CC BY
14
УДК 536.22
ВЛИЯНИЕ НАНОЧАСТИЦ НА ПЕРЕНОС ТЕПЛА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ МАРАНГОНИ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ
© 2015 г. В.А. Батищев, Ю.С. Николаенко, А.С. Пискунов
Батищев Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: batish@math.sfedu.ru
Николаенко Юрий Сергеевич - аспирант, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail:yur-nikolaenko@yandex.ru
Пискунов Андрей Сергеевич - магистр, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: vnikaget@gmail.com
Batishchev Vladimir Andreevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: batish@math.sfedu.ru.
Nikolaenko Yurii Sergeevich - Post-Graduate Student, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail:yur-nikolaenko@yandex.ru
Piskunov Andrei Sergeevich - Master Student, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: vnikaget@gmail.com
Рассчитан тепловой поток на свободной поверхности жидкости с наночастицами при малых диффузионных коэффициентах вязкости и температуропроводности. Предполагается, что жидкость занимает полубесконечное пространство, ограниченное недеформируемой свободной границей, вблизи которой формируется тонкий пограничный слой Марангони. Исследована плоская стационарная задача, причем поле скоростей симметрично относительно вертикальной оси. Термокапиллярное течение жидкости вызвано неравномерным нагревом свободной границы в случае, когда при удалении от оси симметрии свободная граница охлаждается. Показано, что для конечного значения скорости внешнего течения тепловой поток увеличивается с ростом как скорости этого течения, так и концентрации наночастиц. Однако для отдельных видов наночастиц при малой скорости внешнего течения тепловой поток может как убывать, так и возрастать с увеличением концентрации наночастиц.
Ключевые слова: наночастицы, эффект Марангони, свободная граница, пограничный слой, внешний поток.
Calculated heat flux at the free fluid surface with nanoparticles. Fluid flow caused by the nonuniform heating of the free boundary when the boundary is cooled at a distance from the axis of symmetry. It is shown that in the planar case the heat flux increases with increasing speed of the external flow and with increasing concentrations of nanoparticles. However, for certain types of nanoparticles at low external flow velocity the heat flux may either decrease or increase with increasing concentration of nanoparticles.
Keywords: nanoparticles, effect of Marangoni, free surface, boundary layer, outer stream.
Увеличение потока тепла в жидкости является одной из важных проблем в технических приложениях. Одним из способов усиления передачи тепла является помещение в базовую жидкость частиц металлов, так как теплопроводность ряда металлов в сотни раз превосходит теплопроводность отдельных жидкостей. Эту идею развивал Максвелл в конце XIX в., поместив в жидкость частицы микронных размеров. Однако в то время этот метод не получил развития, так как происходило быстрое осаждение металлических частиц, возникали заторы в микроканалах, появлялась поверхностная эрозия, возникали и другие проблемы. В 1995 г. в работе [1] S. Choi и J. Estman ввели термин «наножидкость», который применяется к жидкости с наночастицами, имеющими размеры
менее 50 нм. Оказалось, что тепловой поток в на-ножидкости можно увеличить на десятки процентов по сравнению с базовой жидкостью. В качестве наночастиц применяются химически устойчивые металлы и их оксиды, базовых жидкостей -вода, полимерные растворы, органические жидкости, такие как этиленгликоль, масло, биологические жидкости. Отметим, что наножидкости можно отнести к коллоидным растворам, которые несколько последних десятилетий изучает коллоидная химия. Физические свойства наножидкостей стали изучаться сравнительно недавно ввиду их особых свойств переноса. Отметим, что каналы, по которым движутся наножидкости, почти не подвергаются эрозии, наночастицы почти не седиментируют. Наножидко-сти применяются для охлаждения в технологических
процессах, в системах производства и передачи энергии, в химических процессах, при очистке воды, при создании смазочных материалов, в медицине.
В течение последних двух десятилетий проведены многочисленные расчеты тепловых потоков при конвективном движении жидкости с наноча-стицами. Расчеты проводились на основе однофазной и двухфазной моделей, а результаты исследований отражены в ряде обзоров [2-4]. Имеющиеся экспериментальные данные подтверждены результатами численных расчетов по этим моделям [4].
