Возникновение вращения жидкости в слоях Марангони Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.22

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ЖИДКОСТИ В СЛОЯХ МАРАНГОНИ © 2014 г. В.А. Батищев, В.В. Заикин, В.А. Гетман

Батищев Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: batish@math.sfedu.ru.

Batischev Vladimir Andreevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: batish@math.sfedu.ru.

Заикин Виктор Владимирович - аспирант, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: 88@mail.ru.

Zaikin Viktor Vladimirovich - Post-Graduate Student, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: 88@mail.ru.

Гетман Вероника Андреевна - магистр, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: vnikaget@gmail.com.

Getman Veronika Andreevna - Master Student, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: vnikaget@gmail.com.

На основе системы Навье-Стокса изучен эффект возникновения вращательного движения жидкости в тонком пограничном слое вблизи свободной недеформируемой границы при воздействия на эту поверхность продольного градиента температуры. Рассмотрены два случая стационарного осесимметричного термокапиллярного течения жидкости в полупространстве, а именно радиальный градиент температуры вдоль свободной поверхности положителен в первом случае и отрицателен во втором. В первом случае возникает вращательное движение жидкости только в пограничном слое. Вне пограничного слоя вращение отсутствует. Во втором случае вращательный эффект не обнаружен.

Ключевые слова: свободная граница, пограничный слой, эффект Марангони, вращение, малая вязкость, теплопроводность.

This article examined the effect of the rotational motion of a fluid in a thin boundary layer near the free surface at the impact of this surface longitudinal temperature gradient. We investigated two cases of stationary axisymmetric thermocapillary flow, namely the radial temperature gradient along the free surface is positive in the first case, and negative in the second case. Rotational fluid flow arises only in the boundary layer in the first case. Rotation of the fluid is absent in the region of the boundary layer. The rotational effect is not observed in the second case.

Keywords: free surface, boundary layer, effect of Marangoni, rotation, small viscosity, thermal conductivity.

Нелинейные пограничные слои Марагони, возникающие вблизи свободной границы вязкой жидкости при неравномерном распределении температуры вдоль этой поверхности, начали интенсивно изучаться во 2-й половине ХХ в. в связи с экспериментами в космическом пространстве. Впервые автомодельные решения для тонких пограничных слоев Марангони в нагретой жидкости изучены в работе L.G. Napolitano [1]. Важные результаты по этим слоям получены В.В. Пухначевым [2]. Ранее В.Я. Шкадов [3] получил автомодельные решения без учета эффектов теплопроводности для нелинейных пограничных слоев вблизи свободной поверхности при воздействии на эту поверхность касательных напряжений. В [4, 5] рассматривались автомодельные решения для слоев Марангони в осесимметричном случае с учетом деформируемости свободной границы. В [5] изучено возникновение вращения жидкости в тонком вязком слое, ограниченном снизу твердой, а сверху свободной границами. Показано, что вращается весь тонкий

жидкий слой, причем вращение связано с бифуркацией решений нелинейных уравнений пограничного слоя. Вращение может возникать, когда градиент температуры на свободной поверхности достигает критического значения. В данной работе показано, что в жидкости бесконечной глубины в осесиммет-ричном случае может вращаться только тонкий пограничный слой вблизи свободной границы при условии, что минимальное значение температуры свободной границы достигается на оси симметрии. Вне пограничного слоя вращение отсутствует. В случае когда на свободной границе температура максимальна на оси симметрии, эффект вращения не обнаружен.

Уравнения движения

Изучается стационарное осесимметричное течение вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости в полубесконечной области, ограниченной сверху свободной границей Г . Вдоль Г в радиальном направлении задан градиент температуры, который в первом случае прини-

мает положительное значение, т.е. температура свободной границы минимальна на оси симметрии. Во втором случае градиент температуры на свободной границе отрицателен, т.е. температура максимальна на оси симметрии. При малых значениях диффузионных коэффициентов вязкости и температуропроводности вблизи свободной границы возникает тонкий пограничный слой Ма-рангони, вне которого течение жидкости оказывается медленным. Движение жидкости описывается системой уравнений Навье-Стокса (v, V)v = — p_1Vp + vV2 v, (v, V)T = zV 2T , div v = 0 .

