CC BY
12
5. ШФОРМАЦНПИ ТЕХНОЛОГИ' ГАЛУЗ!
УДК 537.[226+311]/0.1 Доц. М.М. Баран, канд. фю.-мат. наук;
доц. 1.М. Васькович, канд. екон. наук - НН 1нститут пгдприемництва та перспективних технологш НУ "Львгвська полгтехтка "
ЗАЛЕЖН1СТЬ ЕНЕРГН ЕЛЕКТРОННИХ СТАН1В, ЛОКАЛ1ЗОВАНИХ НА КРАЙОВ1Й ДИСЛОКАЦП, В1Д КОНЦЕНТРАЦН ДОНОР1В
Дослiджено енергетичний спектр електронних станiв, локалiзованих на крайо-вiй дислокацп в модел^ яка враховуе як електростатичну, так i деформацiйну взаемо-ди мiж зарядженою крайовою дислокацiею i вшьними електронами. Показано, що збiльшення концентраци донорiв п^ призводить до пониження локальних електронних рiвнiв, а енергетична вщстань при цьому мiж вiдповiдними електронними рiвня-ми зростае.
Ключовг слова: електрон-деформацшний потенцiал, концентрацiя електрошв провiдностi, зони провiдностi, крайова дислокащя, донори.
Проведений огляд л1тературних джерел [1-3] показуе, що заряджеш дислокацп описують в межах електростатично! модел1 [3], у якш крайову дислокащю розглядають у вигляд1 прямолшшно! заряджено! нитки з ль ншною густиною заряд1в |г|, а незаряджеш дислокацп описують двома ос-новними моделями дислокацшних електронних сташв:
а) модель "об1рваних" зв'язюв [4], яка враховуе короткод1ючий потенщал зарядженого ядра дислокацп;
б) модель деформацшного потенщалу [5], у якш локал1защя електрошв здшснюеться далекод1ючим мехашко-деформацшним [6] \ електрон-де-формацшним полями [7]. У згаданих лггературних джерелах [5-7] енергетичний спектр електронних сташв, локал1зованих на крайовш дислокацп, знаходився або в пол1 електростатичного потенщалу [2], або в пол1 мехашко-деформацшного потенщалу [6].
Отже, на цей час, актуальним стае дослщження енергетичного спектра електронних сташв локал1зованих на крайовш дислокацп в модел1, яка враховуе як електростатичну, так 1 деформацшну взаемодп м1ж зарядженою крайовою дислокащею 1 вшьними електронами.
Розглянемо нашвпровщник п-типу (CdTe: О; ZnSe: Al, Ga) з густиною донор1в п¿. Густина дислокацш N¡1 така, що рдавсью цилшдри [1] рад1усом Я не перекриваються (пЯ2 < 1/ Nd). У раз1 виконання останньо! умови у першо-му наближенш електронш стани формуються практично вщокремленими крайовими дислокащями. Заряджена дислокащю розглядають, як р1вном1рно заряджену лшю з лшшною густиною |г| = впЯ2щ . М1ж зарядженою дислокащею 1 вшьними ношями беруть до уваги як електростатичну взаемодт [1]
V (Г )=*
ее0а
21П Г Я 1-(1 - *
(1)
де: R - радiус цилшдрично! областi позитивного просторового заряду, що визначаеться з умови рiвностi позитивного заряду цилшдра i вщ'емного заря-
f
1/2
[8]; f =--коефiцiент заповнення дисло-
c
ду дислокаци, тобто R =
\nand
кацй; а - перiод гратки вздовж осi дислокаци; с - середня вщстань мiж елек-тронами на дислокаци. Зазвичай, f < 0,1 [8]; nd - концентрацiя донорiв у на-пiвпровiднику n-типу;
так i сумарну деформацiйну, яка включае як механiко-деформацiйний потен-цiал [6]
Vmech. (р, в) = SUmech. (р, в) = — ' - ^ . ■ — ■ COS в, (2)
2п(1 — v) р
C
де v =----коефiцiент Пуассона, Q - пружнi сталi (i, j=1,2); р,в - по-
C11 + C12
лярнi координати; р0 - радiус ядра дислокаци (р=(1^2)а, а - постшна гратки); кут в вщраховуеться вiд додатково вставлено! дислокацшно! площини до радiуса-вектора р = (x, y) у кристаичнш площинi XOY, b = (b, 0,0) - вектор Бюргерса (рис. 1); так i електрон-деформацшний [7]
Vel—d =
DS Р
S 2Rs K p
■( (gp) K (gp) — 1)
(3)
де: К - пружна стала; р=(2-3) b - радiус ядра дислокаци; I\ (gp), K (gp -
функци Бесселя i Макдональда першого роду порядку одинищ.