Перенос тепла в слоях Марангони с наночастица-ми изучался в ряде статей, в том числе и в работе [5].
В данной статье рассчитан перенос тепла через свободную поверхность в область пограничного слоя Марангони в плоском стационарном случае при наличии внешнего течения. Получена зависимость теплового потока как от концентрации нано-частиц, так и от скорости внешнего течения.
Уравнения модели
Рассматривается плоское стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое Марангони вблизи недеформируемой свободной границы Г, вдоль которой задано неравномерное распределение температуры, вызывающей термокапиллярное течение. Вне пограничного слоя жидкость заполняет полубесконечное пространство. Предполагается, что скорость жидкости во внешней области имеет такой же порядок, как и в пограничном слое. В главном приближении течение жидкости вне пограничного слоя описывается уравнениями движения идеальной жидкости. Рассматриваются случаи, когда жидкость содержит наночастицы меди, либо оксида алюминия, или оксида титана. В расчетах применяется однофазная модель наножидкости, причем в качестве базовой жидкости используется вода. Предполагается, что базовая жидкость и наночастицы находятся в термодинамическом равновесии. Скольжение между наночастицами и базовой жидкостью отсутствует. Теплофизические параметры смеси считаются постоянными. Рассматриваются сферические наноча-стицы одинакого размера. В рассматриваемой модели уравнения движения жидкости получаются из системы Навье — Стокса путем замены физических параметров на их эффективные значения [3—5]
(V) V = -р;}ур + Мп/ р;}у2 V,
(V,V)T = V2T, дпV = 0 .
Здесь V = ( ух ,0, ) — вектор скорости; р — давление; Т — температура; (х, у, г) — декартовы координаты. Скорость, давление и температура жидкости симметричны относительно вертикальной
оси O z и не зависят от координаты y . Параметры Pnf, /V, Хи/ - соответственно плотность, динамический коэффициент вязкости и коэффициент температуропроводности жидкости с наночасти-цами. Коэффициент поверхностного натяжения считается линейно зависящим от температуры: < = <у0 - |<r|(T - T) , где <г0, \<т |, T — известные
постоянные. Свободная граница считается недеформируемой. В качестве краевых условий на свободной поверхности используются: а) динамическое условие для касательных напряжений; б) кинематическое условие; в) температура свободной границы Г 2/ (Пп - (пПп)п ) = Vr<,
vn = 0, T = T(x,z), (x,z) еГ .
Здесь П — тензор скоростей деформации; п — вектор внешней нормали к свободной границе Г ; V — градиент вдоль Г ; Тг — заданная температура свободной границы. Предположим, что температура свободной поверхности в окрестности оси симметрии на отрезке длиной L изменяется по степенному закону T =T - AT (x / L)"+1. Здесь AT=const — разность температур. При z ^-да температура жидкости вне Г стремится к постоянному значению T , а поле скоростей ограничено.
В уравнениях движения и краевых условиях переходим к безразмерным переменным, выбрав в качестве масштабов длины, скорости, давления и температуры параметры L, Um, <0 / L, ATL . Здесь A — масштаб градиента температуры вдоль Г;
I 2 \1/3
Um = (К A2 Lp~fV~/) . Параметры pf, vf —
плотность и кинематический коэффициент вязкости базовой жидкости. Введем малый параметр по
(1-1 \1/3
Pfy2f К L 2A-1 ) . Он определяет
порядок толщины пограничного слоя вблизи свободной границы.
Обозначим через ки/, kf соответственно коэффициенты теплопроводности наножидкости и базовой жидкости. Параметры жидкости с наночасти-цами p, /nf, Хп/, К/ выразим через соответствующие параметры базовой жидкости p, /, kf и параметры частиц металлов - плотность ps и коэффициент теплопроводности ks по известным формулам [6, 7] Pnf = (1-ф)рг + фр8 ,
/ = /f (1-ф)-5/2 , Xnf = knf /(PCp V ,
(PCp )nf = (1-ф)(РСр ) f + P(PCp )s .
