CC BY
8
5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК537.226+537.311/0.1 Доц. М.М. Баран, канд. фiз.-мат. наук;
доц. 1.М. Васькович, канд. екон. наук - НУ "Львiвська полiтехнiка"
ВПЛИВ ЕЛЕКТРОН-ДЕФОРМАЦШНО1 ВЗАСМОДП НА ЕНЕРГ1Ю ЗВ'ЯЗКУ ДОМ1ШКИ З КРАЙОВОЮ ДИСЛОКАЩСЮ
Дослiджено вплив самоузгоджено! електрон-деформацшно'1' взаемоди на енерге-тичне положення локального рiвня донорно! домiшки, захоплено! крайовою дислока-цieю, дна дислокацшно'1' зони та на енерпю зв'язку домшки з крайовою дислокацieю залежно вщ концентрацп електронiв провiдностi у натвпровщнику.
Ключов1 слова: концентрацiя електронiв, провщшсть, крайова дислокацiя, енер-гетичне положення, електрон-деформацшна взаeмодiя, домiшка.
Розумшня ф1зично! природи та законом1рностей структури електронних р1вшв у кристалах з дефектами (точковими, плоскими, лшшними) та !х перебу-дова внаслщок пружно! [1] та електростатично! [2] взаемодш м1ж дефектами е важливою вимогою сучасного електронного матер1алознавства та нових техно-лопчних експерименпв. Знаючи щ законом1рност1, можна прогнозовано керува-ти деградацшними ефектами у м1кроелектронних приладах [3].
Автори роботи [4] вважають, що зменшення енерги кристал1чно! системи у раз1 захоплення точкового дефекту дислокащею зумовлене частковою релакса-щею внутршшх напруг та змшою електростатично! енерги внаслщок перерозпо-далу густини заряду. Кр1м цього, причиною взаемоди м1ж точковими дефектами 1 дислокащями е перебудова електронного спектра кристала за неоднорщно! де-формаци гратки, зумовлено! д1ею лшшного 1 точкового дефекпв.
Однак, кр1м пружно! та електростатично! взаемодш м1ж дефектами е ще третш вид взаемоди - електрон-деформащйна [5, 6], яка впливае на енергетичне положення локального р1вня донорно! дом1шки, захоплено! крайовою дислокащею, дна дислокащйно! зони та на енергш зв'язку дом1шки з крайовою дислокащею.
Розглянемо легований нашвпровщниковий кристал и-типу з крайовими дислокащями. Припустимо, що поверхнева густина дислокацш та концен-тращя донорних домшок С задовольняють умови: пЯ2 < Ы^ (Я - рад1ус рщовсь-
3 О
кого цилшдра) { С <<---з (О - об'ем, що припадае на один атом кристала з
4п г03
домшками; г0 - ефективний рад1ус точкового дефекту). За таких умов у першо-му наближенш розглядувану задачу можна звести до задач! про взаемодш до-норно! домшки з одиничною крайовою дислокащею.
Енергетичний спектр електронних сташв домшки, захоплено! крайовою дислокащею, знаходимо з розв'язку р1вняння Шредшгера в наближенш 1зотроп-но! парабол1чно! зони з ефективною масою т*
Н¥( г ) = В¥( г), (1)
де Н = V2 +кЪ (г ) + к$ (г)
кЬ (Г V» (О ко (V (г), Х2= Е;
у(г) - хвильова функцiя електрона в полi дислокацiйного потенцiалу УЬ (р,О) та потенцiалу точкового дефекту У0 (г). Дислокацшний потенцiал УЬ (р,О) складаеться з електростатично1 потенщально1 енерги електрона Ус (р) [7] в по-лi ядра заряджено! дислокаци:
Ус (р)= Г Я Л
££0 УРу
о <Р<Р0
(2)
де ро - радiус ядра дислокаци;
та електрон-деформацшно1 потенщально1 енерги електрона Уе1.-Ле/. (Р, О)
2П?