Дислокащйна площина
Рис. 1. Модель кристала з крайовою дислокащею. Вiсiмка, яку позначено штриховою лШею, зображае електрон-деформацшний диполь, котрий 1снуе вздовж оЫ дислокаци (01)
Рух носив розглядають у наближенш ефективно! маси, а вплив дефор-маци гратки - у наближенш деформацшного потенщалу. Розрахунок енерге-тичного спектра електронних статв, локалiзованих на крайовiй дислокаци, проводять в однозонному наближеннi на основi рiвняння Шредiнгера:
h 2 d 2R
2m* dp2
.J2* {m2 — 1 | + Vn R = ER;
2m p2 I 4
де Vint =
e2nndR2 SS0
2in R—
Р
2
1—Р
DS
S 2R„
K p
■(2pI (gp)K (gp) — 1) — 1
(4)
(5)
У рiвняннi (4) сума двох доданкiв (другого i третього) описуе ефек-тивну потенцiальну енергiю електрона в полi заряджено! дислокацп
Уеф= Уп +-
%
2 * 2 Г" 4 Г (6)
2т р2 ^ 4
Розкладемо потенцiальну енергiю Уеф. в ряд поблизу точки р0, яку можна знайти з умови Уф = 0
Уеф.(р) = Уеф.(Ро) + ■ (Р - Р0)2-
(7)
в якiй Уеф. мае мiнiмум. За |р - р0| << р0 у рядi можна обмежитися лише двома доданками, де
уеф.( ро )=-
3%2| т2-1
4 I 2е2жпа ро2 + К2 2ББ
* -4
т ро
ЕЕ 0
Ро
Р0
Б 2Кз К р
Р
(8)
Якщо радiальнi функцп К (р) iстотно вiдмiннi вiд нуля лише в област таких значень змшно! р (|р-рр << ро), то для наближеного розрахунку К(р) i рiвнiв енергл Б^ц ми приходимо до задачi про гармонiчний осцилятор з точкою рiвноваги р = р0. При цьому
(Р-Р0 )2
К (р) = -,-
рпр(пр)\ро4Л
де пр - радiальне квантове число,
Ро =
■ ехр
2 (ро )2
■ Нп
р - ро Ро
Уеф. (ро)
Б+|= Уеф.(ро) Ч^
■ (п -|т |) .
(9)
(10)
(11)
Для справедливой! отриманих результапв (9), (11) необхiдно, щоб виконувалася умова: К (р) була ютотно вiдмiнна вiд нуля лише за |р - ро| << р0. Враховуючи, що К (р) iстотно вщмшна вiд нуля при
~ (р - ро )2 ^ %ю(п-|т|), (12)
де: ~ИтвБ, ю = Уф., то умова |р-р0| << р0 набуде вигляду:
п <<
3(т2 -Г| + е2жпа(рр + К2)ррт* + РБрт* (Б^Ка(I 1
2%2ее0 7%2ее0 Кр g
41
^ у/2 -1
|т|,(13)
чим i визначаеться область застосування отриманого наближеного розв'язку.
На рис. 2 наведено концентрацшну залежнiсть енергп електронних сташв Бп,|т|, локалiзованих на крайовш дислокацп у монокристалi СёТе: С1.
Епт,еВ -0.09
Рис. 2. Залежшсть енерги локалiзованихpieHie eid концентраци doHopie Обчислення цих залежностей проводили за значень napaMeTpiB:
m* = 0.11mo, K = 0.198 S = 4.51eB, f = 0.1. A
Як видно з рис. 2, залежшсть енерги електронних сташв En,| m| вiд концентраци донорiв nd (nd = (1016 + 1018) см-) мае монотонно спадний характер.
Зокрема, збшьшення концентраци донорiв nd на два порядки призводить до пониження локальних електронних рiвнiв вщповщно на ~ 77мeB, ~ 59MeB, ~ 26MeB . Таку поведiнку електронних рiвнiв можна пояснити тим, що з ростом nd глибина електростатично! деформацшно! потенщально! ями Vеф. (формула 7) зростае. Окрiм цього, з ростом ступеня легування енергетична вщстань мiж вiдповiдними електронними рiвнями зростае. Наприклад, за концентраци 4-1017см "3 вiдстaнь мiж електронними рiвнями E10 i E21 стано-вить ~ 6,8MeB, а за 1018см "3 - ~ 19MeB.
Л1тература
1. Шикин В.Б. Заряженные дислокации в полупроводниковых кристаллах / В.Б. Шикин, Ю.В. Шикина // Успехи физических наук : научн. журнал. - 1995. - Т. 165, № 8. - С. 887-917.