Здесь ф — объемная концентрация наночастиц в смеси. Коэффициент k определяется по формуле
[8] Kf = k
ks + 2ky - 2<fi(kf -ks)
кх + 2к^ + - к8)
Отметим, что в ряде публикаций рассматривается зависимость физических параметров от температуры. Коэффициент динамической вязкости нано-жидкости приведен в работе [6], опубликованной КС Brinkman в 1952 г.
Асимптотический метод
Начало системы координат поместим на ось симметрии на свободной поверхности, тогда уравнение этой границы представим в виде 2 = 0. Решение задачи строим методом пограничного слоя. В области пограничного слоя введем преобразование растяжения 2 = . Отметим, что 5 < 0. Учитывая, что скорость жидкости в области пограничного слоя Д имеет такой же порядок, как и вне Д, асимптотические разложения при е^ 0 решения задачи строим в виде рядов по степеням параметра е [9, 10]
V = + Ко + е(Кх1 + ^ + •••• ,
^2 = V20 + Ф21 + Уц) + ••• ,
Т =Т„ + 00 +е( Т1 +01) + •••
Аналогичный ряд записываем и для давления. Функции ух0 , ух1, у20 , уг1, Т зависят от координат х, г и определены во всей области течения; Ко, К\, К\, 0, 0 зависят от переменных 5, х , локализованы в области пограничного слоя Д и исчезают вне Д при 5^ -да.
При выводе уравнений пограничного слоя асимптотические разложения подставляем в уравнения движения, в краевые условия и переходим к переменным 5, х . Приравниваем к нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях параметра е. В результате получаем систему уравнений для главных членов асимптотических рядов. Введем новые неизвестные функции Нх, И2 по формулам
Нх = Кх0 + Г , Н2 = К21 + г + 5 9 ^019 2 г. функции
И, И, 0О удовлетворяют системе уравнений
д И
И х + И
д х z
д И д И
х + z
д х д s
дHx _л д2Их
д s
= 0,
д s
d3t
д х
Краевые условия имеют вид
+ V
д v
(1)
И,
+ Я.
д x
дв0 _ B двс д s Pr д s2
1
д И,
д T д x
(1-^)5'2 д s Иг = 0, во =ТГ — Т (s = 0) , Их ^ v\ , во ^0 (s да).
(2)
Здесь Рг = у I х - число Прандтля базовой жидкости. Коэффициенты А, В выражаются через теп-лофизические параметры базовой жидкости (индекс /) и параметры наночастиц (индекс 5)
А = Д(1-ф)-512, Д = (1 -ф + фР//рБ )-1 ,
1К, + 2-2ф(1-1К,)
В = Д---— .о
К, + 2 + ф(1-кх )
Учитываем, что температура свободной границы (г = 0) в безразмерных переменных изменяется по
степенному закону Тг = Тф - хп+1, т.е. температура убывает вдоль Г при удалении от начала координат.
Краевая задача (1), (2) допускает автомодельное решение. Введем переменную <Ц = - 5х(" 1)13. Неизвестные функции найдем методом разделения переменных Нх = х(2п+1)|3 Г'(4), 0о =- хп+0(4),
И = х(п-1)|3 ((п + 2) Г+(п -1)4 Г') 13 .
Предположим, что скорость идеальной жидкости на свободной границе вблизи начала координат зависит степенным образом от продольной координаты по закону = и х(2п+1)|3. Такое распределение скорости может быть вызвано вихревым течением жидкости вблизи свободной границы.
Функции Г, 0 определяются из краевой задачи
3АГ"" = (2п+1)Г2 - (п+2)ГГ - (2п+1)и2,(3)
Рг-1 В0" = (п+1)0Г' - (п + 2)Г0 ' 13 ,
г(0)=0, г"(0) = - (п+1) (1 - ф)512, 0(0) = 1,
Г"(да) = и, 0(да) = 0 .
После численного решения задачи (3) вычисляем тепловой поток через свободную границу
=_К/дТ Iдг (г=0). Локальное число Нуссельта
определяем по формуле Иы = -е^к^к^х^+2)|30 " (0).
