Ориентационные явления в ферронематике во вращающемся магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 1 (19)

УДК 532.783; 539.22

Ориентационные явления в ферронематике во вращающемся магнитном поле

А. Н. Бойчук, А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассмотрено поведение ориентационной структуры ферронематика в однородном вращающемся магнитном поле. Вычислены углы поворотов векторов ориентации ферронематика (директора и намагниченности) относительно направления магнитного поля при различных значениях материальных параметров и скорости вращения магнитного поля. Показано, что во вращающемся магнитном поле система уравнений, описывающая динамику ферронематика, имеет решения, соответствующие только угловой ориентационной фазе ферронематика. Существовавшие в статическом случае пороговые переходы между фазами “размываются”.

Ключевые слова: ферронематик, жидкий кристалл, вращающееся магнитное поле.

1. Введение

Как известно, ориентация молекул жидких кристаллов (ЖК) чувствительна к воздействию внешних силовых полей, например электрического или магнитного [1]. При помещении в магнитное поле нематического жидкого кристалла, обладающего положительной диамагнитной анизотропией, его молекулы стремятся ориентироваться своими длинными осями вдоль направления поля. При стационарном вращении магнитного поля весь жидкий кристалл может быть вовлечен во вращение. Это явление впервые было открыто и изучено Цветковым [1, 2]. Хотя анизотропия диамагнитной восприимчивости ЖК позволяет изменить ориентацию жидкого кристалла с помощью внешнего магнитного поля, для увеличения магнитной восприимчивости жидкокристаллического образца Брошар и де Жен [3] предложили внедрять игольчатые магнитные частицы в матрицу нематического жидкого кристалла. Полученная таким образом магнитная суспензия получила название ферронематика (ФН). Одной из характерных особенностей ФН является наличие сильной ориентационной связи между ЖК-матрицей и магнитными частицами. Даже при небольшой по объему концентрации магнитных частиц магнитная восприимчивость суспензии увеличивается на несколько порядков по сравнению с восприимчивостью чистого ЖК, что позволяет ориентировать их слабыми магнитными полями, сохраняя при этом свойства,

характерные для жидкокристаллической фазы [45].

Целью данной работы является теоретическое описание ориентационных явлений в ферронема-тическом жидком кристалле, помещенном в однородное вращающееся магнитное поле.

2. Основные уравнения

2.1. Свободная энергия ферронематика

В основе континуального подхода к описанию ферронематического жидкого кристалла лежит обобщение термодинамического потенциала (свободной энергии) F = J FdV жидкого кристалла с

учетом внедренного в матрицу небольшого количества однодоменных игольчатых частиц магнитной примеси. Объемную плотность свободной энергии ферронематика для мягкого сцепления между магнитными частицами и ЖК можно записать в следующем виде [3, 6]:

F = F + f2 + F3 + F4 + F5, (1)

F = — [K (div и)2 + K (п • rot и)2 + K (п x rot n)2 J ,

1 9

F2 =-Msf m • H , F3 =- - Xa (n • H)2 ,

F4 = k^f ln f , F5 = wf (n • m)2.

v d

© Бойчук А. Н., Захлевных А. Н., Макаров Д. В., 2012

7

Здесь К1, К2 и К3 - модули ориентационной упругости нематического жидкого кристалла (константы Франка), п - директор ферронематика (единичный вектор, характеризующий направление преимущественной ориентации длинных осей молекул нематика), Мв - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, / - объемная доля магнитных частиц в суспензии, т - единичный вектор намагниченности суспензии, - анизотропия диамагнитной восприимчивости нематика (далее всюду предполагается, что %а > 0), V -объем феррочастицы, кв - постоянная Больцмана, Т - температура, w - поверхностная плотность энергии сцепления молекул нематического жидкого кристалла с поверхностью магнитных частиц, ё - диаметр феррочастицы. Значение w выбирается положительным, поэтому в отсутствие магнитного поля минимуму свободной энергии (1) отвечает взаимная ортогональная ориентация директора и намагниченности (п ± т); ее принято называть гомеотропным сцеплением директора и намагниченности.

