Переход Фредерикса в ферромематиках при наличии сдвигового течения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Физика Вып. 1 (17)

Переход Фредерикса в ферронематиках при наличии сдвигового течения

А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В работе исследуется влияние сдвигового течения в плоском слое ферронематика на переход Фредерикса в магнитном поле. Динамика ферронематика описывается в рамках обобщенной континуальной теории Эриксена-Лесли. Рассмотрена ориентация магнитного поля, ортогональная плоскости слоя. Для данной конфигурации получены однородные стационарные решения для плоских полей директора и намагниченности при различных значениях напряженности магнитного поля, энергии сцепления магнитных частиц с нематиком, упругих констант Франка, сегрегационного параметра и числа Эриксена. Обнаружено, что при любых значениях реактивного параметра, кроме единицы, наблюдается размывание фазового перехода между ориентационными состояниями. Учет энергии упругих деформаций показывает, что для ферронематиков с неориентируемой течением ИЖК-матрицей существуют стационарные решения, которые описывают ориентации полей директора и единичного вектора намагниченности в плоскости сдвигового потока.

1. Введение

Сложные многокомпонентные магнитные материалы представляют интерес для исследований благодаря наличию у них новых свойств, которые отсутствуют у каждого из веществ, их составляющих по отдельности. Новые свойства и более сложное поведение таких материалов обусловлены ; появлением дополнительных степеней свободы и новых механизмов взаимодействия с внешними силовыми полями. Одним из таких материалов яв-

1 ляется суспензия магнитных частиц в нематических жидких кристаллах (НЖК). Данные суспензии принято называть ферронематическими жидкими кристаллами или просто ферронематиками (ФН). После того как Брошар и де Жен []] предложили внедрить ферромагнитные частицы в жидкие кристаллы с целью увеличения их магнитной восприимчивости, эти суспензии были синтезированы [2-5]. Появились теоретические и экспериментальные работы, посвященные коллективным эффектам в ферронематиках [6-9] и влиянию внешних силовых полей на их структуру [10-21]. Однако влияние течений на ферронематические жидкие кристаллы долгое время оставалось не изученным. Совсем недавно в работах [22-23] было проанализировано влияние сдвигового течения на ориентационные фазы неограниченного ФН в магнитном поле. Данная работа продолжает начатое в работах [22-24] исследование совместного

влияния течения и магнитного поля на ориентационную структуру нематических жидких кристаллов и магнитных суспензий на их основе.

В работе анализируется влияние сдвигового течения в слое ферронематика на переход Фредерикса в однородном магнитном поле. В рамках обобщенной континуальной теории Эриксена-Лесли построена система интегральных уравнений, описывающая поведение ориентационной структуры ферронематического жидкого кристалла при совместном действии сдвигового течения и однородного магнитного поля.

Рассмотрена конфигурация, в которой магнитное поле ориентировано ортогонально скорости потока ферронематика и лежит в плоскости сдвига. На границах слоя ферронематика были заданы условия жесткого планарного сцепления. На поверхности магнитных частиц сцепление предполагалось мягким и гомеотропным. Кроме того, было использовано приближение линейного распределения поля скорости ферронематика внутри слоя.

Получены стационарные решения для плоских полей директора и единичного вектора намагниченности с учетом сегрегационных эффектов в ферронематических жидких кристаллах. Рассмотрены случаи как ориентируемых, так и неориенти-русмых течением жидкокристаллических матриц со стержнеобразными молекулами. Произведен численный расчет углов поворота директора и намагниченности для различных значений напряженности приложенного магнитного поля, энергии

© А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров, 2008

сцепления магнитных частиц с нематиком, упругих констант Франка, сегрегационного параметра и числа Эриксена.

