Синхронный и асинхронный режимы вращения ферронематика в магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 2 (24)

УДК 532.783; 539.22

/■^ о о

Синхронныи и асинхронным режимы вращения ферронематика в магнитном поле

А. Н. БоИчук, А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В рамках континуального подхода исследовано влияние однородного вращающегося магнитного поля на ориентационную структуру ферронематика с планарными условиями сцепления между директором и намагниченностью. Получена нестационарная система уравнений, описывающая ориентационную динамику ферронематика. Найдены зависимости углов поворота директора и намагниченности ферронематика от скорости вращения поля при различных значениях материальных параметров. Обнаружены два режима вращения ориентационной структуры ферронематика: синхронный и асинхронный. Получена критическая скорость вращения поля, определяющая границу между синхронным и асинхронным режимами, как функция напряженности магнитного поля.

Ключевые слова: ферронематик; жидкий кристалл; вращающееся магнитное поле

1. Введение

Жидкие кристаллы (ЖК) являются привлекательными средами для диспергирования коллоидных частиц различной природы (ферромагнитных, сегнетоэлектрических, углеродных нанотрубок и др.), поскольку они представляют собой анизотропные мягкие материалы, обладающие спонтанным ориентационным порядком [1]. Жидкокристаллическая матрица вызывает упорядочение внедренных в нее анизометричных частиц, что существенно меняет отклик композитной системы на внешние воздействия и открывает новые возможности использования жидкокристаллических материалов в устройствах отображения информации и оптоэлектронике. Такие суспензии весьма чувствительны к внешним воздействиям и обладают необычными электрическими, магнитными и оптическими свойствами, отличающимися от свойств исходных компонент и меняющимися под действием внешних полей. Новые приложения таких материалов существенно зависят от способности контролировать ориентационный отклик и пространственное распределение частиц в жидкокристаллической матрице.

Одним из примеров таких систем являются ферронематики - коллоидные суспензии магнитных наночастиц в нематических жидких кристаллах (НЖК). Они были теоретически предсказаны в 1970 г. Брошар и де Женом в работе [2], заложив-

шей основы континуального описания ферронематиков (ФН). С этой пионерской работы стала очевидной широта приложений для ФН, так как их магнитная восприимчивость на несколько порядков превышает восприимчивость чистых ЖК [3-4]. Первые экспериментальные попытки синтеза жидкокристаллических ферросуспензий оказались не вполне удачными, однако в последние десять лет в связи с разработкой новых методов стабилизации наночастиц в термотропных жидких кристаллах появились успешные экспериментальные реализации ферронематиков, которые привели к многочисленным экспериментальным и теоретическим работам по исследованию их физических свойств и происходящих во внешних полях фазовых переходов (см. обзорную статью [1]). В настоящее время экспериментальный поиск осуществляется по двум направлениям [1; 5-9]: используются новые мезо-генные соединения в качестве матрицы и новые типы частиц, внедренных в жидкий кристалл (игольчатые наночастицы феррита и углеродные нанотрубки, наполненные ферромагнетиком). Такие суспензии могут использоваться для создания оптических элементов, реагирующих по типу жидкокристаллического дисплея на магнитное поле, что позволит радикально упростить визуализацию полей и использовать эти среды для отображения информации.

Если статические свойства ферронематиков достаточно хорошо исследованы [3-20], то изучению их динамического поведения посвящено со-

© А. Н. Бойчук, А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров, 2013

57

всем немного работ [21-26], касающихся, главным образом, релаксационных явлений и совместного ориентирующего действия магнитного поля и сдвигового потока.

Настоящая работа посвящена изучению влияния вращающегося магнитного поля на ориентационную структуру ферронематика с планарными условиями сцепления между жидким кристаллом и магнитными частицами. В физике жидких кристаллов этот эффект - увлечение жидкого кристалла вращающимся магнитным полем, известный как эффект Цветкова, достаточно хорошо изучен в различных геометриях [27], так же, как и в физике изотропных магнитных жидкостей [28; 29]. Исследованию этого эффекта в ферронематиках посвящена работа [30], в которой изучены стационарные режимы вращения для ферронематика с гомео-тропным типом сцепления магнитных частиц с матрицей.