Слагаемое ^1 представляет собой объемную плотность энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Франка), Р2 -объемная плотность энергии взаимодействия магнитного поля Н с магнитными моментами ¡г = Мьут феррочастиц (дипольный механизм влияния магнитного поля на ФН), Е3 - объемная плотность энергии взаимодействия магнитного поля Н с нематической матрицей (квадрупольный механизм влияния магнитного поля), ¥4 - вклад энтропии смешения идеального раствора магнитных частиц в объемную плотность энергии, ^5 -объемная плотность энергии поверхностного взаимодействия магнитных частиц с директором. Магнитными диполь-дипольными взаимодействиями будем пренебрегать вследствие малой объемной доли феррочастиц в суспензии.

и тензора напряжений Эриксена ст(е). Здесь введено обозначение дк = д/дхк , и далее всюду предполагается суммирование по повторяющимся тензорным индексам.

Уравнение несжимаемости имеет вид

дг V = Агг = 0 =

(3)

где Агк = (дкV, +дгик)/2 - симметричная часть

тензора градиентов скоростей.

Выражение для тензора вязких напряжений а’ы, записанное в предположении линейности обобщенных потоков по отношению к сопряженным им обобщенным силам, может быть записано в следующем виде:

= «\ПкПгП1ПшА1ш + «2 ПкМг + «3ПгМк +

+«4Акг +«5ПкЩАи + абпгпгАт ■

Коэффициенты а имеют размерность вязкости и носят название коэффициентов Лесли, однако только пять из них являются независимыми, так как между ними существует связь [1-2]:

а2 + « = «-« .

*3

6

5

Вектор N представляет собой скорость изменения директора относительно движущегося ЖК и определяется соотношением

„ йпг

N =—г- -аІІГ п йі

ік к ■

где = (д к Vг-дг vк )/2 - антисимметричная

часть тензора градиентов скоростей.

Тензор напряжений Эриксена ст(е), входящий в аы, дается выражением

а

(е) _

= -Р8кг -

дЕ

д(дкЩ)

где р - давление, 8Ы - символ Кронекера.

2.2. Уравнения движения ферронематика

Для описания динамики ориентационной структуры ферронематического жидкого кристалла будем использовать обобщенную континуальную теорию Эриксена-Лесли [1-3, 6-12]. В этом случае уравнение движения можно записать следующим образом:

Ж

здесь ё/М = д/д1 + vк дк - полная производная по

» (е)

времени, аы = аш + - тензор напряжении, яв-

ляющийся суммой тензора вязких напряжений и'ы

Р~Т = дкакг , (2)

2.3. Уравнения движения директора и единичного вектора намагниченности

Уравнение движения директора п имеет вид

^ +Ї2ПкАкг > (4)

где У\=а3-а2 и у2=а2+а3 - коэффициенты вращательной вязкости нематика [1].

Уравнение движения единичного вектора намагниченности т согласно [6] записывается в виде

ЬҐ = (УірМ г +У2рткАкг )/ =

(5)

где у\Р и у2 р - коэффициенты вращательной вязкости магнитных частиц, а вектор М = ёщ т характеризует скорость изме-

нения единичного вектора намагниченности ш г относительно движущегося ЖК.

Молекулярные поля И(п) и И(ш'>, входящие в

уравнения движения директора (4) и вектора намагниченности (5), определены следующим образом:

,(п) дЕ дЕ

п) ; = ----------+дк

т = (-єіпш, соєш, 0),

(7)

дПг д(дкПг)

+ д.

п(т) =-дЕ дЕ

дШг д(дкШ,)

Вследствие единичности векторов п и т вариация свободной энергии У должна производиться

2 Л 2 л

при дополнительных условиях п = 1 и т = 1 , учитываемых методом множителей Лагранжа.

