Влияние анизотропии поверхностного сцепления на пороговые поля ориентационного упорядочения в ферронематических жидких кристаллах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Физика Вып. 1 (17)

Влияние анизотропии поверхностного сцепления на пороговые поля ориентационного упорядочения в ферронематических жидких кристаллах

А. Н. Захлевных, О. Р. Семенова

11ермский государственный университет. 614990, Пермь, ул. Букирева. 15

В работе изучено влияние внешнею магнитного поля на ориентационное упорядочение ферронематика в плоскопараллельной ячейке. Рассмотрен ферронематик с мягкими гомеотроп-ными условиями сцепления магнитных частиц с нематической матрицей. В качестве потенциала поверхностною сцепления на обкладках слоя выбран модифицированный потенциал Рапини. Определены пороговые значения напряженности магнитных полей, вызывающих структурные переходы в ферронематической ячейке, и исследована их зависимость от материальных параметров магнитной суспензии и энергии поверхностного сцепления.

1. Введение

К настоящему моменту проведено множество теоретических исследований ориентационного упорядочения жидких кристаллов (ЖК) внешним полем в присутствии ограничивающей поверхности, когда анизотропная часть поверхностной энергии сцепления представлялась потенциалом Рапини [1 -3]

Г^Аіу(пе)2,

где и директор ЖК. е - ось легкого ориентирования директора на поверхности. IV - поверхностная плотность энергии сцепления молекул ЖК со стенками ячейки. Однако экспериментальные наблюдения в ряде случаев не согласовывались с результатами, рассчитанными при использовании формулы Рапини. в частности, в случае достаточно сильных внешних полей [3 - 5]. Поэтому некоторые авторы начали использовать применительно к нематическим жидким кристаллам новую форму потенциала энергии поверхностного сцепления, представляющую собой модифицированную формулу Рапини. Например, в работах [6 - 8] авторы в качестве поверхностного потенциала используют потенциал вида

Г, = — IV БІІ1" 0(1 4- £ БІП ‘ в), (I)

где в - угол между осью легкого ориентирования е п директором //. се [-1,1] параметр модификации.

В работах [6, 7] изучено влияние параметров потенциала (1) па тип ориентационных переходов и установлено, что в плоском слое ЖК моп’т происходить переходы первого рода, если С < 0 и величина IV достаточно мала, что отвечает мягкому поверхностному сцеплению. В работе [8] показано, что в зависимости от параметров потенциала (1) могут происходить ориентационные переходы первого или второго рода, исследованы энергии различных состояний нематика и было установлено существование нескольких фаз с одинаковой энергией, т.е. были обнаружены бистабильные состояния нематика.

В данной работе рассматривается влияние анизотропии поверхностного сцепления на критические поля ориентационных переходов для ферронематика с положительной анизотропией диамагнитной восприимчивости.

Известно, что ферронематики представляют собой суспензии иглообразных ферромагнитных частиц в нематических жидких кристаллах [9, 10]. В них, в отличие от чистых нематиков, наряду с квадрупольным механизмом взаимодействия с магнитным полем присутствует еще и дипольный механизм влияния поля на магнитные частицы. Поэтому ориентационные переходы в ферронематиках осуществимы в достаточно слабых магнитных полях.

© А. Н. Захлевных, О. Р. Семенова. 2008

При исследовании ферронематических жидких кристаллов энергию сцепления с ограничивающей поверхностью обычно выбирают в форме потенциала Рапини (см. например, [11, 12]). В работе [13] был использован модифицированный потенциал поверхностного сцепления применительно к ферронематикам, когда ось легкого ориентирования директора направлена ортогонально обкладкам слоя и исследована возможность фазовых переходов первого рода.

В данной работе ориентация директора в отсутствие поля на границах слоя задана легкой осыо е=(1.0.0), что отвечает планарному

сцеплению директора с границами. Поверхностный потенциал на ограничивающих поверхностях имеет следующий вид:

^ =4И'о (н*е)2 [1-С(//хе): ], (2)

где // - директор нематического жидкого кристалла, параметр 1У0 > 0 - поверхностная плотность

сцепления директора с границами, которая является мерой глубины минимумов потенциала ; £е[0,1] - параметр поверхностной анизотропии. В

зависимости от величины данного параметра потенциал (2) имеет один или два минимума. Для

0 потенциал достигает минимального значения при п |! с (планарное сцепление), а для С, =1 - при п 1 е (гомеотропное сцепление).