2. Основные уравнения

2.1. Свободная энергия ферронематика

Континуальный подход к описанию феррожид-кого кристалла был впервые предложен в работе [1]. Его основу составляет обобщение термодинамического потенциала (свободной энергии)

Р = жидкого кристалла с учетом того, что в

матрицу введены в небольшом количестве однодоменные игольчатые частицы магнитной примеси. В работе Брошар и де Жена [1] сцепление магнитных частиц с жидкокристаллической матрицей полагалось абсолютно жестким. В реальных ферронематиках это не так, и позднее Бурыловым и Райхером [6] был предложен потенциал мягкого поверхностного сцепления магнитных частиц с матрицей, позволяющий рассматривать поля директора и намагниченности как независимые переменные. Объемную плотность свободной энергии ферронематика с учетом мягкого сцепления можно записать в следующем виде:

К =

^ = -Р, + /^ + /^ + /^ + /<5 ,

(сПуя)2 + К2(н гот)2 +К3(/1хго1#|)2

= т- Н, Ъ=--Ха(п-Н)2,

кпТ

Г4=^/1п/, ^=^Пи-т)2.

V с!

Здесь К|, К2, К3- модули ориентационной упругости нематического жидкого кристалла (константы Франка), п - директор ферронематика (единичный вектор, характеризующий направление преимущественной ориентации длинных осей молекул нематика), Мх - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, / - объемная доля магнитных частиц в суспензии, т - единичный вектор вдоль намагниченности суспензии, ха

- анизотропия диамагнитной восприимчивости нематика (далее всюду предполагается, что Ха> 0), V - объем феррочастицы, кв - постоянная Больцмана, 7' - температура, и1 - поверхностная плотность энергии сцепления молекул нематического жидкого кристалла с поверхностью магнитных частиц, с1 - диаметр феррочастицы. Значение и-- выбирается положительным, так что в отсутствие магнитного поля минимуму энергии ^ соответствуют гомеотропные условия сцепления на частицах (т 1 п).

Слагаемое ^ представляет собой объемную

плотность энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Франка), Р2 -

объемная плотность энергии взаимодействия магнитного поля Н с магнитными моментами ц = феррочастиц (дипольный механизм

влияния магнитного поля на ФН), - объемная

плотность энергии взаимодействия магнитного поля // с нематической матрицей (квадрупольный механизм влияния магнитного поля), - вклад энтропии смешения идеального раствора магнитных частиц в объемную плотность энергии, -

объемная плотность энергии поверхностного взаимодействия магнитных частиц с директором. Магнитными диполь-дипольными взаимодействиями будем пренебрегать вследствие малой объемной доли / «1 феррочастиц в суспензии.

2.2. Уравнения движения ферронематика

Уравнение движения ферронематического жидкого кристалла [25] согласно теории Эриксе-на-Лесли можно записать следующим образом:

(1у> я ш

(2)

(О здесь <//<# = д/д1 + укдк - полная производная по времени, <тк, = а'к1 + <Ук^ - тензор напряжений, являющийся суммой тензора вязких напряжений а'к1 и тензора напряжений Эриксена ак^. Здесь введено обозначение дк =д/дхк и далее всюду предполагается суммирование по повторяющимся тензорным индексам.

Уравнение несжимаемости имеет вид

д,у1 = Ап = 0, (3)

где А1к - (1/2)(д*и, +9,-17*) - симметричная часть

тензора градиентов скоростей.

Выражение для тензора вязких напряжений сг'к1, записанное в предположении линейности

обобщенных потоков по отношению к сопряженным им обобщенным силам, может быть записано в следующем виде:

а'к1 = а]пкп1п,п1пА1т + а2пкЩ, +ауЛ +

+а4 Ак1 + а5 пк п. А,, + а6п,п, А1к . (4)

Шесть коэффициентов а3 имеют размерность вязкости и носят название коэффициентов Лесли по имени ученого, который впервые ввел их в гидродинамику жидких кристаллов. Только пять из них являются независимыми, т. к. между ними существует связь, впервые выведенная Пароли [25]:

а2+ау =аь~а5

(5)

Вектор /У, представляет собой скорость изменения директора относительно движущегося жидкого кристалла и определяется соотношением

#/ = --щпк, си

где о>,к - {\/2){дкУ1-дрк) - антисимметричная часть тензора градиентов скоростей.