2.4. Уравнение диффузии магнитных частиц

Уравнение диффузии магнитных частиц в нематике (закон сохранения числа магнитных частиц) запишем следующим образом [6]:

дд- + дг (V/) = 0 . ді

(6)

здесь ср(г) и \у(г) - углы ориентации директора и единичного вектора намагниченности. Напомним, что поверхностная плотность свободной энергии w выбрана положительной, так что в отсутствие внешних полей минимуму энергии (1) отвечает взаимная ортогональная ориентация директора и намагниченности (п ± т). В этом случае магнитное поле оказывает конкурирующее действие на ФН, так как магнитные частицы и директор стремятся ориентироваться вдоль поля, чему, однако, препятствует гомеотропное сцепление между п и т . Будем считать, что меняться со временем могут только поля директора и намагниченности, при этом сам ферронематик остается неподвижным, т.е. скорость V жидкокристаллической суспензии равна нулю. Для рассматриваемого решения (7) уравнения движения ферронематика (2) выполняются тождественно.

здесь иг = -Бд г (уЕ (т)//) - скорость феррочастиц относительно нематической матрицы, Б - коэффициент переноса, V - объем феррочастицы,

Е(т) = е2 + Е4 + Е5 - вклад магнитных частиц в

свободную энергию Е ферронематика (1).

Таким образом, уравнения (1) - (6) представляют собой полную систему уравнений динамики ферронематика.

3. Ферронематик во вращающемся магнитном поле

Рассмотрим ферронематический жидкий кристалл в однородном магнитном поле Н = Н(- єіпа і, соє а і, 0), вращающемся с постоянной угловой скоростью а вокруг оси 2 (рис. 1).

Анализируя поведение директора и единичного вектора намагниченности вдали от поверхностей, ограничивающих образец ферронематика, будем пренебрегать влиянием границ и градиентами директора. В этом случае распределение магнитных частиц в образце можно считать однородным, т.е. эффекты магнитной сегрегации [3, 13-19] полагаем отсутствующими. Директор п и единичный вектор намагниченности т в этом случае можно записать в следующем виде:

п = (соєф, єіпф, 0),

магнитном поле

Уравнения движения директора (4) и единичного вектора намагниченности (5) с учетом соотношений (7) примут вид

дф 1 т

У1 = -Т/5ш2(ф -Ш) - ТХаН єіп2(аі - ф) ,

ді й 2

дш w

У1р~^Г = ТЄіп2(Ф - Ш) + МН «іп(аі - Ш). (8)

ді й

В случае, когда магнитная примесь отсутствует, т.е. / = 0, из системы (8) получаем соотношение

У1 = -1 ХаН2 єіп2(аі - ф) ,

ді 2

которое совпадает с уравнением для угла поворота директора в чистом нематике, помещенном в однородное вращающееся магнитное поле [1-2]. Анализ решений этого уравнения показывает, что при угловой скорости вращения поля а <ас = хаН2 ¡(2у{) директор следует за магнитным полем с той же угловой скоростью а , но отстает от него по фазе на постоянное значение. Если скорость вращения поля а >ас, то директор

движется вслед за магнитным полем с более сложной, зависящей от времени, фазовой задержкой.

Для удобства теоретического анализа запишем систему уравнений (8) в безразмерной форме. Для этого в качестве единицы измерения напряженности магнитного поля выберем величину Н0 = М2// ха , при которой дипольный Е2 и квадрупольный Е вклады в объемную плотность свободной энергии Е ферронематика (1) становятся одного порядка. В магнитном поле Н и Н0 происходит смена основного механизма влияния поля на систему от дипольного (влияние на магнитные моменты частиц, Н < Н0) к квадруполь-ному (влияние на диамагнитную НЖК-матрицу, Н > Н0) и наоборот. Кроме того, в терминах угла т = аі, описывающего отклонение вектора напряженности магнитного поля Н от оси у, система уравнений (8) может быть записана следующим образом:

1

рф = -стєіп2(ф-ш) -— П єіп2(т-ф), (9)

УРШ =стєш2(ф-ш) + П єіп(т-ш). (10)

Здесь точкой обозначена производная по т и введены следующие безразмерные величины:

уравнения (10), тогда система (9) - (10) примет следующий вид:

ХаУ 1

м2 /2

а .

