Возвратные ориентационные переходы в ферронематике Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2006 Физика Вып. 1

Возвратные ориентационные переходы в ферронематике

А. Н. Захлевных, А. Р. Абдуллин

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Предложен новый вклад в термодинамический потенциал ферронематика, содержащий дополнительную восприимчивость во внешнем магнитном поле, обусловленную сцеплением магнитных частиц с жидкокристаллической матрицей, и на его основе в рамках континуальной теории исследована ориентационная и магнитная структура ферронематика со слабым гомеотропным сцеплением между молекулами жидкого кристалла и феррочастицами под действием внешнего магнитного поля. Изучены индуцированные внешним магнитным полем переходы в ферронематике с изменением характера поверхностного сцепления на частицах, найдена зависимость пороговых полей переходов от материальных параметров ферронематика, определена область значений материальных параметров ферронематика, при которых оказываются возможными возвратные фазовые переходы.

1. Введение

Ферронематики (ФН) - это магнитные суспензии игольчатых частиц ферро- или ферримагнети-ка в нематических жидких кристаллах (ЖК). Их характерной особенностью является наличие сильной ориентационной связи между анизометричны-ми магнитными частицами и ЖК-матрицей. По этой причине даже небольшая концентрация твердой фазы (доли процента по объему) в суспензии повышает магнитную восприимчивость на несколько порядков по сравнению с чистым жидким кристаллом, так что ферронематики ориентируются весьма слабым (< 10 Э) магнитным полем.

Как известно, в нематическом ЖК ориентация директора п - направления, вдоль которого в среднем упорядочены длинные оси анизометрич-ных молекул, является вырожденной. Это вырождение снимается внешними полями или границами ячейки, в которой находится жидкий кристалл. Внешние поля (например, магнитное) ориентируют директор. Если анизотропия ха Диамагнитной восприимчивости ЖК положительна, директор п ориентируется в направлении магнитного поля Н, в противном случае - перпендикулярно Я. Таким образом, если ЖК неограничен, направление директора п определяется минимумом свободной энергии

Р*.=-\хЛ*и)г. (1)

Ниже мы будем полагать анизотропию диамагнитной восприимчивости Ха положительной величиной.

В ферронематике, наряду с указанным выше диамагнитным вкладом (1) в свободную энергию, имеется и ферромагнитный вклад (2), обусловленный влиянием магнитного поля на магнитные моменты феррочастиц

РГегго =~М3/тН. (2)

Здесь М5 - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, / - объемная доля частиц в суспензии, т - единичный вектор намагниченности М = М5f т ферронематика.

В ферронематике переменные пит являются связанными, поскольку на поверхности магнитных частиц имеется сцепление с ЖК-матрицей. Это взаимодействие переменных пит описывается заданием в термодинамическом потенциале плотности свободной энергии поверхностного сцепления

XV

рапск =~ Ятп)2- (3)

а

Параметр IV представляет собой анизотропную часть энергии поверхностного натяжения и называется энергией сцепления; с! - диаметр частицы. При IV >0 слагаемое (3) минимизируется при т 1 п , т. е. в отсутствие магнитного поля отвечает гомеотропному сцеплению магнитных частиц с ЖК-матрицей. Конечные значения энергии сцеп-

© А. Н. Захлевных, А. Р. Абдуллин, 2006

ления Ж приводят к тому, что угол между векторами пит меняется под влиянием внешних воздействий.

При положительной диамагнитной анизотропии (*я>0) диамагнитное взаимодействие (1) стремится ориентировать директор п в направлении магнитного поля Н. Вместе с тем в направлении поля Н будут ориентироваться и магнитные моменты частиц вследствие ферромагнитного взаимодействия (2). Указанные взаимодействия являются конкурирующими вследствие гомео-тропного (т 1 п) сцепления (3) магнитных частиц с ЖК-матрицей. Эти ориентационные механизмы стремятся повернуть ориентационную структуру ферронематика в противоположных направлениях.

