Введение функций эксцентриситета в возмущённой задаче Баррара Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Введение функций эксцентриситета в возмущённой задаче Баррара

Севрюков П. Ф.

Севрюков Павел Фёдорович /Sevryukov Pavel Fyedorovich - кандидат физико-математических наук,

доцент,

кафедра математики и информатики, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь

Аннотация: вводятся функции эксцентриситета в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, функции эксцентриситета, канонические оскулирующие переменные.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль оси динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид:

/ш

U =

1 +

X г" Рп С)

11=1

(1)

где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, г - модуль радиус-вектора, I,, -постоянный параметр, Рп - полином Лежандра п - го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 3]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда 1\=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, 12=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

2

где sin^= —. Оставшиеся

Г

пертурбационную функцию

члены гравитационного потенциала составят

R =

/ту

г ¿-J

- Рп (sirup),

(3)

11 = 3

и=Ж+К (4)

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах [3].

В сферических координатах г, <р, X решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид:

(5)

sill (р = (sz — SjJ sin2 и + S±J (6)

Л = Q — cos i /i4——- —Х\(<жш,п',k) Л—— П(отг1,тг",к)

S!-J3> \1--Sl 1-Sl J

где

и = am(r, k),

(8)

s± = sini.

(10)

= ( -(1 + 2£3in 0 H V"1 - 4£Sin ! + 4i:(1 + 3 sin- 0}

(11)

£ =

V

(12)

n(amu,n,к) - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны соответственно

В формулах (5)-(13) а, е, I, О, V, т являются аналогами большой полуоси, эксцентриситета, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.

Выражение (6) с учётом (10) и (11), а также разложения в ряд

с точностью до £ дает где

и = ат(т,к} = т - к2^ + (4 + fc2)^: + ■■■ sin^=sin/'cos0, (15)

(14)

0=v+rn. (16) Запишем пертурбационную функцию R в виде:

об

. il+1

R = fm

/^(s cos 9)

(17)

n=3

где для сокращения записи обозначено s=sim. В соответствии с (5)

I = f (v) = —U

p 1 + e cos v

(18)

Тогда

f Y r

P J

можно представить в виде ряда Фурье

С V Г

\ P J

или в комплексной форме:

то

= м(0) + 2У M(k) cos kv

k=1

с \v r

Коэффициенты M определяются формулой

V p J

(k)

то ^^^^

= £ mV) exp(>TTkv).

(19)

(20)

k=—то

являющиеся функциями эксцентриситета е, при этом

л 2л

СОБ ку

2л 0 (1 + e cos v)"

dv (21)

Найдём формулы, позволяющие вычислять коэффициенты М(к) для всех V и к. Если

е (22)

P=

1+лЯ1

то

е =

2P

1+ Р2

л/т^е2=

i-р2

(23) (24)

С учётом записанных соотношений

/ V

r

(25)

или, поскольку

1 + р2'

(1 + P2J (l + 2Pcosv + р2)-"

cos kv = 1 (exp (>/-Tkv) + exp (->/-lkv)),

в комплексной форме

= (l + р2 )((l+P exp (V-lv)) (l + P exp (-V-lv)) ( (l+Pexp(>/—l • v))( = l-(Pexp(V-1 • v)+((l)P'exp(V-1• 2v)-

(((+ll((+2) , / I— \

—i-^--P exp(V-I • 3v) +...

(l+Pexp(^/-lv))( = l-(Pexp(^V-I• v)P'exp(-V-l• 2v)

-(((+l((+2) P^ exp (^Д • 3v)+...

( Y r

V P У +

(26)

(27)

(28)

Перемножая ряды (27) и (28) и подставляя полученный результат в (26), находим

разложение для 1-1 в виде (20). Коэффициенты разложения М\к) определяются формулами:

IР )

«л / , , í у (у+!) Л í у (у+!)(у+2) А ^ М} =(1+^ ) 11 - а 1 --1 -—-—)

l+v2P2 +

2!

LP

3!

P6

+..

/ у

(29)

m v(v +l)...(v+k-l^ a/ I v +k , v(v+l) (v + k)(v + k+l) .

M = J-Li-Z(-P)k(l+P?) l + P? + J-ZЛ )(/-1P4 +..

( k! v M ; [ k+1 2! (k+l)(k+2)

A

В реальных спутниковых задачах v<0. Остановимся на этом случае подробнее. Если v<0 и к>-г+1, то все коэффициенты М^к) равны нулю, таким образом, при v<0 и k<-v ряды (29) становятся многочленами.

Положим в соответствии с введёнными ранее обозначениями п=-г>0, тогда из (21) можно получить

2л

К*)_ ' 2л

M(= — J (1 + е cos v)" cos kv •dv. (3o)

/77" J

0

Воспользуемся формулой бинома Ньютона

/i , \n \ А ли m m

(1 + е cos vj = z Сие cos v, (31)

m=0

где

n!

СО= 1; СИ =

n

m

!• (n-m j!

Умножим (31) на соъку и проинтегрируем по V в пределах от 0 до 2п, при этом будем иметь

2 л п 2л

| (1 + е cos v jn cos kv dv = Z Cmem J cosm v cos kv dv.

(32)

0 m=0

Если m-k - число нечётное, то

2ж

m

J cosm v cos kv •dv = 0

0

если m-k - число чётное, то

2ж

2ж ^m-k

i cosm v cos kv •dv = — C

J om i

0 2

2

(33)

Положим m-k=2j, тогда

1 2ж Л f \k+2 j

— J (1 + е cos vjn cos kv dv = C2 jCj+2 ], (34)

n_n-k n-k-1 где л = ^ или л =-—-, смотря по тому, чётное, или нечётное п-k.

Сравнивая (30) и (34), для функций эксцентриситета приходим к следующей формуле:

<е-ее 1 Zfе j Ck ■ (35)

M- -

или в развёрнутом виде:

V 2 J j=0 V 2 J

м{к)_ \ е 1 у_п_(еI2'. (36)

-п 12 ) у ]\(к + ])\(п - к - 2]) ! 12 ) ( )

Отметим, что связь между функциями эксцентриситета и коэффициентами Ганзена с нулевым верхним индексом даётся формулой [2]:

3

4,(1 + е2Г М1 (37)

Литература

1. Barrar R. B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ., 1961. V. 66. № 1.

2. Дёмин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения / М.: Наука, 1968. С. 122-130.

3. Севрюков П. Ф. Несуществование дополнительных аналитических первых интегралов в задаче о движении спутника сфероидальной планеты // Евразийский союз ученых, 2015. № 12-4 (21). С. 16-17.

4. Севрюков П. Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара // Наука и образование сегодня. № 5 (6), 2016. С. 5-7.

5. Севрюков П. Ф. О введение канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче Баррара // Наука и образование сегодня. № 6 (7), 2016. С. 9-12.

6. Севрюков П. Ф. Введение функций наклона в возмущённой задаче Баррара // Наука и образование сегодня. № 7 (8), 2016. С. 4-6.