Тензор напряжений Эриксена сгк*\ входящий в тензор напряжений ак1, дается выражением

= ~Р5кі -

дР

-д,п,,

д(дкп,)

где р - давление, 5кі - символ Кронекера,

(6)

2.3. Уравнения движения директора и вектора намагниченности

Уравнение движения директора ^ [25] имеет

вид

Нп) =У\М<+У2ПкЛкИ

(7)

где коэффициенты вращательной вязкости нематика у\ и у2 соотношением взаимности Онсагера связаны с коэффициентами Лесли:

У\ =^з-*2

у2 =а2+а3.

Уравнение движения единичного вектора намагниченности ті [26]

■у**

>Г

И\т) =(У]рмі + У2рткАі)І,

(8)

и Уір - коэффициенты вращательной вяз-

гДе У\Р » чР кости магнитных частиц.

Вектор М! характеризует скорость изменения

единичного вектора намагниченности т, относительно движущегося жидкого кристалла:

при дополнительных условиях п~ = 1 и т2 ~ 1, учитываемых методом множителей Лагранжа.

2.4. Уравнение диффузии магнитных частиц

Уравнение диффузии магнитных частиц в нематике (закон сохранения числа магнитных частиц) запишем следующим образом [26]:

§+э,(г,/)=о.

(9)

Здесь =-Вд^{т)!/) - скорость феррочастиц относительно нематической матрицы, В - коэффициент переноса, V - объем феррочастицы,

+ Р5 - вклад магнитных частиц в

свободную энергию Р ферронематика (1).

Таким образом, уравнения (1) - (9) представляют собой полную систему уравнений динамики ферро нематика.

3. Переход Фредерикса в

М. =^--о)іктк Л

ферронематиках сдвигового тeчe^ Рассмотрим слой ферр кристалла толщиной О , з мя параллельными пласти носительно друг друга с п (см, рис.1). г О '////////////У///////// при наличии 1ИЯ □нематического жидкого аключенный между дву-[нами, движущимися от-остоянной скоростью И £/ /Ш////////////////////у

2 т ш /Я

-.1* РА О X

Молекулярные поля и Ь\т), входящие в уравнения движения директора (7) и вектора намагниченности (8), определены следующим образом:

4"°*--------+ 0к

дт, д(дкт,)

Вследствие единичности векторов п, и т, вариация свободной энергии Р должна производиться

дщ

аг

д{дкп,)'

ЗР

2 ттттшшттшт

Рис. 1. Ориентация слоя ферронематика, находящегося в магнитном поле Н

Введем прямоугольную систему координат, ось х направим вдоль траектории движения пластин, ось 2 - перпендикулярно пластинам; начало координат выберем в середине слоя. Нижняя пластина в данной системе координат неподвижна. Сцепление директора п на ограничивающих слой пластинах будем считать жестким и планарным; анизотропию диамагнитной восприимчивости Ха будем считать положительной. Пусть к ферроне-

матику приложено однородное магнитное поле в плоскости сдвига Я = Я(со$<р//, 0, 5т$0я). Тогда поля скорости V, директора п и единичного вектора намагниченности т будем искать в виде

я = (ф), 0, О),

/1=(сО8 0>(г), 0,

/и = (-Бт^О), 0, соб^С^)). (10)

Используем приближение линейного распределения поля скорости внутри слоя [24]:

V =

ъ1Л0

здесь С/ - скорость движения верхней пластины, 7) - толщина слоя. Уравнения движения ферронематика (2) - (3) в стационарном случае {дп/д( = 0) приобретают вид

сіи_Ц_

(Ь~И'

р = ^^-(а] біп2 (р + аь)$\х\2(р- К^ср)

где А'(^) = соб2 <р+К3зт2 <р

(П)

с1(р

(к

Из уравнения движения директора (7) получаем

(к1 2 сіср

с1К(с1<р'2 \ & J

■~%аН2™2 {<р-(рн)~

\\){ 1 с1и

—-$\п2((р-ч/)--— (у, + у2 соб2<р) = 0 , (12) а 2 а!