Здесь v = (vr,ve,vz) - вектор скорости; T - температура жидкости; p - давление; (r, в, z) - цилиндрические координаты. Параметры p,v, z - значения плотности, кинематического коэффициента вязкости и коэффициента температуропроводности. Движение жидкости считается осесимметричньгм, т.е. вектор скорости, давление и температура не зависят от окружной координаты в . Предполагается, что коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры а = а0 — \aT |(T — T*), где сг0, \aT |, T* - известные

постоянные. Деформируемостью свободной границы пренебрегаем. На свободной поверхности Г выполняются динамические условия для касательных напряжений, кинематическое условие и задана температура Tr 2и(Пп — (пПп)п ) = Vra , vn = 0, T = Tr (r, z) , (r, z) e Г. Здесь П - тензор скоростей деформации; п - вектор внешней нормали к свободной границе Г ; и - динамический коэффициент вязкости; VГ - градиент вдоль Г . Предположим, что температура вдоль поверхности Г вблизи оси симметрии изменяется по степенному закону T =TX + AT(r /L)n+1 на отрезке длиной L , где AT=const - разность температур. На бесконечности при удалении от Г поле скоростей ограничено, а температура постоянна.

Переходим к безразмерным переменным в уравнениях движения и в краевых условиях, выбрав в качестве масштабов длины, скорости, давления и температуры параметры L, U, а0/ L, ATL. Здесь

U = 11«,

<2 A\ Lp-2v-1 f3. A

метим, что 5 < 0 в области Б г . Асимптотические разложения решения задачи при е^-0 строим в виде рядов по степеням малого параметра е [4]

уг = кго + е(кл + ул) + ....,

^ =е(К1 + vzl) + ...,

Vв = кв0 + е(кв1 + ^1)+...,

Т = То + во +е(Т1 +в1) + ...

Аналогичный ряд строим и для давления. Функции кг0,кг1,кв0,в0 локализованы в области пограничного слоя Б г , зависят от координат 5, г и исчезают при выходе из Б г . Функции Уг1, Уг1, Ув1 определены во всей области течения жидкости, зависят от цилиндрических координат 7, г и удовлетворяют

уравнениям Эйлера идеальной жидкости; Т0 = Тда -постоянное значение температуры при 7 да. Асимптотические разложения подставляем в уравнения Навье-Стокса, уравнение теплопроводности, краевые условия; переходим к переменным 5, г в Б г

и приравниваем к нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях параметра е. В результате главные члены асимптотики удовлетворяют системе уравнений

кг 0 ^ + нй

О r

0 кг 0

О s

к 2

О s 2

д кг0 , кг0 , OHzL = 0

д r r

д к,

■во

r0

д r дв

+ H

д s дк

(1)

zl"

в0 + кr 0к90

д s

д 2 кв д s 2

h о в0 , тг дв0

к 0^— + Hzi~Г"

О r д s

l О 2 в

Pr О s 2

Здесь введено обозначение Hz1 = кл + vz1\

Для системы (1) приведем краевые условия:

д к

д T

Hzi = 0,

д к

в0

= 0, в0 = Tr (s = 0),

>Т\лТьН V 1 . лТ - масштаб градиента температуры Лт = |ДТ| / Ь. При больших значениях

градиента температуры вдоль свободной поверхности и малых диффузионных коэффициентах возникающий пограничный слой вблизи г характеризуется большим значением градиента скорости поперек пограничного слоя. Введем малый параметр

( 21 1-1-2 1 У/3 е = \ру \аТ\ Ь Л- I . Отметим, что он определяет

порядок толщины пограничного слоя.

Асимптотический метод

Решение задачи строим методом пограничного слоя. Начало цилиндрической системы координат помещаем на свободную границу, уравнение которой представим в виде 7 = 0. В области пограничного слоя

Б г вводим преобразование растяжения 5 = 7 /е . От-

д 5 д г д 5

кг0 ^0, кв0 ^0, в0 ^0 (5 ^ - да). (2)

Здесь Рг=у/ z - число Прандтля.

Построим автомодельные решения задачи (1), (2) вблизи оси симметрии при конечных значениях радиальной координаты с учетом степенного закона Тг = Тда + г гп+1. Отметим, что при п = -1 термокапиллярный эффект отсутствует. Параметр г принимает только два значения (г = +1). В первом случае для г = 1 градиент температуры вдоль свободной поверхности положителен. Во втором случае при г=-1 -отрицателен и при удалении от оси симметрии граница г охлаждается.