2. Система уравнений

ориентационного равновесия

Рассмотрим плоскопараллельную ячейку ферронематика толщиной /.. Предположим, что ограничивающие поверхности идентичны друг другу, ось легкого ориентирования е параллельна этим поверхностями и направлена по оси д:: е=(1,0,0).

Выберем ось г перпендикулярно плоскости слоя, так что 5=0 соответствует нижней границе, а 1-1 - верхней границе, внешнее магнитное поле направим вдоль ограничивающих поверхностей в направлении оси у: //=(0,//,0) (см. рис. 1).

Равновесная конфигурация поля директора и намагниченности определяется условием минимума полной свободной энергии ферронематика

Г= + (3)

включающей в себя как объемную, так и поверхностную части.

Объемная плотность свободной энергии ферронематика определяется выражением [9, 12]

1 IV к Т

--а\х^„Н)2-М,/тН+-?-Атп)2+^-Лп/-

2 а V

(4)

Здесь Кц - константы Франка ориентационной упругости жидкого кристалла, %а ~ анизотропия диамагнитной восприимчивости (а = 1 для %а > 0 и сг = — 1 для ха к 0 )> Н - напряженность внешнего магнитного поля, М5 - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, V - объем частицы, / - объемная доля магнитных частиц в суспензии, т - единичный вектор намагниченности М = М5/т ферронематика, с1 - диаметр частицы, Т - температура, кв - постоянная Больцмана. Параметр IVр представляет собой

анизотропную часть энергии поверхностного натяжения на поверхности магнитных частиц и называется энергией сцепления магнитных частиц с нематической матрицей. Предполагается \Ур> 0 ,

что отвечает мягкому гомеотропному сцеплению магнитных частиц с нематической матрицей, при котором в отсутствие внешних полей /И _1_ И .

Представим компоненты директора п и намагниченности т в виде (см. рис. 1)

Я = (сО5^(г),8ШГ/7(2),0) ,

т=(-ь'\пу/(г), соБу/(г),0), (5)

где (р{г) - угол ориентации директора относительно оси х, у/(г) - угол ориентации намагниченности относительно поля Н .

Рис. 1. Ориентация директора п и единичного вектора намагниченности т относительно напряженности магнитного поля Н - (0, Н, 0)

Выберем в качестве единицы длины толщину ячейки , тогда величина г будет безраз-

мерной координатой. В этом случае выражения (2) и (4) для плотностей свободных энергий можно записать в безразмерном виде:

/

/

+ И’ ----sin" (<P~4S)+K — In f\.

р /о /о ■

(6)

Здесь введены обозначения для безразмерных комбинаций материальных параметров

£=М'ч/йи^К22\ха\ и к=^кнТ/0/(уК22), производной по безразмерной координате <р'=с1(р/с& ,

безразмерной энергии сцепления магнитных частиц с нематической матрицей

и^, =1?/01Ур безразмерной напряженно-

сти магнитного поля Н=ЬН(\ха\/К22)' 2, средней

конценграции магнитных частиц в суспензии /() = ЛЧ>/Т (N - число частиц, V - объем ферро-нематика). Смысл параметров с и к обсуждался ранее в работах [14 - 16]. Параметр £ представляет собой [14] отношение дв\х характерных полей:

<f =H/Hj. Здесь Hj=K22/(MJqL2)

поле.

при котором происходит искажение директора под действием только дипольного механизма;

//(/ =/, 1 (К121Ха )'/2 “ характерное поле, вызывающее искажение директора под действием квад-рупольного механизма. Если ц»1, то ориентационные деформации происходят благодаря дипольному механизму, а в случае ^«1 - квад-рупольному. Тем самым параметр £ характеризует режимы влияния внешнего поля на ферронематик. Параметр /г = (£/Л)2, где

А =(\'К22 / /0к,}Т)1'2, - так называемая сегрегационная длина [10], задающая характерный масштаб области концентрационного расслоения. Параметр л' ответствен за сегрегационный эффект; в пределе л»1 этот эффект несуществен.

Аналогично можно записать вклад поверхностной энергии

Fs=-

[ 1 . ? г . **

- нъ sin 1 -с, sin“ ip

<; hs\n і// = w sin 2(ер-їм)

С L

f- /o0exp-|— cosv^—- , (9)

К К

J

A' ‘ (0>o • )) = - w0 sin 2^0

А(<РтМ<Рт)) = °>

<P(=)

(P0

(H)

(12)

где введены обозначения <р^-(р{г) |?=0,

<Рт=<Р@) 1?=|/2. А{(р,ч/{(р))=С-И2 бш2 <р-2к/1 /0. Величина Q определяется соотношением

1/с/У = М’, представляющим собой условие постоянства числа частиц в суспензии, С - константа интегрирования, определяется из условия

(7)

где введено обозначение для безразмерной энергии сцепления на границах слоя и'0 =И'0/./К22.