Уе1.-ЛеГ.(р,О) =-СС8 ОК ^ р) 0 < р < ро , (3)
Ро
тобто УВ (р,О) = Ус (р) + Уе1.-ае/. (р, О) . (4)
Потенщальна енергiя електрона в полi точкового дефекту У0 (г) знахо-
диться в межах електростатично1 моделi. Таким чином, дислокацшний потенщал УЬ (р, О) зумовлений як розривом валентних зв'язюв, так i деформащею гратки
поблизу ядра крайово1 дислокаци. Домшковий потенцiал У0 (г), зумовлений
тальки розривом валентних зв'язюв. Це значить, що У0 (г) вiдрiзняеться вiд нуля
тiльки в об'емi б3, а УЬ(р,О) - всередиш трубки радiуса Ь (Ь - величина вектора
Бюргера). Осюльки на вiдстанi "Ь" деформацшне поле дислокаци е повшьно-змшним, у першому наближеннi можна знаходити енергетичний спектр елек-тронних сташв домiшки, захоилено1 крайовою дислокацiею з усередненим дис-локацiйним потенцiалом УЬ.
Знайдемо середне значення дислокацшного потенцiалу УЬ (р,О) (4) всередиш цилшдрично1 трубки радиуса Ь
Уь =-
- 2пЯ2пае2 Ь
-] рш
0
2е2жЯ2п< /
ж ~2
| р1п — < р ] <О + -
1
ж ~2
жЬ2££о 0 ур) ж пЬ2 ро
К(gро)р1 р] со$О<ЛО =
де ^2
££о
Г 3_.21.ЬV ^
ч -¿ч ч
1 + 1п
2
ж 2
Г Я ^
У Ь ))
+
у 2 2 4 )
Зроп
- гiпергеометрична функцiя [8].
5. Ь2g
ж 2 2
, (5)
~ ;2, -ч ' .
У2 2 4 )
За допомогою функци Грiна ОЕ (г - г') = —Т—-ехр [~х\г - г'|], оператора
X2 - V2 рiвняння (1) можна звести до екшвалентного штегрального рiвняння [9]
¥
(г) = ]Ов (|г - г'\)[к1 (г) + ко (г')]¥(г')<У.
(6)
Спрямуемо вюь Ъ цилшдрично! системи координат вздовж дислокаци \ перейдемо до усереднено! за кутовою змшною огинаючо!
1 2п
\р(р, 2) = —^у(р,в, 2)ав, взявши до уваги тшьки нижню дислокацшну зону.
2п 0
(р(р, 2) запишемо у вигляд1 штегралу Фур'е
у7(р,2)= {ф(р,к)е0аак . (7)
Виконавши штегрування у формул1 (6) з врахуванням Ур (р,в) = Ур за р ~ Ь 1 У0 (г) = У0 за г ~ Ь, отримаемо
Ф(р, к ) = [с'Ь^(Ь, Ь ) + сФ(Ь, к )] К0 (рРх2 + к2), (8)
де К0 - функщя Макдональда;
= тУрЬ2 ; , = т*(У0 - Ур)Ь2
с =-г—; с =
2П2
2П2
Необхщно зазначити, що як потужнють дислокацшного потенщалу с, так 1 потенщалу точкового дефекту, захопленого дислокащею С залежать вщ концентраци електрошв провщносп п0, константи деформацшного потенщалу зони провщносп 8, пружних сталих, оскшьки вс щ параметри входять у величи-
' е2Я ^
ну g g2 =- , яка е аргументом функцш Макдональда К1 (gp0) та Бесселя
^ £^0 )
11 (gp). Знайшовши Ф(Ь, к) 1з формули (8) \ використавши обернене перетворен-ня Фур'е до ц/( Ь, г), запишемо дисперсшне р1вняння
+» К0 (у/а2 + ) е^а^
С 1 - -(12 2\ = ^ а = ХЬ '
-х 1 -сК0ыа2 )
(9)
з якого знаходимо енерпю електрона, локал1зованого поблизу дефекту, захопленого дислокащею. З р1вносл (9) випливае, що для локал1зацп електрона необхщно, щоб виконувалась умова: с > 0, сС > 0. Огинаюча (р(р, г) мае вигляд
щ(р, 2 ) = (2ЬС )
2 •<
-ХР
К0 (Ьу1 х2+к2)К0 (рРх2+к2) екгак
р п -X 1
с К0 (Ьу1 х2 + к 2)
С =1
(10)
(11)
(а2 +£2) 1 -сК0 [ОЙ1)
Р1вняння 1 - сК0 (Ьу] х2 + к2) = 0 визначае закон дисперсп у дислокацшнш зош; кц - хвильовий вектор, який напрямлений вздовж дислокаци. Якщо в е
розв'язком рiвняння 1 - сК0 (в) = 0, то закон дисперсй в дислокацiйнiй зон набу-де вигляду
Е (кп ) = -Ем + ^, = У1) ° 2т 2т*Ь2
(12)
Оскшьки аналiтичний вигляд iнтегралiв у рiвняннях (9-11) невщомий, то обмежимось кшьюсною ощнкою.
