CC BY
1УДК 51
Оразгулыев А.
канд. физ .-мат. наук, старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули
(г. Ашгабад, Туркменистан)
Алламурадова М.К.
преподаватель кафедры «Прикладная математика и информатика» Туркменский государственный университет имени Махтумкули
(г. Ашгабад, Туркменистан)
ВВЕДЕНИЕ БЕЗРАЗМЕРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ЗАДАЧ
Аннотация: в данной статье рассматриваются введение безразмерных переменных. Проведен перекрестный и сравнительный анализ формирование безразмерных переменных и общее описание задач.
Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.
Эффективность решения сформулированных в [1] краевых задач зависит от указанного введения безразмерных переменных. Действительно, различные величины, фигурирующие в этих задачах, имеют в системе единиц Си самые различные порядки: от 106 (А, д) до 10-3 (перемещения). Это создает трудности при вычислениях. Кроме того, безразмерные переменные удобнее для физической интерпретации результатов.
Введение безразмерных переменных начинается с введения определенных масштабных величин. В качестве масштаба "макро" - длин выбираем величину /. Для "микро" - длин, т.е. перемещений эта величина, конечна, неудобна. Для того, чтобы выбрать его более разумным образом,
предположим, что в = 0 и излучатель развивает некоторое характерное давление а0. Заменим его сосредоточенной силой величины 8212а0. Перемещения полупространства при действии этой силы определяется из известного решения Бусинеска [2]. В точке приложения силы перемещения равны бесконечности. В качестве масштаба перемещений выберем величину и*, равную величине вертикального перемещения на глубине I. Она равна
* ^2(1 + у)(3 - 2у)
и =-г-;;-1
4пЕ
Здесь Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала изделия.
В качестве масштаба времени Ь* выберем величину Ь* = —, где Су —
СV
скорость продольной волны в теле изделия. Далее нам понадобиться также скорость поперечной волны СБ. Как известно
=
X + 2д
—т1- , ^ =
N
Р
N
Введем безразмерные перемещения, координаты и время с помощью равенств
щ = щи*, ИI = И{и*,XI = х^ (1 = 1,2), t = Н*. Подставим эти выражения в первые из уравнений движений д2и
г _ 2 + Аи = 0 (х = П), х = (хх, х2) дЬ2
где Аи = —(Я + д)graddivíí — у.Аи (£ = 1,2). Тогда получим
— [(Л + (1) graddivíí — р.Аи\ = 0.
д12
Здесь в операторах graddiv, А подразумеваются производные по безразмерным координатам хх, х2 и введены обозначения
А = Л = = СУ2 + 2^1 ~ = Д = 1 — 2у = С2 (1) Л X + 2\1 1 — V С2 X + 2\1 2(1 — V) С2 ()
Теперь, сведем к безразмерным переменным задачу, в которой дефект интерпретируется как линия. Ограничимся случаем горизонтального дефекта. Тогда имеем:
+ С-•и-) _ щ(А+^+ + А-•и-) + + в-•и-) +
ди+ ~ ди+
+£>+ •и+ + Б- •и + + F а ,
ах^ ох2
^((^ • и+ + ^ • й-) _ • и+ + Л- • и-) + £-(В} • и+ + Я- • й-) +
~ ^ ~ ди- _ Зи-+0+ • и+ + О- •и- + Е • —— + • —-.
ах^ дх2
Здесь
1 _ 1 К пх + 3/1! 0
Г+ _1 г-_1 г+ 1+ - ^ (Х1 + 3Р-1 0 ) , _
С1 _3 / р '4 _ 2 4'Л1 _31 I 0 ^'Л1 _
_ К (~х1 + 3р.1 0 ) 61 V 0 р.1)'
~+ _К-\11 ( 0 1\ _ + (0 1\ ^ _ 2 1-10/' ^ _ 2 0/'
* _а а'* _ '* _ (0 э'' _ $ я
7+ _ 17+ 7+ С 2 _ 2 ^1 ' ^ 2 _ С-1 '
А+ _ + 3р-1 0 ) г- _ К (2Я1 + 3^1 0 )
Л2 61 ( 0 -й1)'Л2 61 ( 0 -2йЛГ
р^Г 2 6/ V 0 -2Д^ (0 0)'Ё2 _2
ъ+_Х1-&1 (0 1\ 6- _ Ч 0 ^1-^1
ь2 _
* _ ¿- а о' * _
2 2 2 \/11 + А1 0
I /¡11 0
и знак ~ над и, х^, t для краткости опущен. В концах дефекта должны быть выполнены условия ()+ _ С}- _ ()+ _ _ 0. В безразменной форме они имеют вид:
1 д + _ I + 1 Л1 + _ + _
(и1 + и1 ) + т № - и2 ) + -Т (щ -и_)+ ¡11(и+ + и_) = 0,
2 п1 6
>11
>11 1 а
I
2 ^ к + и_)+ Л (и1-и_)
Л1 д Г + ~ д г .
+ — ■-— (щ —и1) + р.1--
6 дх1
дх1
(и+ + и_ )
= 0,
У-1
I 1 д "" д
д- К -Щ)+2-а^гт ("2+ + и_)\ + I • а^ 04 - = 0,
I 1 ^ 1 ^
) +1 • ^ 04 + и_)- 6 • ^ ("г - =
При интерпретации дефекта как линии в области П рассматривается лишь уровнения (1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Международный научный журнал «Молодой ученый» № 44 (491), ноябрь, 2023 г.;
2. Ляв А. Математическая теория упругости 2. - М., Л.: ОНТИ, 1935 г.;
3. Мак - Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье. - М.: Издательство иностранный литературы, 1953 г.
Orazgulyev A.
Turkmen State University named after Magtymguly (Ashgabat, Turkmenistan)
Allamuradova M.K.
Turkmen State University named after Magtymguly (Ashgabat, Turkmenistan)
INTRODUCTION OF DIMENSIONLESS VARIABLES AND A GENERAL DESCRIPTION OF THE TASKS
Abstract: this article discusses the introduction of dimensionless variables. A cross-sectional and comparative analysis of the formation of dimensionless variables and a general description of the tasks were carried out.
Keywords: Analysis, method, education, mathematics, science.
