On two graph transformation Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа. - 2007. - N 6. - С. 85-92 : 4 рис. - Библиогр.: с. 92 (7 назв. )

2. Математическое моделирование пластовых систем : пер. с англ. / Х. Азиз, Э. Сеттари . - 2-е изд., стереотип . -М. : Ин-т компьют. исслед., 2004 . - 416 с. - (Современные нефтегазовые технологии) . - ISBN 5-939723-55-1

3. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. - Новосибирск: Наука, 1988. — 166 с. — ISBN 5-02-028569 -2.

4. Сигунов Ю.А. Методы решения классической задачи Стефана - Сургут: РИО Сургутского государственного педагогического университета, 2009. - 140с.).

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.

6. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х томах. - М.: Мир. 1991. - 504 c. - ISBN: 5-03001880-8, 5-03-001881-6 (т.1), 5-03-001881-4 (т.2)

on two graph transformation

Sardaryan Gagik Razmik

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Informatics and Applied Mathematics, Yerevan State University Yerevan, Armenia

ABSTRACT

Two diflinct graph transformations (so called D2 and L2-transformations) are considered and their properties are invefligated based on special pairs of vertices u, v of a graph G such that a) d(u,v)=2 for D2-transformations and b) there is a path uwv for some third vertex w for L2-transformations.

Keywords: Graph, Graph transformation, Diflance between two vertices..

Let G=G(V,E) be an undirected graph on n vertices with vertex set V=V(G) and edge set E=E(G). The diflance between u,veV will be denoted by d(u,v). We write r(u,v)=2 when the vertices u and v are connected by a path of length (the number of edges) two. We use Bondy and Murty [1] for terminology and notation not defined here.

In this paper two diflinct graph transformations are considered and their properties are invefligated based on special pairs of vertices u, v of a graph G such that a) d(u,v)=2 or b) r(u,v)=2.

Definition 1: Define a transformation D2(G)=H of a graph G by the following way:

1. V(H)=V(G),

2. uveE(H) if and only if d(u,v)=2 in G.

Analogous transformations can be defined when d(u,v)>2.

Definition 2. Define a transformation L2(G)=H of a graph G by the following way:

1. V(H)=V(G),

2. uv eE(H) if and only if r(u,v)=2 in G:

Let G be a graph and u,veV(H): It is easy to see that

a) if d(u,v)=2 then r(u,v)=2,

b) if r(u,v)=2 then either d(u,v)=2 or d(u,v)=1. (1)

In addition, it is easy to check that D2(G)eD2(H) and L2(G)

eL2(H) if GeH.

Proposition 1. There exifl non isomorphic graphs G and H such that

a) D2(G)eD2(H).

b) L2(G)eL2(H).

Examples. The empty graph on n vertices and the graph on n vertices with exactly one edge are not isomorphic but their D2-transformations are isomorphic. On the other hand, the complete graph Kn and Kn-e, where eeE(Kn), are not isomorphic but their L2-transformations are isomorphic too.

Proposition 2. There exifls a graph G such that for each graph

H,

a) the graphs D2(H) and G are not isomorphic (an example: G=Kn).

b) the graphs L2(H) and G are not isomorphic (an example: G=K1,n-1).

The following can be proved easily.

Proposition 3. If G is a graph with p connected components, then D2(G) and L2(G) are graphs with at leafl p connected components.

Using (1), we can prove the following.

Lemma 1. If G is a graph without K3 as a subgraph, then D2(G)eL2(G).

The next proposition follows from the definition of L2(G).

Lemma 2. If G is a graph with a subgraph K3 induced by v1,v2,v3eV(G), then the subgraph in L2(G) induced by v1,v2,v3 is K3 as well.

The following can be proved using the definition of D2-transformation.

Proposition 4. Let G be a simple cycle on n vertices, denoted by Cn. If n=2k+1 then D2(G)eG; and if n=2k then D2(G) consifls of two disjoint simple cycles on k vertices.

Theorem 1. If G is a complete graph on n vertices, then by deleting at mofl n-3 edges from G, we get a graph H such that L2(H) is a complete graph as well.