2. Уравнения динамики ферронематика

Описывать динамику ориентационной структуры ферронематического жидкого кристалла будем в рамках обобщенной континуальной теории Эриксена-Лесли [2, 10, 22-25, 27]. Уравнение движения ферронематика записывается следующим образом:

Р~Л~ = дк°Ы , (1)

ш

здесь d|dt -д/д1 + ук дк - полная производная по

I (е) »_»

времени, стш = сты + ст^. - тензор напряжений,

являющийся суммой тензора вязких напряжений ст'ш и тензора напряжений Эриксена ст(е). Здесь введено обозначение д к = д/дхк , и далее всюду предполагается суммирование по повторяющимся тензорным индексам.

Уравнение несжимаемости имеет вид

3 г ^г = Ап = 0,

(2)

где Агк - (дк+дгVк)/2 - симметричная часть

тензора градиентов скоростей.

Выражение для тензора вязких напряжений ст'ш, записанное в предположении линейности обобщенных потоков по отношению к сопряженным им обобщенным силам, представим следующим образом:

СТкг = а1ПкПП1ПтА1т + а2п^г + а3^к +

+«4Акг +а5ПкЩАи +а6п1п1А1к .

Коэффициенты а!1 имеют размерность вязкости и носят название коэффициентов Лесли, однако только пять из них являются независимыми, т. к.

между ними существует связь [27]:

а2 +а3 =а6 -а5 .

Вектор N представляет собой скорость изменения директора ферронематика пг (т.е. единичного вектора, характеризующего направление преимущественной ориентации длинных осей молекул нематика) относительно движущегося жидкого кристалла и определяется соотношением

апг

^г =~7Т -тікпк , аґ

где соік = (3кV -3гук)/2 - антисимметричная

часть тензора градиентов скоростей.

Тензор напряжений Эриксена , входящий в

сткг, дается выражением

ст

{Ы = -Р8кг -

3Е

3(3 кпі)

3 гп1 ■

где р - давление, - символ Кронекера, ^ -объёмная плотность свободной энергии ферронематика.

Объемную плотность свободной энергии ферронематика для мягкого сцепления между магнитными частицами и жидким кристаллом можно записать в следующем виде [2, 10]:

^ ^ ^ + Я, + + ^5, (3)

+ К2 (п ■ го1и)2 + К3(п х гоїп)2

= — [к (divп)2 + К2(п ■ го1 и)2 + К3(п х гоїп)2]

1 9

^ =-Ы8/ т ■ И, Я, =- - Ха (п ■ И)2.

Р4 =

17 ™ /V <2

Р5 =- — /(п ■ т) . а

Здесь Кг, К2 и К3 - константы Франка; п - директор жидкого кристалла; Ы5 - намагниченность насыщения материала магнитных частиц; / - объемная доля магнитных частиц в суспензии; т -единичный вектор намагниченности суспензии; Ха> 0 - анизотропия диамагнитной восприимчивости нематика, которую далее всюду считаем положительной; V - объем феррочастицы; d - диаметр феррочастицы; кв - постоянная Больцмана; Т - температура; w - поверхностная плотность энергии сцепления жидкого кристалла с поверхностью магнитных частиц. Будем полагать w > 0, поэтому в отсутствие магнитного поля минимуму свободной энергии (3) отвечает параллельная ориентация (планарное сцепление) директора и намагниченности (п || т).

Слагаемое ^ представляет собой объемную плотность энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Озеена-Франка),

V

Р2 - объемная плотность энергии взаимодействия фициент переноса, V - объем феррочастицы,

магнитного поля Н с магнитными моментами ц = М ьут феррочастиц (дипольный механизм влияния магнитного поля на ФН), ¥3 - объемная плотность энергии взаимодействия магнитного поля Н с нематической матрицей (квадрупольный механизм влияния магнитного поля), р - вклад энтропии смешения идеального раствора магнитных частиц в объемную плотность энергии, р -

объемная плотность энергии поверхностного взаимодействия (сцепления) магнитных частиц с директором. Магнитными диполь-дипольными взаимодействиями будем пренебрегать вследствие малой объемной доли / феррочастиц в суспензии.

Уравнение движения директора пг имеет вид [27]

Ь(п) = 71Nг +72ПкАгк , (4)

где 71 =а3 -а2 и 72 =а2 +а3 - коэффициенты вращательной вязкости нематика.

Уравнение движения единичного вектора намагниченности тг согласно [22] записывается в

виде

h(m) = (їlpMг + ї2pmkAM )f =

(5)

где 71р и 72р - коэффициенты вращательной вязкости магнитных частиц, а вектор М = dmi|dt -®лт характеризует скорость изменения единичного вектора намагниченности т относительно движущегося жидкого кристалла.