а из уравнения (8) для вектора намагниченности имеем

И’/" .

Мх /Н соэ{у' ~(рц)----эт 2((р-ц/) +

сI

+ ~~/(Г\,,-Г2рсо^/) = 0’ (13)

Уравнение диффузии магнитных частиц (9) позволяет найти функцию распределения частиц

/ = /0£(2Е((р,ч/),

(14)

0/2

|£(р>, ц/)ск

-0/2

Е{(р, у/) =

I А/,Н\> . и'У . т. .)

= ехр{- -7- Ъ\г\^-(рн)-----~ ~51П-{(р — $У)

[ V

На пластинах, ограничивающих слой, заданы планарные граничные условия:

<р{~0/2) = (р{0/2) = 0 . (15)

Введем безразмерные параметры

Я

И =-------, На

И,

А_

'Ха&

, Ь = -^, я =

я

Ха

к = &А = -Ь.,а У\

К

У\

Гір а2р= —

У1

/о квт&

Ег__ЩО ^ N. —2 2 (1К} ° V Кр

В качестве единицы длины выберем толщину слоя и введем безразмерную координату г = г/7).

После обезразмеривания уравнений (12) - (14) получим

К{(р)

с12(р 1 4- с1К ( сіср'у

сЕ2 2 сіср {£)

--/7-бш2 {(р-(р„)-

- о@Е((р, ц/)$\п2(<р -1//) - Ег{\ - Ясоб2(р) = 0, (16)

6/гСОБ(у/- ) - СГ БІП 2($с - ^) +

+/Ег(я\р - а2р со$2і}/) = 0, (17)

ті

/ = «/), е =

1/2

-1/2

|£(р, у/)<£

(18)

с граничными условиями

(р{-1/2) = ^(1/2) = 0,

где /С(<р) =С052 (р + Азт2

(19)

£(<?, у/) = ехр] - — вт(^ - <рн) - — эт2 {(р - у) к

I ?

Далее всюду знак тильды над безразмерными величинами опускается.

В качестве единицы измерения напряженности магнитного поля используется величина

= 1/£>д//С|/ха • Параметр И является безразмерной напряженностью магнитного поля, а реактивный параметр Я, коэффициенты а(/, и а2р

представляют собой отношение коэффициентов вращательной вязкости нематика и магнитных частиц (в нематиках, составленных из палочкообразных молекул, Л > 0), а характеризует энергию сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей, д

- сегрегационный параметр, а Ег - число Эриксе-на. Типичные значения материальных параметров нематика и магнитных частиц следующие:

/0~1(Г7, А',,£3~1(Г6 дин, У\,У2 ~ Ю-1 пуаз,

У\Р> У2Р ~ 1 "Уаз, /о ~Ю 6, Мя ~ 102 Гс, \02

эрг/см2, с/ ~ 10-5 см, 0-10 2 см, {У-Ю-2 см/с, Я~102Э, 7' ~ 300 К . откуда находим А~ 1.

а\р’а2р~]0> Ег~ Ю»

10

-1

6-10

и

Из сделанных выше оценок видно, что для реальных значений материальных параметров /Ег « а. В этом случае, как видно из уравнения

(17), можно пренебречь влиянием течения на ориентацию магнитных частиц, тогда система уравнений (16) - (18) примет следующий вид:

2.. ,

vt sd*<p \dK K(<p)-Z- +

dz~ 2 dcp

d(p

dz

-oQE(cp, ^)sm2(^-^)-£>(l-/lcos2^) = 0 , (20)

bhcos(i// -cpH)-crsin 2(<p-i//) = 0 , (21)

-1-і

/ = f0QE(cp, y),Q =

1/2

1

-1/2

JE{cp, ц/)(к

, (22)

где K{cp) - cos2 (p + Asin2 (p ,

E((p, ip) = exp]-— sin(y/ -cpH)~ — sin2(^-^/)і.