Уравнения ориентационного равновесия находятся из условий минимума полной свободной энергии (2) и имеют следующий вид:

(8)

l-2£sin* (р0 , (10)

<Рт .

J/T11 {(p,if/{(p))d(p=-.

<Ро

(13)

Полученная система уравнений (8) - (13) допускает существование трех типов решений, которые соответствуют трем видам упорядочений:

• однородное упорядочение (p—i// = 0 отвечает начальному состоянию ферронематика, для которого директор направлен вдоль оси легкого ориентирования, а магнитные частицы ортогональны директору;

• возмущенное состояние ферронематика определяется неоднородными решениями

0<(p(h,^w0,wp^)<Tr/2\

• состояние насыщения <р=л/2, i// = 0. для

которого как директор, так и намагниченность ориентированы вдоль направления приложенного поля.

Ниже будут рассмотрены индуцированные магнитным полем ориентационные переходы между этими состояниями ферронсматика в отсутствие эффекта cci-регации (л-»1). В этом случае выражение для функции A{(pjf/{(p)) принимает вид

A=C-h2 sin2 (р-2%hcosy/ +2w sin2{(р-ц/).

3. Критические поля

3.1. Переход из однородного состояния в состояние возмущенного упорядочения

Система уравнений (8) - (13) позволяет найти пороговое поле hF перехода из однородной фазы

в возмущенную, называемое полем Фредерикса. Как следует из п.2, вблизи точки перехода между однородным и возмущенным состояниями значения углов (р и (// малы, что позволяет найти решение системы уравнений (8) - (13). В низшем по-

рядке разложения по малым (р и у/ находим уравнение для критического поля Ир

(14)

Рассмотрим частные случаи уравнения (14). В пределе жесткого сцепления ( ->оо) поле Фредерикса Ир определяется уравнением

И} -<%Ир /(! + £/»/.- ))=л2. В случае чистого

нематика (£ = 0) находим Ир = л , которое в размерных единицах совпадает с известным значением критического поля перехода Фредерикса

Я, =

л К

11

Ха

В случае слабого сцепления (и^-^О) поле

Фредерикса согласуется с выражением, полученным в работе [17):

и\

-1 + ,х

\| «V

(15)

При этом, если созданы жесткие условия сцепления на поверхности частиц (\\’р -> °°), поле Фредерикса Ир = %.

В пределе слабого (р -> 0) сцепления частиц

с нематической матрицей при фиксированном значении \\>0 поле Фредерикса Ир определяется урав-

/ гг-------- \

нением

= Н',

о •

1 + Л+

2£"

И'’,

(17)

которое было получено в работе [17]. Это же выражение получается, когда С, = 0.5 . В случае жесткого сцепления на обкладках слоя (и/0 -»оо) находим, что иоле насыщения И8 -» оо .

В случае чистого нематика (£ = 0 ) поле насыщения определяется уравнением

И5 / 2) = и'о, которое получается для нематика в 1\у1з1-геометрии с использованием поверхностного потенциала Рапини = 0 ) [18].

В пределе жесткого (м>р -»со ) либо слабого (м>р -»0) сцепления на поверхности магнитных частиц поле насыщения И3 определяется соответственно уравнениями

И8 =

2м>,

1 + -

3.2. Переход из возмущенного состояния в состояние насыщения

Уравнения ориентационного равновесия допускают решение <р=л/2, <//=0 , которое соответствует ориентации директора и намагниченности вдоль приложенного магнитного поля. Полагая <р=л/2-6(р, 5(р« 1, \1/-8ц/, £<//«1 и производя линеаризацию уравнений (8) - (13) по малым 6<р и 8ц/, находим поле насыщения И3, при котором

происходит переход из возмущенного состояния в состояние насыщения:

7 , 2и> пЕИ*

огАа/2-*0(1-20, аг2 =/»£+- Р~, • (16)

2 \Vp-Zhs

Исследуем некоторые частные случаи. Для слабого сцепления ( уу0 -»0 ) директора с границами

слоя поле насыщения определяется выражением

и -2», -2*>, /2^ = »0(1-2О.

