Моделирование переноса тепла в слоях Марангони с наночастицами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.22

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В СЛОЯХ МАРАНГОНИ С НАНОЧАСТИЦАМИ

© 2013 г. В.А. Батищев, В.В. Заикин

Батищев Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Batischev Vladimir Andreevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: batish@math. sfedu. ru.

Заикин Виктор Владимирович - студент, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]

Zaikin Viktor Vladimirovich - Student, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected]

Изучено влияние концентрации наночастиц на эффект Марангони в пограничном слое вблизи свободной границы маловязкой жидкости. Исследование проведено на основе однофазной модели, полученной из системы Навье-Стокса заменой теплофизиче-ских параметров на их эффективные значения. В случае охлаждения свободной поверхности показано, что увеличение объемной концентрации нанонастиц в жидкости приводит к убыванию температуры жидкости внутри пограничного слоя, к уменьшению потока тепла на свободной границе и к уменьшению скорости жидкости внутри слоя.

Ключевые слова: наночастицы, эффект Марангони, свободная граница, пограничный слой, теплопроводность.

The influence of nanoparticles concentration on Marangoni effect in the boundary layer near the free surface of viscous fluid was investigated. The research was carried out on the basis of a single-phase models derived from the Navier-Stokes system of thermophysical parameters for their replacement, effective meaning. In the case of cooling the free surface shows that increasing the volumetric concentration of the nanoparticles in liquid leads to decreasing the temperature of the liquid inside the boundary layer, to reduce the heat flux at a free surface and to reduce the speed of the fluid inside the layer.

Keywords: nanoparticles, effect of Marangoni, free boundary, thermal conductivity.

Идея переноса тепла жидкостью с наночастицами металлов предложена S. Choi и J. Estman в 1995 г. [1] в связи с тем, что теплопроводность ряда металлов в сотни раз превосходит теплопроводность отдельных жидкостей. Эту идею развивал Максвелл в конце XIX в., поместив в жидкость частицы микронных размеров. Однако в то время этот метод не получил развития. В последнее 10-летие решен ряд задач о переносе тепла при конвективном движении жидкости с наночастица-ми. Оказалось, что тепловой поток можно изменить на десятки процентов. За основу расчетов принимались двухфазные и однофазные модели. На ряде примеров [2] показано, что количественные расхождения в результатах расчетов по этим моделям незначительны, поэтому в данной работе используется однофазная модель. Отметим, что в последнее время опубликован ряд обзоров по конвекции жидкости с наночастицами, например [3, 4]. Имеющиеся экспериментальные исследования по данной проблеме [4] подтверждают теоретические расчеты. Перенос тепла в слоях Марангони изучался в плоском случае в работе [5].

В данной статье рассматривается осесимметрич-ный случай на основе однофазной модели при постоянных значениях теплофизических параметров. Изучено течение жидкости в пограничном слое Маранго-ни при заданном продольном градиенте температуры на свободной границе. В расчетах использовано несколько видов наночастиц. Показано, что тепловой поток при охлаждении свободной поверхности можно уменьшить до 50 % при увеличении объемной концентрации наночастиц до 20 %.

Уравнения модели

Рассматривается стационарное течение вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости в слое бесконечной толщины, ограниченном сверху недеформи-руемой свободной границей. Течение жидкости вызвано продольным градиентом температуры, заданным на границе. При малых диффузионных коэффициентах вязкости и теплопроводности вблизи свободной поверхности формируется тонкий пограничный слой Ма-рангони, вне которого течение жидкости оказывается медленным и в главном приближении описывается уравнениями невязкой жидкости. Предполагается, что жидкость содержит наночастицы металлов, таких как медь, оксид алюминия, серебро, оксид титана. В качестве базовой жидкости применяется вода. В расчетах использовалась однофазная модель наножидкости. Предполагается, что базовая жидкость и наночастицы находятся в термодинамическом равновесии. Скольжение между наночастицами и жидкостью отсутствует. Теплофизические параметры смеси считаются постоянными. Наночастицы являются сферическими одинакового размера. Уравнения движения жидкости получаются из уравнений Навье-Стокса, в которых физические параметры заменены на их эффективные значения (v, V)v = -p-)Vp + p-n}W2 v, (v, V)T = Xnf V2T, div v = 0 .

Здесь v = (vr, vg, vz) - вектор скорости; p - давление; T - температура; (r, g, z) - цилиндрические координаты. Параметры pnf, ¡unf, x„f - соответственно

плотность, динамический коэффициент вязкости и коэффициент температуропроводности жидкости с наночастицами. Течение жидкости осесимметрично, т.е. азимутальная компонента скорости отсутствует ув = 0. Вектор скорости, давление и температура не зависят от азимутальной координаты в. Коэффициент поверхностного натяжения считается линейно зависящим от температуры а = а0 — |стг|(Т — Т), где а0, \ат |, Т -

известные постоянные. Свободная граница считается недеформируемой. В качестве краевых условий на свободной поверхности используются динамическое условие для касательных напряжений и кинематическое условие при заданной температуре свободной границы — (пПп)п ) = Угст , уп = 0,

Т = Тт(г,2), (г,2) еГ .