I <T £ J

Однородные решения данной системы уравнений были проанализированы ранее в работах [22-23].

Рассмотрим неоднородные решения для полей директора и намагниченности. Умножим уравнение (20) на dcp/dz, а уравнение (21) на

QE(cp,y/)di// j dz, вычтем из первого уравнения второе и получим

-^h2sin2(<p-<pH) +

d 1 dK Ґ dcp^

dz 2 dcp ч dz j

( Л Л + дОЕ(<р, і//) - Er 1-----cos2<p

V 2

= 0. (23)

Учитывая, что в середине слоя отклонение угла директора максимально, т.е. = 0 при г = 0,

интегрируя уравнение (23), имеем

dz-±

К(ср) Ф (<р,у/)

dcp,

(24)

где К{,ср) — cos2 ср л- ksin2 (р ,

Ф(<р, у/) = h2 [sin2 (ср - <рн) - sin2 ((ро - (ри)]+

+2Er{cp ~(Pq) + ЕгЛ(sin 2ср0 - sin 2(р) +

+ [£(<%, ц/0) - Е(ср, ц/)].

Здесь <р0 = ср(0) - угол ориентации директора в середине слоя, а = ^(0) - угол ориентации вектора намагниченности в середине слоя. Интегрируя уравнение (24) по полутолщине слоя и используя граничные условия (19), получим следующее интегральное уравнение:

<Рй\

И

ад

ф(ср, I//)

d(p

(25)

Уравнение (25) со знаком плюс дает решения, отвечающие положительным, а со знаком минус -отрицательным значениям угла ориентации директора.

Нормировочный интеграл Q (22), входящий в

уравнение (25), используя соотношение (24), можно переписать в следующем виде:

2 Q = ±

<Ро

\е(<р, V)

Ч<р)

Ф (ср, у)

-1-і

d<p

Таким образом, стационарные решения, описывающие возмущенное состояние директора и вектора намагниченности в середине слоя ФН, найдутся из следующей системы интегральных уравнений:

<Ра\

н

2 Q = ±

\е{<р,у)

ф {ср, у/)

Ш

dcp,

Ф (ср,ч')_

dcp

(26)

(27)

bhcos(^-<pw)-asin2{ср-ір) = 0 , (28)

/ = foQE(cp, if/), (29)

где K(cp) = cos2 ер + £sin2 (p,

Ф{cp, if/) = h2[sin2{cp-cpH)~sin2(cpQ -cpH)]+

+2Er(<p -cp0) + ErA(sin 2<p0 - sin 2ф) +

+ 2Qg[E(cpQ,if/0)-E(<p,y/)].

Таким образом, система уравнений (25) - (29) определяет зависимости углов ориентации директора ср и намагниченности \р ферронематика в

сдвиговом потоке от напряженности h, угла ориентации магнитного поля (рн , энергии сцепления

а, анизотропии упругости к, сегрегационного параметра д, реактивного параметра Я , параметра b и различных значений числа Эриксена Ег .

4. Магнитное поле ортогонально плоскости слоя

Направим магнитное поле Я = (0, 0, //) перпендикулярно плоскости слоя ферронематика (см. рис. 1). Результаты численного решения системы уравнений (25) - (29) для данной ориентации магнитного поля представлены на рис. 2-5. Наличие

сдвигового течения (Ег * 0) не меняет порогового

характера перехода только при условии равенства абсолютных значений коэффициентов вращательной вязкости (Л = 1). Величина критического поля

в этом случае такая же, как и в статическом переходе (Ег = 0), но симметрия нетривиальных решений теперь нарушается (рис. 2 и 3, штриховые линии). Наличие течения приводит к отсутствию инвариантности уравнений (25) - (29) по отношению к замене % -» ~* “У'о • Тривиальные

решения (р0 = ц/0 = 0 по-прежнему существует для любых значений напряженности магнитного поля И. Ветви решений, отвечающие неоднородному состоянию директора, смещаются вниз.