Молекулярные поля кг(п) и к\т), входящие в уравнения движения директора (4) и вектора намагниченности (5), определены следующим образом:

дР_

дn^

h(n) = -^ + д.

дF

(m) дF

h =-----------+ д k

дmi

д(д kni)’ дF

д(д m).

Вследствие единичности векторов п и т вариация свободной энергии должна производиться при

22

дополнительных условиях п - 1 и т - 1 , учитываемых методом неопределенных множителей Лагранжа.

Уравнение диффузии магнитных частиц в нематике (закон сохранения числа магнитных частиц) запишем следующим образом [22]:

f + д г (UJ) = О , дt

(6)

здесь иг =-Dд г (vF (mVf) - скорость феррочастиц относительно нематической матрицы, D - коэф-

р(т) = р + р + р - вклад магнитных частиц в

свободную энергию Р ферронематика (3).

Таким образом, уравнения (1) - (6) представляют собой полную систему уравнений динамики ферронематического жидкого кристалла.

3. Ферронематик во вращающемся магнитном поле

Рассмотрим ферронематик, помещенный в однородное магнитное поле H = H(cos ю t, sin cot,0),

которое вращается с постоянной угловой скоростью ю вокруг оси z (рис. 1). Будем считать сцепление между директором n и намагниченностью m мягким и планарным. Это означает, что отсутствие внешних полей минимум свободной энергии ферронематика (3) достигается при параллельной ориентации директора и намагниченности (n || m), а угол между директором n и намагниченностью m может меняться в зависимости от величины приложенного к ферронематику магнитного поля. Проанализируем поведение директора и намагниченности вдали от поверхностей, ограничивающих ферронематик, т.е. будем пренебрегать влиянием границ и градиентами директора. В этом случае распределение магнитных частиц в образце однородно (f = const), т.е. эффекты магнитной сегрегации [2, 3, 11, 14, 15, 19, 20] отсутствуют.

нитном поле

В рассматриваемом случае директор п и единичный вектор намагниченности т можно параметризовать следующим образом:

п = (cosр, sinр, 0), т = (соз^,зт^, 0), (7)

здесь р(ґ) и ц/(ґ) - углы ориентации директора и единичного вектора намагниченности (рис. 1), отсчитываемые от оси х.

Будем считать, что меняться со временем могут только директор и намагниченность, при этом сам

ферронематик остается неподвижным, т. е. скорость V жидкокристаллической суспензии равна нулю. Для рассматриваемого вида решений (7) уравнения движения (1) выполняются тождественно.

Уравнения движения директора (4) и единичного вектора намагниченности (5) с учетом соотношений (7) примут вид

дф w 1 о

71 — = - — I 81п2(ф-^) + ~ХаН «1п2а-ф),

3ґ а

3/ V .

3ґ а

ПР^- = — sin2(р-/) + MsH sin(аґ -/). (8)

(р> = -стsin2(р-/) + — к sin2(т-р), (9)

/урц/ = стsin2(р-/) + к sin(т-/). (10)

Здесь точкой обозначена производная по т и введены следующие безразмерные величины

Ха7\

МІЇ2

™Ха

' м^а

г = 7-^, (11)

п

В случае отсутствия магнитной примеси (/ = 0) из системы (8) получаем соотношение

П 3р = 1 ХаН2 5ІП2(аґ -P),

3ґ 2

которое совпадает с уравнением для угла поворота директора в чистом нематике, помещенном в однородное вращающееся магнитное поле [27]. Анализ решений этого уравнения показывает, что при угловой скорости вращения поля а <ас = хаН2 /(2п 1) директор следует за магнитным полем с той же угловой скоростью а , но отстает от него по фазе на постоянное значение (синхронный режим вращения). Если скорость вращения поля а >ас, то директор движется вслед за магнитным полем с более сложной, зависящей от времени, фазовой задержкой (асинхронный режим вращения).