Proof. For each u,veV(G), we have uveE(L2(G)) if there is a vertex weV(G) such that uw,vweE(G), i.e. r(u,v)=2, by the definition. Since there are n-2 analogous vertices w in the complete graph G, then by deleting at mofl n-3 appropriate edges of the type uw or vw, we can get a graph H such that L2(H) is a complete graph.

Theorem 2. If G=Kn then by deleting (n-1)(n-2)/2-en/2eappropriate edges from G, we can obtain a graph H such that L2(H) is a complete graph as well.

Proof. Let veG and let E1 be the set of edges in G incident with v. Delete appropriate edges from E(G)-E1 such that if n=2k+1 then every vertex other than v has a degree 2; and if n=2k then every vertex other than v has a degree 2 except a single vertex of degree 3.

Proposition 5. There is no a graph G on n vertices such that D2(G) is isomorphic to

a) Kn,

b) Ki,n-i for each 1 < i < n/2.

Proposition 6. There is no a graph G on n vertices such that L2(G) is isomorphic to Ki,n-i for each 1 < i < n/2.

Problem 1. Extend the M of examples in Propositions 5 and

6.

Problem 2. Give the full characterization of all graph examples in Problem 1.

Let Tn={G1,G2,... ,GN } be the set of all pairwise non isomorphic graphs on n vertices.

Using Tn and D2-transformations, we define a directed graph H1n(D2) by the following way.

a) V(H1n)=V(Gi) (i=1,2,...),

b) GiGjeE(Hln) if D2(Gi)eGj, where Gi,GjeTn.

Using Tn and L2 transformations we define a directed graph H1n(L2) by the following way.

a) V(H1n)=V(Gi) (i=1,2,...),

b) GiGjeE(Hln) if L2(Gi)eGj, where Gi,GjeTn.

Theorem 3. If H1n(D2) has ml connected components and H1n(L2) has m2 connected components, then m1<m2.

Proof. Clearly, each of H1n(D2) and H1n(L2) has a loop. These loops generate connected components in such graphs. By Lemma 1 and Lemma 2, every graph containing K3, generates K3 in H1n(L2) as well, which generates connected components. An analogous flatement is not true with respect to H1n(D2).

References

1. J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan, London and Elsevier, New York (1976).

введение канонических переменных «деиствие-угол»

в возмущенной задаче баррара.

Севрюков Павел Фёдорович

кандидат физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь

АННОТАЦИЯ

Вводятся канонические переменные «действие-угол» в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара.

ABSTRACT

Are introduced canonical variables «action-angle» to the problem of di^urbed motion of the satellite in the field specified by the gravitational Barrar potential.

Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, переменные «действие-угол», канонические оскулирующие переменные.

Keywords:satellite, gravitational potential, perturbed task of Barrar, the variables "action-angle" canonical variables and true.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

U=fm/r [1+Z(n=i)"In/rn Pn (z/r)], (1)

где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, r - модуль радиус-вектора, In - постоянный параметр, Рп -полином Лежандра n - го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда 11=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, 12=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

(2)

fm fmc

W = +

sin ср

г

г

где sin9= z/r. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию R=fm/r I(n=3)"In/rn Pn (sin9), (3) U=W+R. (4)

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потен-

циала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [2] В сферических координатах г, ф, X решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид г=р 1/(1+е cosv ), (5) sinф=(s2-s1 ) sin2u+s1, 6)

V((p+2c;sini)/c(s1-s3 ) ) (Щ-в, ) ЩатиЖ,к)+1/(1-s1) П(ати,п'',к)) (7) где и=ат(т,к),(8) т=1/2 ^(в^ ) ) (у+ю), (9) s1=sini, (10)

s23=1/4е (-(1+2 еsini )±^(1-4 еsini+4е2 (1+3 sin2i ) )), (11) е=с/р, (12) р=а(1-е2 ). (13)

Щати^к) - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны

к^^-в^-вз ));П'=^-^)1^ ; ^"^уНв, . В формулах (5)-(13) а, е, ^ V, ю являются аналогами большой полуоси, эксцентриситете, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.

Канонические переменные «действие-угол» введены в работах [2, 3] и выражены через эллиптические квадратуры.