Рис. 2. Угол ориентации (р0 директора п

как функция безразмерной напряженности магнитного поля Ъ для энергии сцепления су = 1, анизотропии упругости к = 1, сегрегационного параметра д = 5, реактивного

параметра Л = 1, параметра 6 = 1 и различных значений числа Эриксена Ег

Рис. 3. Угол ориентации Ц/й единичного

вектора намагниченности т как функция безразмерной напряженности магнитного поля И для энергии сцепления а = 1, анизотропии упругости к = 1, сегрегационного параметра д = 5, реактивного параметра

Л = 1, параметра Ь = 1 и различных значений числа Эриксена Ег

Численные расчеты показывают, что при любых значениях реактивного параметра, кроме

Л = 1, сдвиговое течение размывает ориентационный фазовый переход.

Рис. 4. Угол ориентации (р0 директора п

как функция безразмерной напряженности магнитного поля И для энергии сцепления (7 = 1, анизотропии упругости к = I, сегрегационного параметра д = 5, реактивного

параметра Л = 0.9, параметра Ь = \ и различных значений числа Эриксена Ег

Рис. 5. Угол ориентации Ц/0 единичного

вектора намагниченности т как функция безразмерной напряженности магнитного поля к для энергии сцепления о = 1, анизотропии упругости к = 1, сегрегационного параметра д = 5, реактивного параметра

Л = 0.9, параметра Ь = 1 и различных значений числа Эриксена Ег

На рис. 4 и 5 изображены зависимости углов директора и намагниченности в ферронематике с неориентируемой течением НЖК-матрицей (0 < Л < 1). В этом случае тривиальное решение,

описывающее невозмущенную конфигурацию поля директора, исчезает при наложении сдвигового потока. Возникают две ветви решений (рис. 4 и 5, штриховые линии), описывающих поворот директора по часовой и против часовой стрелке. Нетривиальные решения в верхних по.1гушюскостях (<р0 >0,у/о> 0) появляются при значениях напряженности И больших, чем в стационарном переходе Фредерикса для ферронематиков (рис. 4 и 5, сплошные линии).

5. Заключение

В работе рассмотрено сдвиговое течение в слое ферронематика, находящегося в однородном магнитном поле. В рамках обобщенной континуальной теории Эриксена-Лесли построена система интегральных уравнений, описывающая поведение ориентационной структуры ферронематика при совместном действии сдвигового течения и однородного магнитного поля.

Рассмотрена конфигурация, в которой магнитное поле ориентировано ортогонально скорости потока ферронематика и лежит в плоскости сдвига. На границах слоя ферронематика были заданы условия жесткого планарного сцепления. На поверхности магнитных частиц сцепление предполагалось мягким и гомеотропным. Кроме того, было использовано приближение линейного распределения поля скорости ферронематика внутри слоя. Получены стационарные решения для плоских полей директора и единичного вектора намагниченности с учетом сегрегационных эффектов в ферро-нематических жидких кристаллах. Рассмотрены случаи как ориентируемых, так и неориентируе-мых течением НЖК-матриц.