Для удобства теоретического анализа запишем систему уравнений (8) в безразмерной форме, для этого в качестве единицы измерения напряженности магнитного поля выберем величину Н0 = Msf|Ха , при которой дипольный ¥2 и квадрупольный ¥3 вклады в объемную плотность свободной энергии ¥ ферронематика (1) становятся одного порядка. В магнитном поле Н и Н0 происходит смена основного механизма влияния поля на систему от дипольного (влияние на магнитные моменты частиц, Н < Н0) к квадруполь-ному (влияние на диамагнитную НЖК-матрицу, Н > Н0) и наоборот. Кроме того, в терминах угла т = аґ, описывающего отклонение вектора напряженности магнитного поля Н от оси х, система уравнений (8) может быть записана следующим образом:

где к представляет собой безразмерную напряженность магнитного поля, р - безразмерная угловая скорость вращения магнитного поля, ст -безразмерная энергия сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей, а параметр 7 характеризует отношение коэффициентов вращательной вязкости магнитных частиц и нематика.

Полагая [1, 2, 5, 18, 22] анизотропию диамагнитной восприимчивости %а и 10 7, объемную долю магнитных частиц I и 10 6, намагниченность насыщения материала магнитных частиц М8 и 102 Гс, коэффициенты вращательной вязкости 7] и 0.1 пуаз и 71р и 1 пуаз, поверхностную

плотность энергии сцепления молекул нематика с магнитными частицами w и 1 эрг/см2, поперечный

диаметр магнитных частиц d и 10-5 см, угловую скорость вращения магнитного поля а = 1 рад/с, находим 7 и 10, ст и 1 и р и 1. Из сделанных выше оценок видно, что для реальных значений материальных параметров I ур << 1. В этом случае можно пренебречь слагаемым I7р в левой части уравнения (10), тогда система (9)-(10) примет следующий вид:

1 2

(р = -стsin2(р-/) + — к sin2(т-р). к sin(т -/) = -ст sin 2(р -/).

(12)

Таким образом, система уравнений (12) описывает нестационарные решения для углов ориентации директора и намагниченности как функции энергии сцепления ст, напряженности к и угловой скорости вращения магнитного поля р .

Для описания отклонения директора п и намагниченности т относительно вращающегося

Рис. 2. Углы между вектором напряженности магнитного поля Н, директором п и намагниченностью т

а)

вектора напряженности магнитного поля Н удобно ввести следующие переменные (рис. 2):

8г=т-р , 82=т-у, в=8г-82 . (13) Здесь 51 и 52 - углы, определяющие отставание директора и намагниченности от вектора напряженности магнитного поля, в - угол между директором и вектором намагниченности.

С учетом соотношений (13) система уравнений (12) принимает вид

1

p(1 -<?>1) = аsin2(8І -82) + — h sin281, h sin S2 =а sin 2(81 - 82).

(І4)

Эта система нестационарных уравнений описывает ориентационную динамику директора и намагниченности относительно вращающегося магнитного поля и может быть проинтегрирована:

2pdx

Рис. 3. Фазовый портрет системы для энергии сцепления ст = 1 и напряженности магнитного поля к = 0.4

Из рис. 3. видно, что увеличение скорости вращения поля приводит к уменьшению амплитуды производной d8l/dт , а при достижении некоторой критической угловой скорости рс исчезают точки пересечения фазовой траектории с осью абсцисс, т. е. происходит смена режима вращения ориентационной структуры. При р = рс ось абсцисс является касательной к точкам минимума фазовой траектории, что позволяет записать условия нахождения критической скорости. Первое из них отвечает равенству нулю производной d81 /dт :

1 ?

рс -стб1п2(81 -82)--к2 б1п281 = 0. (19)

Второе условие вытекает из того, что точки касания фазовой траектории оси абсцисс являются точками минимума функции d8l/ dт :

I 7 --- = Т ,

J2p-2hsin82 -h sin2x h sin 82 =-asin2(81 -82).

Э.1. Режимы вращения ферронематика

Анализ решений нестационарной системы уравнений (14) показывает, что возможны два режима вращения ориентационной структуры ферронематика во вращающемся магнитном поле: синхронный и асинхронный. В первом случае директор и намагниченность вращаются вслед за магнитным полем с одинаковой угловой скоростью, во втором они по-прежнему следуют за магнитным полем, но с фазовыми задержками, зависящими от времени. Границу синхронного и асинхронного режимов вращения можно найти, анализируя фазовый портрет системы (14), который представлен на рис. 3 при различных значениях угловой скорости вращения магнитного поля p .