На рис. 2-5 представлены зависимости поля насыщения И3 (сплошные кривые) и поля Фредерикса Ир (пунктирная кривая) от энергии сцепления на обкладках слоя >у0 для ферронематика с £ = 0.5 и N^=10 (рис. 2); £ = 5, и^=10 (рис. 3), м>р - 1 (рис. 4), ^^=0.1 (рис. 5) при различных

значениях С, . Ниже кривых Ир(м>0) находится однородная фаза. Прямые 5, соответствующие значению параметра модификации ^ = 0.5 , определяют поля насыщения согласно выражению (17).

Рис. 2 отвечает жесткому сцеплению магнитных частиц с нематической матрицей. Как видно, в случае слабого сцепления на ограничивающих поверхностях (н'о —>0 ) поле насыщения И8 определяется выражением (17) и его значение равно И$ =40.49, а поле Фредерикса Ир =0.49 (см.

(15).

Как показано на рис. 4 и 5, в зависимости от энергии сцепления на нижней границе и'ди энергии сцепления феррочастиц с нематической матрицей \\>р имеют место соотношения И$>Ир или

И8 <Ир , т.е. кривая И$(м>0) лежит выше или ниже

кривой Нр(и'о). Область значений параметров,

для которых И3>Ир, отвечает ориентационным

переходам второго рода из однородной фазы в возмущенную и далее с ростом поля переходу в состояние насыщения (что будет показано ниже,

Рис. 2. 'Зависимость поля насыщения (сплошная кривая) и поля Иг (пунктирная кривая) от энергии сцепления на обкладках слоя и'0 для ферронематика с с = 0.5 и и’ =10. Кривая 1 соответствует С-0, кривая 2 - С=0.2. 3 - £=0.3, 4 - С = 0.4, 5 - £ = 0.5 . Кривые 4 и 5 трудно разрешимы

Рис. 3. Зависимость поля насыщения (сплош-ная кривая) и поля /?,.■ (пунктирная кривая) от энергии сцепления на обкладках слоя и'0 для ферронематика с с =5 и м =10. Кривая 1 соответствует £ = 0. кривая 2 £ = 0.2. 3 - £=0.3,

4- £=0.4, 5- С = 0.5

Рис. 4. Зависимость поля насыщения hs (сплошная кривая) и поля И у (пунктирная кривая) от энергии сцепления на обкладках слоя w0 для ферронематика с £=5 и wp =1. Кривая 1 соответствует £ = 0. кривая 2 - £~0.2. 3 - £ =0.3, 4- С=0.4.5 - £ =0.5

роль параметра порядка при переходе играет величина sin2 срт).

Заметим, что с увеличением параметра £, ха

рактеризующего режимы влияния магнитного пол* на ферронематик (см. рис. 2 и 3). увеличиваете; поле Фредерикса hj: и уменьшается поле насыше

ния hs. Из сравнения рис. 2 и 3 следует, что прр одинаковой энергии поверхностною сцепления н; поверхности магнитных частиц и- =10 (жестко

сцепление) соотношение /г.у >/?,. выполняется npi любых значениях энергии поверхностного сцепле ния па обкладках слоя w0, что соответствует ори

ентационным переходам второго рода. Рис. 3 - : соответствуют одинаковым значениям £=5 и раз

ным значениям энергии поверхностного сцеплени. w . Как видно, уменьшение wp приводит

уменьшению поля Фредерикса h}. и увеличении

поля насыщения hs, т.е. к ориентационным пере

ходам второго рода.

Как видно из рис. 4 и 5, рост параметра пс верхносгной анизотропии £ приводит к увеличе

нию области ориентационных переходов первог рода.

Рис. 5. Зависимость поля насыщения И5 (сплошная кривая) и поля Ир (пунктирная кривая) от энергии сцепления на обкладках слоя и'0 для ферронематика с £=5 и мр=0.1. Кривая 1 соответствует £=0, кривая 2 - £ =0.2, 3 - £=0.3, 4-£=0.4, 5- £ = 0.5

4. Ориентационная структура

ферронематика в магнитном поле

На рис. 6 и 7 изображены зависимости угла ориентации директора в середине слоя (рт (рис. 6) и ограничивающих поверхностях <р0 (рис. 7) для ферронематика с £=5, =0.1 и >^=5 для раз-