Стану електрона, локалiзованого поблизу точкового дефекту, вщповщае енергiя Е < -Е0с, тобто необхiдно розглядати тiльки iнтервал значень а > в. За в = 0, що вiдповiдае с = 0, притягувальний дислокацiйний потенцiал Ув (р,#) вiдсутнiй. Тодi iнтеграл в рiвнянш (9) може бути знайдений
ехр\-хЬу[2 ] = ^27.
-1 пс
(13)
Л
Рiвняння (13) мае розв'язок за сС >—, який характерний для локального
п
потенцiалу у тривимiрному просторi [10]. За в ф 0 i а ^ в головною визначаль-ною е область малих %. Тод рiвняння (9) перетворюеться до вигляду
п1К(£)]1=1. (14)
К1 (в)7а2 -в2
Таким чином, за як завгодно мало! потужност потенцiалу точкового дефекту С вщ дислокацшно! зони вiдщеплюеться локальний рiвень. Прояв ще! загально! властивостi одновимiрних систем [10] зумовлений тим, що локалiзова-на хвильова функщя формуеться здебшьшого блохiвськими функцiями однови-мiрноl дислокацшно! зони.
За а >> в дисперсiйне рiвняння (9) можна представити у вигляд рiвностi (12). У цьому випадку рiвняння (9) мае розв'язок тшьки за достатньо великих
с' . .
— > > 1, за яких роль дислокацiйного потенцiалу неютотна.
с
У бездислокацiйнiй областi (с = 0) залежтсть енергетично! глибини локального рiвня домiшки вщ потужностi С потенцiалу точкового дефекту мае вигляд
2
Т?с1 _ Е01 =
П2
4т*Ь2
1п
'С
Л
п
(15)
Тодi, енергiя локального рiвня домiшки, яка захоплена крайовою дисло-
кацiею, аналогiчно (15)
^ Е0с - Е0С
Е0с
<< 1
Ес («0 ) = -Е0с
1 +
буде визначатись так:
\2"
п(К0 (в)) с К1 (в)
(«0 )
С > 0.
(16)
Конкретний розрахунок енерги електрона, локалiзованого на домiшцi, який захоплений крайовою дислокащею з врахуванням електрон-деформацшно!
взаемоди проводився для монокристашв СёТе, легованих домшками хлору (па = 1017 см "3 1019см "3).
На рис. 1 наведено залежнють енерги (Ёа < 0) електрона, локашзованого
на домшщ хлору (С1), яка взаемод1е з крайовою дислокащею вщ концентраци електрошв провщносп п0 = (1017 ^ 1019) см-3, а на рис. 2 - залежшсть енерги дислокацшного р1вня вщ п0. Як видно з рис. 1, 2, з1 збшьшенням концентраци електрошв пров1дносп п0 як енерпя зв'язаного електронного стану (ЁЁа) при захоп-
ленш домшки крайовою дислокащею (рис. 1), так { енерпя дислокацшного р1вня (Ё0а) (рис. 2) монотонно зростае, тобто локальний електронний р1вень зсу-
ваеться в бж дна зони провщносп (рис. 3). Зокрема, 1з збшьшенням концентраци
17 3 19 3
електрошв пров1дносп на порядок (10 см до 10 см ) енерпя електронного локального р1вня зростае на ~ 13 меВ.
На рис. 3 наведено зонну схему нашвпровщника телуриду кадмш (СёТе), легованого домшкою С1 з дислокацшною зоною та домшковим р1внем у забо-роненш зош (в1дшк енерги ведеться вщ дна зони провщносп) за р1зних значень концентраци електрошв провщносп п0 =(1017 ^ 1019)см-3. Якщо, згщно з [11],
енерпя юшзаци домшки ёа, яка знаходиться поза областю дислокацшно!