а cos 28 -82)

h cos 28І

1 + 1

cos 8

2 У

І

+ — h cos 28 = 0 . 2 1

(2О)

Решение системы уравнений (19) и (20) совместно с уравнением связи (14) дает зависимость рс = рс (к, ст), описывающую границу между синхронным и асинхронным режимами вращения ферронематика. Если энергию сцепления магнитных частиц с нематической матрицей положить равной нулю (ст = 0), то из системы уравнений (14), (19) и (20) получим, что величина критической угловой скорости пропорциональна квадрату напряженности поля:

pLC =—. c2

(21)

Эта зависимость совпадает с критической скоростью вращения магнитного поля для чистого жидкого кристалла без магнитных частиц [27].

В случае слабых магнитных полей (к << 1),

пренебрегая квадратичными по полю слагаемыми (т. е. квадрупольным механизмом воздействия на ферронематик) в уравнениях (19) и (20), для критической скорости получаем линейную зависимость

pC = h;

(22)

которую также можно получить из системы уравнений динамики ферронематика (14).

Зависимость критической угловой скорости вращения в случае жесткого сцепления (ст ^ да) находится из уравнений (14), (19) и (20):

p:= ^(ліі + 8h2 -1) 16

1/2

(л/l + 8h2 + З)

З / 2

(2З)

+

В случае слабых магнитных полей (к << 1) выражение (23) упрощается:

к3

рсда = к+—+...

2

В противоположном случае - сильных магнитных полей (к >> 1) - из соотношения (23) имеем

р = ^ +к +....

2 42

Переходя к размерным переменным в соотношении (22) и устремив концентрацию магнитной примеси к нулю, в главном слагаемом полученной асимптотики имеем

а? =ХаН 7(2 71),

Рис. 4. Зависимость критической угловой скорости р от напряженности магнитного поля к для ферронематика (ст Ф 0) и чистого нематика (ст = 0)

Рис. 5. Фазовая диаграмма режимов вращения ферронематика для энергии сцепления ст = 1; £ — синхронный режим, А - асинхронный режим

т. е. квадратичную зависимость критической частоты от напряженности магнитного поля, как это и должно быть в чистом нематике, помещенном в однородное вращающееся магнитное поле [27].

В общем случае для ферронематика с планарным сцеплением между директором и намагниченностью зависимость критической угловой скорости от поля и энергии сцепления рс = рс (к, ст) имеет более сложный характер. Результаты численного решения системы уравнений (14), (19) и (20), определяющие зависимость критической угловой скорости рс от напряженности магнитного поля к для различных значений ст , представлена на рис. 4 и 5.

Из рис. 4 и 5 видно, что в ферронематике с планарными условиями сцепления критическая скорость вращения рс , определяющая границу перехода от синхронного режима вращения к асинхронному, превышает критическую скорость р^° в чистом жидком кристалле для любых значений напряженности магнитного поля. При этом в слабых полях, когда основным механизмом влияния магнитного поля на ферронематик является дипольный механизм (т.е. воздействие поля на магнитные частицы), критическая скорость вращения ферронематика линейно зависит от поля согласно формуле (22). Для нематика, как видно из формулы (21), критическая скорость вращения р^° квадратично зависит от напряженности магнитного поля.

Увеличение энергии сцепления ст между директором и намагниченностью приводит к увеличению критической скорости вращения р .

3.2. Синхронный режим

При вращении магнитного поля с угловой скоростью р < рс директор и намагниченность в установившемся режиме вращаются вслед за полем с одинаковой угловой скоростью, но с разными, и не зависящими от времени, фазовыми задержками 8 и 82 (рис. 6, а). Такое поведение ориентационной структуры ферронематика соответствует синхронному режиму (рис. 5, область 5). С ростом скорости вращения увеличивается отставание директора и намагниченности от напряженности магнитного поля, при этом растет угол в между ними (рис. 6, б) и увеличивается характерное время установления синхронного режима.

На рис. 7 представлена зависимость угла в между директором и намагниченностью от времени для различных значений энергии сцепления. Видно, что с увеличением энергии сцеплении ст угол в уменьшается, асимптотически стремясь к нулю в случае жесткого планарного сцепления (ст ^ да) магнитных частиц с ЖК-матрицей.

а

б

Рис. 6. Углы поворота (а) директора 8^ и намагниченности 82 и (б) угол между директором и намагниченностью в для различных значений угловой скорости ( в синхронном режиме вращения

Рис. 7. Угол между директором и намагниченностью в для различных значений энергии сцепления ст в синхронном режиме вращения

а

б

Рис. 8. Углы поворота (а) директора 8 и (б)

намагниченности 82 для различных значений угловой скорости ( в асинхронном режиме вращения

На рис. 7 представлена зависимость угла в между директором и намагниченностью от времени для различных значений энергии сцепления. Видно, что с увеличением энергии сцеплении ст угол в уменьшается, асимптотически стремясь к нулю в случае жесткого планарного сцепления (ст ^ да) магнитных частиц с ЖК-матрицей.