. ^Ха

м2/й

У = ■

Ур

У1

(11)

1

рф = -стєіп2(ф-ш) -— П єіп2(т-ф). П єіп(т - ш) = -ст єіп 2(ф - ш).

(12)

Таким образом, система уравнений (12) описывает нестационарные решения для углов ориентации директора и вектора намагниченности как функции энергии сцепления ст , напряженности П и угловой скорости вращения магнитного поля р .

Для анализа ориентаций директора п и единичного вектора намагниченности т относительно вращающегося вектора напряженности магнитного поля Н удобно ввести новые углы ориентации (рис. 2):

я

51 =т-ф + —, 82 =т-ш , в=81 - 82. (13)

Здесь 51 и 52 - углы, характеризующие ориентации директора и намагниченности относительно вектора напряженности магнитного поля, в - угол между директором и единичным вектором намагниченности.

где И представляет собой безразмерную напряженность магнитного поля, р - безразмерная угловая скорость вращения магнитного поля, ст -безразмерная энергия сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей, а параметр у характеризует отношение коэффициентов вращательной вязкости магнитных частиц и нематика.

Полагая [1, 2, 20-22] анизотропию диамагнитной восприимчивости %а и 10-7, объемную долю магнитных частиц / и 10-6, намагниченность насыщения материала магнитных частиц Мх и 102 Гс, коэффициенты вращательной вязкости у и 0.1 пуаз и /] и 1 пуаз, поверхностную

плотность энергии сцепления молекул нематика с магнитными частицами w и 1 эрг/см2, поперечный

диаметр магнитных частиц ё и 10~5 см, угловую скорость вращения магнитного поля а = 1 рад/с, находим уи 10, сти 1 и ¡и 1. Из сделанных выше оценок видно, что для реальных значений материальных параметров /ур << 1. В этом случае можно пренебречь слагаемым /ур в левой части

Рис. 2. Углы между вектором магнитного поля Н, директором п и намагниченностью т

С учетом соотношений (13) система уравнений (12) принимает вид

1

Р(1 -¿>і) = -стєіп2(51 -82) + — П єіп251: П єіп 52 =-стєіп2(^ -52).

(14)

Эта система нестационарных уравнений описывает ориентационную динамику директора и намагниченности относительно вращающегося магнитного поля.

3.1. Стационарные уравнения динамики ферронематика

В стационарном случае (ф = 1, т.е. ¿>1 = 0) директор и намагниченность вращаются с постоянной угловой скоростью р вслед за магнитным полем, система уравнений (14) принимает вид

(а)

Рис. 3. Углы ориентации директора (а) и вектора намагниченности (б) как функции напряженности магнитного поля И для энергии сцепления ст = 1 и различных значений угловой скорости вращения р > 0

1

р = -ст$іп2(81 -82) +— И єш251,

Изш52 = -ст8Іп2(^ -52). (15)

В отсутствие вращения (р = 0) с ростом приложенного однородного магнитного поля в ФН последовательно возникают, сменяя друг друга, три ориентационные фазы: гомеотропная, угловая и планарная [23]. Каждая фаза отвечает своему типу взаимной ориентации директора и вектора намагниченности. Углы отклонения директора и намагниченности от направления магнитного поля в этих ориентационных фазах как функции напряженности поля показаны на рис. 3 и 4 сплошными линиями. В слабых магнитных полях единичный вектор намагниченности ориентирован параллельно магнитному полю (т || Н) и ортогонален ди-

(а)

Рис. 4. Углы ориентации директора (а) и намагниченности (б) как функции напряженности магнитного поля И для энергии сцепления ст = 1 при различных значениях угловой скорости вращения р < 0

ректору (п ± т). Такая взаимно ортогональная ориентация директора и намагниченности соответствует гомеотропной фазе ферронематика, в которой в =81 = п/2, 82 = 0. Эта фаза устойчива в

магнитных полях И < И± [23], где

и± =ст[-1+л/Т+27ст].