0i
1
взаемоди, визначаеться емшричним спiввiдношенням Ed = E0i - ö(n+)3 (де E0i -
18
енерпя юшзаци iзольованих донорш; а - 4.3-10 еВсм; ND - концентращя юш-зованих донорiв), то, згiдно з нашими результатами - сшввщношення (16). Як видно iз зонно1 схеми, енергiя юшзаци домшки Ed, яка не взаемодае з дислокащею становить ~ 30 меВ, тодi як енергiя iонiзацiï взаемодiючоï домшки Ed е меншою за Ed i енергiю дислокацшного рiвня E0d i е функщею вiд концентраци електронiв провiдностi. Зокрема, за n0 = 1017см"3 становить ~ -628 меВ, за
n0 = 1018см"3---615 меВ, за n0 = 1019см"3 ---607 меВ. Без врахування електрон-
деформацiйноï складовоï електростатичного потенцiалу (cpei.-def. = 0 ) енерпя до-мшкового рiвня становить -533 меВ. Енерпя зв'язку домшки з дислокащею
Eint = EEd - Eod за n0 = 1017см"3 становить близько 152 меВ, за n0 = 1018см"3- 153
i
меВ, no = 1019см"3--154 меВ. Внесок електрон-деформацшно1' складово1' електростатичного потенщалу в енергш зв'язку домшки з крайовою дислокащею за
n0 = 1017см-3 становить ~ 94 меВ, за щ = 1018см"3 — 81 меВ, за n0 = 1019см"3 — 73 меВ.
Таким чином, з ростом концентраци електрошв провiдностi в цьому ш-тервалi концентрацiй цей внесок зменшуеться на ~ 20 меВ.
Така змша енергетичного положення домшкового та дислокацiйного рiв-тв залежно вiд концентраци електронiв провщносп щ повинна спостерiгатися на експеримент з вимiрювання температурно1' залежностi електропровщносп монокристалiв CdTe, легованих хлором Cl [12-15] та на зсувi спектрального максимуму криво1' фотолюмiнесценцiï [16].
Рис. 1. Залежтсть енерги електрона, локалЬованого на домшщ, вiд концентраци електротв провiдностi п0
Рис. 2. Залежтсть енерги дислокацшного рiвня Е0с вiд концентраци електротв провiдностi п0
Е,еВ Е,еВ Е еВ
Рис. 3. Зонна схема HanienpoeidHuua телуриду кадмю (CdTe) з крайовою дислокащею легованого хлором (CI) з урахуванням електрон-деформацшно'1
взаемоди:
а) щ = 1017см"3; б) n0 = 1018см-3; в) щ = 1019см"3.
Ed - енерпя юшзаци домiшки, яка не взаeмодie з крайовою дислокащею; E0d - енерпя дислокацiйного рiвня; Edc - енерпя домiшкового рiвня без враху-вання електрон-деформацшно! складово! електростатичного потенщалу; Ed -енергiя юшзаци домшки.
Л1тература
1. Гуткин М.Ю. Равновесные конфигурации частичных дислокаций несоответствия в тонкоплёночных гетеросистемах / М.Ю. Гуткин, К.Н. Микаелян, И.А. Овидько // ФТТ. - 1998. - Т. 40, № 11. - С. 2059-2064.
2. Белявский В.И. Взаимодействие дислокации с точечным дефектом, образующим связанное электронное состояние / В.И. Белявский, Б.М. Даринский, В.В. Шалимов // Сборник Тульського политехнического ин-та ("Взаимодействие дефектов кристаллической решетки и свойства металлов").. - 1980. - С. 3-7.
3. Сидоров В.Г. Влияние внутренних механических напряжений на характеристики све-тодиодов из арсенида галия / В.Г. Сидоров, Д.В. Сидоров, В.П. Соколов // ФТП. - 1998. - Т. 32, № 11. - С. 1393-1398.
4. Cottrell A.H. Theory of brittle fracture in steel and similar metals / A.H. Сойге11, S.C. Hunter, F.R.N. Nabarro // Phil. Mag. - 1953. - Vol. 44. - P. 1064-1067.