3.3. Асинхронный режим

Если угловая скорость вращения поля ( > (с,

синхронный режим вращения директора и намагниченности (рис. 5, область £) сменяется асин-

ности 8 для различных значений угловой скорости р в асинхронном режиме вращения

различных значений энергии сцепления ст в асинхронном режиме вращения

хронным режимом (рис. 5, область А). В этом случае директор и намагниченность вращаются вслед за магнитным полем, но углы 8 и 8 теперь становятся периодическими функциями времени (рис. 8). С увеличением скорости вращения р период вращения директора и намагниченности уменьшается.

В сильных магнитных полях характер вращения намагниченности изменяется - намагниченность движется вслед за полем, совершая периодические колебания около вектора напряженности магнитного поля (рис. 9 и 10). С ростом скорости вращения поля р период этих колебаний уменьшается. При увеличении энергии сцепления увеличивается амплитуда и период колебаний вектора намагниченности. Дальнейший рост энергии сцепления между директором и намагниченностью приводит к тому, что асинхронный режим вращения ферронематика переходит в синхронный.

4. Заключение

В рамках континуальной теории рассмотрен ферронематик с мягкими планарными условиями сцепления между директором и намагниченностью в однородном вращающемся магнитном поле. Получена нестационарная система уравнений, описывающая ориентационную динамику ферронематика. Произведен численный расчет углов поворота директора и намагниченности для различных значений напряженности приложенного магнитного поля, энергии сцепления магнитных частиц с жидкокристаллической матрицей и скорости вращения магнитного поля. Обнаружены синхронный и асинхронный режимы вращения ориентационной структуры ферронематика. В синхронном режиме директор и намагниченность вращаются с частотой магнитного поля и постоянной фазовой задержкой. В асинхронном режиме фазовая задержка становится периодической функцией времени. Показано, что смена режима вращения ориентационной структуры ферронематика от синхронного к асинхронному вызывается изменением скорости вращения магнитного поля и его напряженности. Получена зависимость критической угловой скорости вращения магнитного поля, определяющая границу существования режимов, от напряженности поля.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта 10-02-96001 РФФИ.

Список литературы

1. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquid ays-talline ^lloids of nanoparticles: preparation, properties, and applications // Solid State Physics. 2010. Vol. 62. P. 1-74.

2. Brochard F., Gennes P. G. de. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // J. Phys. (France). 1970. Vol. 31. P. 691-708.

3. Райхер Ю. Л., Бурылов С. В., Захлевных А. Н. Ориентационная структура и магнитные свойства ферронематика во внешнем поле // Журн. экспер. и теор. физики. 1986. Т. 91. С. 542-551.

4. Raikher Yu. L., Burylov S. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic behavior of a ferronematic layer in an external magnetic field // J. Magn. Magn. Mater. 1987. Vol. 65. P. 173-176.

5. Ouskova E., Buluy O., Blanc C., Dietsch H., Mer-telj A. Enhanced magneto-optical properties of suspensions of spindle type mono-dispersed hematite nano-particles in liquid crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2010. Vol. 525. P. 104-111.

6. Mitroova Z., Tomasovicova N., Timko M., Koner-acka M., Kovac J., Jadzyn J., Vavra I., Eber N., Toth-Katona T., Beaugnon E., Chaud X., and Kopcansky P. The sensitivity of liquid crystal doped with functionalized carbon nanotubes to ex-

ternal magnetic fields // New J. Chem.. 2011. Vol.35. 1260-1264.

7. Buluy O., Nepijko S., Reshetnyak V., Ouskova E., Zadorozhnii V., Leonhardt A., Ritschel M., Schon-hense G., andReznikov Yu. Magnetic sensitivity of a dispersion of aggregated ferromagnetic carbon nanotubes in liquid crystals // Soft Matter. 2011. Vol. 7. P. 644-649.

8. Podoliak N., Buchnev O., Bavykin D. V., Kulak A. N., Kaczmarek M., and Sluckin T. J. Magnetite nanorod thermotropic liquid crystal colloids: Synthesis, optics and theory // J. Colloid and Interface Science. 2012. Vol. 386. P. 158-166.