Введем функцию тока \у(5, г) по формулам

кг0 = ду/д5, Иг1 =-г~гд(г^)/дг. Решение задачи представим в виде

у =-г(п + 2)3Г(4) , в0 = ггп+1в(4)/(п+1) ,

кво = r(2n+1)/3G(#);

(3)

r

r

где sr

(n-1)/3

(знак «-» выбран для выполнения

неравенства 0 ). Функции f (£), д(%), G(4) определяются из краевой задачи:

3f" = (2n+1) f 2 - (n+5) ff'-3G 3G" = (2n+4)Gf ' - (n+5) fG', Pr-10" = (n+1)0 f' - (n+5) f в'/3,

(4)

/(0)=0, f"(0) = ф+1), 0(0) = 1, G'(0) = 0, f'(да) = 0, G(x) = 0, 0(да) = 0. Отметим частный случай: n = 4, т = -1. Система (4) допускает точное решение: /(£) = a(1 - exp(-y^)),

G = 0 . Здесь х = ^15 , a = ^15/3. Распределение температуры находится численно.

Внешнее решение

Вне области пограничного слоя скорость жидкости и давление определяются асимптотическими формулами v = sv1 + O(s2), p = p0 + s2p1 + O(s3) (s^ 0). Здесь p0 = const. Главные члены этих рядов удовлетворяют уравнениям невязкой жидкости (vj ,V)Vj = - Vpj ; divv = 0 с краевыми условиями:

vZ1 = Ил\(z = 0), Vvj ^ 0 (z^ -да).

Полученная задача допускает решение, которое описывает потенциальное течение жидкости vt = gradp. Отметим, что при выходе из области пограничного слоя выполняется условие затухания h00 ^ 0, которое означает, что вращающийся пограничный слой не вызывает вращения жидкости во внешней области. В результате получаем, что v01 = 0, т.е. vt = (vr1,0,vz1). Здесь предполагается, что во внешнем потоке нет причин, вызывающих вращение. Функция р удовлетворяет уравнению Лапласа Д р = 0, краевому условию на свободной границе др/дZz=0 = Ил\s=-да= (n+5)r(n-1)/3 /(да)/3 и условию ограниченности производной др/dz при удалении на бесконечность.

Найдем автомодельное решение во внешней области. Учитывая формулы (3), функцию p(r, z) представим в виде р = r(n+2)/3F(i), где 77 = z / r . Функция

F (7)

находится

из

краевой

задачи

(1 + 72)F - 1+2«F + (Ш+1 I F = 0,

3

3

F'(0) = (n + 5) f (да)/3, F'(-да) = const, которая решена численно для различных значений параметра n . Ограниченные решения найдены только на промежутке ne(-1,1]. Для этих значений параметра n,

кроме n=1, производная F'(i) монотонно убывает от значения (n + 5) /(да)/3 до нуля при удалении от свободной поверхности.

Компонента скорости vz1 определяется по формуле vzl = r(n-1)/3 F' (z/r). Приведем асимптотиче-

скую формулу для этой компоненты при больших значениях |г|

уг1 =\г\_1)/3 (4 + А2 1П|г/г|)(1 + 0(г /2)) . (5)

Постоянные А1, А2 находятся при сращивании асимптотических значений (5) с численными решениями. Из формул (5) следует, что автомодельное решение определяет внешний поток с ограниченным полем скоростей при г ^ - да только для п < 1.

При п = 1 автомодельное решение описывает равномерный поток: у21 = 2/(да), уг1 = Ув1 = 0 . В этом случае численный расчет задачи (4) приводит к значениям /(да) и 0,8976 при т=-1 и /(да) и 0,4862 для Т=1 .

Итак, в промежутке пе(-1,1] решение р = г(п+2)/3 F (V) описывает течение идеальной жидкости без вращения при г < 0 для конечных значений радиальной координаты. При п > 1 это автомодельное решение описывает течение жидкости только в окрестности свободной поверхности.

Результаты расчетов

Краевая задача (4) решалась численно методом пристрелки. Отметим, что она разделяется на две краевые задачи - сначала находятся функции /(£), G(£), а затем определяется функция д(%). При т=- 1 решение задачи без вращения тонкого слоя G=0 найдено в [4] для различных значений параметра п . В данной работе приведем результаты численных расчетов для т = 1 .В этом случае вращение жидкости возникает только внутри пограничного слоя при положительном радиальном градиенте температуры вдоль свободной границы. Жидкость может вращаться как по часовой стрелке, так и в противоположном направлении. Краевая задача (4) при каждом значении параметра п допускает два симметричных решения /, + G, в . При п = 0, т = 1 для системы (4) приведем численные значения: /'(0) и - 0,5793,

г

G(0) и± 0,9934, в (0) и 1,1039 . Отметим, что для т = -1 (при отсутствии вращения жидкости)

г

/' (0) и 1,0563, в (0) и-3,3629, G=0 .