Здесь П - тензор скоростей деформации; п - вектор внешней нормали к свободной границе Г ; Уг -

градиент вдоль Г ; ТГ - заданная температура свободной границы. В уравнениях движения и краевых условиях переходим к безразмерным переменным, выбрав в качестве масштабов длины, скорости, давления и температуры следующие параметры: Ь, и, а0 / Ь, АТЬ. Здесь АТ - масштаб градиента температуры вдоль Г ;

(, |2 2 -2 -Л'/3

и = (стг Ат Ьр— V- ) ; р, V} - плотность и кинематический коэффициент вязкости базовой жидкости. Введем малый параметр по формуле

е —

vi \ат

' L 2A—

Г

yfyfГЯ l at , . Он определяет порядок толщины пограничного слоя вблизи свободной границы. Параметры жидкости с наночастицами pnf , pnf,

Хп/, можно выразить через соответствующие параметры базовой жидкости p, , kf и параметры частиц металлов - плотность p и коэффициент теплопроводности £s по известным формулам [6, 7]:

Pnf = (1 -V)pf + fPs > Pnf = Pf (1-f)""2 , Хп/ = knf l(PCp ) nf > (pcp)nf = (1- f)(pCp)f + p(pCp)s. Здесь ф - объемная концентрация наночастиц в смеси. Коэффициент knf определяется по формуле [8]

knf - kf

ks + 2kf — 2tp(kf —ks)

. Здесь knf, kf - со

кх + 2ку + ср(к ^ —к3)

ответственно коэффициенты теплопроводности на-ножидкости и базовой жидкости. Отметим, что в ряде публикаций рассматривается зависимость физических параметров от температуры. Коэффициент динамической вязкости наножидкости приведен в [6], опубликованной Н.С. Вппктап в 1952 г.

Асимптотический метод

Краевую задачу записываем в проекциях на оси цилиндрической системы координат. Решение строим методом пограничного слоя. Введем преобразование растяжения 2=е$, поместив начало системы координат на свободную границу 2=0. Асимптотические разложения решения задачи строим в виде рядов по степеням параметра е при е^ 0 [9].

V = кт + е(йг1 + уг1) +... ,

V = е(Ьл + уг1) + ... , Т = в0 + ев, + ... .

Аналогичный ряд записываем и для давления. Здесь функции Иг0, Иг1, в зависят от координат s, г, определяют решение задачи внутри области пограничного слоя DI и исчезают при выходе из DГ. Функции , уг1 зависят от переменных г, г, определяют решение задачи вне DI и удовлетворяют уравнениям потенциального течения невязкой жидкости. Асимптотические ряды подставляем в уравнения движения и краевые условия и, приравнивая к нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра, получаем уравнения для главных членов асимптотики

\д к, . д 2 И.,

h ^

hr О _

д r

+

(h

z1 + Vz1| г )-

д s

= A-

д hr О , hr О ! д hz1 = 0

д r r д s

К дво

д r

(hz1 + VzJ г )

д% д s

д s2

B д 2в0 Pr д s2

(1)

при соответствующих краевых условиях:

A д hro

д Т

hz1 + V21 = 0 ,

(2)

д 5 д г

во = Тг (5 = 0) , Иго ^0, кл ^0, в0 ^Т» (5 .

Здесь Т» - постоянная температура жидкости на бесконечности; Pr - число Прандтля базовой жидкости. Коэффициенты А, В выражаются через теплофи-зические параметры базовой жидкости (индекс /) и наночастиц (индекс s) А = О (1-р)-5 /2,

кх /к г + 2-2р(1-к3 /к г)

D = 1~f+q>pf / ps )-1 , B = D

ks /kj + 2 + p(1-ks /kf)

s' f

Отметим частный случай п = 4. Система (4) допускает точное решение, зависящее от переменной по экспоненциальному закону /(ё) = а(1 - ехр(-^ё)).

тем-

Предположим, что температура свободной границы изменяется по степенному закону Тг =

= Т, - гп+1 /(п +1), (п ^-1), т.е. температура убывает при удалении от начала координат, помещенного на свободной границе. Краевая задача (1), (2) допускает автомодельное решение. Введем функцию тока у (5, г)

по формулам к0 = ду/дя, кл + уг1| =-гчд(гу)/дг. Решение задачи (1), (2) представим в виде У = г(п+2)/3/(ё) , в0 = Т»- гп+в(ё)/(п + 1), (3) где ё = - яг{п-1)/3 (знак «-» выбран для выполнения неравенства ё > 0, так как здесь 5 < 0). Функции /(ё), в(ё) определяются из краевой задачи

ЗА/" = (2п + 1)/'2 - (п + 5)//" , (4)

В Рг-1 в" = (п + 1)в /' - (п + 5)/ в', /(0) = 0, А/"(0) = -1, в(0) = 1, /"(») = 0, в(») = 0 .