Произведен численный расчет углов поворота директора и намагниченности для различных значений напряженности приложенного магнитного поля, энергии сцепления магнитных частиц с нематиком, упругих констант Франка, сегрегационного параметра и числа Эриксена. Для магнитного поля, направленного ортогонально скорости потока ферронематика, в общем случае в системе существует только угловая фаза. Наличие сдвигового течения приводит к исчезновению симметрии решений, описывающих возмущенные состояния полей директора и намагниченности. Существование невозмущенных полей директора и вектора намагниченности возможно только при значении реактивного параметра равном единице. При любых других значениях реактивного параметра наблюдается размывание фазового перехода между ориентационными состояниями. Учет энергии упругих деформаций показывает, что для ферронематиков с неориентируемой течением НЖК-матрицей существуют стационарные решения, которые описывают ориентации полей директора и единичного вектора намагниченности в плоскости сдвигового потока.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта 08-02-00389 РФФИ-Урал.

Список литературы

1. Brochard F., Gennes de P. G. II J. Phys. (France)

1970. Vol. 31. P. 691.

2. Chen S.-H., Amer N. М. // Phys. Rev. Lett. 1983.

Vol. 51. P. 2298.

3. Figueiredo Neto A. М., Saba М. M. F. II Phys. Rev. A 1986. Vol. 36. P. 3483.

4. Berejnov V., J.-C. Bacri, Cabuil V., Perzynski R., Raikher Yu. II Europhys. Lett. 1998. Vol. 41. P. 507.

5. Berejnov V., Cabuil V., Perzynski R., Raikher Yu. II J. Phys. Chem. В 1998. Vol. 102. P. 7132.

6. Burylov S. V., Raikher Y. L. II Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107.

7. Lev В. I., Tomchuk P.M. 11 Phys. Rev. E 1999. Vol. 59. P. 591.

8. Chernyshuk S. B., Lev B.I., Yokoyama H. II JETP 2001. Vol. 93. P. 760.

9. Lev B. L, Chernyshuk S. B., Tomchuk P. М., Yokoyama И. II Phys. Rev. E 2002. Vol. 65. P. 021709.

10. Raikher Yu. L., Burylov S. V., Zakhlevnykh A. N.

II Sov. Phys. JETP 1986. Vol. 64. P. 319.

11. Liang B. J., Chen S.-H. II Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. P. 1441.

12. Bacri J. С., Figueiredo Neto A.M. // Phys. Rev. E 1994. Vol. 50. P. 3860.

13. Koneracka М., Kellnerova V., Kopcansky P., Kuc-zynski Т. II J. Magn. Magn. Mater. 1995. Vol. 140— 144. P. 1455.

14. Koneracka М., Zavisova V., Kopcansky P., Jadzyn J., Czechowski G., Zywucki В. II Ibid. 1996. Vol. 157/158. P. 589.

15. Potocova I., Koneracka М., Kopcansky P., Timko М., Тот со L., Jadzyn J., Czechowski G. II Ibid. 1999. Vol. 196-197. P. 578.

16. Burylov S. V., Zadorozhnii V. L, Pinkevich I. P., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. // Ibid. 2002. Vol. 252. P. 153.

17. Buluy O., Ouskova E., Reznikov Yu., Glushchenko A., West J., Reshetnyak V. II Ibid. P. 159.

18. Bena R. E., Petrescu E. II Ibid. 2003. Vol. 263. P. 353.

19. Zakhlevnykh A. N. II Ibid. 2004. Vol. 269. P. 238.

20. Zadorozhnii V. I., Pinkevich I. P., Reshetnyak V. Yu., Allen М. P. II Mol. Cryst. Liq. Ciyst. 2005. Vol. 437. P. 243.

21. Zadorozhnii V. I., Vasilev A. N., Reshetnyak V. Yu., Thomas K. S., Sluckin T. J. II Europhys. Lett. 2006. Vol. 73. P. 408.

22. Захлевпых A. H., Макаров Д. В. II Вестн. Перм, ун-та. 2007. Вып. 1(6). Физика. С. 39.

23. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. II Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2007. Vol. 475. P. 233.

24. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. II Physical Review E. 2006. Vol. 74. P. 041710-1

25. Жеп де П. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1977. 400 с.

26. Raikher Y. L., Stepanov V. I. II J. Int. Mater. Syst. Str. 1996. Vol. 7. P. 550.