С увеличением напряженности поля гомеотропная ориентационная фаза сменяется угловой фазой, в которой угол между директором и намагниченностью отличен от нуля и п/2 и уменьшается с ростом приложенного поля. Угловая фаза термодинамически устойчива при И± < И < Иц [23], где

И =ст[1 + д/1 + 2/ст].

Поскольку в статическом случае (Р = 0) задача симметрична по отношению к повороту плоскости, образуемой директором и намагниченностью, на произвольный угол вокруг вектора магнитного поля, то в каждой такой плоскости возможно два симметричных решения (сплошные линии на рис. 3 и 4) для углов отклонения директора и намагниченности от направления магнитного поля. Два состояния ферронематика, описываемых этими решениями, энергетически эквивалентны. Рост напряженности магнитного поля приводит к переходу системы в планарную фазу при h * hll . В ней директор и намагниченность ориентированы вдоль направления магнитного поля (n || m || H). Переходы между всеми ориентационными фазами происходят пороговым образом при h = h± и h = Иц по типу фазовых переходов второго рода.

Во вращающемся магнитном поле (р Ф 0) система (15) имеет решения, соответствующие только угловой ориентационной фазе (рис. 3 и 4, штриховые линии). Исчезает симметрия вырожденных состояний ферронематика, существовавших в статическом магнитном поле (р = 0) и инвариантных по отношению к одновременному отражению директора и намагниченности относительно направления поля. Пороговые переходы размываются все интенсивнее с увеличением скорости вращения магнитного поля р . Кроме того, стационарные состояния ориентационной структуры ферронематика возможны не при любых значениях скорости вращения и напряженности магнитного поля. В заштрихованных областях на рис. 3-6 система уравнений (15) не имеет решений. При этих параметрах углы отклонения директора и намагниченности сложным образом зависят от времени, и их поведение описывается только нестационарной системой уравнений динамики ферронематика (14).

3.2. Устойчивость стационарных решений

Исследуем устойчивость стационарных решений системы (15), изображенных на рис. 3 и 4. Для этого определим эффективную плотность свободной энергии Ф , вариацией которой по углам 5j и 52 можно получить уравнение (15), описывающее ориентационную структуру ферронематика в стационарном случае. С учетом выражения (1) и соотношений (7) и (14) в безразмерном виде она может быть представлена следующим образом:

Ф = —h cos^2 _ — h2 cos2 ¿>i + с cos2 (5— — ^) — Р<5—,

(16)

где последнее слагаемое получено интегрированием вязкого момента по ф [24]. Зависимость эффективной свободной энергии Ф от напряженности магнитного поля h для различных значений

Рис. 5. Зависимость эффективной свободной энергии ферронематика Ф от напряженности магнитного поля И для и = 1:

(а) без вращения (р = 0), (б) при угловой скорости вращения поля р = 0.1 (сплошными линиями показаны решения, соответствующие минимуму энергии Ф)

угловой скорости вращения магнитного поля р представлена на рис. 5. Минимальные значения свободной энергии Ф и соответствующие им устойчивые решения для углов ориентации директора и намагниченности (рис. 6) изображены сплошными линиями. Неустойчивые решения на рис. 5 и 6 показаны штриховыми и пунктирными линиями.