Симметрия ферронематика допускает существование дополнительного полевого вклада (4) в свободную энергию ферронематика. Этот вклад инвариантен относительно замены п на -я и квадратичен по магнитному полю И:

Под действием поля Н - (О, Я ,0) исходная ориентационная структура ферронематика деформируется и векторы пит можно искать в виде (см. рис. 1):

п = (cos(р, sin <р, 0), т =(-sin^, cos^,0). (6)

Таким образом, угол между направлениями п и т не является фиксированным, но меняется под действием внешнего поля И вследствие конечной энергии сцепления W.

Fadd = YinH){mH\nm).

(4)

Здесь у - дополнительная восприимчивость, которая может иметь любой знак.

В настоящей работе на основе модифицированной с учетом вклада (4) континуальной теории [1,2] исследуются ориентационные эффекты, возникающие под действием магнитного поля на ферронематик. Рассмотрен ферронематик с конечной энергией сцепления магнитных частиц с жидкокристаллической матрицей; вид поверхностного сцепления - гомеотропный - отвечает реальным ферронематикам. Как показано ниже, теория предсказывает существование трех ферронематических фаз (гомеотропную, угловую и планарную) с различными относительными ориентациями директора и намагниченности и возвратные переходы между ними. В данной работе изучается ориентационная структура этих ферронематических фаз.

2. Ориентационные явления в ферронематике

Выберем плоскость векторов л и т в качестве плоскости (х, у). Приложенное магнитное поле Я = (0, Я, 0) вызывает искажение исходного состояния ферронематика. Опуская несущественную для неограниченного ферронематика плотность энергии неоднородности поля директора (потенциал Франка), запишем объемную плотность свободной энергии ферронематика в виде суммы вкладов 0)-(4):

/г = -^а(»й)2-Л/1Л<"Я) +

Ж 1

+ — / (пт) + у(пН)(тН)(пт). (5)

с1

Рис. 1. Геометрия

Подставляя выражение (6) в (5), находим

F = ~~ХаН2 sin2 <p-MsfH cosy/ +

W . 2 1

+ —/sin (ф-у/) + уН sin^cos^sin(^3-^). (7)

a

Выражение (7) удобно переписать в безразмерном виде. Выбирая в качестве единицы напряженности поля величину Я0 = MJI ха , так что Я = И0И,

где h - безразмерная напряженность поля, получаем

F = хаН0 Л2 sin2 р-Acosy/+

+ a sin 2 (<р - \f/) + kh2 sin <p cos y sin(p - if/) ]. (8)

Здесь введено обозначение сг = Wxa /(М2 / d) для

безразмерной энергии сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей. Будем полагать а > 0, так что в отсутствие магнитного поля директор ориентируется перпендикулярно главным осям частиц (т!и), обеспечивая гомеотропные условия сцепления. Безразмерный коэффициент к = у!ха мо' жет иметь любой знак.

Минимизация свободной энергии (8) по <р и у/ дает условия равновесия ферронематика:

dF/d<p = dFIdv/ = 0. (9)

Подставляя в (9) явный вид свободной энергии (8), находим

(к -1 )h2 sin 2(р + (2ст + kh2)sin 2(<р-у/) = 0, (10)

2/jsin - kh2 sin 2\f/ + (к -1 )h2 sin 2^o = 0 . (11)

Система уравнений ориентационного равновесия (10), (11) имеет три решения, удовлетворяющие условиям минимума

d2F д(р2

>0,

d2F d2F д(р2 дц(2

' d2F ^ д<рдц/

>0 (12)

и отвечающие однородным ферронематическим фазам. Перечислим эти фазы.

Фаза I, в которой (р = I// -■ 0 , т. е. и = (1,0, 0), т = (0,1, 0). Эта фаза характеризуется гомеотроп-ным сцеплением магнитных частиц с директором, в ней магнитные частицы ориентированы по полю Я =(0, Я,0), директор ортогонален полю - см. рис. 2.

Фаза И, в которой ср = <р0(И,(т, к), Ч/ = у/0(И, а, к) - т. н. угловая фаза. Здесь <р0 и

- углы ориентации директора и намагниченности в однородной ферронематической фазе, значения которых зависят от напряженности поля и материальных параметров суспензии и определяются условиями минимума свободной энергии (10) и (11) по <р0И1//0.