личных значений параметра поверхностной анизотропии £. Точки пересечения кривых с осью абсцисс соответствуют критическим полям перехода Ир (см. (14) и рис. 5) (здесь Иг =2.32). Поля насыщения, при которых срт = л /2 и щ = л / 2, имеют значения /?х = 5.08; 3.27; 2.44; 1.61;0.47 (см. рис. 5) для £ = 0; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5 соответственно. Как видно из рис. 6 (кривые 4 и 5), для пороговых полей имеет место соотношение И$<Ир\ неоднозначность кривой (рт{И) свидетельствует о скачкообразном переходе однородной фазы в возмущенную (переход первого рода), смена возмущенной фазы на состояние насыщения происходит по типу перехода второго рода. Из кривых

2 и 3 следует, что увеличение поля приводит к плавной смене однородной фазы на возмущенную в поле Ир и скачкообразному переходу от возмущенного упорядочения в состояние насыщения в полях И > И$ > Ир . Для £ = 0 (кривая 1) смена фаз

в магнитном поле осуществляется по типу перехода второго рода.

Рис. 6. Зависимость угла ориентации директора в середине слоя (рт от напряженности магнитного

поля И для ферронематика с £=5. =0.1 и

= 5. Кривая 1 соответствует £=0, кривая 2-£=0.2, 3~ £=0.3, 4-£=0А, 5-£ = 0.5

Рис. 7. Зависимость угла ориентации директора на ограничивающих поверхностях <р0 от напряженности магнитного поля И для ферронематика с £=5, ул?р =0.1 и и-'0 = 5 . Кривая 1 соответствует £=0, кривая 2 - £=0.2, 3 - £=0.3, 4 -£=0.4, 5- £ = 0.5

Таким образом, параметр поверхностной анизотропии £ влияет на характер перехода между

фазами, его увеличение приводит к увеличению области переходов первого рода.

5. Заключение

В работе изучено влияние поверхностной анизотропии на характер ориентационного упорядочения в плоскопараллельной ячейке ферронематика. Для этого был выбран потенциал поверхностного сцепления (2). Показано, что в слое могут сушествовать три типа ориентационного упорядочения. Один отвечает однородному упорядочению, а два других - возмущенному состоянию и состоянию насыщения.

Получены уравнения, определяющие критическое поле перехода из однородного состояния в состояние с возмущенным упорядочением и критическое поле перехода из возмущенного состояния в состояние насыщения. Найдены зависимости критических полей переходов между фазами от материальных параметров ферронематика и по-всрхност ной анизотропии.

Установлено, что в зависимости от величины энергии поверхностного сцепления переход между' фазами может быть переходом либо первого, либо второю рода.

Показано, что на характер перехода оказывает существенное влияние константа поверхностной анизотропии ^: рост параметра поверхностной

анизотропии С приводит к увеличению области

ориентационных переходов первого рода.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта 07-02-96007 РФФИ-Урап и гранта РЕ-009 CRDF.

Список литературы

1. Rapini А , Papoular Л/. // J. dc Phys. Colloq. 1969.

Vol. 30. P. C4 54.

2. Blinov L. M, Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. Springer - Verlag, New York, 1994.

3. Sonin A. The Surface Physics of Liquid Crystals (Gordon and Breach Publishers). 1995.

4. Guochen Y., Jianru S., Ying L. II Liquid Crystals. 2000. Vol. 27. P. 875.

5. Guochen Y., Suhua Z. // Ibid. 2002. Vol. 29. P. 641.

6. Yang G.-C., Shj .J.-R. and Ling Y. II Ibid. 2000. Vol. 27. P. 875.

7. Yang G.-C. and Zhang S.-H. II Ibid. 2002. Vol. 29. P. 641.

8. Yang G.-C., Guan R.-H. and Huai J. // Ibid. 2003. Vol. 30. P. 1225.

9. Brochard F., Gennes de P. G II J. de Phys. 1970. T. 31. P. 691.

10. Жен де П.Ж. Физика жидких кристаплов. М.: Мир, 1974. 400 с.

11. Burylov S. V., Zadorozhnii V. I., Pinkevich /. P., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2002. Vol. 375. P. 525.

12.Burylov S. V., Raikher Yu. L. II Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 358.

13. Bena R. E., Petrescu E. // J. Magn. and Magn. Mater. 2003. Vol. 263. P. 353.

14. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. II Ibid. 1995. Vol. 146. P. 103.

15. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. II Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593.

16. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. II J. Magn. and Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279.

17. Zakhlevnykh A. N. II Ibid. 2004. Vol. 269. P. 238.

18. Nehring J., Kmetz A. R, Scheffer T. J. II J. Appl. Phys. 1976. Vol. 47. №3. P. 850.