В слабом магнитном поле без вращения (Р = 0) устойчива так называемая гомеотропная фаза с взаимно ортогональной ориентацией директора и намагниченности (п ± т), при этом вектор

намагниченности параллелен магнитному полю (т || Н). Вращение поля (р ф 0) приводит к исчезновению решений, описывающих стационарное состояние ферронематика (рис. 5 и 6, заштрихо-

(а)

(И >> 1), когда отклонения директора и вектора намагниченности относительно вектора напряженности магнитного поля малы, поэтому будем искать 51 и 82 в виде разложения по є << 1:

*1 =ЯіЄ+ЯіЄ2 +* =|іє+|2є2 +....

Подставляя эти разложения в систему уравнений (15), в первом порядке по є углы отклонения директора и намагниченности можно записать следующим образом:

*2 = —

2ор

И3

(17)

Как видно из соотношений (17), с ростом напряженности магнитного поля ориентации директора п и намагниченности т асимптотически стремятся к направлению поля Н, что подтверждается численным решением стационарных уравнений движения ферронематика (см. рис. 6, сплошные линии).

3.4. Слабые магнитные поля

В случае слабых магнитных полей (И << 1),

пренебрегая квадратичным по полю слагаемым в первом уравнении системы (15), получаем точные решения для углов 51 и 82, определяющих отклонения директора и намагниченности от вращающегося магнитного поля:

Рис. 6. Углы ориентации директора (а) и вектора намагниченности (б) как функции напряженности магнитного поля И для энергии сцепления о = 1 и угловой скорости вращения р = 0.1 (сплошными линиями показаны устойчивые решения)

ванная область). Однако с ростом напряженности поля такие решения появляются; они описывают директор и намагниченность, вращающиеся с постоянной угловой скоростью р вслед за вектором

магнитного поля, причем вектор намагниченности отстает от него по фазе. Увеличение напряженности поля приводит к тому, что ориентации директора и намагниченности меняются скачком (вертикальные отрезки на рис. 5б и 6) так, что вектор намагниченности начинает опережать вектор магнитного поля, по-прежнему вращаясь с постоянной угловой скоростью р .

3.3. Сильные магнитные поля

Рассмотрим случай сильного магнитного поля

8ш25, =-Р-оИ

єіп52 =Р.

2 И

2р2 — И2 + 2^ (И2 — Р2)(о2 -р2)

(18)

Анализ выражений (17) - (18) показывает, что стационарные состояния ориентационной структуры ферронематика в этом случае существуют при слабых скоростях вращения магнитного поля р < И << 1 и не при любых значениях энергии сцепления директора и намагниченности, что подтверждается результатами численного решения системы (15), которые представлены на рис. 4 и 6. Видно, что имеется критическое значение скорости вращения поля, при превышении которого стационарные решения исчезают, т.е. ориентационная структура ферронематика ведет себя нестационарным образом и описывается системой уравнений (14).

В дальнейшем планируется определить границы существования стационарных состояний ферронематика и проанализировать нестационарные режимы поведения его ориентационной структуры.

4. Заключение

В работе рассмотрен аналог эффекта Цветкова [1] для магнитной суспензии на основе нематиче-

ского жидкого кристалла - ферронематика. Теоретически исследована его ориентационная структура в однородном вращающемся магнитном поле. Рассмотрен ферронематик с “мягкими” гомео-тропными условиями сцепления между директором и намагниченностью. Получена нестационарная система уравнений, описывающая ориентационную структуру ферронематика во вращающемся магнитном поле. Проанализированы стационарные решения системы уравнений динамики ферронематика. Произведен численный расчет углов поворота директора и вектора намагниченности для различных значений напряженности приложенного магнитного поля, энергии сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей и скорости вращения магнитного поля.

Показано, что во вращающемся магнитном поле система уравнений, описывающая динамику ферронематика, имеет решения, соответствующие его угловой ориентационной фазе. Существовавшие в статическом случае пороговые переходы “размываются”. С увеличением скорости вращения при фиксированных значениях энергии сцепления и напряженности магнитного поля стационарные состояния системы исчезают, тем самым вращение оказывает дестабилизирующее воздействие на стационарное состояние системы.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта 10-02-96030 РФФИ.