Л £ А||. Пороговые поля й_|_ и к\ определяются уравнениями

кгк\ -(2к - + 2ст(Л1 -1) = 0, (13)

к(3к - 2)^ + (2к - 1)(2ст Лц - н}) - 2о = 0, (14)

вытекающими из (10) и (11).

Заметим, что соотношения (8), (10), (11), (13) и (14) при к = 0 переходят в полученные ранее в работах [1,2].

При к = -0.1 из уравнений (13) и (14) получаем следующую фазовую диаграмму - см. рис. 3.

l" 1 \llll/ \llll/ , II /ГО1"11 . . 'Ш уф Фл / / '/// н > — — -

фаза I фаза II фаза III

Рис. 2. Ориентационная структура ферронематика

Фаза III, в которой (р = п!2, ^ = 0, т. е.

п = (0,1,0), т = (0,1,0). В этой фазе условия сцепления магнитных частиц с директором являются планарными, так как и директор, и магнитные частицы ориентированы по полю Я = (0, Я ,0) - см. рис. 2. Это планарная ферронематическая фаза III.

Гомеотропная ферронематическая фаза I термодинамически устойчива при И<,И1, угловая фаза II устойчива в диапазоне полей И± £ И < Лу, планарная ферронематическая фаза III устойчива при

Рис. 3. Фазовая диаграмма при к = -0.1 на плоскости (И, су)

Показанная на рис. 3 фазовая диаграмма качественно не отличается от случая к = 0, рассмотренного в работах [1,2]. Согласно рис. 3, в слабых полях И<И1 устойчива ферронематическая фаза 1, в которой т || Я 1 п , т. е. состояние с гомеотроп-ными условиями сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей. Иными словами, любое сколь угодно слабое поле ориентирует ферронематик таким образом, что вектор намагниченности т поворачивается в направлении поля. При достижении полем И порогового значения И± это состояние сменяется фазой II, в которой векторы Н, л и т компланарны, а углы ср0 и у/0 ориентации директора и намагниченности относительно поля Я определяются уравнениями (10), (11) и являются функциями материальных параметров ферронематика и напряженности поля, при этом величины углов 0 < (р0, < л 12.

В фазе II при увеличении напряженности поля функция <р0(И) монотонно возрастает от нуля при

Рис. 4. Углы <р и у/ как функции напряженности поля при к~-0.1 и сг = 1/4 (слабое сцепление); Ах =0.469, А,, =0.851

71/ 2-

п/4 -

ются значения пороговых полей и Ац, а также

ширина переходной угловой фазы II (см. рис. 4 и 5). Переходы между фазами I - 111 носят пороговый характер и осуществляются по типу фазовых переходов второго рода (роль параметра порядка

, 2

при Переходах играет величина ср).

3. Возвратные фазовые переходы

Диамагнитное взаимодействие (1) стремится ориентировать директор п по магнитному полю Я, кроме того, в направлении поля Я будут ориентироваться и магнитные моменты частиц из-за ферромагнитного взаимодействия (2). Эти взаимодействия являются конкурирующими вследствие гомеотропного сцепления (3) магнитных частиц с ЖК-матрицей. Дополнительный вклад (4) в свободную энергию при положительных значениях к=у/%а минимизируется при условиях перпендикулярности любой пары векторов Я, п и т. Конкуренция вкладов (1)—(4) в свободную энергию жидкого кристалла порождает так называемые возвратные фазовые переходы, которые оказываются возможными, как будет показано ниже, при к> 0.

И ю

Рис. 5. Углы ср и у как функции напряженности поля при к =-0.1 и о = 10 (жесткое сцепление); А± =0.946, А), =8.413

А = Ах до л 12 при А = Ау, в то время как угол ^о(А), начиная с А = А±, увеличивается, достигая максимума, а затем уменьшается до нуля при А = /^ (см. рис. 4). В ферронематической фазе III

происходит изменение условий сцепления магнитных частиц с матрицей от гомеотропных к планарным, т. е. директор поворачивается по направлению ПОЛЯ вследствие Ха > 0 и конечной энергии сцепления а . При А = Ау фаза II сменяется фазой III, в которой т || п || Я . Заметим, что с ростом поверхностной энергии сцепления а увеличива-