Результаты расчетов
Краевая задача (3) решалась численно методом пристрелки. При отсутствии наночастиц в жидкости (ф = 0,А = В = 1) и внешнего потока (и = 0)
решение задачи в осесимметричном случае найдено в работе [9]. Отметим, что при п = 4, и = 0
система (3) допускает точное решение для функции ¥, зависящее от переменной 4 по экспоненциальному закону, однако температура должна определяться численно. В данной работе в качестве базовой жидкости рассматривалась вода. При проведении расчетов использовались 3 вида наночастиц -медь оксид алюминия (А1203) и оксид титана (ТЮ2). Объемная концентрация наночастиц, соответствующая параметру ф, изменялась в проме-
жутке от нуля до значения 0,2. Численные значения термодинамических параметров k, л, р и с для
наножидкости и воды, а также параметры р, к для меди и оксидов алюминия и титана приведены в работе [5].
Численные расчеты проводились для п = 0, т.е. при постоянном градиенте температуры вдоль свободной границы. Рассчитывался параметр N = - kи^£-10'(O), который, как и число Нуссельта,
пропорционален потоку тепла на свободной границе. Результаты численных расчетов показали, что продольная компонента скорости в пограничном слое изменяется монотонно поперек слоя. Температура жидкости монотонно возрастает поперек пограничного слоя при удалении от свободной границы и стремится к пределу Т при выходе из области пограничного слоя. На рис. 1 изображена зависимость «приведенного» теплового потока N от концентрации наночастиц при скорости внешнего потока U=5 . Сплошная линия соответствует нано-частицам меди, пунктир — оксиду алюминия. Кривая, соответствующая оксиду титана, почти сливается с пунктирной линией и здесь не приведена. Отметим, что с ростом концентрации наночастиц поток тепла монотонно возрастает на промежутке ф е [0; 0,2]. Относительное увеличение потока тепла при ф = 0,2 по отношению к жидкости без наночастиц составляет около 27 % для меди и около 20 для оксида алюминия.
Рис. 1. Зависимость теплового потока от концентрации наночастиц
На рис. 2 изображена зависимость «приведенного» теплового потока от параметра и, пропорционального скорости внешнего невязкого течения на свободной границе. Пунктирная линия соответствует жидкости без наночастиц. Сплошная и штрих-пунктирная (рядом с ней) рассчитаны соответственно для меди и оксида алюминия при концентрации наночастиц ф = 0,2 . С ростом скорости внешнего течения тепловой поток монотонно увеличивается при ф е [0; 0,2].
0 2 4
Рис. 2. Зависимость теплового потока от скорости внешнего течения
На рис. 3 показана зависимость «приведенного» теплового потока N от концентрации наночастиц для оксида титана (сплошная линия) и оксида алюминия (пунктирная линия). Рассчитан случай отсутствия внешнего потока и = 0. Для наночастиц оксида титана тепловой поток монотонно увеличивается с ростом концентрации наночастиц. Для оксида алюминия тепловой поток с ростом параметра ф сначала возрастает, затем достигает максимального значения и далее убывает.
Рис. 3. Зависимость теплового потока от концентрации наночастиц оксида титана (сплошная линия) и оксида алюминия (пунктир)
На рис. 4 приведены результаты расчетов параметра N в зависимости от концентрации наночастиц меди при и = 0. В этом случае на промежутке фе [0;0,2] с ростом концентрации ф тепловой поток убывает, достигает минимального значения и далее возрастает. Убывание теплового потока связано с тем, что производная температуры #'(0)| на
свободной границе монотонно убывает с ростом концентрации наночасти, причем степень убывания для частиц меди больше, чем для частиц оксидов алюминия и титана.
Рис. 4. Зависимость теплового потока от концентрации наночастиц меди
Заключение
В работе исследовано влияние наночастиц на перенос тепла через свободную границу в пограничном слое Марангони при наличии внешнего потока. Предполагается, что температура свободной поверхности убывает при удалении от оси симметрии. Показано, что тепловой поток возрастает с ростом скорости внешнего невязкого потока. Рассчитаны случаи, когда тепловой поток возрастает или убывает с ростом концентрации наночастиц.
Литература
1. Choi S.U.S. Enhancing thermal conductivity of fluids with nanoparticles // The Proceedings of the 1995 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. San Francisco, USA, 1995. P. 99 - 105.