Список литературы

1. Gennes P. G. de, Prost J. The Physics of Liquid Crystals. Oxford: Clarendon Press, 1993. 596 p.

2. Stewart I. W. The Static and Dynamic Continuum Theory of Liquid Crystals. L. and N. Y.: Taylor & Francis, 2004. 360 p.

3. Brochard F., Gennes P. G. de. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // J. Phys. (France). 1970. Vol. 31. P. 691-708.

4. Райхер Ю. Л., Бурылов С. В., Захлевных А. Н. Ориентационная структура и магнитные свойства ферронематика во внешнем поле // Журн. экспер. теор. физики. 1986. Т. 91. С. 542-551.

5. Raikher Yu. L., Burylov S. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic behavior of a ferronematic layer in an external magnetic field // J. Magn. Magn. Mater. 1987. Vol. 65. P. 173-176.

6. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Dynamic magnetooptical response of ferronematic liquid crystals // J. Intel. Mater. Syst. Struct. 1996. Vol. 7. P. 550554.

7. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Influence of shear flow on the Freedericksz transition in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. 041710 (9 pp.).

8. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Shear flow of a ferronematic in a magnetic field // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2007. Vol. 475. P. 233-245.

9. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Влияние сдвигового течения на ориентационные фазы ферронематика в магнитном поле // Вестн. Перм. ун-та. 2007. Вып. 1(6). С. 39-51.

10. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фредерикса в ферронематиках при наличии сдвигового течения // Вестн. Перм. ун-та. 2008. Вып. 1(17). С. 87-93.

11. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic field-induced orientational phases of ferronematics in shear flow // J. Magn. Magn. Mater. 2008. Vol. 320. P. 1312-1321.

12. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Magnetic Freedericksz transition in ferronematic layer under shear flow // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 135-144.

13. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopic

properties of ferronematics caused by

orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

14. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Эффекты магнитной сегрегации в слое ферронематического жидкого кристалла при наличии сдвигового течения // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2011. Вып. 1(16). С. 55-63.

15. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. One-

dimensional structures in ferrocholesteric film with weak homeotropic anchoring on the layer boundaries // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2001. Vol. 367. P. 175-182.

16. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical

phenomena at the Freedericksz transition in

ferronematics // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 051710 (9 pp.).

17. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фредерикса в ферронематиках: трикритическое поведение // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика.

2009. Вып. 1(27). С. 62-68.

18. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фредерикса первого рода в ферронематиках // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2010. Вып. 2(32). С. 58-66.

19. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals //Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 219-226.

20. Blinov L. M., Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. N.Y.: SpringerVerlag, 1994. 459 p.

21. Ouskova E., Buluy O., Blanc C., Dietsch H., Mertelj A. Enhanced magneto-optical properties of suspensions of spindle type mono-dispersed hematite nano-particles in liquid crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2010. Vol. 525. P. 104-111.

22. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquid «ystalline œlloids of nanoparticles: preparation, properties, and applications // Solid State Physics.

2010. Vol. 62. P. 1-74.

23. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and 24. Derfel G. Shear flow induced cholesteric-nematic

Freedericksz transition in a ferronematic // J. transition//Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1983. Vol. 92.

Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238-244. P. 41-47.

Orientational phenomena in a ferronematic under rotating magnetic field

A. N. Boychuk, A. N. Zakhlevnykh, D. V. Makarov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The behavior of the orientational structure of a ferronematic in a uniform rotating magnetic field is considered. We calculated the angles of rotation of ferronematic orientation vectors (the director and magnetization) relative to the magnetic field at various values of material parameters and the rotational velocity of the magnetic field. It is shown, that in a rotating magnetic field system of equations describing the dynamics of ferronematic has solutions corresponding to the angular orientation fer-ronematic phase only. The imposing of a rotating field leads to a “smoothing” of the threshold transitions between phases existed in the static case.

Keywords: ferronematic, liquid crystal, rotating magnetic field.