9. Tomasovicova N., Timko M., Mitroova Z., Koner-acka M., Rajnak M., Eber N., Toth-Katona T., Chaud X., Jadzyn J., and Kopcansky P. Capacitance changes in ferronematic liquid crystals induced by low magnetic fields // Phys. Rev. E. 2013. Vol. 87. P. 014501 (1-4).

10. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

11. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. II. Behavior of real ferronematics in external fields // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 123-141.

12. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic // J. Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238-244.

13. Zadorozhnii V. I., Sluckin T. J., Reshetnyak V. Yu., Thomas K. S. The Frederiks effect and related phenomena in ferronematic materials // SIAM J. Appl. Math. 2008. Vol. 68. P. 1688-1716.

14. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferrone-matics // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 051710 (1-9).

15. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 219-226.

16. Podoliak N., Buchnev O., Buluy O., D’Alessandro G., Kaczmarek M., Reznikov Y. and Sluckin T. J. Macroscopic optical effects in low concentration ferronematics // Soft Matter. 2011. Vol. 7. P. 4742-4749.

17. Захлевных А. Н., Семенова О. Р. Ориентационные переходы в слое ферронематика с бистабильным сцеплением на границе // Журнал технической физики. 2012. Т. 82. вып. 2. С. 1-9.

18. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadrupole modes of field influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles // Soft Matter. 2012. Vol. 8. P. 6493-6503.

19. Petrov D. A., Zakhlevnykh A. N. Freedericksz transition in compensated ferronematic liquid crystals //Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 557. P. 60-72.

20. Захлевных А. Н., Петров Д. А. Влияние эффекта сегрегации на магнитные и оптические свойства компенсированного ферронематического жидкого кристалла // Журнал технической физики. 2012. Т. 82, вып. 9. С. 28-38.

21. Bacri J. C., Figueiredo Neto A. M. Dynamics of lyotropic ferronematic liquid crystals submitted to magnetic fields // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. 3860-3864.

22. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Dynamic magnetooptical response of ferronematic liquid crystals // J. Intel. Mater. Syst. Struct. 1996. Vol. 7. P. 550554.

23. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Shear flow of a ferronematic in a magnetic field // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2007. Vol. 475. P. 233-245.

24. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic field-induced orientational phases of ferronematics in shear flow // J. Magn. Magn. Mater. 2008. Vol. 320. P. 1312-1321.

25. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Magnetic Freedericksz transition in ferronematic layer under shear flow // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 135-144.

26. Garbovskiy Yu., Baptist J. R., Thompson J., Hunter T., Lim J. H., Min S. G., Wiley J. B., Mal-kinski L. M., Glushchenko A., and Celinski Z. Increasing the switching speed of liquid crystal devices with magnetic nanorods // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 101. P. 181109 (1-5).

27. Stewart I. W. The Static and Dynamic Continuum Theory of Liquid Crystals. London and New York: Taylor & Francis. 2004. 360 p.

28. Шлиомис М. И. Магнитные жидкости // Усп. физич. наук. 1974. Т. 112. C. 427-458.

29. Зайцев В. М., Шлиомис М. И. Увлечение ферромагнитной суспензии вращающимся полем// ПМТФ. 1969. Т. 10, №5. С. 11-16.

30. Бойчук А.Н., Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Ориентационные явления в ферронематике во вращающемся магнитном поле // Вестник Пермского университета. Сер.:Физика. 2012. Вып. 1(19). С. 7-15.

Synchronous and asynchronous rotation modes of a ferronematic in magnetic field

A. N. Boychuk, A. N. Zakhlevnykh, D. V. Makarov

Perm State University, Bukireva St. 15, 614990 Perm

In the framework of the continuum approach the effect of a uniform rotating magnetic field on the orientational structure of a ferronematic with planar coupling conditions between the director and the magnetization have been studied. We have obtained a non-stationary system of equations describing the orientational structure of a ferronematic. We have calculated the angles of rotation of the director and the magnetization of a ferronematic as functions of the rotational velocity of the magnetic field for different values of the material parameters. Two regimes of rotation of the orientational structure: synchronous and asynchronous were found. We have obtained the critical velocity of rotation of the magnetic field, defining the boundary between synchronous and asynchronous modes, as a function of magnetic field strength.

Keywords: ferronematic; liquid crystal; rotating magnetic field