2. Bianco V., Chiacchio F., Manca O., Nardini S. Numerical investigation of nanofluids forced convection in circular tubes // Applied Thermal Engineering. 2009. Vol. 29 (17 - 18). P. 3632 - 3642.
3. Kakac S., Pramuanjaroenkij A. Review of convec-tive heat transfer enhancement with nanofluids // Int. J. Heat Mass Transfer. 2009. Vol. 52. P. 3187 - 3196.
4. Daungthongsuk W., Wongwises S. A critical review of convective heat transfer of nanofluids // Renew. Sustain. Energy Rev. 2007. Vol. 11. P. 797 - 817.
5. Arifin N.M., Nazar R., Pop I. Marangoni-driven boundary layer flow in nanofluids // Proceedings of the 2010 International Conference on Theoretical and Applied Mechanics. Wisconsin, USA, 2010. P. 32 - 35.
6. Brinkman H.C. The viscosity of concentrated suspensions and solutions // J. Chem. Phys. 1952. Vol. 20. P. 571 - 581.
7. Khanafer K., Vafai K., Lightstone M. Buoyancy-driven heat transfer enhancement in a two-dimensional enclosure utilizing nanofluids // Int. J. Heat Mass Transfer. 2003. Vol. 46. P. 363 - 3653.
8. Shukla R.K., Dhir V.K. Numerical study of the ef-
Поступила в редакцию_
fective thermal conductivity of nanofluids // Proceedings of ASME Heat Transfer Conference. July, 17 - 22. San Francisco, USA, 2005. P. 1 - 9.
9. Батищев В.А. Асимптотика неравномерно нагретой свободной границы капиллярной жидкости при больших числах Марангони // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53, вып. 3. С. 425 - 432.
10. Batischev V.A., Zaikin V.V., Horoshunova E.V. Heat transport in Marangoni layers with nanoparticles // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 2013. № 4(3). P. 31 - 319.
References
1. Choi S.U.S. Enhancing thermal conductivity of fluids with nanoparticles. The Proceedings of the 1995 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. San Francisco, USA, 1995, pp. 99-105.
2. Bianco V., Chiacchio F., Manca O., Nardini S. Numerical investigation of nanofluids forced convection in circular tubes. Applied Thermal Engineering, 2009, vol. 29 (17-18), pp. 3632-3642.
3. Kakag S., Pramuanjaroenkij A. Review of convec-tive heat transfer enhancement with nanofluids. Int. J. Heat Mass Transfer, 2009, vol. 52, pp. 3187-3196.
4. Daungthongsuk W., Wongwises S. A critical review of convective heat transfer of nanofluids. Renew. Sustain. Energy Rev., 2007, vol. 11, pp. 797-817.
5. Arifin N.M., Nazar R., Pop I. Marangoni-driven boundary layer flow in nanofluids. Proceedings of the 2010 international conference on theoretical and applied mechanics. Wisconsin, USA, 2010, pp. 32-35.
6. Brinkman H.C. The viscosity of concentrated suspensions and solution. J. Chem. Phys., 1952, vol. 20, pp. 571-581.
7. Khanafer K., Vafai K., Lightstone M. Buoyancy-driven heat transfer enhancement in a two-dimensional enclosure utilizing nanofluids. Int. J. Heat Mass Transfer, 2003, vol. 46, pp. 3639-3653.
8. Shukla R.K., Dhir V.K. Numerical study of the effective thermal conductivity of nanofluids. Proceedings of ASME Heat Transfer Conference. July, 17-22. San Francisco, USA, 2005, pp. 1-9.
9. Batishchev V.A. Asimptotika neravnomerno na-gretoi svobodnoi granitsy kapillyarnoi zhidkosti pri bol'shikh chislakh Marangoni [The asymptotic behavior of the free boundary unevenly heated capillary fluid with large Marangoni numbers]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1989, vol. 53, no. 3, pp. 425-432.
10. Batischev V.A., Zaikin V.V., Horoshunova E.V. Heat transport in Marangoni layer with nanoparticles. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2013, no 4 (3), pp. 313-319.
29 января 2015 г.