После решения задачи (4) определяется тепловой поток на свободной границе = - ки/ дТ / дг (г=0) и локальное число Нуссельта Ип = -е^к^к- г(п+2)/3в '(0).

Здесь а = VЗА/3, у = ^3/А2 . Распределение пературы находится численно.

Результаты расчетов

Краевая задача (4) решалась численно методом пристрелки. Отметим, что задача (4) распадается на две задачи - сначала находится функция /(ё), а затем определяется температура. При А = В =1 функции /(ё), в(ё) найдены в [9]. В данной работе в качестве базовой жидкости использовалась вода. В расчетах рассматривались 4 вида наночастиц - медь (№), серебро (Ag), оксид алюминия (М^3) и оксид титана (ГЮ2). Объемная концентрация наночастиц изменялась в промежутке от нуля до 0,2. Значения термодинамических коэффициентов к, р, ср для воды и

наночастиц взяты из [5]. Ниже приведем результаты расчетов при п = 4. На рис. 1 изображено распределение функции в(ё) в зависимости от растянутой поперечной координаты для наночастиц меди. Кривой 1 соответствует нулевое значение концентрации нано-частиц р = 0, кривой 2 - р = 0,2.

1,2 ею 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Рис. 1. Распределение функции в(ё) по толщине пограничного слоя

Учитывая (3), для в0 (ё) заключаем, что температура жидкости в0 (ё) монотонно растет в направлении от свободной границы внутрь пограничного слоя. С ростом концентрации наночастиц температура в0 (ё) монотонно убывает в фиксированном продольном сечении внутри слоя жидкости. При удалении от свободной границы внутрь пограничного слоя скорости частиц наножидкости монотонно убывают от максимального значения, достигаемого на свободной поверхности, до нуля. В фиксированном сечении пограничного слоя скорость жидкости убывает с ростом концентрации наночастиц, т.е. жидкость с наночасти-цами движется медленнее.

+

На рис. 2 изображен график производной функции - д(^), вычисленной на свободной границе в зависимости от концентрации наночастиц. Кривым 1 - 4 соответствуют частицы - серебро, медь, оксид алюминия, оксид титана. С ростом концентрации наночастиц величина теплового потока монотонно убывает, т.е. свободная граница охлаждается сильнее. При ф=0,2 тепловой поток уменьшается в пределах от 34 до 48 % в зависимости от вида рассматриваемых наночастиц.

от концентрации наночастиц Выводы

В работе исследовано влияние концентрации на-ночастиц на перенос тепла в тонком пограничном слое Марангони вблизи недеформируемой свободной поверхности при условии, что вдоль этой границы задан градиент температуры. Показано, что с ростом объемной концентрации наночастиц при охлаждении свободной поверхности поток тепла на этой границе уменьшается на величину порядка нескольких десят-

Поступила в редакцию_

ков процентов в зависимости от вида наночастиц. Скорость жидкости внутри слоя Марангони уменьшается с ростом концентрации наночастиц.

Работа выполнена при финансовой поддержке Росийского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-000582-а).

Литература

1. Choi S. U.S. Enhancing thermal conductivity of fluids with nanoparticles // The Proceedings of the 1995 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. San Francisco, USA, 1995. P. 99 - 105.

2. Bianco V., Chiacchio F., Manca O., Nardini S. Numerical investigation of nanofluids forced convection in circular tubes // Applied Thermal Engineering, 2009. Vol. 29 (17-18). P. 3632 - 3642.

3. Kakac S., Pramuanjaroenkij A. Review of convective heat transfer enhancement with nanofluids // International J. of Heat and Mass Transfer. 2009. Vol. 52. P. 3187 - 3196.

4. Daungthongsuk W., Wongwises S. A critical review of convective heat transfer of nanofluids // Renew. Sustain. Energy Rev. 2007. Vol. 11. P. 797 - 817.

5. Arifn N.M., Nazar R., Pop I. Marangoni-driven boundary layer flow in nanofluids // Proceedings of the 2010 International Conference on Theoretical and Applied Mechanics. 2010. P. 32 - 35.

6. Brinkman H.C. The viscosity of concentrated suspensions and solutions // J. Chem. Phys. 1952. Vol. 20. P. 571 - 581.

7. Khanafer K., Vafai K., Lightstone M. Buoyancy-driven heat transfer enhancement in a two-dimensional enclosure utilizing nanofluids // Int. J. Heat Mass Transfer. 2003. Vol. 46. P. 3639 - 3653.

8. Shukla R.K., Dhir V.K. Numerical study of the effective thermal conductivity of nanofluids // Proceedings of ASME Heat Transfer Conference. July, 17-22. San Francisco, California. 2005. P. 1 - 9.

9. Батищев В.А. Асимптотика неравномерно нагретой свободной границы капиллярной жидкости при больших числах Марангони // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53, вып. 3. С. 425 - 432.

11 октября 2012 г.