2. Бонч-Бруевич В.Л. К теории электронных состояний, связанных с дислокациями /
B. Л. Бонч-Бруевич, В.Б. Гласко // Физика твердого тела : наук. журнал. - 1961. - Т. 3, вип. 1. -
C. 36-52.
3. Стасюк 1.В. Деформацшш i елекгронт стани натвпровщника поблизу межi под^ областей з рiзними мехaнiчними напруженостями / 1.В. Стасюк, Р.М. Пелещак // Укра1нський фiзичний журнал : наук. журнал. - 1994. - Т. 39, № 7. - С. 856-861.
4. Осипьян Ю.А. Спектр дислокационных состояний в полупроводниках / Ю.А. Осипья-н, И. А. Рыжкин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1980. - Т. 79, № 3(9). - С. 961-973.
5. Emtage P.R. Binding of Electrons, Holes, and Excitons to Dislocations in Insulators / P.R. Emtage // Phys. Rev. - 1967. - Vol. 163, № 3. - Р. 865-872.
6. Paidar V. Local density of electronic states at the core of the screw dislocations in BCC lattice / V. Paidar // Phys. Stat. Sol. - 1981. - Vol. 103, № 2. - Р. К93-К97.
7. Landauer R. Bound States in Dislocations / R. Landauer // Phys. Rev. - 1954. - Vol. 94, № 5. - Р. 1386-1388.
8. Шикин В.Б. О заряженных дислокациях в полупроводниках / В.Б. Шикин, И.И. Шикин // Физика твердого тела : наук. журнал. - 1988. - Т. 30, вип. 5. - С. 1297-1304.
Баран М.М., Васькович И.М. Зависимость энергии электронных состояний, локализированных на краевой дислокации, от концентрации доноров
Исследован энергетический спектр электронных состояний, локализированных на краевой дислокации в модели, которая учитывает как электростатическое, так и деформационное взаимодействия между заряженною краевой дислокацией и свободными электронами. Показано, что увеличение концентрации доноров nj приводит к понижению локальных электронных уровней, а энергетическое расстояние при этом между соответственными электронными уровнями увеличивается.
Ключевые слова: электрон-деформационный потенциал, концентрация электронов проводимости, зоны проводимости, краевая дислокация, доноры.
Baran M.M., Vaskovich I.M. Energy Dependence of electron positions located on the edged dislocation from the concentration of donors
Energy spectrum of electron positions located on the edged dislocation in the model which takes into consideration both electrostatic and deformational interactions between charged edged dislocation and free electrons has been researched. It is shown that the increase of concentration of donor nj results in lowering of local electronic levels, and power distance here between corresponding electronic levels grows.
Keywords: electron-deformational potential, concentration of conduction electrons, conduction area, dislocation, donors.
УДК 517.95+534.1 Доц. П.Я. Пукач, канд. ф1з.-мат. наук -
НУ "Львгвська полгтехтка "
ЯК1СН1 МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ КОРЕКТНОСТ1 РОЗВ'ЯЗКУ В МАТЕМАТИЧН1Й МОДЕЛ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ КОЛИВАНЬ НАП1ВНЕОБМЕЖЕНИХ ПРУЖНИХ Т1Л
Викладено методику ягасного дослщження розв'язку математично! моделi ко-ливань натвнеобмежених пружних тш. Розглянута система узагальнюе систему не-лшшних хвильових рiвнянь, яка вивчаеться в теори пружностг Отримано класи ко-ректност узагальненого розв'язку - ваговi соболевсьга простори функцш з ягасною поведшкою на нескшченностг
Ключовг слова: нелшшш коливання, нелшшна крайова задача, метод Гальорга-на, метод монотонности необмежена область.
Актуальшсть проблеми та огляд основних результат1в. Активiза-щя теоретичних дослщжень вивчення динамiчних явищ у нелшшних коли-вальних конструкцiях за ди рiзного роду збурень (силових, шерцшних, кше-матичних) зумовлена як лопкою розвитку динамiки коливальних систем, так й штересами рiзноманiтних практичних застосувань. Цю проблему достатньо дослщжено у випадку коливальних систем, що моделюються лiнiйними ди-ференцiальними рiвняннями (див. для прикладу [1]). Зазвичай, таю розрахун-ки не приводять до цшком адекватного вiдображення динамiчних явищ, ос-кiльки процеси в реальних системах не може бути описано в термшах вик-лючно лшшно! теорп. Усе це призводить до зниження цшносп отриманих результапв дослiдження та до визнання необхщносп проведення розрахункiв на основi нелшшно! теорп.
Асимптотичнi методи нелшшно! мехашки дали змогу дослiдити широкий клас механiчних коливальних систем для випадку мало! залежносп ам-