На рис. 1 приведены графики производной Ц/ = /'(£), которая пропорциональна радиальной компоненте скорости в пограничном слое. Ветви 1 (п = 0, т = -1) соответствует течение жидкости без вращения. Радиальная компонента скорости монотонно убывает при удалении от свободной границы. Вблизи свободной границы в пограничном слое частицы жидкости удаляются от оси симметрии. Ветви 2 и 3 рассчитаны соответственно для значений п = 0 и п=2 при т=1 и описывают течение жидкости с вращением пограничного слоя. Теперь скорость в области пограничного слоя Ц г изменяется не монотонно.

Область Ц Г разделяется на две подобласти - зону

тока и зону противотока. В зоне тока вблизи свободной границы жидкость движется к оси симметрии уг < 0 . Вне этой зоны возникает противоток.

Рис. 1. Распределение радиальной компоненты скорости в пограничном слое

На рис. 2 изображен график функции в(Е), определяющей распределение температуры в пограничном слое D г в соответствии с формулой T = T0 + в0 + O (s), где функция в0 (%) связана с в(^) по формуле (3). Ветви 1 и 2 рассчитаны для течения жидкости с вращением соответственно при n=0 и n = 2, ветвь 3 - при n = 0 для течения без вращения. В последнем случае температура T при r = const

монотонно возрастает в направлении от свободной границы внутрь пограничного слоя и остается постоянной на оси симметрии. При вращении пограничного слоя (г=1) распределение температуры внутри слоя изменяется не монотонно. Внутри области пограничного слоя D Г температура сначала возрастает при удалении от Г , а затем убывает при выходе из области D Г до значения Гш .

Рис. 3. Радиальная (1), (2) и окружная (3) компоненты скорости точек свободной границы

Численный расчет показывает, что при вращении жидкости окружная компонента скорости монотонно убывает при удалении от свободной границы и стремится к нулю при выходе из области пограничного слоя. Толщина пограничного слоя убывает с ростом параметра п. На рис. 4 показана зависимость функции 0(£) от поперечной координаты. Ветви 1 - 3 рассчитаны для значений п, равных соответственно 2; 1 и 0.

Рис. 2. Распределение функции в(^) в пограничном слое

На рис. 3 представлена зависимость радиальной (ветви 1 и 2) и окружной (ветвь 3) компонент скорости точек свободной границы в зависимости от параметра п. Ветви 1 соответствует параметр г=-1, а для ветвей 2 и 3 - г=1. Модуль скорости точек свободной границы монотонно увеличивается с ростом параметра п . При п=-1 термокапиллярный эффект

исчезает.

Рис. 4. Распределение окружной компоненты скорости в пограничном слое

Замечание. Рассмотренное термокапиллярное течение есть частный случай течения жидкости в пограничном слое Марангони при наличии внешнего невязкого потока, скорость которого у0 имеет тот же порядок, что и скорость в пограничном слое. Для г = 1 при достижении скоростью внешнего потока критического значения возникает бифуркация и в пограничном слое появляется ветвь вторичных режимов с вращением жидкости. Исследованное в статье термокапиллярное течение принадлежит этой ветви режимов для у0 = 0 . При г=-1 бифуркаций не возникает.

Заключение

В работе построены автомодельные режимы осе-симметричных стационарных термокапиллярных течений жидкости, возникающие при неравномерном нагреве свободной поверхности для малых диффузионных коэффициентах вязкости и теплопроводности. Показано, что в тонком пограничном слое вблизи

свободной поверхности может возникать вращательное движение жидкости при условии, что свободная поверхность нагревается при удалении от оси симметрии. Вне пограничного слоя вращение отсутствует. При отрицательном радиальном градиенте температуры вдоль свободной границы эффект вращения жидкости не обнаружен.

Литература

1. Napolitano L.G. Marangoni boundary layers // Proceedings III European Symposium on Material Science in Space. Grenoble, 1979. P. 313 - 315.

Поступила в редакцию

2. Пухначев В.В. Групповой анализ уравнений нестационарного пограничного слоя Марангони // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, № 5. С. 1061 - 1064.

3. Шкадов В.Я. К образованию волн на поверхности вязкой тяжелой жидкости под действием касательного напряжения // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1970. № 3. С. 133 - 137.

4. Батищев В.А. Асимптотика неравномерно нагретой свободной границы капиллярной жидкости при больших числах Марангони // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53, вып. 3. С. 425 - 432.

5. Батищев В.А., Хорошунова Е.В. Возникновение вращательных режимов при термокапиллярном течении неоднородной жидкости в слое // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64, вып. 4. С. 560 - 568.

24 января 2014 г.