно, модуль и параметры которых равны

I

- s.

S„ - 1

:П

-; п

1 - я/ " 1

причём 5!, 52, 53 являются корнями уравнения 2с53+рт2-2су+(2ссо82г-рттг)8тг = 0 и выражаются формулами (10) и (11).

Опуская выкладки, отметим, что переменные «угол», соответствующие соответствующим переменным типа «действие», выразятся следующими формулами:

= п(Т -Т) = М

ih °

Я ¡¡Г

7l(t - Г) - О) t 2 K(k)

:ф

COsl J1 + 2£ S\nl,

(20)

где Т - момент прохождения спутником перицентра, М - средняя аномалия спутника, п - среднее движение:

п

_ ÍZ"1

-J a

Дифференциальные уравнения, описывающие возмущённое движение спутника во введённых вьше канонических переменных «действие-угол», будут иметь вид:

_ дН ¿г/1 _ дН

dt drji' dt d^i'

(i = 1, 2, 3)

(21)

где

Н=Н0+П. (22)

Невозмущённый гамильтониан а пертурбационная функция К задаётся

формулой (3), при этом предполагается, что К есть функция переменных ^I* 1 (;' = 1, 2, 3).

Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую

форму, если вместо переменных ^I* ввести канонические переменные Ь, О, Н, 1, g, /г, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с = 0. Попытка ввести такие переменные была предпринята в [4], однако при введении переменных была сделана ошибка: вверённые переменные не удовлетворяют условию каноничности! Введём переменные с помощью равенств

1=П1,

G=í2+íз, g=-nl+n2, (23) #=&, h=n2+nз.

Поскольку, как легко проверить,

(24)

элементы L, G, H, Д g, h являются каноническими и при с = 0 обращаются в соответствующие элементы Делоне кеплеровского движения.

Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l, g, h будут иметь вид

причем

(25)

И = -r-Sl.O.Hs + FJl .0.И.:.■:■:>. (26)

- ■:'■:! (L O h ) - невозмущенный гамильтониан задачи Баррара, R -

Ясно, что в формуле (26) Нв пертурбационная функция (3).

Введение предложенных автором переменных существенно упрощает решение задачи интегрируемости возмущенной задачи Баррара.

Литература

1. Barrar R. B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet. // Astron. Joum, 1961. V. 66, № 1.

2. Дёмин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. / М.: Наука, 1968. С. 122-130.

3. Конкс В. Я. Канонические переменные «действие-угол» в задаче Баррара. // Космические исследования, 1985. Т. 23. Вып. 3. С. 477-479.

4. Севрюков П. Ф. Несуществование дополнительных аналитических первых интегралов в задаче о движении спутника сфероидальной планеты. // Евразийский союз ученых (ЕСУ), ежемесячный научный журнал, М.: № 12 (21), ч. 4, 2015. С. 16-17.