фаза

фаза

0 0.5 1 1.5 С 2

Рис. 6. Фазовая диаграмма при к = 0.1 на плоскости (А, о). Здесь сг* = 0.393

На рис. 6 показана фазовая диаграмма ферронематика при Л = 0.1, полученная из уравнений (13) и (14). Как следует из уравнения (14), вид кривой А|| (а) качественно меняется при положительных значениях параметра к. В этом случае зависимость Ац(ег) становится неоднозначной и кривая

Ац(сг) пересекает ось значений А при А = 0 и А = Ас, где

1-2 к

к(2-3к)

Вершина кривой Лц (<т) на рис. 6 отвечает значениям

2(1-2А)Лц + ЗА(3*-2)Лц 2(1-2 к)

*2

\3к*-\0к + \ + у[(к

1)2(1 + 14Л -23Л2)

Щ2к-1)(Зк-2)

(15)

.(16)

возвратные фазовые переходы ФН I - ФН II - ФН III - ФН II. Зависимости углов ориентации директора и намагниченности для а <, а* показаны на рис. 7.

При энергии сцепления а > а в слабых полях (ИйИ±) устойчива ферронематическая фаза I, т. е. состояние с гомеотропными условиями сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей (см. рис. 8). При достижении полем значения И± это состояние сменяется угловой ферронематической фазой II, в которой углы ФО и 1^0 стремятся к л/2 лишь при

И -> оо, т. е. при <7 > а* планарная фаза III, для которой п = (0, 1, 0), т = (-1, 0, 0) не достижима

- см. рис. 8.

Рис. 7. Углы <р и у/ как функции напряженности поля при к =0.1 и сг = 1/4 (слабое сцепление); здесь =0.536, А}1* =1.350, й{2) =3.912

При а < <т любое сколь угодно слабое поле ориентирует ферронематик таким образом, что вектор намагниченности т поворачивается в направлении поля Я, при этом директор ортогонален полю. При достижении полем И значения Их происходит переход в состояние II, в котором углы <р0 и у/0 являются функциями напряженности поля и материальных параметров суспензии. При И = угловая ферронематическая фаза II сменяется фазой III, в которой условия сцепления магнитных частиц с директором являются планарными; эта фаза термодинамически устойчива в диапазоне полей < И < (см. рис. 6 и 7). При

(2)

дальнейшем росте И, т. е. при И > ' фаза III

сменяется фазой II, где углы <р0 и у/0 при И -> оо асимптотически стремятся к л /2, т.е. п = (0, 1, 0), т = (—1, 0, 0). Иными словами, при

Ф

сх < су с ростом напряженности поля имеют место

40

Рис. 8. Углы <р и у/ как функции напряженности поля при к = 0.1 и <7 = 10 (жесткое сцепление);

= 0.962

4. Результаты и выводы

В работе в рамках модифицированной континуальной теории, основанной на функционале свободной энергии, изучены искажения ориентационной структуры ферронематика под влиянием внешнего магнитного поля. Предложен дополнительный вклад в потенциал свободной энергии ферронематика, который инвариантен относительно замены л на -л и квадратичен по магнитному полю Я. С учетом этого вклада найдена равновесная ориентационная структура ферронематика в магнитном поле.

Показано, что ориентационная структура ферронематика в магнитном поле существенным образом зависит от знака дополнительной восприимчивости у, связанной с предложенным слагаемым.

Установлено, что при у < 0 не происходит качест-

венного изменения фазовой диаграммы по сравнению со случаем у = 0 [1, 2], меняются лишь значения пороговых магнитных полей и йц пере-

ходов в угловую и планарную фазы соответственно. При у > 0 фазовая диаграмма приобретает качественно иной вид: она содержит область значений параметров, в которой возможны так называемые возвратные фазы. В этом случае с ростом напряженности внешнего магнитного поля в неограниченном ферронематике происходят переходы,

при которых меняются условия сцепления на частицах от гомеотропных к планарным, а затем снова к гомеотропным.

Список литературы

1. Захлевных А. Н. И Вестн. Перм. ун-та. 2003. Вып. 1. Физика. С. 81.

2. Zakhlevnykh А. N. // J. Magn. and Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238.