5. Коваленко А.В. Электрические свойства гетероструктур ZnSe/GaAs (100), выращенных методом фотостимулированной газофазной эпитаксии / А.В. Коваленко // ФТП. - 1997. -Т. 31, вип. 1. - С. 11-14.
6. Давидов А.С. Теория твердого тела / А.С. Давидов. - М. : Изд-во "Наука", 1978. - Т. 1. - 478 с.
7. Бонч-Бруевич В.Л. К теории электронных состояний, связанных с дислокациями / В. Л. Бонч-Бруевич, В.Б. Гласко // ФТТ. - 1961. - Т. 3, вип. 1. - С. 36-52.
8. Стиган И. Справочник по специальным функциям / И. Стиган. - М. : Изд-во "Наука", 1979. - 81 с.
9. Ястребов Л.И. Основы одноэлектронной теории твердого тела / Л.И. Ястребов, А. А. Кацнельсон. - М. : Изд-во "Наука", 1981. - 320 с.
10. Ландау Л.Д. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М. : Изд-во "Наука", 1974. - 225 с.
11. Debye P.P. Electrical Properties of #-Type Germanium / P.P. Debye, E.M. Conwell. -1954. - Vol. 93, № 4. - Р. 693-706.
12. Zanio K.R. Cadmium Telluride. Semiconductor and semimetals / K.R. Zanio. - New-York : San Francisco, 1978. - Vol. XVI. - 236 p.
13. Акимов Ю.К. Полупроводниковые детекторы в экспериментальной физике / Ю.К. Акимов, О.В. Игнатьев, А.И. Калинин, В.Ф. Кушнирук. - М. : Изд-во "Наука", 1989. - 344 с.
14. Матвеев О.А. Антиструктурные дефекты TeCd в кристаллах CdTe / Матвеев О.А., Те-рентьев А.И. // Письма в ЖТФ. - 1997. - Т. 23, № 4. - С. 30-34.
15. Матлак В.В. Электропроводность полуизолирующего CdTe / Матлак В.В., Илащук М.И., Парфенюк О. А., Павлин П. А., Савицкиц А.В. // ФТП. - 1977. - Т. 11, вип. 12. - С. 2287-2291.
16. Song S.H. Photoluminescence study on compensating defects in CdTe: Al / Song S.H., Wong J., Ishikawa I., Seto S., Isshiki M. // Journal of Crystal Growth. - 2002. - P. 1726-1730.
Баран М.М., Васькович И.М. Влияние электрон-деформационного взаимодействия на энергию связи примеси с краевой дислокацией
Исследовано влияние самосогласованного электрон-деформационного взаимодействия на энергетическое положение локального уровня донорной примеси, захваченной краевой дислокацией, дна дислокационной зоны и на энергию связи примеси с краевой дислокацией в зависимости от концентрации электронов проводимости в полупроводнике.
Ключевые слова: концентрация электронов, проводимость, краевая дислокация, энергетическое положение, электрон-деформационное взаимодействие, примесь.
Baran M.M., Vaskovich I.M. Influence of electron-deformational interaction on energy of impurity connection with edge dislocation
The article explores the impact of self-consistent electron deformational interaction on the energy location of local level donor impurity, seized by the edge dislocation, the bottom of dislocation area and on energy of impurity connection with edge dislocation, depending on the concentration of conduction electrons in semiconductor.
Keywords: electron concentration, conductance, edge dislocation, energy location, electron-deformational interaction, impurity._
УДК338.2.001.573 (075.8) Доц. Л.М. Буяк-Басараба, канд. екон. наук;
викл. В.К. Паучок - Терноптьський НЕУ
ДИНАМ1ЧНА МОДЕЛЬ СТРУКТУРУВАННЯ С1ЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА ЗА ВЕЛИЧИНОЮ КАП1ТАЛУ,
ФОНД1В Й УГ1ДЬ
Для дослщження процеав структурування сшьського господарства за величиною катталу, фондiв й упдь розроблено динамiчну модель взаемоди учасниюв аграрного виробництва й виробниюв сшьськогосподарсько! техшки, яю д^ть в умовах
